(完整版)高三复习导数专题

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1 导 数

一、导数的基本知识

1、导数的定义：)(0'xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000。

2、导数的公式： 0'C（C为常数) 1')(nnnxx（Rn) xxee')(

aaaxxln)(' xx1)(ln' exxaalog1)(log' xxcos)(sin' xxsin)(cos'

3、导数的运算法则： [()()]fxgx ()()fxgx [()()]()()fxgxfxgx

[()]()afxafx [()()]()()()()fxgxfxgxfxgx 2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx

4、掌握两个特殊函数

（1）对勾函数()bfxaxx ( 0a ,0b)

其图像关于原点对称

（2）三次函数32()fxaxbxcxd(0)a 导

数 导数的概念

导数的运算

导数的应用 导数的定义、几何意义、物理意义

函数的单调性

函数的极值

函数的最值 常见函数的导数

导数的运算法则

比较两个的代数式大小 导数与不等式

讨论零点的个数 求切线的方程 (完整版)高三复习导数专题

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导数的基本题型和方法

1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()kfx （2）导数的物理意义:()vst

2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]fxfx在[a,上递增 ()0()b]fxfx在[a,上递减

（2）判断或证明函数的单调性; ()fxc

（3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。

3、、函数的极值与最值:（1)求函数极值或最值；0()0fx 0x是极值点

（2）由函数的极值或最值,求参数的值或参数的范围。

4、导数与不等式。通过研究函数的最值，进而证明不等式

⑴ 证明不等式f（x）〉g(x)在区间A上成立

方法一：构造函数F（x)=f(x)-g（x)， 再利用导数求出函数在区间A上的最小值min()0Fx

方法二:转化为证明minmax()()fxgx

⑵ f（x）>g（x)在区间A恒成立,求参数取值范围。构造函数F（x)=f(x）-g(x), 再利用导数求函数在

区间A上的最小值min()0Fx,解此不等式既得参数的范围

⑶ 不等式f（x)〉g(x）的解集为空集，求参数取值范围。构造函数F(x）=f(x)-g(x),再利用导数求出

函数在区间A上的 最小值min()0Fx 解此不等式既得参数的范围

⑷ 不等式f（x）>g(x）的解集非空，求参数取值范围。：构造函数F（x)=f(x）-g（x），再利用导数求出

函数在区间A上的 最小值max()0Fx 解此不等式既得参数的范围

⑸ 比较两个代数式f（x)和g(x的大小：构造函数F(x)=f(x)-g（x）, 再利用导数求函数在

区间A上的最值，若最小值min()0Fx，则()()fxgx;若最大值min()0Fx,则()()fxgx

5、讨论讨论函数f（x)零点（方程根）的个数：通过研究函数的单调性、极值等，画出函数图像，进而讨

论零点的个数 三次函数32()fxaxbxcxd (0)a的图像

0a 0a

0 0 0 0

三次函数是关于M对称的中心对称图 (完整版)高三复习导数专题

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三、习题精选：

【例1】导数的意义 （特别提醒①利用导数求切线的斜率时要判断点是否在已知的曲线上②切点处的三

个性质）

1、（2010·新课标全国）曲线y＝x3－2x＋1在点（1，0）处的切线方程为 ( A )

A．y＝x－1 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2

解析：y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3－2＝1，∴切线方程为:y－0＝x－1， 即y＝x－1.

2、(2012全国)曲线(3ln1)yxx在点（1，1)处的切线方程为________

【解析】∵3ln4yx,∴切线斜率为4，则切线方程为：430xy.

3、［2014·广东] 曲线y＝－5ex＋3在点(0,－2）处的切线方程为________．5x＋y＋2＝0

［解析] ∵y′＝－5ex，∴所求切线斜是k＝－5e0＝－5,∴切线方程是y－(－2）＝－5（x－0）,

即5x＋y＋2＝0。

4、2014课标全国Ⅰ)设函数f(x）＝aln x＋12ax2－bx（a≠1)，曲线y＝f(x）在点（1，f(1))处的切线斜率为0。

则b= ；

分析:在第(1）问中，根据导数的几何意义将问题转化为f′（1）＝0，即可求出b的值；

解：(1)f′（x)＝ax＋ (1－a）x－b.由题设知f′(1）＝0，解得b＝1.

5、（2011湖南)曲线y＝错误!－错误!在点M错误!处的切线的斜率为 ( ）

A．－错误! B。错误! C．－错误! D。错误!

答案 B y′＝错误!＝错误!，故切线斜率k＝y′|x＝错误!＝错误!,选B.

6、［2014·江西］ 若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．

（e,e） [解析] 由题意知,y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知,

令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．

7、如果质点A按规律s＝2t3(s的单位是m）运动，则在t＝3 s时的瞬时速度为 （ C )

A．6 m/s B．18 m/s C．54 m/s D．81 m/s

解析：∵s′＝6t2，∴s′｜t＝3＝54。

8、已知曲线y=1x，则曲线过Q( 1，0 ）点处的切线方程为 440xy

9、若直线y＝3x＋1是曲线y＝x3－a的一条切线，求实数a= ．

解:设切点为P（x0，y0），对y＝x3－a求导数得y′＝3x2， ∴3x2，0＝3,∴x0＝±1。

当x0＝1时，∵P（x0,y0）在y＝3x＋1上，∴y0＝3×1＋1＝4,即P(1，4)．

又P(1,4）也在y＝x3－a上，∴4＝13－a，∴a＝－3；

当x0＝－1时，∵P（x0，y0）在y＝3x＋1上,∴y0＝3×(－1)＋1＝－2， (完整版)高三复习导数专题

4 即P(－1，－2）．又P（－1，－2）也在y＝x3－a上，∴－2＝(－1)3－a，∴a＝1.

综上可知，实数a的值为－3或1。

10．[2014·江苏］ 在平面直角坐标系xOy中,若曲线y＝ax2＋错误!(a，b为常数）过点P（2,－5）,且该曲线在

点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________．－3

[解析] 易知y′＝2ax－错误!。根据题意有错误!解得错误!故a＋b＝－3。

11、已知函数f（x)＝错误!的图象在点M（－1，f (－1) ）处的切线方程为x＋2y＋5＝0，则函数y ＝f(x)=

解：由函数f(x)的图象在点M（－1，f（－1）)处的切线方程为x＋2y＋5＝0,

知－1＋2f(－1） ＋5＝0，即f(－1)＝－2，f′（－1）＝－错误!.

∵f′（x）＝错误!，∴错误!

即错误!＝－错误!. 解得a＝2，b＝3（∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)．

所以所求的函数解析式是f（x）＝错误!。

12、（2010辽宁）已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是

（ )

(A)［0,4) （B）[,)42 (C） 3(,]24 （D） 3[,)4

解析:选D.2441212xxxxxeyeeee,12,10xxeye,

即1tan0，3[,)4

13、设P为曲线C：y＝x2－x＋1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是________．

解析：设P（a，a2－a＋1)，y′|x＝a＝2a－1∈［－1,3］，∴0≤a≤2。而g(a）＝a2－a＋1＝错误!2＋错误!，

当a＝错误!时，g（a）min＝错误!。a＝2时，g(a）max＝3，故P点纵坐标范围是错误!。

【例2】函数的单调性

1、(2014·湖北）函数f(x）＝错误!的单调递增区间为 ；单调递减区间为

解： 函数f(x）的定义域为（0，＋∞)． 因为f（x)＝ln xx，所以f′(x）＝错误!.

当f′(x)>0，即0〈x

故函数f（x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．

2、设函数f（x）＝x(ex－1）12x2则函数f(x)的单调递增区间 为

答案:

递增区间为(,1),(0,)

递减区间为(1,0)

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3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间（1，＋∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 ( B )

A．［3,＋∞) B．[－3，＋∞） C．（－3,＋∞) D．（－∞，－3）

解析:∵f(x）＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，

∴f′(x）＝3x2＋a≥0在（1,＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在（1，＋∞)上恒成立．

又∵在(1，＋∞)上－3x2＜－3，∴a≥－3。

4、(2014课标全国Ⅱ11)若函数f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞）单调递增，则k的取值范围是 （ D )

A．(－∞，－2］ B．（－∞,－1］ C．［2，＋∞) D．[1,＋∞）

解析：由f ′(x）＝k－1x，又f （x）在（1，＋∞）上单调递增，