《有限元方法25讲》课程教案

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有限元讲稿 ppt课件

ANSYS
通用程序应用举例
2020/12/27
1
ANSYS通用程序应用举例
❖1.ANSYS软件的功能 ❖2.ANSYS的输入方式 ❖3.应用举例(重点)
2020/12/27
2
1.ANSYS软件的功能
❖ 一个典型的ANSYS分析过程包括以下三个步骤：创建有限元模型
施加载荷求解
查看分析结果
2020/12/27
2020/12/27
图1 矩形示意图
7
(ii)建立实体板
在主菜单中选择Preprocessor| Modeling|Create|Areas|Circle| Solid Circle，弹出如图2对话框。
在对话框中输入参数： x=80,y=50,radius=50; 单击Apply; x=0 ,y=20,radius=20; 单击Apply; x=0,y=80,radius=20; 单击Apply; 在绘图区将显示如图3左侧图形！
5?
单击
图4 Add Areas对话框
2020/12/27
图5 布尔加法运算后结果
10
（iv）生成孔洞圆实体
在主菜单中选择 Preprocessor|Modeling| Create|Areas|Circle|SolidCircle, 在弹出的对话框中依次输入： x=80,y=50,Radius=30,单击 Apply； x=0,y=20,Radius=10,单击 Apply； x=0,y=80,Radius=10,单击 Apply；得到图6所示图形。
（i）确定分析类型
在主菜单中选取Solution| Analysis Type|New Analysis,在菜单中确定分析类型为Static,单击OK。

有限元教案_壳单元

x cos( x , x) cos( x , y ) cos( x , z ) x x y = cos( y , x) cos( y , y ) cos( y , z ) y = φ y z cos( z , x) cos( z , y ) cos( z , z ) z z
16
4节点单元的节点位移变换公式为：
{δ }
(e)
= [T ]{δ }
(e)
[T]为变换矩阵，表达式为：
λ 0 0 0 0 λ 0 0 [T ] = 0 0 λ 0 0 0 0 λ
17
同理有单元节点力变换公式：
{F }
(e)
= [T ]{ F }
(e)
壳的整体坐标下的单元刚度方程：
δ ep = (δ 1pT
δ i p = (ui
δ 2pT
δ 3pT
δ 4pT )T
v i )T
7
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
对平板弯曲状态单元刚度方程为：
方程中角标b代表平板弯曲，其他矩阵符号的含义与平面应力状态相似。
8
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
4
5
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
在平面壳体单元变形和受力可看作两状态叠加的基本假定下,平面的单元刚度矩阵,角标p代表平面应力
k δ
ep
ep
=F +F
ep
ep E
平面应力状态的单元结点位移
单元结点力单元等效结点荷载矩阵
6
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）

有限元课程设计教案资料

有限元课程设计一．问题描述如图所示的平面矩形结构，设E=1，NU=0.25，h=1，考虑以下约束和外载：位移边界条件BC（u）：U A=0，V A=0，U D=0，力边界条件BC（p）：在CD边上有均布载荷q=1，建模情形：使用四个四节点矩形单元，试在该建模情形下，求各节点的位移以及各个单元的应力分布。

二．Matlab程序(1).函数定义：function k= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,ID) syms s t;a = (yi*(s-1)+yj*(-1-s)+ym*(1+s)+yp*(1-s))/4;b = (yi*(t-1)+yj*(1-t)+ym*(1+t)+yp*(-1-t))/4;c = (xi*(t-1)+xj*(1-t)+xm*(1+t)+xp*(-1-t))/4;d = (xi*(s-1)+xj*(-1-s)+xm*(1+s)+xp*(1-s))/4;B1 = [a*(t-1)/4-b*(s-1)/4 0 ; 0 c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 ;c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 a*(t-1)/4-b*(s-1)/4];B2 = [a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4 0 ; 0 c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 ;c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4];B3 = [a*(t+1)/4-b*(s+1)/4 0 ; 0 c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 ;c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 a*(t+1)/4-b*(s+1)/4];B4 = [a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4 0 ; 0 c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 ;c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4];Bfirst = [B1 B2 B3 B4];Jfirst = [0 1-t t-s s-1 ; t-1 0 s+1 -s-t ;s-t -s-1 0 t+1 ; 1-s s+t -t-1 0];J = [xi xjxmxp]*Jfirst*[yi ;yj ; ym ; yp]/8;B = Bfirst/J;if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endBD = J*transpose(B)*D*B;r = int(int(BD, t, -1, 1), s, -1, 1);z = h*r;k = double(z);endfunction z = Quad2D4Node_Assembly(KK,k,i,j,m,p)DOF(1)=2*i-1;DOF(2)=2*i;DOF(3)=2*j-1;DOF(4)=2*j;DOF(5)=2*m-1;DOF(6)=2*m;DOF(7)=2*p-1;DOF(8)=2*p;for n1=1:8for n2=1:8KK(DOF(n1),DOF(n2))= KK(DOF(n1),DOF(n2))+k(n1,n2); endendz=KK;endfunction stress= Quad2D4Node_Stress(E,NU,xi,yi,xj,yj,xm,ym,xp,yp,u,ID) syms s t;a = (yi*(s-1)+yj*(-1-s)+ym*(1+s)+yp*(1-s))/4;b = (yi*(t-1)+yj*(1-t)+ym*(1+t)+yp*(-1-t))/4;c = (xi*(t-1)+xj*(1-t)+xm*(1+t)+xp*(-1-t))/4;d = (xi*(s-1)+xj*(-1-s)+xm*(1+s)+xp*(1-s))/4;B1 = [a*(t-1)/4-b*(s-1)/4 0 ; 0 c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 ;c*(s-1)/4-d*(t-1)/4 a*(t-1)/4-b*(s-1)/4];B2 = [a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4 0 ; 0 c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 ;c*(-1-s)/4-d*(1-t)/4 a*(1-t)/4-b*(-1-s)/4];B3 = [a*(t+1)/4-b*(s+1)/4 0 ; 0 c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 ;c*(s+1)/4-d*(t+1)/4 a*(t+1)/4-b*(s+1)/4];B4 = [a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4 0 ; 0 c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 ;c*(1-s)/4-d*(-1-t)/4 a*(-1-t)/4-b*(1-s)/4];Bfirst = [B1 B2 B3 B4];Jfirst = [0 1-t t-s s-1 ; t-1 0 s+1 -s-t ;s-t -s-1 0 t+1 ; 1-s s+t -t-1 0];J = [xi xjxmxp]*Jfirst*[yi ;yj ; ym ; yp]/8;B = Bfirst/J;if ID == 1D = (E/(1-NU*NU))*[1 NU 0 ; NU 1 0 ; 0 0 (1-NU)/2];elseif ID == 2D = (E/(1+NU)/(1-2*NU))*[1-NU NU 0 ; NU 1-NU 0 ; 0 0 (1-2*NU)/2]; endstr1 = D*B*u;str2 = subs(str1, {s,t}, {0,0});stress = double(str2);end（2）. 计算部分E=1;NU=0.25;h=1;ID=1;k1= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,1,1,0.5,1,0.5,0.5,1,0.5,ID);k2= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,1,0.5,0.5,0.5,0.5,0,1,0,ID); k3= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,0.5,1,0,1,0,0.5,0.5,0.5,ID); k4= Quad2D4Node_Stiffness(E,NU,h,0.5,0.5,0,0.5,0,0,0.5,0,ID); KK=zeros(18,18);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k1,1,6,5,2);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k2,2,5,4,3);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k3,6,7,8,5);KK= Quad2D4Node_Assembly(KK,k4,5,8,9,4)k=KK([1:12,14:16],[1:12,14:16]);p=[0;-0.25;0;0;0;0;0;0;0;0;0;-0.5;-0.25;0;0];u=k\pU=[u(1:12);0;u(13:15);0;0];u1=[U(1);U(2);U(11);U(12);U(9);U(10);U(3);U(4)];stress1=Quad2D4Node_Stress(E,NU, 1,1,0.5,1,0.5,0.5,1,0.5,u1,ID) u2=[U(3);U(4);U(9);U(10);U(7);U(8);U(5);U(6)];stress2=Quad2D4Node_Stress(E,NU, 1,0.5,0.5,0.5,0.5,0,1,0,u2,ID) u3=[U(11);U(12);U(13);U(14);U(15);U(16);U(9);U(10)];stress3=Quad2D4Node_Stress(E,NU, 0.5,1,0,1,0,0.5,0.5,0.5,u3,ID) u4=[U(9);U(10);U(15);U(16);U(17);U(18);U(7);U(8)];stress4=Quad2D4Node_Stress(E,NU, 0.5,0.5,0,0.5,0,0,0.5,0,u4,ID)总体刚度矩阵：各节点位移：各单元应力：三．结果各个节点位移：u1=1.5749，v1=-4.5116，u2=0.5858，v2=-4.2489，u3=-0.4401，v3=-4.1495，u4=1.1458，v4=-3.3911，u5=0.7035，v5=-2.9251，u6=-0.4105,v6=-3.0964，u7=0，v7= -3.0486，u8=0.6532，v8=-1.9914，u9=0，v9=0。

有限元基础教学课件PPT

ε E T u （几何线性）
为梯度矢
ε u 一一对应,多连通域中未必一一对应. 在单连通域中：
31
§0.2 应力分析
取P点处一微平行六面体与xyz平行，决定P点应力状态的6个分量记为
ζ x y z yz zx xy
f f x fy fz
T
T
ε E u,
T
u : u u : P E ν ζ

p

物体表面 u , 取未知函数 u ，经代换
: E DE u f 0 : u : u u
T
Px, y, z
: P E ν DET u （位移表示的应力边界条件）
14
应用领域：机械工程
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
15
液压挖掘机
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
16
驾驶室受侧向力应力云图
接触问题结构件应力云图
17
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
称为弹性矩阵
34
ζ Dε 或 ε D 1ζ
1 1 1 D E 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 21 0 0 21 0 0 0 0
i 1
RB
m
(Gu g ) 0
i 1
m
为了消除残差，通常引进内部权函数 WI 和边界权函数WB ，将它们分别与 RI 和 RB 相乘，列出消除内部残值方程式及消除边界方程式分别如下： RIWI dv 0 V C j ( j 1,2,, n) m S RBWB ds 0

教案1-有限元法

1
有限元分析方法教学内容及过程教学内容与教学设计：
课程教案旁批
1.1 有限元法的产生传统的一些方法往往难以完成对工程实际问题的有效分析。为了正确、合理地确定最佳设计方案，需要寻求一种简单而又精确的数值计算方法。有限元法正是适应这种要求而产生和发展起来的。 1.1.1 有限元法的发展过程 1.1.2 有限元法的基本思想 “化整为零，集零为整” 。也就是将一个原来连续的物体假想地分割成由有限个单元所组成的集合体，简称“离散化” 。然后对每个单元进行力学特征分析，即建立单元节点力和节点位移之间的关系。最后，把所有单元的这种关系式集合起来，形成整个结构的力学特性关系，即得到一组以节点位移为未知量的代数方程组。处理后即可求解，求得结点的位移，进一步求出应变和应力。 1.1.3 有限元法的特点（1）理论基础简明，物理概念清晰。它解决问题的途径是物理模型的近似，而在数学上则不作近似处理。（2）灵活性和适用性兼备。（3）该法在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法。 1.2 有限元法的基本步骤（1）结构的离散化 ——把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。
E xy 2(1 ) E yz yz 2(1 ) E zx zx 2(1 )
xy
平衡方程
x yx zx X 0 x y z xy y zy Y 0 y z x yz z xz Z 0 y z x
单位体积上的力在 3 个坐标轴方向上的投影用 X、Y、Z 表示。
4
1.4.4 弹性问题的能量原理虚位移原理所谓虚位移可以是任意无限小的位移，它在结构内部必须是连续的，在结构的边界上必须满足运动学边界条件。作业布置：P19 问答题 1、2、3。课后小结：

《有限元方法》课程教学大纲【模板】

教学内容进度安排及要求classschedulerequirements教学内容学时教学方式作业及要求基本要求考查方式有限元基本原理16课堂授课每周作业预习阅读教材课堂提问软件介绍课堂授课每周作业预习阅读教材课堂提问实例分析24课堂授课每周作业预习阅读教材课堂提问考核方式grading成绩构成平时作业课堂表现小组大作业期末考试教材或参考资料textbooksothermaterials教材
(Course Type)
专业选修课
授课对象
（Audience）
航空航天工程专业本科生
授课语言
(Language of Instruction)
中文
*开课院系
（School）
航空e）
材料力学或固体力学与结构
授课教师
（Instructor）
课程网址
(Course Webpage)
By learning the course, students can radically be aware of finite element method and technology and its application, and make the basis for their future research work on structure analysis.
*课程简介（Description）
This lesson is an optional coursefor the students of School of Aeronautics & Astronautics. It covers the following topics: basic theory of FEM, elements and interpolation function, isoparametric element, truss problems, plate problems, solid problems, commercial FEM software, pre- and post-processors, linear problems, non-linear problems, composites problems.

有限元课程设计

有限元课程设计一、教学目标本节课的教学目标是使学生掌握有限元分析的基本概念、原理和方法，能够运用有限元软件进行简单的结构分析和优化设计。

具体目标如下：1.知识目标：（1）了解有限元分析的基本原理和方法；（2）掌握有限元软件的操作和应用；（3）了解有限元分析在工程领域的应用。

2.技能目标：（1）能够运用有限元软件进行简单的结构分析；（2）能够根据分析结果进行优化设计。

3.情感态度价值观目标：（1）培养学生对工程技术的兴趣和热情；（2）培养学生团队合作意识和解决问题的能力。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括有限元分析的基本概念、原理和方法，以及有限元软件的操作和应用。

具体内容包括：1.有限元分析的基本概念：介绍有限元分析的定义、发展历程和应用领域。

2.有限元分析的原理：讲解有限元分析的基本原理，包括离散化方法、刚度矩阵和质量矩阵的建立等。

3.有限元分析的方法：介绍有限元分析的主要方法，包括静态分析、动态分析和优化设计等。

4.有限元软件的操作和应用：讲解有限元软件的基本操作，如几何建模、网格划分、材料属性设置等，并通过实例演示有限元分析的过程。

三、教学方法本节课采用多种教学方法相结合的方式，以激发学生的学习兴趣和主动性。

主要教学方法包括：1.讲授法：讲解有限元分析的基本概念、原理和方法。

2.案例分析法：通过分析实际工程案例，使学生更好地理解有限元分析的应用。

3.实验法：让学生动手操作有限元软件，进行简单的结构分析和优化设计。

4.讨论法：鼓励学生积极参与课堂讨论，培养团队合作意识和解决问题的能力。

四、教学资源本节课的教学资源包括教材、有限元软件、多媒体资料和实验设备。

具体如下：1.教材：选用国内权威出版的有限元教材，为学生提供系统的理论知识。

2.有限元软件：为学生提供有限元软件的学习版本，方便学生进行实践操作。

3.多媒体资料：制作课件和教学视频，以图文并茂的形式展示有限元分析的过程和应用。

4.实验设备：准备计算机实验室，确保每个学生都能顺利地进行软件操作和实验。

有限元方法课件演示文稿

其中，
，单元[xi1, xi ] 的中点为于是有
第24页，共56页。
如果把单元刚度矩阵 K和(i) 单元荷载向量 “F扩(i) 大”，便得到
和为 K(i)
F(i)
类似地，可写出和 K(3) .K(4)
第25页，共56页。
然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：
第26页，共56页。
依边界条件
2
fuh
)dx
1 n
2 i1
( pu xi
2
xi 1
h
quh2 )dx
n i 1
xi xi 1
fuh dx(7.7)
作变换
x xi1
hi
(7.8)
13
第13页，共56页。
并引入记号
N0 ( ) 1 , N1( )
则在单元ei [xi1, xi ]上，uh可写成
或写成
uh (x)
从第二方面看，它是差分方法的一种变形．差分法是点近似，它只考虑在有限个离散点上函数值，而不考虑在点的邻域函数值如何变化；有限元方法考虑的是分段（块）的近似．因此有限元方法是这两类方法相结合，取长补短而进一步发展了的结果．在几何和物理条件比较复杂的问题中，有限元方法比差分方法有更广泛的适应性．
其中这就是总荷载向量.
(7.17)
第18页，共56页。
其这样，就可将式(7.16)写成
因此，有限元方程为
(7.18)
从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的K计算，
实际上是把中K四(i个) 元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算b也是如此．我们引入，只是B为(了i) 叙述方便，实际上
3 第3页，共56页。

有限元法PPT课件

重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。全球28个办事处和9个代表处业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)

工程中的有限元分析方法教学设计

工程中的有限元分析方法教学设计简介有限元分析是一种工程设计计算方法，常用于结构力学、流体力学、热传导等领域的分析。

本文将介绍如何设计一门有限元分析方法的教学课程，涵盖教学目标的制定、教学内容安排、教学方法选择等方面。

教学目标1.理解有限元法的基本原理和应用范围；2.了解有限元方法在不同工程领域中的应用；3.能够应用有限元方法进行简单的结构分析和形状优化；4.能够使用有限元分析软件进行建模、网格划分和分析；5.能够进行分析结果的后处理和解释。

教学内容和安排第一周：有限元基础知识1.有限元法的发展历史和基本概念；2.有限元法的优缺点和适用条件；3.有限元法的基本步骤和常用术语；4.有限元网格生成与修补；5.基于有限元法的工程分析案例分析。

第二周：结构力学分析1.弹性力学方程和偏微分方程；2.有限元法在结构力学中的应用；3.常见的结构力学问题和解法；4.结构力学有限元分析软件的应用。

第三周：流体力学分析1.流体力学的基本方程和数值解法；2.有限元法在流体力学中的应用；3.常见的流体力学问题分析；4.流体力学有限元分析软件的应用。

第四周：热传导分析1.热传导基本方程和数值解法；2.有限元法在热传导中的应用；3.常见的热传导问题分析；4.热传导有限元分析软件的应用。

第五周：形状优化问题与有限元分析1.演化算法与形状优化；2.有限元法在形状优化中的应用；3.形状优化有限元分析软件的应用；4.应用案例分析和讨论。

第六周：有限元方法实践和课程总结1.有限元分析工具的使用；2.有限元方法实践操作和案例分析；3.课程总结和教学反馈。

教学方法1.理论讲授：教师讲述理论知识，同时鼓励学生积极参与；2.认知学习：采用短片、案例等方式，帮助学生了解和认知；3.实践学习：课程设计中设置一定的实践操作环节，鼓励学生积极体验和探究；4.互动交流：加强师生间、学生间的交流和互动，呈现更好的教学效果。

总结有限元分析方法在工程设计领域扮演着重要的角色，因此掌握有限元分析方法的理论和实践技能对于工程专业学生来说尤为重要。

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x 方向位移为 u，y 方向位移为 v，如下图 0.1.3 所示。
0.1.3 平面问题中的变形表达
从图 0.1.3 可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的
长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。
(1) 定义 x 方向的相对伸长量为
εx
=
P′A′ − PA PA
应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
⎧σ x ⎫
⎪⎪σ
y
⎪ ⎪
{σ
}
=
⎪⎪⎨⎪τσxzy
⎪⎪ ⎬ ⎪
=
⎡⎣σ
x
σy
σz
τ xy
τ yz
τ zx ⎤⎦T
⎪τ ⎪⎪⎩τ
yz zx
⎪ ⎪ ⎪⎭
弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。
(0.1.1)
1
图 0.1.1 应力分量
达)、余能(以应力为基本变量的表达)等，下面分别给出具体的表达式。 ⑴ 外力功
)
2ν
)
物理方程中的弹性矩阵[D]亦可表示为
⎡λ + 2G λ
λ 0 0 0⎤
⎢ ⎢
λ
λ + 2G
λ
0
0
0
⎥ ⎥
[D]
=
⎢ ⎢
⎢
λ 0
λ λ + 2G 0 0 0 ⎥
0
0
G
0
0
0⎥ ⎥
⎢0
0
0 0 G 0⎥
⎢
⎥
⎣0
0
0 0 0 G⎦
{ε} = [C]{σ }
其中 C 是柔度矩阵。 [C] = [D]−1 ，它和弹性矩阵是互逆关系。
ν E
−ν E
⎢0 0
E 1 00 E 0 10
⎥
0
⎥ ⎥
⎥
0⎥
⎢
⎢ ⎢
0
0
0
G 0
1 G
⎥
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢⎣ 0
0
0
0
0
1⎥ G ⎥⎦
物理方程的另一种形式是用应变表示的本构方程
σx
=
E(1−ν ) (1+ν )(1− 2ν
) ⎢⎣⎡ε x
+
ν 1−ν
(ε y
+εz
)⎥⎦⎤
σ
y
=
E(1 −ν ) (1 +ν )(1 − 2ν
εx
=
∂u ∂x
εy
=
∂v ∂y
εz
=
∂w ∂z
γ xy
=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
(0.1.7)
几何方程的矩阵是
其中 [L]是微分算子
γ
yz
=
∂w ∂z
+
∂v ∂y
γ zx
=
∂u ∂z
+
∂w ∂x
{ε}= [L]{u}
(0.1.8)
5
⎡∂
⎢ ⎢
∂x
⎢ ⎢
0
0
∂ ∂y
0
⎤ ⎥
⎥
0
⎥ ⎥
⎢
⎥
[L]
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
) ⎢⎣⎡ε
y
+ν 1−ν
(ε x
+εz
)⎥⎦⎤
σz
=
(1
E(1 − +ν )(1
ν −
)
2ν
)
⎢⎣⎡ε
z
+ν 1−ν
(ε y
) + ε x
⎤ ⎥⎦
τ xy
=
E
2(1 +
ν
)
γ
xy
τ yz
=
E
2(1 +
ν
)
γ
yz
τ zx
=
E
2(1 +
ν
)
γ
zx
应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示：
{σ } = [D]{ε}
−u
=
∂v dx ∂x dx + ∂u dx
=
∂v ∂x
∂x
∂x
P'B’线与 PB 线的夹角为
β
=
⎛ ⎜⎝ u
+
∂u ∂y
⎞ dy ⎟⎠
−
u
=
∂u
dy
∂y
则定义夹角的总变化为
γ xy
=α
+
β
=
∂u ∂y
+
∂v ∂x
在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有
其中
(0.1.10b)
7
⎡ ⎢
1
⎢ ⎢
ν
⎢1−ν
ν 1−ν
1
ν 1−ν
ν 1−ν
0 0
0 0
0
⎤ ⎥
⎥
0
⎥ ⎥
⎢ ⎢
ν
ν
1
0
0
[D]
=
E (1−ν ) (1+ν )(1− 2ν
)
⎢1−ν ⎢ ⎢0
1−ν 0
⎢
0
1− 2ν
2(1−ν )
0
⎥ 0⎥
⎥ ⎥ 0⎥ ⎥
⎢ ⎢0 0 0 ⎢
0
1− 2ν
2(1−ν )
对于不同类型问题，几何方程和物理方程的有关矩阵符号的意义汇集于下表。板与壳的基本方程将分别在本书有关章节中给出。
6．弹性问题中的能量表示弹性问题中的自然能量包括两类：①施加外力在可能位移上所做的功，②变形体由于变形而存
储的能量。出于研究的需要，还要定义一些由自然能量所组合的物理量，如势能(以位移为基本变量的表
正应变； γ xy ,γ yz ,γ zx 为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短
为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。图 0.1.2 的(a)，(b)
分别为 ε x 和 γ xy 的应变状态。
应变的矩阵形式是
图 0.1.2 ε x 和 γ xy 的应变的正方向
(0.1.11)
(0.1.12) (0.1.13) (0.1.14) (0.1.15)
弹性体 V 的全部边界为 S。一部分边界上已知外力 px , py , pz 称为力的边界条件，这部分边界
用 Sσ 表示；另一部分边界上弹性体的位移 u,v,w 已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边界用 Su 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即
Ty = nxτ yx + nyσ y + nzτ yz
(0.1.18)
Tz = nxτ zx + nyτ zy + nzσ z
以上公式的矩阵形式为其中
[T ] = [ p] [T ] = [n]{σ}
(在 Sσ 上)
(0.1.19) (0.1.20)
9
[n] = ⎡⎢⎢n0x
0 ny
0 0
ny nx
0.1 弹性力学的基本方程
在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。 0.1.1 弹性力学基本方程的矩阵形式
弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。 (1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。 (2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个位置材料的描述是相同的。 (3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 (4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。 (5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。
(0.1.17)
图 0.1.5
设边界外法线为 N ，其方向余弦为 nx ,ny ,nz ， ny = cos(n, y) ， n y = cos (n , x ) ，
nx
=
cos(n
,
x
)
，且
n
2 x
+
n
2 y
+ nz2
= 1则边界上弹性体的内力可由下式确定
Tx = nxσ x + nyτ xy + nzτ xz
+
∂τ xy ∂y
+
∂τ xz ∂z
+
Fx
=
0
∂τ yx ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ yz ∂z
+
Fy
=
0
∂τ zx ∂x
+
∂τ zy ∂y
+
∂σ z ∂z
+
Fz
=
0
(0.1.4)
其中 Fx , Fy , Fz 为单位体积的体积力在 x, y, z 方向的分量。