初中数学比例线段

线段分线段成比例定理基础练习一、基本概念线段分线段成比例定理，又称为线段的内分和外分定理，是初中数学的重要基础知识之一。

它是指一条直线上的两个点把这条直线划分为三个部分时，两个点与这条直线上其他一点的距离之比等于这两个点所对应的线段之比。

二、成比例定理的表达方式在线段AB上取一点P，使得AP：PB = m：n，其中m，n为正实数。

根据线段分线段成比例定理可得：AP / PB = AP / (AB - AP) = m / n。

三、基础练现在，我们来进行一些线段分线段成比例定理的基础练。

1. 练一已知AB = 12cm，AP：PB = 2：3，求AP和PB的长度。

解答：根据线段分线段成比例定理，我们有AP / PB = 2 / 3。

又知AB = AP + PB，代入已知条件可得：12 = AP + PB。

由此可得到方程组：AP / PB = 2 / 3，AP + PB = 12。

解方程组可得：AP = 4cm，PB = 8cm。

2. 练二已知AB = 15cm，AP：PB = 3：5，求AP和PB的长度。

解答：根据线段分线段成比例定理，我们有AP / PB = 3 / 5。

又知AB = AP + PB，代入已知条件可得：15 = AP + PB。

由此可得到方程组：AP / PB = 3 / 5，AP + PB = 15。

解方程组可得：AP = 5cm，PB = 10cm。

四、总结通过以上练习，我们可以进一步理解线段分线段成比例定理的应用。

在实际问题中，我们可以利用成比例定理快速求解未知长度或比例关系的线段问题。

熟练掌握线段分线段成比例定理的运用，有助于解决更复杂的几何问题。

《比例线段》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生对比例线段概念的理解，掌握比例线段的性质和基本应用，通过练习和思考，提高学生的数学逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二、作业内容1. 基础练习：（1）通过例题让学生熟悉比例线段的基本概念，包括外项与内项、外项积等于内项积等。

（2）提供几组线段长度，要求学生判断是否构成比例线段，并说明理由。

2. 概念运用：（1）设计应用题，让学生运用比例线段的知识解决实际问题，如测量物体的长度等。

（2）让学生通过绘制图形，理解并运用比例线段的性质。

3. 拓展提高：（1）设计一些综合性问题，提高学生对比例线段知识的综合运用能力。

（2）提供一些开放性问题，鼓励学生自主探索，培养创新思维。

三、作业要求1. 完成基础练习部分，确保对比例线段的基本概念和性质有清晰的认识。

2. 在概念运用部分，要积极思考，尝试运用所学知识解决实际问题。

3. 拓展提高部分，学生可根据自身能力选择完成，鼓励创新和探索。

4. 作业完成后，要自我检查，确保答案准确无误。

5. 按时提交作业，并附上解题过程和思路。

四、作业评价1. 教师根据学生的作业完成情况，对基础知识和概念的理解程度进行评价。

2. 对学生在概念运用和拓展提高部分的创新和探索精神给予肯定和鼓励。

3. 对学生在解题过程中出现的错误和不足，及时指出并给予指导。

4. 将学生的优秀作业在班级内展示，供大家学习借鉴。

五、作业反馈1. 教师根据学生的作业情况，进行针对性的讲解和点评。

2. 对学生在解题过程中出现的共性问题，进行重点讲解和强调。

3. 鼓励学生提出疑问和困惑，教师及时解答，帮助学生解决学习中的难题。

4. 作业反馈后，要求学生根据教师的点评和建议，对作业进行修正和完善。

六、后续教学建议根据学生的作业情况和反馈，教师可以对后续的教学内容和进度进行调整，以确保教学效果和质量。

同时，可以引导学生进行自主学习和探究学习，培养学生的数学学习兴趣和自信心。

4·1线段的比1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.3. 比例线段四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.（a 、d 叫做比例线段的外项，b 、c 叫做比例线段的内项） 4. 比例的基本性质. （比例线段中两个外项的积等于两个内项的积）反之也成立。

即如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么5. 合比性质.6. 等比性质7.线段的比和比例线段的区别和联系两条线段的比：＝：或写成，其中，线段、分别叫做AB CD m n AB CD mn AB CD =这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么或。

m n k ABCDk AB k CD ==⋅2. 比例尺＝图上距离实际距离四条线段、、、中，如果与的比等于与的比，即，那么，这a b c d a b c d a b cd=如果，那么。

a b cdad bc ==a b cd =如果，那么。

a b c d a b b c dd =±=±如果，那么。

a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++≠++++++= ()0鹏翔教图1BCA 线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.8. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =1. 已知A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为_____________，现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则将两地实际距离用科学记数法表示为____________千米.（保留两个有效数字） 【解析】∴图上距离与实际距离之比为1：8000000∴太原到北京的实际距离＝6.4×8000000＝51200000（cm ）＝512千米 点评：注意单位要统一.2.在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【解析】（1）根据题意，得808000000千米＝cm太原到北京的图上距离太原到北京的实际距离＝1800000090001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度因此，新安大街的实际长度是 16×9000=144000（cm ）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000（cm ） 90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现：光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度= 3.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 【解析】根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是 2×8000=16000（cm ）=160（m ） 矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m4.为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值. 【解析】方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）∴1311a a = 解得：a =3图4－1方案（2）： 由（*）得axa 112111-==∴x =a1,a =2 方案（3）： 由（*）得211ya = ∴y =a21 且11z a = ∴z =a 1 由aa 211+=a 得a =621图4－2方案（4）： 由（*）得an ab a 11111-==m a a a 11-= ∴b =a1 n =1－21am =a 2－1∵m +n =1 ∴1－21a+a 2－1=1∴a =2522+（负值舍去）55.（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 【解析】（1）由dcb a ==3,得 a =3b ,c =3d .因此，bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k ,得a =bk ,c =dk .所以b bbk b b a +=+=k +1, dddk d d c +=+=k +1. 因此：ddc b b a +=+. 6. 在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，求AC 与BD 的比值.【解析】设AO ＝x7．下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.AB O DCAC BD ABO B AB AO x ⊥∠=∠===，，则123022又菱形中 ABCD AC x =2BO AB AO x x x=-=-=222223()∴==BD BO x 223∴===AC BD x x 2231333图4－4（1）线段CD 与HL ，OA 与OF ，BE 与GM 的长度分别是多少？（2）线段CD 与HL 的比，OA 与OF 的比，BE 与GM 的比分别是多少？它们相等吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ 【解析】（1）CD =2，HL =4，OA =415422=+, OF =41281022=+ BE =52122=+, GM =524222=+（2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有21====GL BD GH BC FG AB OM OE 8. 已知四条线段a ＝8cm ，b ＝4cm ，c ＝2.5cm ，d ＝5cm ，试判断它们是否成比例（若a ＝8cm ，b ＝0.05m ，c ＝0.6dm ，d ＝10cm 呢）？ 【解析】分析先按从小到大或从大到小的顺序排列，然后比较最大和最小两线段长度的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等.（1）从小到大排列为c 、b 、d 、a ac ＝8×2.5＝20，bd ＝4×5＝20 ac ＝bd ∴成比例（2）先化成同一单位，并从小到大排列为b 、c 、a 、d b ＝5cm ，c ＝6cm ，a ＝8cm ，d ＝10cm bd ＝5×10＝50，ac ＝6×8＝48 bd ≠ac ∴不成比例9.（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b an d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.【解析】（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d cb a = ∴d cb a =-1－1 ∴dd c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++ 设fe d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴bak f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)(（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±∵d c b a = ∴d c b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a =bk ,c =dk ,…,m =nk ∴bak n d b m d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(10.已知：d c b a ==fe=2（b +d +f ≠0） 求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b ec a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb e a 55--.【解析】∵d c b a ==f3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f∴（1）f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2（2）fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2（3）f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2（4）f b f b f b e a 510255--=--=fb f b 5)5(2--=211.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值. 【解析】（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k ∵a +3b －3c =14 ∴4k +9k －6k =14 ∴7k =14 ∴k =2 ∴a =8,b =6,c =4（2）4a －3b +c =32－18+4=1812的面积.精析：根据比例的性质及已知条件求出a 、b 、c 的值，然后由三角形的面积公式求解.【解析】解之得：k ＝5∴△ABC 是以a ＝15cm ，b ＝20cm 为两条直角边，以c ＝25cm 为斜边的直角三角形.点评：比例实际上是比例性质的应用问题。

第4讲 比例线段初步知识总结归纳一. 平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==三. 平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥．四. 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，则BD EGDC FG=．G FE DCBAADAEGFCED CBAB D AE C典型例题一. 比例式的计算【例1】 已知35a b =，求（1）b a ；（2）a bb +的值．【例2】 已知513b a =，则a ba b-+的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．94 D ．49【例3】 已知()()73a b a b +-=：：，求（1）ab；（2）222ab b a b ++．【例4】 已知425x y z==，那么3223x y zx y-+=+______；若(2)4x y y +=：，那么(32)(45)x y x y -+=：______．二. 基础训练【例5】 如图，已知直线a b c ∥∥，直线m 、n 分别与a 、b 、c 交于A 、C 、E 、B 、D 、F ．若4AC =，6CE =，3BD =，则BF =_______．【例6】 如图，12l l ∥，25AF FB =：：，41BC CD =：：，则AE EC =：_______．CF D BAEnbam cE FG AD C B2l1l【例7】 如图，DE BC ∥，且DB AE =，若510AB AC ==，，求AE 的长．EDCBA【例8】 证明下列各组问题，并对各组的两个图形进行比较：（1）如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，求证：BD EGDC FG=．（2）如图，已知DE BC ∥，EF CD ∥，求证：2AD AF AB =⋅．【例9】 如图，已知ABC △，作DE BC ∥交AB 于D ，交AC 于E ，连CD 、BE 交于点F ．求证：（1）DF AD CF AB =；（2）1BD EFAB BF+=．FEDCBAG FEDCBABDAEGFCFEDCBACBFDEA【例10】 如图，已知AD 为ABC △的BC 边上的中线，P 为线段BD 上一点，过点P 作AD 的平行线交AB 于Q ，交CA 的延长线于R ．求证：2PQ PR AD +=．【例11】 如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明：111AB CD EF+=． FEDCBA【例12】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长．OFED CBA三. 巩固提高【例13】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．F E DCBAQDPBCA R【例14】 如图，在ABC △中，D 、E 为AC 、AB 上的点，BD 、CE 相交于O ，取AB 的中点F ，连结OF ．若12AD CD =，12AE BE =．求证：OF BC ∥．【例15】 如图，ABCD □中，AC 与BD 交于O 点，E 为AD 延长线上一点，OE 交CD 于F ，EO 的延长线交AB 于G ，求证：2AB ADDF DE-=．【例16】 在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于．O ．，直线l BD ∥，且与AB 、DC 、BC 、AD 及AC的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P ，求证：PM PN PR PS ⋅=⋅．CES RNPC OD BAMlO E DCBAF【例17】 已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥，AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．G FECDBA【例18】 已知O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点O 作EF AB ∥，分别交AD 、BC 于E 、F ，又过O 作GH BC ∥，分别交AB 、CD 于G 、H ；连结BE ，交GH 于P ；连结DG ，交EF 于Q ．如果OP OQ =，求证：平行四边形ABCD 是菱形．【例19】 已知：P 为ABC △的中位线上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对边AC 、AB 于D 、E ，求证：1AD AEDC EB+= PNME D CBA思维飞跃【例20】 如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥（AD BC ＜），AC 和BD 相交于M ，EF AD ∥，且过M ，EC 和FB 交于N ，GH AD ∥，且过N ．求证：1212AD BC EF GH+=+．【例21】 如图，AD 是ABC △的中线，过CD 上任意一点F ，作EG AB ∥，与AC 和AD 的延长线分别交于G 和E ，FH AC ∥交AB 于点H ，求证：HG BE =．作业1. 已知238x y z ==，求（1）22x z y z +-；（2）2345x y zx+-．DHG F ECBANH MG F E CBD A2. 如下两个图中，已知EF BC ∥，FG DC ∥，分别证明：AE AGAB AD=．3. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ． （1）求证：EF CD ∥（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．FEMDCBA4. 在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC 与BD 交于O ，MON AB ∥，且MON 交AD 、BC 于M 、N ．若1MN =，求11AB CD+的值．EF GD CBA CGE BAF5. 如已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．DOECB A6. 如图，已知D 、E 是AC 、AB 上的点，BD 、CE 交于O 点，过O 点作OF CB ∥交AB 于F ，12AD CD =，12AE BE =，求证：F 为AB 的中点．7. 设D 为ABC △的边BC 的中点，过D 作一条直线，交AB 、AC 或其延长线于E 、F ，又过A 作AG BC ∥，交EF 的延长线于G ，则EG FD GF DE ⋅=⋅．F OECB ADFC DB EGA8. 凸四边形ABCD 中，ADC ∠，90BCD ∠o ＞，BE 平行于AD 交AC 延长线于点E ，AF 平行于BC 交BD 延长线于点F ，，连接E 、F ．证明：EF CD ∥．9. 如图， 在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形ABC △、ADE △、AFG △，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN 交AC 于L ，求AL 的长．10. 如图，D 、E 、F 分别是ABC △中BC 、CA 、AB 的中点，过A 任作一直线DE 、FD 分别交于G 、H ，求证：CG BH ∥．CDOF EBA LNFE DC lBGAHG FED C BAP。

湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》说课稿1一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》是整个初中数学的重要内容，是对比例的基本概念和性质的进一步延伸。

本节内容通过比例线段的概念，引入了线段之间的比例关系，让学生体会数学与实际生活的联系，培养学生的抽象思维能力。

教材从生活实例出发，引出比例线段的概念，然后通过大量的例题和练习，使学生掌握比例线段的性质和运用。

教材在编写上注重引导学生主动探究，培养学生的动手操作能力和合作意识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了比例的基本概念和性质，对数学知识有一定的积累。

但是，对于比例线段的理解和运用，还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，我将以学生为主体，注重启发式教学，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。

三. 说教学目标根据新课程标准的要求，本节课的教学目标如下：1.知识与技能：让学生理解比例线段的概念，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、讨论等数学活动，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学与实际生活的联系，培养学生的合作意识，激发学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的概念及其性质。

2.教学难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 说教学方法与手段为了实现本节课的教学目标，我将以学生为主体，采用启发式教学法、讨论法、案例教学法等多种教学方法，引导学生主动探究，提高学生的数学素养。

同时，利用多媒体课件和教具，辅助教学，使抽象的数学概念形象化、直观化。

六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，引出比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍比例线段的性质，引导学生主动探究，培养学生的抽象思维能力。

3.案例分析：分析实际问题，引导学生运用比例线段解决问题，提高学生的动手操作能力。

4.课堂练习：设计具有针对性的练习题，巩固所学知识，提高学生的应用能力。

自学资料一、比例线段【知识探索】1．比例线段的基本性质：（1）如果，那么．（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，、、、的位置可以灵活变化．若，则、、、、、、．【注意】（1）对于实数、、、，如果成立，则不一定成立；如果，则一定成立．（2）对于线段长度、、、，如果成立，则一定成立；如果，则也一定成立．第1页共24页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页 共页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项．求线段c的长．【答案】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=2cm，c=6cm，∴d=4cm；（2）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，∴c2=ab=36，解得：c=±6，又∵线段是正数，∴c=6cm．4．已知线段a=0.3m，b=60cm，c=12dm．（1）求线段a与线段b的比．（2）如果线段a、b、c、d成比例，求线段d的长．（3）b是a和c的比例中项吗？为什么？【答案】解：（1）∵a=0.3m=30cm；b=60cm，∴a：b=30：60=1：2；（2）∵线段a、b、c、d是成比例线段，∴ab =c d，∵c=12dm=120cm，∴12=120d，∴d=240cm；（3）是，理由：∵b2=3600，ac=30×120=3600，∴b2=ac，∴b是a和c的比例中项．二、黄金分割【知识探索】1．与的比值称为黄金分割数，简称黄金数．第4页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第5页 共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【说明】黄金分割数是一个无理数，在应用时常取它的近似值．【注意】 （1）不是黄金分割数； （2）．（3）称为黄金分割数或简称黄金数；它的倒数称为黄金比．【错题精练】例1．已知如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），AB=2，则AC 的长为（ ） A. √5−1 B. √5+1C. √5−2D. 3−√5【解答】解：∵C 为线段AB=5的黄金分割点，且AC ＞BC ，AC 为较长线段， ∴AC=√5−12×2=√5−1，故选：A ．【答案】A例2．把1米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ） A. 3−√52 B. √5−12 C.1+√52D.3+√52【解答】解：较短的线段长=1×（1-√5−12）=3−√52； 故选：A ．【答案】A例3．美是一种感觉，本应没有什么客观的标准，但在自然界里，物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考，在数学上，这个比例称为黄金分割．在人体躯干（由脚底至肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，也就是说，若此比值越接近0.618，就越给别人一种美的感觉．如果某女士身高为1.65 m ，躯干与身高的比为0.60，为了追求美，她想利用高跟鞋达到这一效果，那么她选的高跟鞋的高度约为（ ） A. 2.5 cm B. 5.3 cm C. 7.8 cm D. 8.5 cm【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.6=99cm ，第6页 共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训设选的高跟鞋的高度是xcm ，则根据黄金分割的定义得：99+x165+x =0.618， 解得：x≈7.8cm ． 故选：C ．【答案】C例4．如果C 是线段AB 一点，并且AC ＞CB ，AB =1，那么AC 的长度为（ ）时，点C 是线段AB 的黄金分割点． A. 0.618； B. 1−√52； C.√5−12； D.3−√52．【答案】C例5．实数a,n,m,b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点为A ，N ，M ，B （如图），若AM 2=BM·AB ，BN 2=AN·AB ，则称m 为a,b 的“大黄金数”，n 为a,b 的“小黄金数”，当b −a =2时，a,b 的大黄金数和小黄金数只差m −n =__________【答案】2√5−4例6．如图，在△ABC 中，AC=BC ，在边AB 上截取AD=AC ，连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则∠A 的度数是______．【解答】解：∵点D 是线段AB 的一个黄金分割点， ∴AD 2=BD•AB ， ∵AD=AC=BC ， ∴BC 2=BD•AB ，即BC ：BD=AB ：BC ， 而∠ABC=∠CBD ， ∴△BCD ∽△BAC ，∴∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=2x，∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°．故答案为36°．【答案】36°例7．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E，（1）试说明点E为线段AB的黄金分割点；（2）若AB=4，求BC的长．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=12（180°-36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=12∠ACB=12×72°=36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴ABBC =BC BE，∴BC2=AB•BE，即AE2=AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，第7页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页 共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练 非学科培训∴BC=√5−12•AB=√5−12×4=2√5-2．【举一反三】1．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A. ACAB =BCAC B. BC 2=AB•BC C. ACAB =√5−12D. BCAC ≈0.618【解答】解：∵AC ＞BC ， ∴AC 是较长的线段，根据黄金分割的定义可知：AB ：AC=AC ：BC ，故A 正确，不符合题意； AC 2=AB•BC ，故B 错误，AC AB=√5−12，故C 正确，不符合题意；BCAC≈0.618，故D 正确，不符合题意．故选：B ．【答案】B2．如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD 内，点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ，若AB=2a ，则BE 长为（ ）A. （√5+1）aB. （√5-1）aC. （3-√5）aD. （√5-2）a【解答】解：∵点E 是AB 的黄金分割点，BE ＞AE ， ∴BE=√5−12AB=√5−12•2a=（√5-1）a ． 故选：B ．【答案】B3．如图，P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，若S1表示以AP为边正方形的面积，S2表示以AB为长PB为宽的矩形的面积，则S1、S2大小关系为（）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 不能确定【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，∴PA2=PB•AB，又∵S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示以长为AB，宽为PB的矩形的面积，∴S1=PA2，S2=PB•AB，∴S1=S2．故选：B．【答案】B4．已知点C在线段AB的黄金分割点，且AB=10cm，则线段AC的长为______【答案】5√5−5或15−5√55．如图，AD是△ABC的外角平分线，且ABAC =√5+12，求证：C是BD的黄金分割点．【答案】证明：过C作CE∥AD，交AB于点E，∵CE∥AD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵AD平分外角，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AE=AC，第9页共24页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训∵CE∥AD，∴ABAE =BD CD，∴ABAC =BD CD，∵ABAC =√5+12，∴BDDC =√5+12，∴BD=√5+12CD，∴CD=√5−12BD，即C是BD的黄金分割点．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是∠ACB的平分线．（1）△ABC和△CBD相似吗？为什么？（2）AD、AB、BD之间有什么关系？为什么？【答案】解：（1）相似，理由如下：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB=∠DCA=∠A，且∠ABC=∠CDB，∴△ABC∽△CBD；（2）由（1）可得△ABC∽△CBD，∴CDAB =BD BC，又由（1）可知AD=CD=CB，∴AD2=AB•BD．三、平行线分线段成比例定理【知识探索】第10页共24页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等．【说明】“平行线等分线段定理”是“平行线分线段成比例定理”的特例．【错题精练】例1．已知直线a//b//c,直线m交直线a,b,c于点A,B,C,直线n交直线a,b,c于点D,E,F，若ABBC =12,则（）A. 13B. 12C. 23D. 1【答案】C例2．D、E分别为△ABC中BC、AC边上的点，且BD：DC=1：3，AE：EC=2：1，则AF：FD=（）A. 3：1B. 5：1C. 8：1D. 9：1【解答】解：过点A作AG平行BC交BE延长线与G，∴△AGE∽△CEB，∴AGBCEC=2，∴AG=2BC，∵BD：CD=1：3，∴BC=4BD，∴AG=8BD，∵△AGF∽△DBF，∴AFDF=AGBD=8，故选：C．【答案】C例3．如图是小刘做的一个风筝支架示意图，已知BC∥PQ，AB：AP=2：5，AQ=20cm，则CQ的长是（）A. 8cmB. 12cmC. 30cmD. 50cm【解答】解：∵BC∥PQ，∴△ABC∽△APQ，∴ABAP=ACAQ∵AB：AP=2：5，AQ=20cm，∴AC20=25，解得：AC=8cm，∴CQ=AQ-AC=20-8=12（cm），故选：B．【答案】B例4．如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB=4，BC=8，EF=12，求DE的长．（2）如果DE：EF=2：3，AB=6，求AC的长．【答案】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴DEEF=ABBC例5．如图，△ABC中，DE∥BC，若AD：DB＝2：3，则下列结论中正确的（）A. DEBC =23；B. DEBC =25；C. AEAC =23；D. AEEC =25．【答案】B【举一反三】1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F，若AB=2，AD=BC=4，则BECF的值应该（）A. 等于13； B. 大于13；C. 小于13； D. 不能确定．【答案】B2．如图，在△ABC中，AB∥EF∥GH，AE=GC，EF=14，GH=5，那么∴y=95x，∴5AB=x2x+y=x2x+x95=519，∴AB=19．故答案为：19．【答案】193．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，AD：DF：BF=1：2：3，BC=10cm．（1）求AE：EG：GC的值；（2）求DE与FH的比．，∴FH=25×10=4，∴DEFH=53534=512．4．如图，D是BC上一点，E是AB上一点，AD、CE交于点P，且AE：EB=3：2，CP：CE=5：6，那么DB：CD=（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 1：4【解答】解：作EF∥BC交AD于F，如图，∵EF∥BD，AE：EB=3：2，∴EF：BD=AE：AB=3：5，∴BD=53EF，∵EF∥CD，∴EF：CD=EP：PC，而CP：CE=5：6，∴EF：CD=1：5，∴CD=5EF，∴BD：CD=53EF：5EF=1：3．故选：B．【答案】B5．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5B. 6C. 7D. 8【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB=4，AC=6，DF=9，∴ABAC =DEDF，即46=DE9，可得；DE=6，故选：B．【答案】B6．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AE2=AD•AB，∠ABE=∠ACB．（1）求证：DE∥BC；（2）如果S△ADE：S四边形DBCE=1：8，求S△ADE：S△BDE的值．【答案】（1）证明：∵AE2=AD•AB，∴AEAD =ABAE，又∵∠EAD=∠BAE，∴△AED∽△ABE，∴∠AED=∠ABE，∵∠ABE=∠ACB，∴∠AED=∠ACB，∴DE∥BC；（2）解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =（ADAB）2，∵S△ADES四边形DBCE =18，∴S△ADES△ABC =19，∴（ADAB ）2=19，∴ADAB =13，∴ADDB =12，∴S△ADES△BDE =12．7．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB=4，AC=6，DF=9，则DE=（）A. 5；B. 6；C. 7；D. 8．【答案】B1．△ABC中，已知点D、E分别为BC、AC的中点，△ABC的面积是12，则△CDE的面积为________【答案】3．2．（浙江杭州市中考22）（本题满分12分）如图，在△中（），，点在边上，于点．（1）若，，求的长；（2）设点在线段上，点在射线上，以，，为顶点的三角形与△有一个锐角相等，交于点．问：线段可能是△的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【解答】【答案】（1）（2）略．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线的交点为O，CE∥AB交BD的延长线于E，若OB=6，OD=4，则DE=（）A. 12B. 9C. 8D. 5【解答】解：在梯形ABCD中，由分析可知BO：OE=AO：OC=OD：OB，即：OD：OB=BO：OE，又OB=6，OD=4，即4：6=6：OE，解得OE=9，又OD=4，所以DE=5，故选D．【答案】D。

初中数学与圆有关的比例线段
与圆有关的比例线段
《宫长路》
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．
——相交弦、切割线、切线长定理
五与圆有关的比例线段
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题. 探究1:如图1,AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,AB 与CD 相交于P,线段PA、PB、PC、PD 之间有什幺关系？
证明:连接AD、BC.
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB.
探究2:将图１中的AB 向上（或向下）平移,使AB 不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？
证明:连接AD、BC.
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB.。

浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿4一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册4.1的内容，本节课的主要目标是让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质和应用。

在教材中，通过引入实际问题，引导学生探究比例线段的关系，从而让学生体会数学与实际生活的联系。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握比例线段的知识，为后续学习相似三角形打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本数学知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体的实例和引导，让学生逐步理解和掌握。

此外，学生可能对实际问题中的比例关系有一定的了解，但如何将实际问题转化为数学问题，运用比例线段解决问题，还需要在本节课中进行引导和培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，能运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等数学活动，培养学生的动手能力、观察能力和推理能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的定义及其性质。

2.教学难点：比例线段在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等，引导学生主动参与，积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示实际问题，引导学生关注比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生通过观察、操作、猜想、验证等过程，发现并总结比例线段的性质。

3.应用拓展：让学生运用比例线段解决实际问题，巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调比例线段的概念和性质。

5.布置作业：设计具有针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

比例线段知识定位比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。

在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。

知识梳理知识梳理1：比例线段相关定理平行线分线段成比例定理：如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=． l 3l 2l 1FE D CB A平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==平行的判定定理：如上图，如果有AD AEAB AC=，那么DE BC ∥． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，ED CBAB DAE C则BD EGDC FG=．知识梳理2：圆中的比例线段角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。

1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。

2、切割线定理如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。

3、割线定理如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。

例题精讲【试题来源】【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。

若MN=1，求11AB CD+的值。

G FE DCBAADAEGFCPOC ABAOPBTAOPBCD【答案】2【解析】【知识点】比例线段【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2【试题来源】【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BFAFmn=(m，n>0)，取CF的中点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BEEC的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BFAFmn=的值；如果不能，证明你的结论。

线段比例定理线段比例定理（线段分比定理）是我们初中数学学习中的一个重要定理，用于解决线段之间的比例关系。

线段比例定理也被称为“线段分割定理”或“辅助线定理”，它可以帮助我们求解直线上的任意一点将线段分割成两个比例相等的部分。

线段比例定理的表述如下：在直线上取一点P，将线段AB分割成AP和PB两部分。

若AP:PB的比例为m:n，则有AB:m+n 。

线段比例定理的证明较为简单，我们可以通过画一条辅助线，构造相似三角形，然后运用相似三角形的性质来进行推导。

根据相似三角形的边长比定理，我们可以得到AP与AB的比例等于AP与PB的比例，即AP:AB=AP:PB。

进一步推导就可以得到定理的结论。

线段比例定理在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在计算地图比例尺时，我们可以利用线段比例定理来确定两个距离之间的比例关系。

又如，在建筑设计中，我们需要按照比例绘制建筑平面图，我们也可以利用线段比例定理来求解不同线段之间的比例关系。

在求解实际问题时，我们可以运用线段比例定理的逆定理，即如果在直线上取一点P，使得AP与PB的比例为m:n，则线段AB被点P分割的比例即为m:n。

这样，我们可以通过已知线段之间的比例关系，通过线段比例定理来求解未知的线段长度。

除了直线上的线段比例定理，我们还可以推广它到平面内的比例定理。

在平面内，我们可以取三个点A、B、C，并画出平行于线段AB的线段DE与线段AC相交，得到线段比例定理的推广形式。

通过推广，我们可以在平面内的更复杂情况下应用线段比例定理解决问题。

线段比例定理是初中数学中的重要定理，通过合理运用，可以帮助我们解决线段之间的比例关系以及实际问题。

它不仅仅在数学上具有重要意义，也在物理、建筑、地理等领域有着广泛的应用。

在我们学习和应用线段比例定理的过程中，需要注意理解定理的含义，灵活运用定理进行问题求解，以加深对数学知识的理解和掌握。

通过数学学习，我们可以提高解决问题的能力与思维能力，拓宽我们的视野与思维方式。