数学建模的实验报告
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一、 问题
路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时，两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？
二、 数学模型
已知P1为2kw的路灯，P2为3kw的路灯，以地面为X轴，路灯P1为Y轴，建立平面直角坐标系。其中，P1、P2高度分别为h1、h2，水平距离为S=20m。设有一点Q(x，0)，P1、P2分别与其相距R1、R2。如下图示。 R1 R2 P2
h2 P1
h1
α1
Q α2
x
S x y
O 经查阅资料得，光照强度公式为：，设光照强度k=1。则，两个路灯在Q点的光照强度分别为：
21111sinRapI 22222sinRapI
其中：
R12=h12+x2 R22=h22+(S-x)2
则Q点的光照强度Ix=I1+I2
分别按照题目中的不同要求，带入不同数值，求导，令导数为零，求得极值，进一步分析对比，求得最值。
三、 算法与编程
1. 当h1=5m，h2=6m时:
symptoms x y
x=0:0.1:20;
y=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3);
plot(x,y) grid on;
-505101520250.010.020.030.040.050.060.070.080.09
在图中的0-20米范围内可得到路灯在路面照明的最亮点和最暗点
① 对Ix求导：
syms x
f=10./sqrt((25.+x.^2)^3)+18./sqrt((36.+(20-x).^2).^3)
② 运用MATLAB求出极值点
s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');
s1=vpa(s,8)
s1 =
.28489970e-1
8.5383043+11.615790*i
19.976696
9.3382991
8.5383043-11.615790*i
③根据实际要求，x应为正实数，选择19.9767、9.3383、0.02849三个数值，通过MATLAB计算出相应的I值：
syms x
I=10/(25+x^2)^(3/2)+18/(36+(20-x)^2)^(3/2);
subs(I,x,19.9767)
subs(I,x,9.3383)
subs(I,x,0.02849)
ans = 0.0845
ans =
0.0182
ans =
0.820
综上，在19.3米时有最亮点；在9.33米时有最暗点
2.当h1=5m，3m
① 对h2求偏导，并令其为0：
x 0.02849 9.33829 19.9766
I 0.0820
0.0182 0.0845 ②运用MATLAB求出极值点
solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')
ans =
20+2^(1/2)*h
20-2^(1/2)*h
③ 对x求偏导，并令其为0：
④ 通过MATLAB，将步骤②中计算出的关于h2的表达式带入上式，并求出h2的值；
solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')
ans =
7.4223928896768612557104509932965
⑤通过MATLAB，利用已求得的h2，计算得到x，并进一步计算得到I h=7.42239;
x=20-2^(1/2)*h
I=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))
x =
9.5032
I =
0.0186
3．当h1，h2均在3m-9m之间时:
①同上，通过MATLAB求解下面的方程组：
solve('p1/(h1^2+x^2)^(3/2)-3*p1*h1^2/(h1^2+x^2)^(5/2)')
solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0') ans =
2^(1/2)*h1
-2^(1/2)*h1
ans =
20+2^(1/2)*h
20-2^(1/2)*h
②根据实际，选择x=h1，x=20-h2，带入第三个式中，得：
③利用MATLAB，求得x值：
s=solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');
s1=vpa(s,6)
s1 =
9.32530
7.33738+17.0093*i
7.33738-17.0093*i ④ 按照实际需求，选择x=9.32525
⑤ 带入求解I，并比较得到亮度最大的最暗点
h1=(1/sqrt(2))*9.32525
h2=(1/sqrt(2))*(20-9.32525)
h1 =
6.5939
h2 =
7.5482
四、 计算结果
1.当h1=5m，h2=6m时:
x 0 0.028489970 9.3382991 19.976695 20
I(x) 0.08197716 0.08198104 0.01824393 0.08447655 0.08447468
x=9.33m时，为最暗点，I=0.01824393；x=19.97m时，为最亮点，I=0.08447655。
2.当h1=5m，3m
3.当h1，h2均在3m-9m之间时:
h1=6.5939，h2=7.5482，x=9.32525时，路面上最暗点的亮度最大。
2 火箭问题
小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。火箭竖直向上发射时燃料的燃烧率为18kg/s，由此产生32 000N的推力，火箭引擎在燃料用尽时关闭。设火箭上升时的空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m。求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
解析：火箭上总共携带燃料1080kg，燃料燃烧率为18kg/s，火箭上升时间t=60s时，燃料全部烧尽。阻力正比于速度的平方，比例系数0.4kg/m，可知阻力表达式为f=0.4v2。由于燃料燃烧，火箭的质量是时间的函数，m(t)=11400-18t
火箭升空速度和加速度变化可分为两个阶段；
第一阶段：燃料燃烧产生的推力恒定，随着燃料的不断消耗，火箭的质量m降低，可得出火箭的速度v以及加速度a是变化的，由牛顿第二定律，根据速度与时间关系，建立微分方程组。
第二阶段，燃料耗尽，此时火箭的质量m恒定。引擎关闭的瞬间，火箭剩余质量：m=1400-1080=320kg，由于火箭运动受到阻力的作用，火箭先加速，后减速。火箭将达到最高速度。
五、 算法与编程
由题目已知条件可设置变量：加速度a 质量m 时间t 速度v 合力f
求出有关于v的微分方程
第一阶段
clear
syms a m t v f m=1400-18*t
f=32000-0.4*v^2-9.8*m
a=f/m
m =
1400-18*t
f =
18280+882/5*t-2/5*v^2
a =
(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t)
odefun=@(t,v)(18280+882/5*t-2/5*v^2)/(1400-18*t);
s = cumsum(v).*0.1;
subplot(2,2,1)
plot(t,s);
grid on
xlabel('时间');ylabel('高度')
title('1.h/t')
[t,v]=ode45(odefun,[0:0.1:60],[0]);
subplot(2,2,2)
plot(t,v);
grid on
xlabel('时间');ylabel('速度') title('2.v/t')
a=diff(v)/0.1;
t2 = [0:0.1:59.9];
subplot(2,2,3)
plot(t2,a);
grid on
xlabel('时间');ylabel('加速度')
title('3.a/t')
0204060050001000015000时间高度1.h/t02040600100200300时间速度2.v/t0204060051015时间加速度3.a/t
第二阶段
火箭由重力作用上升，燃料耗尽后火箭质量为320kg。由牛顿第二定律
可再次列出微分方程，t>60s.
