高考数学一轮复习第6单元不等式推理与证明第39讲数学归纳法课件理

__________都成立,上述证明方法叫做数学归纳法. 有正整数n
【特别提醒】 1.数学归纳法证题时,误把第一个值n0认为是1,如证明 多边形内角和定理(n-2)π时,初始值n0=3.
2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: (1)必须利用归纳假设作基础. (2)证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法. (3)解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了 哪些项.
(n∈N*).
2 3 4 2n1 2n
11
1
【n解题1导n引2】根据2n数学归纳法证明等式的步骤进行证
明.
【规范解答】(1)当n=1时,左边= 1 1 1 ，
右边=
1
1
左边=右边.
，
22
11 2
(2)假设n=k时等式成立，
即 1111 1 1 2 3 4 2k1 2k
则k当1n1=kk+11时2，21k,
求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N*).
【证明】(1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边= 左边=右2(1边,12等1式) 成1，立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k
【解析】用数学归纳法证明不等式
1 1 1 1 9(n∈N*且n>1)时,
第n 一1步n : 不2等n 式3 的左边3 是n10

(1)计算 a1，a2，a3，a4； (2)猜想 an 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)依题意，S1＝1－a1，即 a1＝1－a1， 所以 a1＝21＝1×1 2. S2＝1－2a2，即 a1＋a2＝1－2a2， 所以 a2＝61＝2×1 3. S3＝1－3a3，即 a1＋a2＋a3＝1－3a3， 所以 a3＝112＝3×1 4. S4＝1－4a4，即 a1＋a2＋a3＋a4＝1－4a4， 所以 a4＝210＝4×1 5.
解得 a1＝3，a2＝5，a3＝7.
(2)由(1)猜想 an＝2n＋1. 因为 Sn＝2nan＋1－3n2－4n，① n≥2 时，Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)，② ①－②得：
an＝2nan＋1－2(n－1)an－3[n2－(n－1)2]－4[n－(n－1)]， 所以 2nan＋1＝(2n－1)an＋6n＋1(n≥2)， 所以 an＋1＝2n2－n 1an＋6n2＋n 1，
累加法、累乘法 转化法 归纳、猜想与证明
考点1·累加法、累乘法
【例 1】已知数列{an}中，a1＝1，前 n 项和为 Sn＝n＋3 2an. (1)求 a2，a3； (2)求{an}的通项公式．
分析：由 Sn 与 an 的关系求通项，可利用 an 与 Sn 的关系：
an＝SS1n， －Sn－1，
点评：(1)累加法和累乘法是推导等差数列和等比数列 的通项公式时所采用的方法，是递推关系求通项的两种最 基本的方法．
(2)一般地，若 an－an－1＝f(n)，在 f(n)可求和的条件下， 求 an 可采用累加法；
若aan－n1＝g(n)，在 g(n)可求积的条件下，求 an 可采用 累乘法．
考点2·转化法
高考总复习第（1）轮 理科数学

[规律方法]
用数学归纳法证明等式的规则
(1)数学归纳法证明等式要充分利用定义，其中两个步骤 缺一不可，缺第一步，则失去了递推基础，缺第二步，则 失去了递推依据．
(2)证明等式时要注意等式两边的构成规律，两边各有多
少项，并注意初始值n0是多少，同时第二步由n＝k到n＝k ＋1时要充分利用假设，不利用n＝k时的假设去证明，就
[听课记录] (1)由题意，Sn＝bn＋r， 当 n≥2 时，Sn－1＝bn－1＋r. 所以 an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于 b＞0 且 b≠1， 所以 n≥2 时，{an}是以 b 为公比的等比数列． 又 a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， ∴aa21＝b，即b（bb＋－r1）＝b，解得 r＝－1.
D [由 f(n)可知，共有 n2－n＋1 项，且 n＝2 时，f(2)＝12＋13＋14.]
4 ． 用 数 学 归 纳 法 证 明 1 ＋ 2 ＋ 22 ＋ … ＋ 2n ＋ 1 ＝ 2n ＋ 2 －
1(n∈N*)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为
_____．
答案 1＋2＋22 [关Βιβλιοθήκη 要点点拨] 数学归纳法的应用
(1)数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明 方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一 步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假
设起着“已知条件”的作用，在n＝k＋1时一定要运用它，
否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑 结论”．
那么，当 n＝k＋1 时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)f（k＋1）－k＋1 1－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1) ＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当 n＝k＋1 时结论仍然成立． 由(1)(2)可知：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1) ＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．

课堂教学
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(3)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图 知，一级分形图有 3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有 9＝(3×22 －3)条线段，三级分形图中有 21＝(3×23－3)条线段，按此规律 n 级分形图中的线段条数 an＝3×2n－3(n∈N*)．
课堂教学
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1．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所 以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 解析：由条件知使用了三段论，但推理形式是错误的． 答案：C
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1 解析：VV12＝313SS12hh12＝SS12·hh21＝14×12＝18.
答案：1∶8
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5．观察下列不等式 1＋212<32， 1＋212＋312<53， 1＋212＋312＋412<74 …… 按此规律，第五个不等式为__________．
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解析：观察得出规律，左边为项数个连续自然数平方的倒数和， 右边为项数的 2 倍减 1 的差除以项数，即 1＋212＋312＋412＋512＋…＋n12 <2n－n 1(n∈N*，n≥2)，
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2．数列 2,5,11,20，x,47，…中的 x 等于( )
A．28
B．32
C．33
D．27
解析：由 5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9. 则 x－20＝12，因此 x＝32.
答案：B
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3．给出下列三个类比结论．
①(ab)n＝anbn 与(a＋b)n 类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)