大学物理授课教案-第15章-光的衍射

π
2
时， dy ≡ 0 ，因而强度为零。这也就解释了子波
（15-1）
上式是惠更斯——费涅耳原理的定量表达式。在一般情况下，此式积分是比较复杂的， 在某些特殊情况下积分比较简单，并可以有矢量加法代替积分。下节介绍应用费涅耳半 波带方法来解释单缝衍射现象，这种方法更为简单。
第十五章 光的衍射
三、两类衍射问题
第十五章 光的衍射
a sin ϕ = ± kλ
，
依题意有： a sin ϕ = λ1 ⇒ λ1 = 2λ2 。 a sin ϕ = 2λ2 （2）设衍射角为 ϕ ' 时， λ1 的第 k1 级极小与 λ2 的第 k2 级极小重合，则有 a sin ϕ ' = k1λ1 ⇒ 2k1 = k2 (λ1 = 2λ2 ) 。 ' a sin ϕ = k2λ2 即当 2k1 = k2 时，它们的衍射极小重合。
K L P E x
o
半角宽度： ϕ1 = arcsin
λ
≈
λ
ϕ
f
中央亮纹区域： − λ < a sin ϕ < λ 。 （3）衍射角较小时明纹宽度（相邻暗纹之距）
图 15-10
第十五章 光的衍射
e = xk +1 − xk = ftgϕ k +1 − ftgϕ k ≈ f sin ϕ k + 2 − f sin ϕ k = 即中央明纹为 k 较小的明纹宽度的 2 倍。
λ
2
即 BC 恰等于两个半波长，如下图所示，将 BC 为二等份，过等分点做平行于 AC 的 平面，将单缝上波阵面分为面积相等的两部分 AA1 ， A1B ，每一部分叫做一个半波带， 每一个波带上各点发出的子波在 P 点产生的振动 可认为近似相等。二波带上的对应点 （如 AA1 的中点与 A1B 的中点）所发出的子波光线达到 AC 面上时光程差为 波带上发出的光在 P 点完全抵消，所以，出现暗纹（沿光源，以下同） 。 ，即位相差 2 为 π ，可知在 P 点它们的位相差为 π 。所以，产生干涉相消。结果由 AA1 及 A1B 两个半
（15-2） （15-3）
。 ϕ = 0 称为中央亮纹，k=1,2,…分别称为第一，二，…级明纹（或暗纹） 三、几点讨论 （1）单缝衍射条纹是关于中央亮纹对称分布的。 （2）中央亮纹宽度及半角宽度
(ϕ1很小) ； a a 中央亮纹宽度（二个第一级暗纹间距离） ： 2λ f ； l0 = 2 x1 = 2 f ⋅ tgϕ1 ≈ afϕ1 = a
K
E P
1、费涅耳衍射 光源 S，屏 E 与衍射物距离均为有限 （或一个距离为无限远）的衍射，如图所 示。 2、夫琅和费衍射： 光源 S，屏 E 与衍射物均无限远时的衍射。
图 15-3
S
因为光源和光屏相对衍射物是在无穷远处，因而入射光和衍射光都是平行光，所以夫琅 和费衍射也称为平行光衍射，如图所示。
K A
L P ( 2)
ϕ
C
ϕ
(1)
o 中央亮纹
E
B
图 15-7
其它方向（ ϕ ≠ 0 ）情况变复杂些。下面考虑与入射方向成 ϕ 角的子波线（经 L 后 为光线②） 。ϕ 称为衍射角。光线②会聚在 P 点，ϕ 角不同，P 的位置就不同，在 E 上可 出现衍射图样。为了研究明暗条纹位置，下面考虑位相差问题。做平面 AC 垂直 BC，从 图知，由 AC 上各点达到 P 点的光线光程都相等，这样从 AB 发出的光线在 P 点的位相差 就等于它们在 AC 面上的位相差。 由图可见， 从 K 的 AB 两端点来看， B 点发出的子波比 A 点发出的子波多走 AC = sin ϕ 的光程（空气中） 。这显然是沿 ϕ 方向上光波射线的最大光程差。下面用费涅耳半波带 法确定 P 处是明还是暗。分几种情况讨论。 1、 BC = a sin ϕ = 2 ⋅
d s 发射的子波在 P 点引起振动的振幅与面积元 ds 成正比，
ds
s n
α
r p
与 d s 到 P 点的距离 r 成反比（因为子波为球面波） ，还与 r 同 d s 间夹角 α 有关，至于子波在 P 点引起的振动位相仅
波振面
取决于 r，ds 在 P 处引起的振动可表示为 图 15-2 2πr k (α )ds cos(ωt − ) dy = λ r 式中 ω 为光波角频率， λ 为波长， k (α ) 是 α 的一个函数。应该指出， α 越大，在 P 点 引起的振幅就越小，费涅耳认为 α ≥ 为什么不能向后传播的问题。 整个波阵面 S 在 P 产生的合振动为何，由惠更斯——费涅耳原理有： k (α )ds 2πr y = ∫ dy = ∫ cos(ωt − ) r λ s
第十五章 光的衍射
第十五章
§15-6 光的衍射现象
光的衍射
惠更斯费涅耳原理
前面我们讨论了光的干涉，干涉是波动的特征之一，在此，我们来讨论光另外的特 征，即衍射现象（绕射现象） 。 一、光的衍射现象 1、衍射定义 当波传播过程中遇到障碍物时，波就不是沿直线传播，它可以到达沿直线传播所不 能达到的区域。这种现象称为波的衍射现象（或绕射现象） （原因是波阵面受到了限制 而产生的） 。 2、光的衍射现象 在日常生活中水波和声波的衍射现象是较容易看到，但光的衍射现象却不易看到， 这是因为光波的波长较短，它比衍射物线度小得多之故。如果障碍物尺度与光的波长可 以比较时，就会看到衍射现象。 如下图，S 为线光源，k 为可调节宽度的狭缝，E 为屏幕（均垂直纸面） ，高缝宽比 光的波长大得多时，E 上出现一光带（可认为光沿直线传播） ，若缝宽缩小到可以与光的 ，在 E 上出现光幕虽然亮度降低，但范围却增大，形成 波长比较时（ 10−4 m 数量级以下） 明暗相间条纹。其范围超过了光沿直线所能达到的区域，即形成了衍射。
Z K
S S
Z K
a b
图 15-1
第十五章 光的衍射
波的衍射现象在我们学习惠更斯原理时就已经接触到了，由于波动的特性，因而水 波穿过小桥同时要向两旁散开，人站在大树背后时照样能听到树前传来的声音，光线在 一定的条件下（衍射物的线度与波长可以比较）就会拐弯，等。此外，在我们学习双缝 干涉时，也包含了衍射的因素，若不是光线能拐弯，经过双缝的光线怎样能相遇呢？ 衍射是一切波动所具有的共性，衍射是光具有波动性的一种表现。 二、惠更斯——费涅耳原理 1、原理表述 惠更斯指出：波在介质中传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一 时刻这些小波的包迹就是该时刻的波阵面。此原理能定性地说明光波传播方向的改变 （即衍射）现象，但是，不能解释光的衍射中明暗相间条纹的产生。原因是这一原理没 有讲到波相遇时能产生干涉问题，因此费涅耳对惠更斯远离做了补充，如下： 费涅耳假设：从同一波阵面上各点发出的子波同时传播到空间某一点时，各子波间也可 以相互迭加而产生干涉。 经过发展的惠更斯原理成为惠更斯费涅耳原理。根据这一原理，如果已知光波在某 一时刻的波阵面，就可以计算下一时刻光波传到的点的振动。 2、原理的定量表达式 如图所示，S 为某时刻光波波阵面， d s 为 S 面上的 一个面元， n 是 d s 的法向矢量，P 为 S 面前的一点，从
一、衍射装置
单缝衍射（单缝的夫琅和费衍射）
下图为单缝的夫琅和费衍射装置。
S
L1
K
L2
图 15-6
第十五章 光的衍射
S 为点光源，E 上是一些光斑，其
线垂直单缝。
S 为线光源，E 上是平行于狭缝的明暗相间的条纹。 二、用费涅耳半波带法确定明、暗条纹及位置 如图所示，一束平行光垂直入射到 K 上。对于沿入射波方向（ ϕ = 0 ）情况先考虑 一下。在单缝 AB 处，这些子波同位相，经 L 后会聚 O 处。因为 L 不引起光程差，所以 在 O 处这些子波仍同位相，故干涉加强，即出现亮纹（此条纹称为中央亮纹） 。
λ
2
(n = 2,3,)
在此情形下，将 AB 分成 n 个半波带，如果 n=偶数，则所有波带发出的光在 P 点成 对地（相邻的波带）互相干涉抵消，因而 P 点为暗纹。如果 n 为奇数，则 n 个波带中有 （n-1）个（偶数）个波带发出的光在 P 点成对地干涉相消，剩下的一个波带发出的光 未被抵消，所以 P 出现明纹。综上可知，可得如下结论： ϕ =0 λ 明纹条件： a sin ϕ = ±(2k + 1) (k = 1,2,) 2 暗纹条件： a sin ϕ = ± kλ (k = 1,2,) 。
λf
a
，
（4）k 级亮纹合成（2k+1）个半波带；k 级暗纹对应 2k 个半波带。 K 越大，AB 上波阵面分成的波带数就越多，所以，每个波带的面积就越小，在 P 点 引起的光强就越弱。因此，各级明纹随着级次的增加而亮纹减弱。 （5）单缝衍射亮纹分布 如下图所示，[用半波带法求得暗纹位置条件是 a sin ϕ = ± kλ (k = 1,2,) 是准确的， 而亮纹条件 a sin ϕ = ±(2k + 1) (k = 1,2,) 是近似的] 2 （6）白光做光源时，由于 O 处各种波长的光均加强，它们的位置在 O 处重合，所 以 O 处为白色条纹，在其它明纹中，同一级次条纹紫光距 O 近，红光距 O 远。 （7）由 a sin ϕ = ±(2k + 1) (k = 1,2,) 可知， λ 给定时， α 越小，则 ϕ 越大，即衍 2 射就显著； α 越大，则各级次衍射角 ϕ 就越小，这样，条纹都向 O 处靠近，逐渐分辨不 清，衍射就不明显。如果 α 比 λ 大得多，各级衍射条纹全部并入 O 处附近，形成一明纹， 这可认为光沿直线传播情况，看不到光的衍射现象。 （8）单缝 k 向上平移时，E 上图样不变。 因为单缝位置平移时，不影响 L 的会聚光的作用，此时会聚位置不变。 注意：光的单缝衍射与光的干涉明暗条纹条件的区别。 例 15-1：如图所示，用波长为 λ 的单色光垂直入射到单缝 AB 上， （1）若 AP-BP=2 λ ， 问对 P 点而言，狭缝可分几个半波带？P 点是明是暗？（2）若 AP-BP=1.5 λ ， 则 P 点又是怎样？对另一点 Q 来说，AQ-BQ=2.5 λ ，则 Q 点是明是暗？P、Q 二 点相比哪点较亮？ 解： （1）AB 可分成 4 个半波带，P 为暗点（2k 个） 。 （2）P 点对应 AB 上的半波带数为 3，P 为亮点。 Q 点对应 AB 上半波带为 5，Q 为亮点。