高中数学第一章解三角形1-2应用举例第1课时距离问题优化练习新人教A版必修5

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第1课时距离问题［课时作业][A组基础巩固］1．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a（km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为( )A。

错误!a km B。

错误!a kmC．a km D．2a km解析:△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，AB＝错误!a.答案:A2.如图，一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处．C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔,其方向是北偏东60°，那么B,C两点间的距离是（)A．102海里B．10错误!海里C．20错误!海里D．20错误!海里解析：由题目条件，知AB＝20海里,∠CAB＝30°，∠ABC＝105°,所以∠ACB＝45°。

由正弦定理,得错误!＝错误!，所以BC＝10错误!海里，故选A。

答案：A3．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度（单位:m)是（)A．5 B．10C．10错误!D．10错误!解析：如图，设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°，在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的长度．在△ABB′中,∠B′＝30°,∠BAB′＝75°－30°＝45°，AB＝10 m,由正弦定理，得BB′＝AB sin 45°sin 30°＝错误!＝10错误!（m）．∴坡底延伸10 2 m时，斜坡的倾斜角将变为30°。

高中数学第一章解三角形1.2应用举例（一）距离问题学案（无答案）新人教A 版必修5一、学习任务：利用解决实际中有关距离、高度、角度的测量问题。

1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。

2、利用正弦、余弦定理等知识求解实际中有关距离问题。

二、预习任务：（查资料完成并记住）1、 方位角：2、 方向角：3、 仰角与俯角：4、 坡比和坡角：三、回顾正、余弦定理公式及变式：1、正弦定理公式：2余弦定理公式：四、自主探究(一)、测量距离问题问题1、（1）测量从一个可到达的点A 到一个不可到达的点B 之间的距离问题。

如图所示：(11页图)这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，应怎样计算？例如：课本例1.中AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒求A 、B 两点的距离？（2）若A 、B 不能直达之间用一座山隔着，A 、B 、C 都可到达（如图）我们需要测得哪些量就可求出AB 的长？若AD 、BE 的长已知了，如何求出DE=? (这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题)。

例1.中变式：AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒AD=DE=1 cm ，求D 、,E 两点的距离？问题2、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离问题。

如图所示：(12页上图)首先把不可到达的两点A 、B 之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形边长问题，然后把未知的BC 和AC 的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。

例2、（课本11页例2、）变式训练1、在一次反恐作战准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A 和B 之间的距离，盟军在两个相距为a 23的观测点C 和D 处，测得∠ADB=30︒,∠BDC=30︒,∠DCA=60︒，∠ACB=45︒，求基地组织的这两个训练营地之间的距离。

变式训练2、隔河看两目标A,B,但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75︒，∠BCD=45︒,∠ADC=30︒,∠ADB=45︒,(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离？五、巩固训练1、 已知A 、B 两地相距10km ，B 、C 两地相距20km ，且∠ABC=120︒，则A 、C 两地相距_______。

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形， 求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解.
第2课时 解三角形的实际应用举例 —高度、角度问题
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有 关底部不可到达的物体高度测量的问题； 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有 关计算角度的实际问题.
1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高 度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的 海拔高度呢？
2.在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题：在浩瀚 无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航 速和航向呢？
今天我们就来共同探讨这些方面的问题.
探究一、测量底部不可到达的建筑物高度
4.自动卸货汽车的车厢采用液压机构.设计时需要计算油泵 顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B与 车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20′，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（1）什么是最大仰角？
（2）例题中涉及一个怎样的三角形？
答：三角形的面积为 3
3 或 3-
3 .
2
2
1.三角形面积公式：
2.确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角
为边”.
1.利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据 题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽 取主要因素，进行适当的简化.
2.实际问题处理 实际问题
实际问题的解
抽象概括 示意图
还原说明
数学模型 推演 理算 数学模型的解
第3课时 三角形中的几何计算

1.2 应用举例(一)一、选择题1．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，β2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A．403B．203C．402D．20 23.如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A－C－B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)( )A．3.4kmB．2.3kmC．5.1kmD．3.2km4.如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120m ，则河的宽度为( )A ．230mB ．240mC ．50mD ．60m5．海上有A 、B 两个小岛相距10nmile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是( )A ．103nmileB.1063nmile C ．52nmileD ．56nmile 二、填空题 6．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔间的距离为________km.7．要测量对岸两点A 、B 之间的距离，选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A 、B 之间的距离为________km.8．某人在M 汽车站的北偏西20°的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶．公路的走向是M 站的北偏东40°.开始时，汽车到A 的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A 的距离缩短了10千米．则汽车到达M 汽车站还需行驶________km.三、解答题9.如图所示，一架飞机从A 地飞到B 地，两地相距700km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞后，就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来路程700km 远了多少？10.如图所示，一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11．如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．答案精析1．D2.A3.A4.D5.D6.3027.58.159.解 在△ABC 中，AB ＝700 km ，∠ACB ＝180°－21°－35°＝124°，根据正弦定理，700sin 124°＝AC sin 35°＝BCsin 21°， AC ＝700×sin 35°sin 124°，BC ＝700×sin 21°sin 124°， AC ＋BC ＝700×sin 35°sin 124°＋700×sin 21°sin 124°≈786.89 (km)，786．89－700＝86.89(km)．所以飞机的飞行路程比原来路程远了大约86.89 km.10．解 在△ABS 中，AB ＝32.2×0.5＝16.1 n mile ，∠ABS ＝115°，根据正弦定理，AS sin ∠ABS ＝ABsin(65°－20°)， AS ＝AB ×sin ∠ABS sin(65°－20°)＝AB ×sin ∠ABS × 2 ＝16.1×sin 115°×2， S 到直线AB 的距离d ＝AS ×sin 20°＝16.1×sin 115°×2×sin 20°≈7.1(n mile)>6.5(n mile)． 所以这艘船可以继续沿正北方向航行．11．解 依题意得，CD ＝30 (km)，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°.在△BDC 中，由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDCsin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADCsin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，故这两座建筑物之间的距离为5 km.。