计算方法试题参考

计算方法试题参考 2002-2003第一学期一．计算及推导（5*8）1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。

2．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。

3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。

5．推导中矩形求积公式''31()()()()()224baa b f x dx b a f f b a η+=-+-⎰6．试证明插值型求积公式0()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是n 次。

7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b 内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。

8．用三角分解法求解线性方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。

（保留5位有效数字）（12分） 三． 已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x ∈迭代法都收敛，并证明其收敛性。

（2）00.5x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。

四． 设有方程组112233131232a x b a x b a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1） 当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。

（2） 写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。

（12分） 五．用欧拉预估校正法求解初值问题'2 (00.2)(0)1x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩取h=0.1，小数点后保留5位。

（8分）六．证明求解初值问题 '00(,) ()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩的如下单步法12121(,)11(,)22n n n n n n y y K K hf x y K hf x h y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩ 是二阶方法。

（10分）七．试证明复化梯形求积公式101()(()2()()) 2n bi n ai h b af x dx f x f x f x h n -=-≈++=∑⎰对任意多的积分节点数n+1,该公式都是数值稳定的。

（6分）2003-2004第一学期一．填空（3*5）1．近似数*0.231x =关于真值0.229x =有----位有效数字。

2*x 的相对误差的----倍。

3．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式----。

4．插值型求积公式0()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是----次。

5．拟合三点(1,0),(1,3)A B ==和(2,2)C =的常函数是---。

二．已知()f x 有如下的数据试写出满足插值条件()()i i P x f x =以及'(2)'(2)P f =的插值多项式()P x ，并写出误差的表达形式。

三．（1）用复化辛浦森公式计算10x e dx ⎰为了使所得的近似值有6位有效数字，问需要被积函数在多少个点上的函数值？（2）取7个等距节点（包括端点）用复化辛浦森公式计算721lg x xdx ⎰，小数点后至少保留4位。

四．曲线3y x =与1y x =-在点（0.7，0.3）附近有一个交点(,)x y ，试用牛顿迭代公式计算x 的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤ 五． 用雅可比方法解方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦是否对任意的初始向量(0)x 都收敛，为什么？取(0)(0,0,0)T x =，求出解向量的近似向量，要求满足(1)()613max 10k k i i i x x +-≤≤-≤。

六．用校正一次的欧拉预估校正格式求解初值问题'2+1(0)0y y y ⎧=⎨=⎩的解函数在0.6x =处的近似值，要求写出计算格式。

（步长0.3h =,小数点后保留5位有效数字）七．设有求解初值问题'00(,)()y f x y y x y ⎧=⎨=⎩的如下格式11(,)n n n n n y ay by chf x y +-=++如假设11(),()n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？2005-2006第二学期 一．填空（3*5）1． 设近似数**121.2250,0.5168x x ==都是四舍五入得到的，则相对误差**12()r e x x ≤----。

2． 矛盾方程组112.83.2x x =⎧⎨=⎩的最小二乘解为----。

3． 近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字 4．1.732≈，迭代过程1n n y y +=+是否稳定？ 5． 求积公式31()2(2)f x dx f =⎰有几次的代数精确度？二． 取初值0 1.6x =5110n n x x -+-≤时停止迭代。

三．用最小二乘法确定21y a bx x=+中的常数a 和b ，使该曲线拟合于下面的四个点（1，1.01）（2，7.04）（3，17.67）（4，31.74） （计算结果保留到小数点后4位）四．用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值1λ的第k 次近似值()1k λ及相应的特征向量1x ，要求取初值0(1,1,1)T u =且()(1)31110k k λλ---≤这里 A=512101613-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦五．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组1231231239268888x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-++=-⎩收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3） 六．已知单调连续函数()y f x =的如下数据1.120.00 1.802.20() 1.100.500.90 1.70i i x f x ---用插值法求方程()0f x =在区间（0.00，1.80）内根的近似值。

（小数点后至少保留4位）七．设有积分104dxI x=+⎰取5个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些节点上的函数值表（小数点后至少保留4位）用复化的simpson 公式求该积分的近似值，并且由截断误差公式估计误差大小。

八．给定初值问题'0(0)0xy yy ⎧-=⎪⎨⎪=⎩1 1.4x ≤≤ 写出Euler 预估校正格式取步长为0.2，计算在1.4处的函数的近似值。

九．设矩阵A 对称正定，考虑迭代格式(1)()(1)()2k k k k x x xxA b ω++⎡⎤⎛⎫+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦0,0,1,2,3...k ω>=对任意的初始向量(0)(1),k x x +是否收敛到Ax b =的解，为什么？计算方法2006-2007第二学期1 填空1）. 近似数0142.0*=x 关于真值0139.0=x 有__为有效数字。

2） 适当选择求积节点和系数，则求积公式)()(111k nk k x f A dx x f ⎰∑-=≈的代数精确度最高可以达到______次.3） 设近似数0235.0*1=x ，5160.2*2=x 都是四舍五入得到的，则相对误差)(*2*1x x e r 的相对误差限______4) 近似值5**x y =的相对误差为)(*x e r 的____ 倍。

5） 拟合三点A(0,1), B(1,3)，C(2,2)的平行于y 轴的直线方程为_____.2. 用迭代法求方程0222=++x x e xe x 在（-1，0）内的重根的近似值1+n x 。

要求1）说明所用的方法为什么收敛；2）误差小于410-时迭代结束。

3．用最小二乘法确定x b ax y ln 2+=中的a 和b ，使得该函数曲线拟合于下面四个点 (1.0,1.01), (1.5,2.45), (2.0,4.35), (2.5,6.71) (计算结果保留到小数点后4位)写出中心差分表示的二阶三点微分公式，并由此计算)1.1(''f 。

5 已知五阶连续可导函数)(x f y =的如下数据试求满足插值条件的四次多项式).(x p6 设有如下的常微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤<=1)1(4.11,y x yxdx dy 1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。

2）取步长0.2用上述格式求解。

7 设有积分dx e I x ⎰=6.0021）取7个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后4位）2）用复化simpson 公式求该积分的近似值。

8 用LU 分解法求解线性代数方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-731395222211212032114321x x x x 9 当常数c 取合适的值时，两条抛物线c x x y ++=2 与x y 2=就在某点相切，试取出试点3.00=x ，用牛顿迭代法求切点横坐标。

误差小于410-时迭代结束。

参考答案； 1: (1)2, (2) 2n-1 (3) 2.1457*10E-3 （4）1/5 (5) x=1 2 解：将方程变形为 0)(2=+x e x即求0=+x e x 在（-1，0）内的根的近似值1+n x 牛顿迭代格式为 nnx x n n n e e x x x ++-=+11收敛性证明； 局部收敛定理 结果 56714.04-=x 。

3 用最小二乘法 正则方程组为⎩⎨⎧=+=+1586.1048446.141165.986.6541165.9125.61a b a 解得 a=1.0072; b=0.4563 4．解 推导中心差分格式))(2)(((1)(12021''x f x f x f h x f -+=得到3)1.1(''=f 5 解3432).(x x x p +-=截断误差 23)5()1(!5)()(-=x x f x R ξ 6 4.1)4.1(;2.1)2.1(==y y 7 0.68058 （0 1 0 1） 9 解 两条曲线求导12'+=x y 和21'-=x y切点横坐标一定满足12+x =21-x将等式变形为 144)(23-++=x x x x f 牛顿迭代法 结果为 0.34781。