人教版初中数学竞赛专题复习第9章 三角形

第9章三角形

§9．1全等三角形

9．1．1★已知等腰直角三角形ABC,BC是斜边．B的角平分线交AC于D,过C作CE与BD垂直

且交BD延长线于E,求证:2BDCE．

解析如图,延长CE、BA,设交于F．则FBEACF,ABAC,得ABDACF△△≌,CFBD．

又BECF,BE平分FBC,故BE平分CF,E为CF中点,所以2CEFCBD．

9．1．2★在ABC△中,已知60A,E、F、G分别为AB、AC、BC的中点,P、Q为ABC△形外两点,使PEAB,2ABPE,QFAC,2ACQF,若1GP,求PQ的长．

FAEDBC

解析如图,连结EG、FG,则EGAC∥,FGAB∥,故150PEGQFG．又12QFACEG,12PEABFG,故PEGGFQ△△≌,所以PGGQ,30EGPFGQFQGFGQ,又60EGF,所以90PGQ,于是22PQPG．

ABCGQPEF

9．1．3★在梯形ABCD的底边AD上有一点E,若ABE△、BCE△、CDE△的周长相等,求BCAD．

解析作平行四边形ECBA,则ABECEB△△≌,若A与A不重合,则A在EA（或延长线）上,但由三角形不等式易知,A在EA上时,ABE△的周长ABE△的周长；A在EA延长线上时,ABE△的周长ABE△周长,均与题设矛盾,故A与A重合,AEBC∥,同理EDBC∥,12BCAD．

BCEDAA'

9．1．4★★ABC△内,60BAC,40ACB,P、Q分别在边BC、CA上,并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线．求证:BQAQABBP．

解析延长AB到D,使BDBP,连结DP．易知80ABC,所以40QBCACB,ACAQQCAQQB．

ABCDQP

因1402BDPBPDABCACB,所以ADPACP△△≌,

ACADABBDABBP．

于是BQAQABBP．

9．1．5★★设等腰直角三角形ABC中,D是腰AC的中点,E在斜边BC上,并且AEBD．求证:

BDAEDC．

解析如图,作BAD的平分线AF,F在BD上．

ABCEFD

由于45BAFACE,ABAC,ABFCAE,故ABFCAE△△≌,故ECAF．

又45CFAD,ADCD,于是AFDCED△△≌,于是ADBEDC．

9．1．6★★设ABE△、ACF△都是等腰直角三角形,AE、AF是各自的斜边,G是EF的中点,求证:GBC△也是等腰直角三角形．

解析如图,作AQ、GP、EM、FN分别垂直于直线BC,垂足为Q、P、M、N．

AEFGMBQPCN

由90EBMABQBAQ,ABBE,EMBBQA△△≌,故有EMBQ,BMAQ．同理FNQC,CNAQ,所以BMCN,

EMFNBQQCBC．

又EGGF得BPCP,且1122GPEMFNBC,故GPBPCP．又由GPBC,故

结论成立．

9．1．7★★已知ABAC,ABAC,D、E在BC上（D靠近B）,求证:222DEBDCE的充要条件是45DAE． ABDEFC

解析如图,作FCBC,且FCBD,则45ACFB,又ABAC,故ABDACF△△≌,ADAF,且490DFBAC．

若45DAE,则45EAF,因ADAF,得ADEAFE△△≌,则

222222DEEFECFCECBD．

反之,若222DEECBD,由222EFECFC得EFDE．又ADAF,故ADEAEF△△≌,又90DAF,于是45DAE．

9．1．8★★两三角形全等且关于一直线对称,求证:可以将其中一个划分成3块,每一块通过平移、

旋转后拼成另一个三角形．

解析如图,设ABC△与ABC△关于l对称,分别找到各自的内心I、I,分别向三边作垂线ID、IE、

IF与ID、IE、IF,于是6个四边形AFIE……均为轴对称的筝形,且四边形AFIE≌四边形AEJF,所以两者可通过平移、旋转后重合；同理,另外两对筝形也可通过平移、旋转后重合．

AECDFBA'B'C'D'F'E'll'l

9．1．9★★★已知:两个等底等高的锐角三角形,可以将每个三角形分别分成四个三角形,分别涂上红色、蓝色、黄色和绿色,使得同色三角形全等．

解析如图,设BCBC,A至BC距离等于A至BC距离,取各自的中位线FE、FE,则FEFE．由ABC△、ABC△均为锐角三角形,可在BC、BC上各取一点D、D,使图中标相同数字的角相等,于是AEFDEF△△≌,DEFAEF△△≌,FBDFDB△△≌,EDCECD△△≌．

评注还有一种旋转而不是对称的构造法．

ABCDEFA'B'D'C'E'F'12345146526415243251

9．1．10★已知ABC△与ABC△中,AA,BCBC,ABCABCSS△△,ABC△与

ABC△是否一定全等？ ABCA'

解析如图,让B与B重合,C与C重合,A、A在BC同侧,若A与A重合,则ABCABC△△≌；否则由条件知四边形ABCA为梯形和圆内接四边形,于是它是一个等腰梯形,于是ABCACB,ABAC,ABCACB△△≌．综上,可知ABC△与ABC△全等．

评注本题也可以运用三角形面积公式、余弦定理结合韦达定理来证明．

9．1．11★★如图所示,已知ABC△、CED△均为正三角形,M、N、L分别为BD、AC和CE的中点,求证:MNL△为正三角形．

ABEDMTSCNL

解析如图,设BC、CD中点分别为S、T,连结NS、SM、MT、TL．则四边形CSMT为平行四

边形,设BCD,则60180240NSMLTM,360120240NCL,又NCSNSCMT,LCLTCTSM,故CNLSNMTML△△△≌≌,

NLNMML,于是MNL△为正三角形．

评注注意有时S在MN另一侧,此时120NSMLTMNCL,不影响最终结论．

9．1．12★★★ABC△中,90A,ABc．6AC,BCa,M是BC中点,P、Q分别在AB、AC上（可落在端点）,满足MPMQ,求22BPCQ的最小值（用a、b、c表示）．

解析如图,延长QM至N,使QMMN,连结PN、BN、PQ、AM由于M是BC、NQ的中点,故BNCQ,BNAC∥,BNBP,又PM垂直平分NQ,故222222BPCQBPBNPNPQ．

取PQ中点K（图中未画出）,则2aPQAKMKAM≥,于是22BPCQ的最小值为24a,取到等号仅当PQAM即四边形APMQ为矩形时．

NMPCBQA

9．1．13★★★已知P为ABC△内一点,PACPBC,由P作BC、CA的垂线,垂足分别是L、M． CABDEFMPL

设D为AB中点,求证:DMDL．

解析如图所示,取AP中点E,BP中点F,连ME、ED、DF、FL．显然四边形DEPF是平行四边形,所以EPDF,FPDE．DEPDFP．

又由PMAC,所以EMEAEPDF,2PEMPAC；同理FLDE,2PFLPBC．由PACPBC,所以DEMDEPPEMDFPPFLDFL,从而DFMLFD△△≌,所以DMDL．

9．1．14★★在ABC△中,已知60CAB,D、E分别是边AB、AC上的点,且60AED,EDDBCE,2CDBCDE,求DCB的度数．

解析如图,延长AB到F,使BFED,连CF、EF．

CEADBF

因为60EABAED,所以60FDA,120EDBCED,

ADAEEDBF．

CEEDDBDBBFDF．

于是,ACAF,60ACFAFC．

又因为120EDB,2CDBCDE,

所以

40CDE,80CDB,

18020ECDCEDEDC．

在CDA△和CBF△中,CACF,60CADCFB,ADBF,所以CDACBF△△≌,故

20FCBACD．

于是,6020DCBCDEFCB．

9．1．15★★在ABC△中,B、C为锐角,M、N、D分别为边AB、AC、BC上的点,满足AMAN,BDDC,且BDMCDN．求证:ABAC．

解析若DMDN,则在DM上取一点E,使DNDE．连结BE并延长交AC于F,连结EN．在BED△与CND△中,BDDC,BDECDN,DEDN,故BDECDN△△≌．于是有EBDNCD,BENC,所以FBFC．又易知ENBC∥,因此ENFACB．

但另一方面,由DMDN,知ABCFBCACB,所以 AFMNEBDC

1(180)2ANMBAC

12ABCACB

12ACBACBACB．

从而ENFMNAACB．矛盾,故假设DMDN不成立．

若DMDN,同法可证此假设不成立．

综上所述DMDN,于是由BDMCDN△△≌

知DBMDCN,从而ABAC．

9．1．16★★如图,ABC△为边长是1的等边三角形,BDC△为顶角BDC是120的等腰三角形,以D为顶点作一个60角,角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,形成一个AMN△．

求AMN△的周长．

AMNBCDE

解析延长AC到E,使CEBM,连结DE．易知在BMD△与CED△中有BDDC,

90MBDECD,BMCE,从而MBDECD△△≌．所以MDDE,MDBEDC．

于是在DMN△与DEN△中有DNDN,MDDE,

60MDNMDBCDNEDCCDNEDN．从而MDNEDN△△≌,故NEMN．

所以AMMNANAMNEANAMNCCEANAMMBNCAN

2ABAC．

9．1．17★★★ABC△为等腰直角三角形,90C,点M、N分别为边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且2BDBM,点E在射线NA上,且2NENA,求证:BDDE．

解析取AD中点F,连EF．