安徽中考数学压轴题分析

安徽省芜湖市，2020~2021年中考数学压轴题精选解析安徽省芜湖市中考数学压轴题精选~~第1题~~(2020芜湖.中考模拟)（1） 问题发现如图1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB ，OC=OD ，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD 交于点M ．填空：① 的值为；②∠AMB 的度数为．（2） 类比探究如图2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC 交BD 的延长线于点M ．请判断 的值及∠AMB 的度数，并说明理由；（3） 拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ，若OD=1，OB= ，请直接写出当点C 与点M 重合时AC 的长．~~第2题~~(2020无为.中考模拟) 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ， AD 是边BC 上的中线，BE ⊥AC于点E ， 交AD 于点H 过点C 作C F ∥AB 交BE 的延长线于点F ．（1） 求证：△ABH ∽△BFC ；（2） 求证：BH ＝HE •HF ；（3） 若AB ＝2，∠BAC ＝45°，求BH 的长．~~第3题~~(2019芜湖.中考模拟) 如图，点C 为线段AB 上一点，分别以AB 、AC 、CB 为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D 、E 、F （点E 、F 在AB 的同侧，点D 在另一侧）2（1） 如图1，若点C 是AB 的中点，则∠AED ＝；（2） 如图2，若点C 不是AB 的中点①求证：△DEF 为等边三角形；②连接CD ，若∠ADC ＝90°，AB ＝3，请直接写出EF 的长．~~第4题~~(2019南陵.中考模拟) 在△ABC 中，点D 在直线AB 上，在直线BC 上取一点E ，连接AE ，DE ，使得 AE=DE ，DE 交AC于点G ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BC 于点F ，∠EAC=∠DEF ．（1） 当点E 在BC 的延长线上，D 为AB 的中点时，如图1所示．①求证：∠EGC=∠AEC ；②若DF=3，求BE 的长度；（2） 当点E 在BC 上，点D 在AB 的延长线上时，如图2所示，若CE=10，5EG=2DE ，求AG 的长度．~~第5题~~(2017芜湖.中考模拟) 如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y= x 交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．（1） 求这条直线的函数关系式及点B 的坐标．（2） 在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．（3） 过线段AB 上一点P ，作PM ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN+3MP 的长度最大？最大值是多少？安徽省芜湖市中考数学压轴题答案解析~~第1题~~答案：2解析：答案：解析：~~第3题~~答案：解析：答案：解析：~~第5题~~答案：解析：。

2022安徽中考数学压轴题分析3：几何综合题本题选自2022年安徽省中考数学倒数第2题，难度一般，算不上压轴题。

从某个层面上来说也是双减的一种体现。

从近三年中考数学压轴题的难度变化来看，明显比以往一些年份降低很多。

难度降了，但是更注重基础知识与基本技能，所以要更熟练一些。

不需要刻意去追求偏难怪，抓住重点核心内容即可。

【题目】（2022·安徽）已知四边形ABCD中，BC＝CD，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．（1）如图1，若DE∥BC，求证：四边形BCDE是菱形；（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．（ⅰ）求∠CED的大小；（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．【分析】（1）由于CE垂直平分了BD，那么根据垂直平分线的性质可以得到BC=DC，BE=DE，要证明四边形BCDE是菱形，需要使得四条边相等。

题目条件指出DE∥BC，那么可以考虑证明DE与BC相等，证明的方法当然是考虑用全等。

根据平行得到两组内错角相等，还缺一组边。

由于CE会垂直平分BD，那么就可以得到BO=DO，所以结论就出来了。

（2）（i）求∠CED的度数，可以先猜测再证明。

通过观察可以发现∠CED=60°。

关键是考虑如何进行证明。

根据垂直平分线的性质可以得到AE=CE，BE=DE，那么得到△AEC与△BED均为等腰三角形，根据下图的“X字型”可以得到∠ACE=∠BDE，那么就可以得到两个三角形相似，或者直接可以说∠AEC=∠BED，那么∠AED=∠BEC。

再根据前面提到的垂直平分线的性质，可以得到∠BEC=∠DEC，进而得到∠AED=∠DEC=∠BEC=60°，结论就出来了。

（ii）已知AF＝AE要证明BE＝CF，说明了AC与AB会相等，那么就需要证明△ABC为等腰三角形，或者证明一对三角形全等。

通过观察可以发现这里面有一组三角形全等。

也就是△ABF≌△ACE （AAS）。

2024安徽中考数学二轮专题训练选填压轴题的三种特殊考查形式形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1已知a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0，下列结论①若abc ≠0，则a ＋c 2b＝－12；②若a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解；③若abc ≠0，则abc >0；④若c ＝0，且ab ≠0，则1a ＋1b＝0.其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都选上)【思维教练】先观察每个选项所给的已知条件，根据已知条件结合题干所给的等式，将选项中已知的条件进行变形代入到给定的等式中，经过变形即可得到相应的结果．针对训练1.已知实数a ，b ，c ，满足ab ＋bc ＝ac ，有下列结论：①若abc ≠0，则1a ＋1c ＝1b；②若b ＝12a ，则b ＝12c ；③若a ＋b ＝0，则a ＝c ；④若abc 中任两个相等，则这两个数都为0；其中正确的是________(把所有正确结论的序号都选上)．考向2几何类典例精讲例2如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，CE ⊥BD 于点F ，连接AF ，则下列四个结论错误的是()例2题图A .△DEF ∽△BDCB .BF ＝2DFC .DF ＝22EFD .S 四边形BAEF ＝52S △DCF 【思维教练】根据矩形的性质，可证得△DEF ∽△BCF ∽△CDF ，设未知数，用含未知数的式子表示出各边长，从而得到各边关系式求解即可．安徽近年真题精选2.如图，在▱ABCD 中，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)第2题图①∠DCF ＝12∠BCD ；②EF ＝CF ；③S △BEC ＝2S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF .针对训练3.如图，点P 在正方形ABCD 内，△PBC 是正三角形，AC 与PB 相交于点E .下列结论错误的是()第3题图A .∠ACP ＝15°B .△APE 是等腰三角形C .AE 2＝PE ·ABD .若△APC 的面积为S 1，正方形ABCD 的面积为S 2，则S 1∶S 2＝1∶44.已知，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，点P 是AB 上一点，连接CP ，将∠B 沿CP 折叠，使点B 落在B ′处．以下结论错误的是()A .当AB ′⊥AC 时，AB ′的长为2B .当点P 位于AB 中点时，四边形ACPB ′为菱形C .当∠B ′PA ＝30°时，AP PB ＝12D .当CP ⊥AB 时，AP ∶AB ′∶BP ＝1∶2∶3形式二双空题考向1代数类典例精讲例1已知抛物线y ＝－ax 2＋2ax ＋4的开口向下．请完成以下探究：(1)经研究发现：无论a 取何值，此抛物线都会经过两个定点．则横坐标较大的定点的坐标为________；(2)若此抛物线与一次函数y ＝x ＋3(x ≥1)的图象交于点M (m ，n )，点M 的纵坐标n 的取值范围为________．安徽近年真题精选1.设抛物线y ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ，其中a 为实数．(1)若抛物线经过点(－1，m )，则m ＝________；(2)将抛物线y ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a 向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是________．针对训练2.抛物线y ＝ax 2－4x ＋2的顶点坐标为(2，n )．(1)a ＝______；(2)若抛物线y ＝ax 2－4x ＋2向下．．平移m (m >0)个单位后，在－1<x <4范围内与x 轴只有一个交点，则m 的取值范围是________．3.已知：点A(m，n)在二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)的图象上，也在二次函数y＝(x＋k)2－k 的图象上．)时，k有唯一值，则k＝________；(1)若二次函数y＝(x－k)2＋k(k≠0)经过点(0，－14(2)m＋n的最小整数值是________．考向2几何类典例精讲例2如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上一点F处．例2题图(1)BE的长度为________；(2)点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上，当BP＝CP且四边形BGPH为矩形时，PE的长为________．安徽近年真题精选4.在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ 折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：(1)∠PAQ的大小为________°；(2)当四边形APCD是平行四边形时，ABQR的值为______．第4题图针对训练5.如图，线段AB＝12，射线AC⊥AB于点A，射线BD⊥AB于点B，点P为AB的中点，Q为射线AC上一动点，将△APQ沿PQ翻折得到△A1PQ，PA1、QA1的延长线分别交射线AC、BD于点E、F，连接EF.请探究下列问题：第5题图(1)AQ·BF的值为________；(2)当△A1PQ∽△A1FE时，AQ＝________．形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1如果二次函数y＝2x2＋b(b为常数)与正比例函数y＝3x的图象在－1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的取值范围为________．【思维教练】由一次函数与二次函数有一个公共交点，可联立关系式，根据根的判别式分别讨论b＞0、b＜0和b＝0时b的取值范围．针对训练1.在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋3a＋2(a≠0)和抛物线y＝x2－ax的图象相交于P，Q 两点．若P，Q都在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．满分技法二次函数的交点问题：1.解决一次函数与二次函数的交点问题的一般步骤如下：(1)找/确定一次函数、二次函数解析式；(2)联立一次函数与二次函数解析式得到一元二次方程；(3)根据一次函数与二次函数图象的交点个数，利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac，求未知系数的取值范围．反之，亦可利用一元二次方程的根的判别式b2－4ac判断一次函数与二次函数图象的交点个数；①一次函数与二次函数图象只有2个交点⇔b2－4ac＞0；②一次函数与二次函数图象只有1个交点⇔b2－4ac＝0；③一次函数与二次函数图象没有交点⇔b2－4ac＜0.2.若题干中给定自变量的取值范围时，一般要对取值范围的端点进行讨论；3.若函数的交点有特定的特点时，需要根据题意解出函数关系式，采用数形结合的思想，画出函数图象的草图，根据函数图象及函数性质来解题．考向2裁剪方式不确定典例精讲例2沿三角形的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的平行四边形，经测量这个四边形的相邻两边长为10、6，一条对角线的长为8，则原三角形纸片的周长是________．例2题图【思维教练】根据题意画图，补全三角形，注意有两种情况，再根据平行四边形各边平行且相等的性质求得三角形的周长．针对训练2.如图，有一张面积为3的锐角三角形纸片，其中一边BC为2，把它剪两刀拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，且矩形的一边与BC平行，则矩形的周长为________．第2题图考向3图形形状不确定作图微技能等腰三角形腰和底边不确定3.如图，已知▱ABCD点E为边BC上一点．(1)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为底边的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(2)连接AE，DE，找出当△ADE是以AD为腰的等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)；(3)连接AE，找出当△ABE为等腰三角形时的图形(用尺规作图，并保留作图痕迹)．满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为等腰三角形．分情况：对于等腰三角形的腰和底不确定问题，需分①AB＝AP；②AB＝BP；③AP＝BP三种情况进行讨论．作图找点：①情况一：以AB为腰．分别以A，B为圆心，以AB长为半径画圆，与已知直线的交点P1，P2，P4，P5即为所求；②情况二：以AB为底．作线段AB的垂直平分线与已知直线的交点P3即为所求．代数法求解：设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分AB＝AP，AB＝BP，AP＝BP 三种情况，列方程求解．作图微技能直角三角形直角顶点不确定4.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是边BC、AD上的点，且BE＝DF，连接EF，点P是矩形ABCD的边上一点．(1)找出当△PEF是以EF为直角边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)(2)找出当△PEF是以EF为斜边的直角三角形时的图形；(用尺规作图，并保留作图痕迹)满分技法问题：已知点A、B和直线l，在l上求点P，使△PAB为直角三角形．分情况：①以A为直角顶点，即∠BAP＝90°；②以B为直角顶点，即∠ABP＝90°；③以P 为直角顶点，即∠APB＝90°.作图找点：①情况一：过点A作AB的垂线，与已知直线l的交点P1即为所求；②情况二：过点B作AB的垂线，与已知直线l的交点P2即为所求；③情况三：取AB的中点Q为圆心，以QA的长为半径画圆，与已知直线l的交点P3、P4即为所求．代数法求解：①设出P点的坐标，再分别表示出线段AB、BP、AP的长度，分BP2＝AB2＋AP2，AP2＝AB2＋BP2，AB2＝AP2＋BP2三种情况，列方程求解，若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在；②找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过作辅助线构造相似三角形；③特殊地，若有30°、45°或60°角，可考虑用锐角三角函数求解．典例精讲例3在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，若P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形，且MA＝MD时，AP的长为________．针对训练5.如图，一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝a，点D为BC边上的任一点，且CD＝12a，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，若△BDE是直角三角形，则a的值为________．第5题图拓展考向4对应关系不确定典例精讲例4如图，△ABC是边长为6例4题图的等边三角形，点D、E分别在AB、AC上，AD＝2，连接BE交CD于点F，且∠BFD＝60°，点M是射线CA上一点，当以C、D、M为顶点的三角形与△BCF相似时，CM的长为________．满分技法1.三角形全等或相似时，未指明对应边(或对应角)则需要分类讨论；2.图形旋转方向不确定分两类讨论：①图形绕旋转中心顺时针旋转；②图形绕旋转中心逆时针旋转；3.图形平移时，平移方向未确定时则需要分类讨论不同的平移方向．针对训练6.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点P是边AB上一点，将△ABC沿经过点P的直线折叠，使得点A落在边BC上的A′处，若△PBA′恰好和△ABC相似，则此时AP的长为________．第6题图拓展考向5点的位置不确定典例精讲例5在△ABC中，AB＝AC＝52，∠BAC＝90°，点D在BC边上，DE⊥BC，分别交射线BA、射线CA于点E、F，若DE＝2EF，则线段BD的长为________．【思维教练】满足题中条件时有E点在F点上方，E点在F点下方两种情况，分别画图，根据等腰直角三角形的各边关系即可求解．针对训练7.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点E、F分别是边AB、AC上的动点，且EF∥BC，点A关于EF的对称点D恰好落在△ABC的内角平分线上，则AD长为________．第7题图参考答案形式一多结论判断题考向1代数类典例精讲例1①②④【解析】①a ＋c ＝－b ，∴a ＋c 2b ＝－b 2b＝－12，故①正确；②将x ＝1代入ax ＋b ＋c ＝0，得a ＋b ＋c ＝0，故②正确；③abc ≠0，可得a ≠0，b ≠0，c ≠0，a ＋b ＋c ＝0，则a 、b 、c 中至少有1个正数，至少有1个负数．abc 不一定大于0，故③错误；④c ＝0，ab ≠0，则a ＋b ＝0，1a ＋1b ＝a ＋b ab＝0，故④正确．针对训练1.①②④【解析】①∵ab ＋bc ＝ac ，∴b (a ＋c )＝ac ，∴a ＋c ac＝1b ，∴1a ＋1c ＝1b ，故①正确；②∵b ＝12a ，∴a ＝2b ，将a ＝2b 代入ab ＋bc ＝ac 得2b 2＋bc ＝2bc ，∴2b ＋c ＝2c ，∴b ＝12c ，故②正确；③若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，代入ab ＋bc ＝ac 得－b 2＋bc ＝－bc ，∴b 2＝2bc ，∴b ＝2c ，∴a ＝－2c ，故③错误；④若b ＝c ，则ab ＋b 2＝ab ，∴b 2＝0，则b ＝0，∴b ＝c ＝0，同理可得当其他两个数相等时，这两个数也都为0，故④正确．考向二几何类典例精讲例2C 【解析】如解图，过点A 作AM ∥CE 交BD 于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠DCB ＝90°，AD ＝BC ，∵CE ⊥BD 于点F ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∠DCB ＝∠DFE ＝90°，∴△DEF ∽△BDC ，故选项A 正确；∵AD ∥BC ，∴△DEF ∽△BCF ，∴DE BC ＝DF BF，∵DE ＝12AD ＝12BC ，∴DF BF ＝12，∴BF ＝2DF ，故选项B 正确；设EF ＝a ，CF ＝2a ，∵∠CFD ＝∠DFE ＝90°，且∠EDF ＋∠FDC ＝∠FDC ＋∠FCD ＝90°，∴∠EDF ＝∠FCD ，∴△DFC ∽△EFD ，∴DF EF ＝CF DF，则DF 2＝EF ·CF ＝2a 2，得DF ＝2a ，∴DF ＝2EF ，故选项C 错误；∵△DEF ∽△BCF ，点E 是AD 边的中点，∴EF CF ＝DE BC ＝12，∴S △DEF ＝12S △DCF ，S △DCF ＝16S 矩形ABCD ，S 四边形BAEF ＝S △DBA －S △DEF ＝12S 矩形ABCD －112S 矩形ABCD ＝512S 矩形ABCD ，即可得到S 四边形BAEF ＝52S △DCF .故选项D正确．例2题解图安徽近年真题精选2.①②④【解析】序号逐个分析正误①∵F 是AD 的中点，∴DF ＝12AD ，∵AD ＝2AB ，∴AB ＝DF ＝CD ，∴∠DFC ＝∠DCF ，又由AD ∥BC 得∠DFC ＝∠BCF ，∴∠DCF＝∠BCF ，∴∠DCF ＝12∠BCD √②如解图，延长BA 、CF 交于点G .∵∠GFA ＝∠DFC ，∠GAF ＝∠D ，AF ＝DF ，∴△AFG ≌△DFC ，∴GF ＝CF ，∴在Rt △GEC 中，EF＝CF√③由②可知点F 是△GEC 斜边GC 上的中点，∴S △CEG ＝2S △CEF ＝12GE ·CE ，S △BEC ＝12BE ·CE ，又∵GE ＝AG ＋AE ＝CD ＋AE >BE ，∴S △CEG >S △BEC ，即S △BEC <2S △CEF×④由②可知∠G ＝∠GEF ，∴∠EFC ＝2∠GEF ，∵∠G ＝∠DCF ，∠DCF ＝∠DFC ，∴∠GEF ＝∠DFC ，∴∠DFE ＝∠DFC ＋∠EFC ＝3∠AEF √第2题解图针对训练3.D 【解析】∵△PBC 是等边三角形，∴∠PCB ＝60°，PC ＝BC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝AB ，∠ABC ＝90°，∴∠ACB ＝45°，∴∠ACP ＝60°－45°＝15°，∴A 正确；∵∠ABC ＝90°，∠PBC ＝60°，∴∠ABP ＝90°－60°＝30°，∵BC ＝PB ，BC ＝AB ，∴PB ＝AB ，∴∠BPA ＝∠PAB ＝12(180°－30°)＝75°，∵∠ABP ＝30°，∠BAC ＝45°，∴∠AEP ＝45°＋30°＝75°＝∠BPA ，∴AP ＝AE ，∴△APE 为等腰三角形，∴B 正确；∵∠APB ＝∠APB ，∠AEP＝∠PAB ＝75°，∴△PAE ∽△ABP ，∴AP BA ＝PE AP，∴AP 2＝PE ·BA ，∴AE 2＝PE ·AB ，∴C 正确；如解图，连接PD ，过点D 作DG ⊥PC 于点G ，过点P 作PF ⊥AD 于点F ，设正方形的边长为2a ，则S 2＝4a 2，等边△PBC 的边长为2a ，高为3a ，∴PF ＝2a －3a ＝(2－3)a ，∴S △APD ＝12AD ·PF ＝(2－3)a 2，∴∠PCD ＝90°－60°＝30°，∴GD ＝12CD ＝a ，∴S △PCD ＝12PC ·DG ＝a 2，S △ACD ＝2a 2，∴S 1＝S △ACD －S △APD －S △PCD ＝2a 2－(2－3)a 2－a 2＝(3－1)a 2＜a 2，∴S 1∶S 2≠1∶4，∴D 错误．第3题解图4.C 【解析】在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴∠CAB ＝60°，BC ＝3，AB ＝2，如解图，连接AB ′.A .当AB ′⊥AC 时，如解图①，B ′C ＝BC ＝3，AC ＝1，∴AB ′＝3－1＝2，正确；B .当点P 为AB 中点时，如解图②，在Rt △ACB 中，CP ＝AP ＝BP ＝B ′P ，∴∠CB ′P ＝∠B ′CP ＝30°，∵∠CAP ＝60°，∴△ACP 是等边三角形，∴∠APC ＝60°，∴∠APB ′＝60°，又∵B ′P ＝BP ＝AP ，∴△APB ′为等边三角形，∴AC ＝CP ＝PB ′＝B ′A ，∴四边形ACPB ′是菱形，正确；C .当∠B ′PA ＝30°时，如解图③，C 、A 、B ′三点共线，由折叠的性质知B ′C ＝BC ＝3，∴AB ′＝AP ＝3－1，∵AB ＝2，∴PB ＝2－(3－1)＝3－3，∴AP PB ＝3－13－3＝33，错误；D .当CP ⊥AB 时，如解图④，B ′和A 、P 、B 三点在一条直线上，此时AP ＝12，∵B ′C ＝BC ＝3，∴B ′P ＝32，∴AB ′＝1，BP ＝B ′P ＝32，∴AP ∶AB ′∶BP ＝1∶2∶3，正确．图①图②图③图④第4题解图形式二双空题考向1代数类典例精讲例1(1)(2，4)；(2)4＜n ＜5【解析】(1)由y ＝－ax 2＋2ax ＋4知无论a 取何值，此抛物线都会经过定点(0，4)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－2a －2a＝1，∵(0，4)关于对称轴x ＝1的对称点为(2，4)，∴无论a 取何值，此抛物线也会经过定点(2，4)；(2)如解图，点B 在点A 正上方，函数y ＝x ＋3(x ≥1)图象是射线，x ＝1时，y ＝x ＋3＝4；x ＝2时，y ＝x ＋3＝5，∴B (2，5)．∵抛物线经过定点(2，4)．结合函数草图可知，若抛物线与函数y ＝x ＋3(x ≥1)的图象有交点M ，则y A <y M <y B ，∴点M 纵坐标n 的取值范围为4＜n ＜5.例1题解图安徽近年真题精选1.(1)0；(2)2【解析】(1)把点(－1，m )代入该抛物线的解析式中，得1－(a ＋1)＋a ＝m ，解得m ＝0；(2)该抛物线顶点的纵坐标为4a －（a ＋1）24＝－（a －1）24－14(a －1)2＋2，∵－14＜0，∴当a ＝1时，平移后的纵坐标有最大值为2.针对训练2.(1)1；(2)2≤m <7【解析】(1)由题意可知，该抛物线的对称轴为直线x ＝－－42a＝2，解得a ＝1；(2)设平移m 个单位后，函数解析式为y ＝x 2－4x ＋2＋m (此时不分上下，用正负替代)．当顶点在x 轴上时，(－4)2－4×1×(2＋m )＝0，解得m ＝2，即需向上平移2个单位，不符合条件；由于抛物线关于直线x ＝2对称，∴抛物线在0<x <4内对称，若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与x 轴的交点只能在－1<x ≤0，故当x ＝0时，y ＝2＋m ≤0，解得m ≤－2，当x ＝－1时，y ＝7＋m >0，解得m >－7，∴－7<m ≤－2，∵抛物线向下平移，∴m 的取值范围是2≤m <7.3.(1)－12；(2)1【解析】(1)将点(0，－14)代入函数表达式y ＝(x －k )2＋k 中得，k 2＋k ＝－14，移项得，k 2＋k ＋14＝0，化简得，(k ＋12)2＝0，解得k ＝－12；(2)∵点A (m ，n )在二次函数y ＝(x －k )2＋k (k ≠0)的图象上，也在二次函数y ＝(x ＋k )2－k＝（m －k ）2＋k ＝（m ＋k ）2－k，＝12＝k 2＋14，∴m ＋n ＝12＋k 2＋14＝k 2＋34，∴m ＋n 的最小整数值是1.考向2几何类典例精讲例2(1)32；(2)52【解析】(1)由折叠可得：DF ＝DC ＝5，CE ＝EF ，∴在Rt △ADF 中，AF ＝DF 2－AD 2＝3，∴BF ＝5－3＝2，设BE ＝x ，则FE ＝CE ＝4－x ，在Rt △BEF 中，22＋x 2＝(4－x )2，解得x ＝32，即BE ＝32；(2)当BP ＝CP 且四边形BGPH 为矩形时，点P 在BC 的垂直平分线上，即PH 垂直平分BC ，∴BH ＝CH ＝12BC ＝2，又∵BE ＝32，∴EH ＝12，EC ＝52，∵PH ∥DC ，∴PH CD ＝EH EC ，即PH 5＝1252，解得PH ＝1，在Rt △PEH 中，PE ＝PH 2＋EH 2＝12＋（12）2＝52，∴PE 的长为52.安徽近年真题精选4.(1)30；(2)3【解析】(1)如解图，由折叠的性质得∠AQP ＝∠B ，∠C ＋∠D ＝∠PRQ ＋∠ARQ ＝180°，∠DQA ＝∠RQA ，∠CQP ＝∠RQP ，且∠DQA ＋∠RQA ＋∠CQP ＋∠RQP ＝180°，∴AD ∥BC ，∠B ＝∠AQP ＝90°，即∠BAD ＝90°＝∠1＋∠2＋∠3，由折叠性质知∠1＝∠2＝∠3，∴∠PAQ ＝∠2＝30°；(2)当四边形APCD 为平行四边形时，∠C ＝∠DAP ＝∠1＋∠2＝60°，∴△PQR 为等边三角形，QR ＝QP ，∠RPQ ＝60°，tan ∠APQ ＝AQ QP＝3，由折叠的性质得AB ＝AQ ，∴AB QR ＝ 3.第4题解图针对训练5.(1)36；(2)23【解析】(1)由折叠性质可得△A 1PQ ≌△APQ ，∴PA 1＝PA ＝BP ，∠PA 1Q＝∠PAQ ＝90°，∴∠PA 1F ＝90°，在Rt △PBF 和Rt △PA 1F ＝PA 1，＝PF ，∴Rt △PBF ≌Rt △PA 1F (HL)，∴∠BPF ＝∠A 1PF ，又∵∠APQ ＝∠A 1PQ ，∴∠APQ ＋∠BPF ＝12∠APB ＝90°，∵∠APQ ＋∠AQP ＝90°，∴∠BPF ＝∠AQP ，在△PBF 和△QAP B ＝∠A ＝90°，BPF ＝∠AQP ，∴△PBF ∽△QAP ，∴AP BF ＝AQ BP ，∴AQ ·BF ＝AP ·BP ＝12AB ·12AB ＝36；(2)∵△A 1PQ ∽△A 1FE ，∴QA 1EA 1＝PA 1FA 1，∠FEA 1＝∠PQA 1＝∠FPA 1,∴EF ＝PF ，PA 1＝EA 1，∴∠QFP ＝∠QFE ，∴△QFP ≌△QFE ，∴∠PQA 1＝∠FQE ＝∠PQA ＝60°，∴∠BPF ＝60°，∴BF ＝BP ·tan60°＝63，∵AP BF ＝AQ BP ，PA ＝PB ，∴AQ PA ＝PA BF ，∴AQ ＝PA ·PA BF＝2 3.形式三多解题考向1含参解析式中参数的分情况讨论典例精讲例1－5≤b ＜－2或b ＝98【解析】①当b ＞0时，抛物线与y ＝3x 只有一个交点，则联立二次函数与y ＝3x 并整理得：2x 2－3x ＋b ＝0，Δ＝9－8b ＝0，解得：b ＝98；②当b ＝0时，则抛物线与正比例函数交点为(0，0)和(32，92)，即两个交点，不符合题意；③当b ＜0时，当x ＝－1时，y ＝3x ＝－3，当x ＝2时，y ＝3x ＝6，临界点为(－1，－3)，将(－1，－3)代入y ＝2x 2＋b 得－3＝2＋b ，解得b ＝－5，此时抛物线不过(2，6)点，将(2，6)代入y ＝2x 2＋b 得b ＝－2，此时二次函数在x ＝－1处的纵坐标为0，在(－1，－3)的上方，故此时二次函数与正比例函数在－1≤x ≤2范围内有两个交点，则b ≠－2，故－5≤b <－2，综上所述－5≤b＜－2或b ＝98.针对训练1.a ＞0或－23＜a ＜0【解析】函数y ＝x 2－ax 的图象是抛物线，抛物线开口向上，与x 轴的交点为(0，0)和(a ，0)，①当a ＞0时，若P ，Q 都在x 轴的上方，如解图①，此时当x ＝a 时，y ＝－x ＋3a ＋2＝－a ＋3a ＋2＝2a ＋2＞0，解得a ＞－1，故a ＞0；②当a ＜0时，若P ，Q 都在x 轴的上方，如解图②，此时当x ＝0时，y ＝－x ＋3a ＋2＝3a ＋2＞0，解得a ＞－23，故－23＜a ＜0，综上所述，实数a 的取值范围是a ＞0或－23＜a ＜0.第1题解图考向2裁剪方式不确定典例精讲例248或(32＋813)【解析】如解图①，周长为2×(10＋8＋6)＝48；如解图②，∵BD ＝6，BC ＝8，CD ＝10，∴BD 2＋BC 2＝CD 2，∴△BCD 是直角三角形，∴AC ＝12，AB ＝AC 2＋BC 2＝413，∴周长为2×(10＋413＋6)＝(32＋813)；综上所述，原三角形的周长是48或(32＋813)．图①图②例2题解图针对训练2.8或7【解析】如解图①，作AD⊥BC于点D且AC，AB交EF于点G，H，作线段CD，BD的垂直平分线，过点A作EH∥BC与CD，BD的垂直平分线交于点E，H，可得矩形EFGH.∵12·BC·AD＝3，BC＝2，∴AD＝3，∴EF＝GH＝AD＝3，EH＝FG＝1，∴矩形的周长＝2×(3＋1)＝8.如解图②，作AD⊥BC于点D，且AC、AB交EF于点G、F，作线段AD的垂直平分线，分别过点C、B作CE∥AD，BF∥AD，与AD的垂直平分线交于点E，F，可得矩形EFBC，易知OD＝EC＝BF＝12AD＝32，EF＝BC＝2，∴矩形EFBC的周长＝2×(32＋2)＝7，故周长为8或7.图①图②第2题解图考向3图形形状不确定作图微技能3.(1)如解图①，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图①(2)如解图②，等腰三角形ADE即为所求；第3题解图②(3)如解图③，等腰三角形ABE即为所求．第3题解图③4.(1)如解图①，Rt△PEF即为所求；第4题解图①(2)如解图②，Rt△PEF即为所求；第4题解图②典例精讲例352或10【解析】当点P在线段AD上时，如解图①，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，延长HM交BC于点F.∵MA＝MD，MH⊥AD，∴AH＝HD＝12AD＝4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，∴四边形ABFH是矩形，∴BF＝AH＝4，FH＝AB＝5，∠BFM＝90°，∵点A关于BP的对称点为M，∴BM＝BA＝5，∴FM＝BM2－BF2＝52－42＝3，∴HM＝HF－FM＝5－3＝2，∵∠ABP＋∠APB＝90°，∠MAH＋∠APB＝90°，∴∠ABP＝∠MAH，∵∠BAP＝∠AHM＝90°，∴△ABP∽△HAM，∴APHM＝ABHA，∴AP2＝54，∴AP＝52；当点P在线段AD的延长线上时，如解图②，连接BM，过点M作MH⊥AD于点H，交BC于点F.同理可得BM＝5，BF＝4，∴FM＝3，MH＝3＋5＝8，∵△ABP∽△HAM，∴APHM＝ABHA，∴AP8＝54，∴AP＝10，综上所述，AP的长为52或10.例3题解图针对训练5.6或52【解析】如解图①，∠DEB＝90°，由折叠的性质得∠AED＝90°＝∠C，ED＝CD＝12a，AE＝AC＝a，∴BE＝10－a，∴sin B＝12aBD＝a10，解得BD＝5，在Rt△BDE中，(12a)2＋(10－a)2＝52，解得a1＝6，a2＝10(舍去)；如解图②，∠BDE＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，ED＝CD＝12a，∴四边形CDEF是正方形，∴DE∥AC，∵CF＝CD＝12AC，∴点D是BC的中点，BC＝2CD＝a，∴△ABC是等腰直角三角形，∴a＝22AB＝52，综上所述，a的长为6或52.第5题解图典例精讲例44或7【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ＝6，∠BCA ＝60°＝∠BFD ，∴∠BCD ＋∠DCA ＝∠BCD ＋∠CBE ，∴∠CBE ＝∠DCA ，如解图，当点M 在AC 上时，作∠CDM ＝∠BCD ，∴△BCF ∽△CDM ，∵∠CDM ＝∠BCD ，∴∠DMA ＝∠DCA ＋∠CDM ＝∠BCD ＋∠DCA ＝∠BCA ＝60°，∴∠DMA ＝∠DAM ＝60°，∴△DMA 是等边三角形，∴DA ＝DM ＝AM ＝2，∴CM ＝4；当点M ′在CA 的延长线上时，如解图，作∠ADM ′＝∠CBE ，∵∠BAC ＝∠ADM ′＋∠M ′＝60°，∠BFD ＝∠BCD ＋∠CBE ＝60°，∴∠M ′＝∠BCD ，∴△BCF ∽△CM ′D ，∵∠ADM ′＝∠ACD ，∠CDM ＝∠M ′，∴△CDM ∽△DM ′A ，∴CM AD ＝DM AM ′，∴42＝2AM ′，∴AM ′＝1，∴CM ′＝7.综上所述，CM 的长为4或7.例4题解图针对训练6.43或23－2【解析】如解图①，当∠PA ′B ＝∠C ＝90°时，设PA ＝PA ′＝x .在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝2，∠B ＝30°，∴AB ＝2AC ＝4，BC ＝3AC ＝23，∵∠B ＝∠B ，∠BA ′P ＝∠C ＝90°，∴△BPA ′∽△BAC ，∴PB BA ＝PA ′AC ，∴4－x 4＝x 2，∴x ＝43；如解图②，当∠BPA ′＝90°时，△BPA ′∽△BCA ，∴BP BC ＝PA ′CA ，∴4－x 23＝x 2，∴x ＝23－2.第6题解图典例精讲例54或203【解析】如解图①，∵AB ＝AC ＝52，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠BDE ＝∠BAF ＝90°，∴∠BED ＝∠AEF ＝∠F ＝45°，∴BD ＝DE ，AE ＝AF ，设BD ＝DE ＝2x ，则BE ＝22x ，∵DE ＝2EF ，∴EF ＝x ，∴AE ＝22EF ＝22x ，∵AB ＝AE ＋BE ，∴22x ＋22x ＝52，∴x ＝2，∴BD ＝4；如解图②，∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝52，∠BAC ＝90°，∴BC ＝10，∠C ＝45°，∵DE ⊥BC ，∴∠CDF ＝90°，∴∠CFD ＝∠AFE ＝∠E ＝45°，∴CD ＝DF ，AE ＝AF ，设CD ＝x ，则CF ＝2x ，∵DE ＝2EF ，∴EF ＝DF ＝x ，∴AF ＝22EF ＝22x ，∵AC ＝AF ＋CF ，∴2x ＋22x ＝52，∴x ＝103，∴CD ＝103，∴BD ＝203，综上所述，线段BD 的长为4或203.例5题解图针对训练7.3或83【解析】如解图①，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵EF ∥BC ，∴AH ⊥EF ，∵点D 与点A 关于EF 对称，∴点D 在AH 上，在Rt △ABC 中，BC ＝62＋82＝10，∵12AH ·BC ＝12AB ·AC ，∴AH ＝6×810＝245，∴BH ＝62－（245）2＝185，当点D 为∠CBA 的平分线BM 与AH 的交点时，如解图①，过点M 作MN ⊥BC 于N ，∴MA ＝MN ，∴BN ＝BA ＝6，∴CN ＝4，设MA ＝MN ＝x ，则CM ＝8－x ，在Rt △CMN 中，x 2＋42＝(8－x )2，解得x ＝3，∵DH∥MN ，∴DH MN ＝BH BN ，即DH 3＝1856，解得HD ＝95，∴AD ＝245－95＝3；如解图②，当点D 为∠BCA 的平分线CG 与AH 的交点时，CH ＝BC －BH ＝325，过点G 作GQ ⊥BC 于Q ，则GQ ＝GA ，∴CQ ＝CA ＝8，∴BQ ＝2，设GQ ＝GA ＝t ，则BG ＝6－t ，在Rt △BGQ 中，22＋t 2＝(6－t )2，解得t ＝83，∵DH ∥GQ ，∴DH GQ ＝CH CQ ，即DH 83＝3258，解得DH ＝3215，∴AD ＝245－3215＝83，综上所述，AD 的长为3或83.第7题解图。

安徽中考数学压轴题解题技巧说起安徽中考数学压轴题的技巧，我有一些心得想分享。

我辅导过一些中考生学习数学，那时候才真正感受到中考数学压轴题就像一座难以攻克的碉堡。

起初，很多同学看到压轴题就直接投降，其实只要掌握了一定技巧，并不是完全不能得分。

就拿函数类型的压轴题来说吧，它好像一个神秘迷宫。

首先，你得像个侦探一样把题目里给出的所有线索，也就是已知条件找出来。

比如说给定函数的表达式、坐标点这些，可别小瞧这一步，就和你找东西先得知道东西长啥样似的重要。

然后呢，我一般会建议学生把这些已知条件往图形里标，这就像是给地图做标记。

比如一次函数和二次函数交了个点，咱就把这个点的坐标标在图上。

真有学生忽略这个步骤，结果做题的时候就像迷失在迷宫里的小鹿，到处乱撞还找不到出口。

对了，还有个事儿要说。

方程思想是解压轴题的一把“利剑”。

很多时候我们需要根据题目中的等量关系列方程。

这就好比是在称东西，左右两边要一样重。

比如说在涉及三角形面积、线段长度关系的时候，利用已知的面积公式或者线段关系列出方程求解。

当然，我也遇到过一些失败的情况。

有一次，一个学生盲目地套技巧，题目要求用一种方法求解，他硬是用另一种不适用的技巧，结果全军覆没。

这就告诉我们，不能死记技巧，还得看清题目背后的逻辑。

而且要知道这些技巧也不是万能药。

有些压轴题出题非常灵活，可能会有陷阱或者超纲的小拓展。

如果遇到这种情况，咱们不要死磕，先把能做的部分做出来，就像吃个苹果，能吃一口是一口。

对于那些很难的部分，有时候用直觉或者排除法说不定还能得到一点分呢。

你来想想看，如果压轴题是一场战斗，那解题技巧就是我们的武器装备，你觉得你还需要在哪些方面加强这个装备库呢？希望大家也能分享一下在做安徽中考数学压轴题时的经验或者困惑呀。

像在一些几何图形结合函数的压轴题当中，图形的运动轨迹是个难点，就如同追踪一只调皮的小松鼠。

咱们要把每个时间点或者运动阶段的图形特征分析出来。

这就需要不断地划分阶段，就好比把这只松鼠走过的路分成好几段去观察。

选择题在直角坐标系中，点A(3,4)关于x轴对称的点的坐标是：A. (-3, -4)B. (3, -4)（正确答案）C. (-3, 4)D. (4, 3)已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(0,3)，且对称轴为直线x = 1，则a的值为：A. 1B. -1C. 3（正确答案）D. -3下列四边形中，不一定是平行四边形的是：A. 两组对边分别平行的四边形B. 两组对角分别相等的四边形C. 一组对边平行且相等的四边形D. 对角线互相平分的四边形但不等长（正确答案）若圆O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与圆O的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交（正确答案）D. 无法确定已知三角形ABC的三边长为a, b, c，且满足a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca，则三角形ABC是：A. 直角三角形（正确答案）B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 锐角三角形函数y = (x - 1)/(x2 - 1)的自变量x的取值范围是：A. x ≠ 1B. x ≠ -1C. x ≠ ±1（正确答案）D. x为任意实数在平行四边形ABCD中，AB = 5，AD = 8，∠BAD的平分线交BC于点E，则DE的长为：A. 3B. 5（正确答案）C. 6D. 8已知关于x的一元二次方程x2 - (2k + 1)x + 4(k - 1/2) = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. 1B. 2C. 3（正确答案）D. 4下列说法中，正确的是：A. 无限小数都是无理数B. 有理数都是有限小数C. 无理数都是无限不循环小数（正确答案）D. 数轴上的点都能表示无理数。

2022安徽中考数学压轴题分析1：动点轨迹与最值问题
【题目】
（2022·安徽）已知点是边长为的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为．若，则线段长的最小值是（）
A．
B．
C．3
D．
【分析】
当确定时，中心也是确定的。

点在外，要求线段长的最小值，那么就需要确定动点的轨迹。

如图，点在的左侧，因为，则。

根据三角形的面积公式，可以得到点到的距离为的高的一半。

如图，过点作，垂足为。

因为等边的边长为，所以高为，那么可以得到。

此时可以得到点的轨迹为与平行且相等的线段，过点作该线段的垂线，得到点到该线段的距离，即为此时长的最小值为。

那么只能在该线段上面运动吗？当然不是，往两边分别延长的各边，可以把外的平面分为个区域，所以还需要进行分类讨论，最终确定的最小值。

如图，点的运动路径为六边形，当点在区域①、②和③时，最小
值为。

综上所述，可以得到的最小值为，故答案选择B。

【答案】B
【总结】
本题的关键在于确定点P的轨迹，由于点P到定直线的距离为定值，可以判断其运动路径为线段，轨迹为直线型。

更多动点轨迹问题请看《中考数学压轴题全解析·解答题》12.3第318页。

2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选温馨提示：1.本卷共40题，题目均选自2023年安徽省各地市三模真题。

2.本卷共分为四部分，解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。

3.本卷难度较大，适合基础较好的同学。

第一部分 反比例函数1.(2023·安徽省芜湖市·三模)如图直线y =12x +1与x 轴交于点A ，与双曲线y =k x(x >0)交于点P ，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，则k 的值为( )A. −4B. 2C. 4D. 32.(2023·安徽省滁州市·三模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0,4)，B(3,4)，将△ABO 向右平移到△CDE 位置，A 的对应点是C ，O 的对应点是E ，函数y =kx(k ≠0)的图象经过点C 和DE 的中点F ，则k 的值是 ．3.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =mx (x >0,m 为常数)的图象与一次函数y =kx +b 的图象交于点A(2,a)和点B ，过点A 、B 分别作x 、y 轴的垂线，交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，AC 与BD 交于点E ，若点E 恰为AC 中点，三角形ADC 的面积为4，则k 的值为______．4.(2023·安徽省池州市·三模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是y轴正半轴上一点，过点A作直线AB交(k≠0)的图象于点B，E，过点A作AC//x轴，交反比例函数的图象于点C，连接BC，CE.若反比例函数y=kxAB=BC=5，AC=6，求：(1)反比例函数的解析式；(2)△ACE的面积．第二部分二次函数5.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)已知，二次函数y=ax2+(2a−1)x+1的对称轴为y轴，将此函数向下平移3个单位，若点M为二次函数图象在(−1≤x≤1)部分上任意一点，O为坐标原点，连接OM，则OM长度的最小值是( )A. 3B. 2C. 132D. 1726.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大值为a+b+c，若a−b+c=1，则下列结论错误的是( )A. a<0，b>0B. b2−4ac>0C. b2−4ac>−4aD. b2−4aca2<167.(2023·安徽省亳州市·三模)如图，已知抛物线y=x2−2x与直线y=−x+2交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标x M的取值范围是( )A. −2≤x M≤2B. −2≤x M≤2且x M≤−1C. −1≤x M<2D. −1≤x M<2或x M=38.(2023·安徽省合肥市·三模)在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(2,2)，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，过点P(n,4)(n>1)作x轴的垂线PQ，与反比例函数的图象交于点Q.若PQ⩾AB，则点P横坐标n的取值范围是______．9.(2023·安徽省宿州市·三模)已知点(0,1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，且该抛物线的对称轴为直线x=1．(1)求b和c的值；(2)当−12≤x≤72时，求函数值y的取值范围，并说明理由；(3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=x2+bx+c交于点A，B，与抛物线y=4(x+3)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．10.(2023·安徽省合肥市·三模)已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于C，D两点，其中点C的坐标为(−1,0)，对称轴为x=1.点A，B为坐标平面内两点，其坐标为A(12,−5)，B(4,−5)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)连接AB，若抛物线y=x2+bx+c向下平移k(k>0)个单位时，与线段AB只有一个公共点，求k的取值范围．11.(2023·安徽省合肥市·三模)直线y1=x+b经过点A(1,0)，抛物线y2=x2−2ax+4a−6经过点B(2,m)，其中a和b为实数.设抛物线y2=x²−2ax+4a−6的顶点为M，过M作y轴的平行线交直线y1=x+b于点N．(1)求b和m的值；(2)当抛物线顶点M的纵坐标取得最大值时，求线段MN的值；(3)求线段MN的最小值．12.(2023·安徽省亳州市·三模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧)，与y轴相交于点C．(1)若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,−1)，求∠ACB的大小；(3)若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．13.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图是某家具厂的抛物线型木板余料，其最大高度为9dm，最大宽度为12dm，现计划将此余料进行切割．(1)如图1，根据已经建立的平面直角坐标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数表达式；(2)如图2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周长；(3)若切割成宽为2dm的矩形木板若干块，然后拼接成一个宽为2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的长边最长？请在备用图上画出切割方案，并求出拼接后的矩形的长边长.(结果保留根号)14.(2023·安徽省合肥市·三模)为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售.根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：销售x(吨)34567获利y(万元)0.9 1.1 1.3 1.5 1.7(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1(万元)、y2(万元)与购进水果数量x(吨)的函数关系式；(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足n=20−12 m2，请帮忙商场设计可获得的最大利润的进货方案．15.(2023·安徽省合肥市庐阳中学·三模)纸飞机是同学们很喜欢的娱乐项目.纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段，其中纸飞机上抛和下降的飞行路径可看作是一段抛物线，滑行的飞行路径是一条线段，滑行距离受纸飞机滑行比的影响(若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为n米，则滑行比为1：n).如图所示，若小明玩纸飞机，其起抛点的高度为1.9m，当纸飞机的最大高度达到2.8m时，它的水平飞行距离为3m．(1)求这条抛物线的解析式；(2)小明的前方有一堵2.5m高的墙壁，小明至少距离墙壁多远，纸飞机才会顺利飞过墙壁？(不考虑墙壁的厚度)(3)小明根据多次实验得到其折叠的纸飞机的滑行比为1：2.5(受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过1.4m)，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使水平飞行距离至少为10米？第三部分圆16.(2023·安徽省滁州市·三模)如图是以O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上.将该纸片沿直线CO 对折，点B落在⊙O上的点D处(不与点A重合)，连接CB，CD，AD.设CD与直径AB交于点E，若AD=ED，则∠B的度数为( )A. 24°B. 30°C. 36°D. 44°17.(2023·安徽省·三模)如图，CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD于点H，若cos∠CDB=4，BD=5，则AB5长为______．18.(2023·安徽省芜湖市·三模)如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦.过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG．(1)证明：CG是⊙O的切线；(2)连接CD，当∠DCA=2∠F，CE=3时，求CF的长．19.(2023·安徽省合肥市·三模)已知⊙O与矩形ABCD的三边相切，CD边的切点为H，与AD交于E，F两点，EG为⊙O的直径，连接EH．(1)求证：∠DEH=∠HEG；(2)若∠DEG=∠DHE，求AB的值．BC20.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图，⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，过点A的切线交CD的延长线于点F，连接AD．(1)求证：∠EAD=∠ACE；(2)若AC=45，ED=2，求DF的长．21.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，直径DG交边AB于点E，AB、DC的延长线相交于点F.连接AC，若∠ACD=∠BAD．(1)求证：DG⊥AB；(2)若AB=6，tan∠FCB=3，求⊙O半径．第四部分 相似三角形和四边形22.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AB =4，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值是( )A. 6B. 8C. 10D. 1223.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)已知：菱形ABCD 中，AB = 3，AC =2，AC 与BD 交于点O ，点E 为OB 上一点，以AE 为对称轴，折叠△ABE ，使点B 的对应点F 恰好落在边CD 上，则BE 的长为( )A. 3 24B. 22C. 32 D.3 3424.(2023·安徽省合肥市庐阳中学·三模)已知正方形EFGH 的边EF 在△ABC 的边BC 上，点G 、H 分别在AB 和AC 上，BC =6，S 正方形EFGH =4，则AB +AC 的最小值为( )A. 6 2B. 37C. 3 5D. 1025.(2023·安徽省宿州市·三模)如图，在矩形ABCD 和矩形CEFG 中，CD BC =CE CG =34，且CD =CG ，连接DE 交BC于点M ，连接BG 交CE 于点N ，交DE 于点O ，则下列结论不正确的是( )A. BG ⊥DEB. 当CN =EN 时，CN 2=ON ⋅NGC. 当∠BDE =∠BCE 时，△BMD ∽△BNCD. 当∠BCE =60°时，S △BCE S △BCG =3 3426.(2023·安徽省池州市·三模)如图，△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是边AC上一点，沿过点P的一条直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．(1)判断：△ABC为______(填“锐”“直”或“钝”)角三角形；(2)如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是______．27.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=3，BC=8，D是边BC的中点，点5E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点F处.请完成下列问题：(1)AB=______；(2)当FD⊥AB时，AE的长为______．28.(2023·安徽省合肥市四十二中·三模)如图，△CAB，△CDE均为等腰直角三角形，AC=BC=25，DC=EC，点A，E，D在同一直线，AD与BC相交于点F，G为AB的中点，连接BD，EG.完成以下问题：(1)∠BDA的度数为______；(2)若F为BC的中点，则EG的长为______．29.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)如图，△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点D是边AC上一点，CD=2AD，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE．(1)∠AEC=______°；(2)若BC=35，则AE=______．30.(2023·安徽省宿州市·三模)如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N分别在AB，CD上.将该正方形沿MN 折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕MN与DE相交于点Q．(1)若E是BC的中点，则DN的长为______；(2)若G为EF的中点，随着折痕MN位置的变化，GQ+QE的最小值为______．31.(2023·安徽省合肥市三十八中·三模)如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，E，F，G三点也同在另一条直线上，△ABE，△BCF，△CDG均为等边三角形.请完成下列问题：(1)在BE上取一点P，使得BP=BF，连接AP并延长交EF于Q，则∠AQE=______°.(2)若AB=11，BC=8，则CD的长为______．AB，点M为BC边上一动点，将线32.(2023·安徽省亳州市·三模)如图，Rt△ABC中，AB=AC=8，BO=14段OM绕点O按逆时针方向旋转90°至ON，连接AN、CN，(1)当N点在AB上时AN=______；(2)△CAN周长的最小值为______．33.(2023·安徽省合肥市包河区·三模)如图，共顶点正方形ABCD和AEFG中，AB=13，AE=52，将正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转角度α(0°<α<90°)，即∠BAE=α，GF交AD边于H．=______．(1)当α=30°时，HFGH(2)连接BE、CE、CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长为______．34.(2023·安徽省合肥市庐阳中学·三模)如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，以BC为直角边作等腰Rt△BCD，且∠BCD=90°．(1)若AB=1，则BD=______；=______．(2)连接AD，交BC于点E，则AEED35.(2023·安徽省·三模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点．(1)连接BG，则∠AGB=______°；(2)若∠EHF=∠DGE，CF=27，则AB=______．36.(2023·安徽省芜湖市·三模)如图1，正方形ABCD与正方形CEGF有公共顶点C，连接AC、AG、BE，其中0°<∠BCE<45°．(1)试判断线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；(2)若B、E、F三点共线，如图2，连接CG并延长交AD于点H.若AG=6，GH=22，求BC的长．37.(2023·安徽省宿州市·三模)如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，CE平分∠BCD交AD于点E，F为CE上一点，G为AD延长线上一点，连接DF，FG，DF的延长线交AC于点H，FG交CD于点M，且∠ACB=∠CDH=∠AGF．(1)求证：DH⊥AC；(2)若AC=2，求FD+FG的值；(3)若BC=2AB=2，求S△CFM．38.(2023·安徽省合肥市四十二中·三模)已知：菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，AC=6，BD=8，点E 是线段AO上一个动点，连接ED，把线段ED以点E为旋转中心逆时针旋转，点D的对应点F落在BA的延长线上．(1)如图1，当AF=AO时，①求证：△BEF≌△BED；②求tan∠F的值；(2)如图2，当AF=AE时，求AE的长．39.(2023·安徽省合肥市蜀山区·三模)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，对角线BD平分∠ABC，BD=BC，E为BD上一点，且BA=BE，连接AC交BD于点F，G为BC上一点，满足BF=BG，连接EG交AC 于点H，连接BH．(1)①求证：∠EHF=60°；②若H为EG中点，求证：AF2=2EF⋅EB；(2)若AC平分∠DAB，请直接写出∠ECA与∠ACB的关系：______．40.(2023·安徽省池州市·三模)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB=AC=5，BC=6，E，F是AD 边上两点，点F在点E的右侧，AE=DF，连接CE并延长，CE的延长线与BA的延长线交于点G．(1)如图1，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE交于点N，AE=3．2①若M为BC中点，求证：EN=NC；②求AG的长；(2)如图2，连接GF，H是GF上一点，连接EH.若∠HED=∠CED，且HF=2GH，求EF的长．参考答案1.【答案】C【解析】解：∵PC =2，∴P 点的纵坐标为2，把y =2代入y =12x +1得x =2，所以P 点坐标为(2,2)，把P(2,2)代入y =k x (x >0)得2=k 2，解得k =4．故k 的值为4．故选：C ．先把P 点的纵坐标代入一次函数y =12x +1中可确定P 点坐标，然后把P 点坐标代入双曲线y =k x (x >0)中可计算出k 的值．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．2.【答案】6【解析】解：过点F 作FG ⊥x 轴，FH ⊥y 轴；过点D 作DQ ⊥x 轴．根据题意可知，AC =OE =BD ，设AC =OE =BD =a ，∴四边形ACEO 的面积为4a ，∴k =4a ，∵F 为DE 的中点，FG ⊥x 轴，DQ ⊥x 轴，∴FG 为△EDQ 的中位线，∴FG =12DQ =2，EG =12EQ =32，∴四边形HFGO 的面积为2(a +32)，∴k =4a =2(a +32)，解得：a =32，∴k =6．故答案为：6．【分析】本题主要考查了反比例函数中k 的几何意义，正确作出辅助线构造出矩形是解决本题的关键．根据反比例函数k 的几何意义构造出矩形，利用方程思想解答即可．3.【答案】8【解析】解：∵点A(2,a)，∴OC =2=DE ，AC =a ，∵三角形ADC 的面积为4，即12AC·DE =4，∴a =4，∴点A(2,4)，∵点A(2,4)在反比例函数y =k x的图象上，∴k =2×4=8，故答案为：8．根据三角形面积公式可求出a 的值，进而确定点A 的坐标，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 的值．本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．4.【答案】解：(1)作BD ⊥AC 于D ，设A(0,n)，则C(6,n)，∵AB =BC =5，AC =6，∴AD =CD =3，∴BD = BC 2−CD 2=4，∴B(3,n +4)，∵反比例函数y =k x (k ≠0)的图象过点B ，C ，∴k =6n =3(n +4)，解得n =4，∴k =6×4=24，∴反比例函数的表达式为y =24x ；(2)设直线AB 的解析式为y =ax +b ，代入A(0,4)，B(3,8)得{b =43a +b =8，解得{a =43b =4，∴直线AB 为y =43x +4，由{y =43x +4y =24x ，解得{x =3y =8或{x =−6y =−4，∴E(−6,−4)，∴S △AEC =12×6×8=24．【解析】(1)设A(0,n)，则C(6,n)，根据等腰三角形的性质得出AD =CD =3，利用勾股定理求得BD =4，即可得到B(3,n +4)，代入y =k x (k ≠0)得到k =6n =3(n +4)，解得n =4，即可求得k =24；(2)利用待定系数法求得直线AB 的解析式，然后与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组求得E 的坐标，根据面积公式求得即可．本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k 的几何意义，反比例函数与一次函数的交点，等腰三角形的性质，体现了方程思想，综合性较强．5.【答案】C【解析】解：∵二次函数y =ax 2+(2a−1)x +1的对称轴为y 轴，∴−2a−12a =0，∴a =12，∴二次函数为y =12x 2+1，将此函数向下平移3个单位，得到y =12x 2−2，∴抛物线开口向上，有最小值−2，∴在−1≤x ≤1范围内的最大值为−32，最高点为(−1,−32)或(1,−32)，∴OM 的最小值= 12+(−32)2= 132．故选：C ．由二次函数y =ax 2+(2a−1)x +1的对称轴为y 轴，利用对称轴公式求得a =12，则二次函数为y =12x 2+1，将此函数向下平移3个单位，得到y =12x 2−2，即可求得在−1≤x ≤1范围内的最高点为(−1,−32)或(1,−32)，利用勾股定理即可求得OM 值的最小值．本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，求得在−1≤x ≤1范围内的最高点为(−1,−32)或(1,−32)是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A.y =ax 2+bx +c(a ≠0)，x =1时，y =a +b +c 为最大值，即x =1为对称轴，且开口向下．∴a <0，b =−2a >0，∴A 正确；B .b 2−4ac ，即判别式Δ，∵a−b +c =1，即x =−1时，y =a−b +c =1．∴最大值a +b +c >1，即开口向下，最大随在轴上则抛物线与抽必有两个交点．Δ=b 2−4ac >0，∴B 正确；C .顶点坐标(b 2a ,4ac−b 24a )，∴4ac−b 24a =a +b +c >1)，又∵a <0，∴4ac−b 2<4a ，∴C 正确；D .b 2−4ac a 2=b 2a 2−4⋅c a =(b a )2−4⋅c a =(−b a )2−4c a =(x 1+x 2)2−4x 1x 2=(x 1−x 2)2，∵x =−1时，y =1，对称轴x =1，则x =1×2−(−1)=3时，y =1，此时(−1,1)和(−3,1)距离为4，则抛物线与x 轴两，交点的距离大于4，∴(x 1−x 2)2>42=16，∴D 错．故选：D ．根据二次函数图象与系数的关系解答即．本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是二次函数与一次函数的综合运用、坐标与图形变化−平移，分类求解确定MN 的位置是解题的关键．分类求解确定MN 的位置，进而求解．【解答】解：解{y =x 2−2x y =−x +2得{x =−1y =3或{x =2y =0，∴点A 的坐标为(−1,3)，点B 的坐标为(2,0)，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，∵M ，N 的距离为4，而A 、B 的水平距离是3，故此时只有一个交点，即−1≤x M <2；当点M 在点A 的左侧时，线段MN 与抛物线没有公共点；当点M 在点B 的右侧时，当x M =3时，抛物线和MN 交于抛物线的顶点(1,−1)，即x M =3时，线段MN 与抛物线只有一个公共点，综上，−1≤x M <2或x M =3．故选：D ．8.【答案】n⩾43【解析】解：∵A(1,2)，B(2,2)，∴AB =2−1=1，∵反比例函数y =k x (x >0)的图象经过点B ，∴k =2×2=4，∴y =4x ，∵过点P(n,4)(n >1)作x 轴的垂线PQ ，∴Q(n,4n )，∴PQ =|4−4n |，∵PQ⩾AB ，∴|4−4n |⩾1，∴n⩾43或n⩽45，又n >1，∴n⩾43．故答案为：n⩾43．利用待定系数法求得反比例函数的解析式，求得AB 的长度，再表示出点P ，Q 的坐标，进而利用PQ⩾AB ，建立不等式，解不等式，即可得出结论．此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．9.【答案】解：(1)将(0,1)代入二次函数y =x 2+bx +c 得：c =1，∵该抛物线的对称轴为直线x =1，∴x =−b 2a =−b 2×1=1，∴b =−2；(2)由(1)得抛物线的解析式为y =x 2−2x +1，∵−12≤x ≤72，对称轴为直线x =1，抛物线开口向上，∴当x =1时，函数有最小值，最小值为y =1−2×1+1=0，∵1−(−12)=32，72−1=52，52>32，且离对称轴越远，y 值越大，∴当x =72时，y 值最大，最大值为y =(72)2−2×72+1=254，∴当−12≤x ≤72时，y 的取值范围为：0≤y ≤254；(3)联立{y =m y =x 2−2x +1得，(x−1)2=m ，解得x 1=1+ m ，x 2=1− m ，∴AB =2 m ，联立{y =m y =4(x +3)2得，4(x +3)2=m ，解得x 1=−3+ m 2，x 2=−3− m 2，∴CD = m ，∴AB ：CD =2：1．【解析】(1)将(0,1)代入二次函数y =x 2+bx +c 可求c ，根据对称轴可求b ；(2)由−12≤x ≤72，对称轴为直线x =1，抛物线开口向上，可知当x =1时，函数有最小值，根据离对称轴越远，y 值越大，可得当x =72时，y 值最大，分别代入即可；(3)联立{y =m y =x 2−2x +1可得AB ，联立{y =m y =4(x +3)2可得CD ，求比即可．本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．10.【答案】解：(1)∵抛物线对称轴为直线x =1=−b 2，∴b =−2，∴y =x 2−2x +c ，将点C 的坐标代入，解得c =−3，∴y =x 2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线的顶点为(1,−4)．(2)抛物线平移后的解析式为y =(x−1)2−4，∴平移后的顶点坐标为(1,−4−k)，①当抛物线顶点落在AB 上时，−4−k =−5，解得k =1，②当抛物线经过A 时，−5=(12)2−4−k ，解得k =54，当抛物线经过点B ，−5=32−4−k ，解得k =10，∴54<k ≤10时，满足题意．综上所述，k =1或54<k ≤10．【解析】(1)由抛物线对称轴可得b 的值，代入即可得解析式，再对称轴代入解析式即可得顶点坐标．(2)抛物线向下平移过程中抛物线顶点落在直线AB 上满足题意，分别求出抛物线经过点A 、点B 时k 的值，可得抛物线顶点在直线AB 下方时k 的取值范围．本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．11.【答案】解：(1)把点A 代入y 1得1+b =0，解得b =−1．把点B 代入y 2得m =−2．∴b =−1，m =−2．(2)M 是y 2的顶点，利用顶点公式可得M 的坐标为(a,−a 2+4a−6)，当a =2时，纵坐标有最大值是−10，此时M 的坐标为(2,−10)，N 的坐标为(2,1)，∴MN =1−(−10)=11．(3)点M 的坐标为(a,−a 2+4a−6)，点N 的坐标为(a,a−1)，∴MN =a−1−(−a 2+4a−6)=a 2−3a +5=(a−32)2+114，∴当a =32时，MN 有最小值是114．【解析】(1)直接用待定系数法即可求解．(2)先求出顶点M 的坐标，求出纵坐标最大值时a 的值，然后代入点N 和点M 的坐标即可求出MN ．(3)用含a 的式子表示出点N 和点M 的坐标，再求出MN 的表达式，建立二次函数模型，求出最小值即可．本题是二次函数综合应用问题，熟练用待定系数法、顶点坐标公式、建立函数模型是解题的关键．12.【答案】方法一：解：(1)∵y =x 2−(m +n)x +mn =(x−m)(x−n)，∴x =m 或x =n 时，y 都为0，∵m >n ，且点A 位于点B 的右侧，∴A(m,0)，B(n,0)．∵m =2，n =1，∴A(2,0)，B(1,0)．(2)∵抛物线y =x 2−(m +n)x +mn(m >n)过C(0,−1)，∴−1=mn ，∴n =−1m ，∵B(n,0)，∴B(−1m ,0)．∵AO =m ，BO =1m ，CO =1∴AC = AO 2+OC 2= m 2+1，BC = OB 2+OC 2= m 2+1m， AB =AO +BO =m +1m ，∵(m +1m )2=( m 2+1)2+( m 2+1m)2，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴∠ACB =90°．(3)∵A(m,0)，B(n,0)，C(0,mn)，且m =2，∴A(2,0)，B(n,0)，C(0,2n)．∴AO =2，BO =|n|，CO =|2n|，∴AC = AO 2+OC 2=2 1+n 2，BC = OB 2+OC 2= 5|n|，AB =x A −x B =2−n ．①当AC =BC 时，2 1+n 2= 5|n|，解得n =2(A 、B 两点重合，舍去)或n =−2；②当AC =AB 时，2 1+n 2=2−n ，解得n =0(B 、C 两点重合，舍去)或n =−43；③当BC =AB 时， 5|n|=2−n ，当n >0时， 5n =2−n ，解得n =5−12，当n <0时，− 5n =2−n ，解得n =−5+12．综上所述，n =−2，−43，− 5+12， 5−12时，△ABC 是等腰三角形．方法二：(1)略(2)∵C 点的坐标是(0,−1)，∴mn =−1，设A(m,0)，∴B(−1m ,0)，∴m 1=11m即OA OC =OC OB ，∵∠AOC =∠CBO =90°，∴△AOC ∽△COB ，∴∠ACO =∠CBO ，∴∠ACB =90°．(3)∵m =2，∴mn =2n ，∴C(0,2n)，B(n,0)，A(2,0)∵△ABC 是等腰三角形，∴AB =AC ，AB =BC ，AC =BC ，∴(n−2)2+(0−0)2=(2−0)2+(0−2n )2，∴n1=0，n2=−43，(n−2)2+(0−0)2=(n−0)2+(0−2n )2，∴n 1=−1+52，n 2=−1−52，(2−0)2+(0−2n )2=(n−0)2+(0−2n )2，∴n 1=2，n 2=−2，经检验n =0，n =2(舍)∴当n =−2，−43，− 5+12， 5−12时，△ABC 是等腰三角形．(4)过点A 作BC 的平行下交抛物线于点D ，∵m =2，∴n =−12，∴A(2,0)，B(−12,0)，∵AD//BC ，∴K AD =K BC =−2，又A(2,0)，∴{y =−2x +4y =x 2−32x−1，解得x 1=−2(舍)，x 2=−52，∴D 1(−52,32)，过点B 作AC 的平行线交抛物线于点D ，∵BD//AC ，∴K BD =K AC =12，又B(−12,0)，∴{y =12x +14y =x 2−32x−1，解得：x1=−12(舍)，x2=52，∴D 252，9)，综上所述，满足题意的D 点有两个，D 1(−52,32)，D 2(52,9)． 【解析】(1)已知m ，n 的值，即已知抛物线解析式，求解y =0时的解即可．此时y =x 2−(m +n)x +mn =(x−m)(x−n)，所以也可直接求出方程的解，再代入m ，n 的值，推荐此方式，因为后问用到的可能性比较大．(2)求∠ACB ，我们只能考虑讨论三角形ABC 的形状来判断，所以利用条件易得−1=mn ，进而可以用m 来表示A 、B 点的坐标，又C 已知，则易得AB 、BC 、AC 边长．讨论即可．(3)△ABC 是等腰三角形，即有三种情形，AB =AC ，AB =BC ，AC =BC.由(2)我们可以用n 表示出其三边长，则分别考虑列方程求解n 即可．本题考查了因式分解、二次函数性质、利用勾股定理求点与点的距离、等腰三角形等常规知识，总体难度适中，是一道非常值得学生加强练习的题目．13.【答案】解：(1)根据已知可得，抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+9，把B(6,0)代入，得0=36a +9，解得a =−14，∴木板边缘所对应的抛物线的函数表达式为y =−14x 2+9．(2)在矩形HGNM 中，设M(m,−14m 2+9)(0<m <6)，由抛物线的对称性可知H(−m,−14m 2+9)，∴矩形HGNM 的周长为2(2m−14m 2+9)=−12(m−4)2+26．∵−12<0，且0<m <6，∴当m =4时，矩形HGNM 的周长有最大值，最大值为26，即矩形HGNM 的最大周长为26dm ．(3)如图是画出的切割方案：在y =−14x 2+9中，令y =2，解得x =±2 7，∴PQ =4 7；在y =−14x 2+9中，令y =4，解得x =±2 5，∴RS =4 5；在y =−14x 2+9中，令y =6，解得x =±2 3，∴TW =4 3；在y =−14x 2+9中，令y =8，解得x =±2，∴KI =4，∴拼接后的矩形的长边长为PQ +RS +TW +KI =(4 7+4 5+4 3+4)dm ．【解析】本题考查了二次函数的应用，熟练应用二次函数的图象和性质是解答本题的关键．(1)根据已知可得抛物线顶点坐标为(0,9)，A(−6,0)，B(6,0)，再设抛物线对应的函数表达式为y =ax 2+9，把B(6,0)代入，可求出a ，即可得出抛物线的函数表达式；(2)在矩形HGNM 中，设M(m,−14m 2+9)(0<m <6)，由抛物线的对称性可知H(−m,−14m 2+9)，所以矩形HGNM 的周长为−12(m−4)2+26，由于−12<0，且0<m <6，当m =4时，矩形HGNM 的周长有最大值，最大值为26；(3)如图是画出的切割方案，分别令y =2，y =4，y =6，y =8，即可求出PQ =4 7，RS =4 5，TW =4 3，KI =4，再加起来即为拼接后的矩形的长边长．14.【答案】解：(1)由题意得y 1=0.4x ，在直角坐标系中描出以(x,y)坐标的对应点，易得y 2的图象成一条直线，设y 2=kx +b ，则{3k +b =0.9 4k +b =1.1 ，解得{k =0.2b =0.3，∴y 2=0.2x +0.3．(2)当y 1=y 2，则0.4x =0.2x +0.3，解得x =1.5；∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．(3)当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m 、n 吨时，获得利润：w =0.4m +0.2n +0.3=0.4m +0.2(20−12m 2)+0.3，即w =−0.1m 2+0.4m +4.3=−0.1(m−2)2+4.7，当m =2时，n =18，w 有最大值，答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．【解析】(1)通过表格信息建立函数关系式即可；(2)通过购买数量来选择哪种水果即可；(3)建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．15.【答案】解：(1)由题意得，抛物线和y 轴的交点为：(0,1.9)，设抛物线的表达式为：y =a(x−3)2+2.8，将(0,1.9)代入上式得：1.9=a(0−3)2+2.8，解得：a =−0.1，则抛物线的表达式为：y =−0.1(x−3)2+2.8；(2)当y =2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，解得：x =3− 3(不合题意的值已舍去)，即小明至少距离墙壁3− 3m 时纸飞机才会顺利飞过墙壁；(3)设纸飞机开始滑行时的高度为ℎ米，则滑行的距离为2.5ℎ，则ℎ=−0.1(x−3)2+2.8，解得：ℎ=3+28−10ℎ(不合题意的值已舍去)，则x+2.5ℎ=10，即3+28−10ℎ+2.5ℎ=10，(舍去)或1.2，解得：ℎ=145即纸飞机开始滑行时的高度为1.2米时，才能使水平飞行距离至少为10米．【解析】(1)由待定系数法即可求解；(2)当y=2.5时，即2.5=−0.1(x−3)2+2.8，即可求解；(3)设纸飞机开始滑行时的高度为ℎ米，则滑行的距离为2.5ℎ，则ℎ=−0.1(x−3)2+2.8，解得：ℎ=3+28−10ℎ(不合题意的值已舍去)，则x+2.5ℎ=10，即可求解．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数表达式、新定义、二次函数的图象和性质等，有一定的综合性，难度适中．16.【答案】C【解析】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵将该圆形纸片沿直线CO对折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；故选：C．先根据等边对等角和圆周角定理证明∠BEC=∠BCE，再由折叠的性质得到∠ECO=∠BCO，进一步由等边对等角得到∠OCB=∠B，设∠ECO=∠OCB=∠B=x，则∠BCE=2x，∠CEB=2x，再根据三角形内角和定理得到x+2x+2x=180°，解方程即可得到答案．本题主要考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，证明∠BEC=∠BCE是解题的关键．17.【答案】253【解析】解：连接OD，设⊙O的半径为r，∵AB⊥CD，∴∠OHD=∠BHD=90°，，BD=5，在Rt△BHD中，cos∠CDB=45=4，∴DH=BD⋅cos∠CDB=5×45∴BH=BD2−DH2=52−42=3，在Rt△OHD中，OD2=OH2+DH2，∴r2=(r−3)2+16，，解得：r=256∴AB=2r=25，3．故答案为：253连接OD，设⊙O的半径为r，根据垂直定义可得∠OHD=∠BHD=90°，然后在Rt△BHD中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，从而利用勾股定理求出BH的长，再在Rt△OHD中，利用勾股定理列出方程进行计算，即可解答．本题考查了勾股定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．18.【答案】(1)证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦．∴∠ACB=90°，∴∠ECF=180°−90°=90°，在Rt△ECF中，点G是EF的中点，∴CG=DG=FG，∴∠GCE=∠GEC，∵OF⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠AEO+∠A=90°，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∵∠AEO=∠GEC=∠GCE，∴∠GCE+∠OCA=90°，即OC⊥CG，∵OC是半径，∴CG是⊙O的切线；(2)解：连接CD，过点D作DH⊥FC，垂足为H，∵OF⊥AB，∴∠AOF=90°，∴∠DCA=1∠AOD=45°，2又∵∠DCA=2∠F，∴∠F=22.5°，∴∠FEC =90°−∠F =67.5°，∴∠CDE =180°−45°−67.5°=∠DEC ，∴CD =CE =3，在Rt △CDH 中，CD =3，∠DCH =90°−45°=45°，∴DH =CH = 22CD =3 22，∵∠FHD =∠FCE =90°，∠F =∠F ，∴△FHD ∽△FCE ，∴FH FC =DH CE ，即FC−3 22FC =3 223，解得FC =3 2+3，经检验，FC =3 2+3是方程的解，答：FC =3 2+3．【解析】(1)根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得OC ⊥CG 即可；(2)根据圆周角定理以及三角形内角和定理可求出∠CDE =67.5°=∠DEC ，进而得出CD =CE =3，再根据等腰直角三角形的性质求出DH =HC =3 22，再根据相似三角形的性质，列方程即可求出FC ．本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，圆周角定理、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．19.【答案】(1)证明：连接OH ，如图：∵H 为CD 边的切点，∴OH ⊥CD ，∴OH//AD ，∴∠DEH =∠OHE ，又∵OE =OH ，∴∠HEG =∠OHE ，∴∠DEH =∠HEG ．(2)解：由(1)知，∠1=∠2，∠2=∠3，又∵∠DEG =∠DHE ，即∠1+∠2=∠4，∴∠4=2∠3，∵∠3+∠4=90°，∴∠3=∠2=∠1=30°，∠4=60°，设⊙O 的半径为r ，连接HG ，如图：∴EH ⊥HG∴HG =12EG =r ，由勾股定理可得EH = 3r ，同理，在△EDH 中，DH =12EH =32r ，∴AB =DC =DH +HC =32r +r ，由图可知，BC =2r ，∴AB BC =( 32+1)r2r =2+ 32． 【解析】(1)根据题意，连接半径，由切线和平行线的性质即可证明．(2)由题意先求出角度的大小，再利用勾股定理表示出AB 、BC 的长即可解答．本题考查圆的切线的性质和矩形的性质，勾股定理，熟悉性质是解题关键．20.【答案】(1)证明：∵CD ⊥AB ，CD 是⊙O 的直径，∴AB =BD ，∴∠EAD =∠ACE ；(2)解：连接OA ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DAC =90°，∵CD ⊥AB ，∴∠CAD =∠CEA =90°，又∵∠ACD =∠ECA ，∴△CAD ∽△CEA ，∴AC EC =CD CA，∴AC 2=CD ⋅CE =CD(CD−ED)，设⊙O 的半径为r ，∴2r(2r−2)=(4 5)2，解得r =5或r =−4(负值舍去)，∴OE =OD−ED =5−2=3，。