中考专题1——立体图形中的最短路径问题

中考复习专题1——立体几何中的最短路径问题 姓名： （蚂蚁沿阶梯、正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题）
1、台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，
A 和B
是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，
这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？
2、圆柱问题 有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B
处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
变式1：有一圆柱形油罐，已知油罐底面圆周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周建造
梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长？
变式2： 桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米
的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的
B 处时，突然发现了蜜糖。

问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

A B
A
B
c
A
B
D C D 1C 1
①
4
2
1
AC 1=√42+32=√25;
②
A B B 1C
A 1C 1
412AC 1=√62+12=√37;
A B 1D 1D A 1C 1
③41
2AC 1=√52+22=√29 .
3、正方体问题 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B
的最短距离是（ ）. （A ）3 （B ）
5 （C ）2 （D ）1
4、长方体问题 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点
C 1处
（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
分析：展开图如图所示，372925<<
路线①即为所求。

小结：长、宽、高中，较短的两条边的和作为一条直角边，最长的边作为另一条直角边， 斜边长即为最短路线长。

5、圆锥问题 如图，已知O 为圆锥的顶点，MN 为圆锥底面的直径，一只蜗牛从M 点出发，绕
圆锥侧面
爬行到N 点时，所爬过的最短路线的痕迹（虚线）在侧面展开图中的位置是（ ）．
练习：
1、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），
圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。

A
B
C
A
B
C
2
1
1
A
B A 1B 1D C
D 1C 12
4
A
C
B
D
2、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱
体的高为 5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径
为 。

3、如图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，
则它爬行的最短路径是 。

4、如图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块
侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 5、如图，地面上有一个长方体，一只蜘蛛在这个长方体的顶点 A 处，一滴水珠在这个长方形的顶点C ′处，已知长方体的长 为6m ，宽为5m ，高为3m ，蜘蛛要沿着长方体的表面从A 处爬 到C ′处，则蜘蛛爬行的最短距离为（ ） A.130 B.8 C.10 D.10米
6、如图，有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小 蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ） A 、3米 B 、4 米 C 、5 米 D 、6米
第1题
A B
A
B
第2题
第5题
第6题
B
C
D 第4题
A B
第3题
7、如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体 的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） A 、3 B 、2+2 C 、10 D 、4
8、如图是一个棱长为60cm 的立方体ABCD-EFGH ，一只小虫在棱EF 上且距F 点10cm 的P 处，
它要爬到C 点，则需要爬行的最短距离是（ ）
A 、130
B 、1085
C 、1097
D 、不确定
9、如图，立方体木块ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3；在棱C 1D 1上有一点E ，EC 1=1．现有一小虫从
E 点出发，爬到A 点，则它所经过的最短路线长为（ ） A. 3+13 B.
20 C.
34 D 、22
10、如图，底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A 点爬到B 点，则蚂蚁爬行
的最短距离是（ ）
A 、10
B 、8
C 、5
D 、4
第7题
第9题
第8题
第10题
11、如图是一个长8m ，宽6m ，高5m 的仓库，在其内壁的A 处有一只壁虎，B 处有一只蚊子，
则壁虎爬到蚊子处的最短距离为 m ．
12、如图，长方体的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 在棱CD 上，CB=5cm ．一只壁虎
要沿长方休的表面从A 点爬到B 点，需要爬行的最短路径是 cm 。

13、如图，是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm ．母线OE （OF ）
长为10cm ．在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且FA=2cm ，一只蚂蚁从杯口的点E
处沿圆锥表面爬行到A 点．则此蚂蚁爬行的最短距离为 cm ． 14、如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm 的 等边三角形，点D 是母线AC 的中点，一只蚂蚁从点B 出发沿圆锥的表面 爬行到点D 处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是
15、如图，有一圆柱体高为10 cm ，底面圆的半径为4 cm ，AA 1、BB 1为相对 的两条母线，在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA=3 cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ， PB 1=2 cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，则最短路径长 是 cm （结果用带π和根号的式子表示）
第11题
第12题
第13题
D A
B
C
第14题
第15题
中考真题链接：
1、如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）
A ．A ⇒P ⇒
B B ．A ⇒Q ⇒B
C ．A ⇒R ⇒B
D ．A ⇒S ⇒B
2、（2006•茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面
爬到点B 的最短路程是 cm
3、正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为
4、如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由
A 处向
B 处爬行，所走最短路程是 cm 。

5、如图，一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂
蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 6、（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果
要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。

7、如图，长方体的长、宽、高分别为6cm ，8cm ，4cm ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B ．
则蚂蚁爬行的最短路径的长是 。

8、如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 到达A 1，若圆柱底面半径为
6
，高为5，
则蚂蚁爬行的最短距离为
9、如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，
沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是
第5题 第4题 第1题 第2题 第6题 第3题 第7题 第8题 第9题
10、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个
相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短
路程为cm
11、如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为2cm，假若点B有一蚂蚁只能沿圆锥的表面
爬行，它要想吃到母线AC的中点P处的食物，那么它爬行的最短路程是.
12、（2006•南充）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，绕侧面一周又回
到A点，它爬行的最短路线长是。

13、如图，圆锥底面半径为3dm，母线为5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150°，D
为VB上一点，VD= ．现有一只蚂蚁沿圆锥表面从点C爬到D．则蚂蚁爬行的最短路程是。