高斯定理在万有引力场的推广

类比法在万有引力场教学中的应用孙红霞【期刊名称】《网友世界·云教育》【年(卷),期】2014(000)013【摘要】用类比的方法将静电场的高斯定理和环路定理推广到万有引力场的“高斯定理”和“环路定理”，定义了万有引力场强和万有引力势。

通过引力场的“高斯定理”得出了两种特殊对称性引力场分布及物体所受引力规律，简化了积分运算；通过引力场的“环路定理”得出地球周围物体的万有引力势能。

%By way of analogy,the Gauss theorem of electrostatic field and loop theorem to the Gauss theorem of gravitational field "and"loop theorem ",defined the gravitational field and the gravitational potential.The gravitational field of the"Gauss theorem"of the two kinds of special symmetric gravitationalfield and the force law of gravity, simplifies the integral operation;by the gravitational field of the earth"loop theorem"objects around the gravitational potential energy.【总页数】2页(P242-243)【作者】孙红霞【作者单位】铁岭师范高等专科学校【正文语种】中文【相关文献】1.以类比为刀刃,行庖丁解牛之术——类比法在高中物理教学中的应用研究 [J], 何志锋2.范例法在《医学物理学》教学中的应用(二)--引力场与静电场 [J], 吴静;张鹏程3.类比法与万有引力场的描述 [J], 王敏4.类比法研究万有引力场的高斯定理 [J], 周国全; 黄华玲5.关联法和类比法在生物化学教学中的应用研究 [J], 易杨因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》读了这篇文章, 我觉得这俩个定理的应用于推广最大的特点是应用类比的方法。

通过在万有引力场中定义引力场强矢量和万有引力势，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中，然后举例说明了这两个定理分别在某些质量对称分布的问题和天文上的应用。

用类比的方法从静电场的高斯定理和环路定理导出了万有引力场中的“高斯定理”和“环路定理”并定义了引力场强度矢量。

说实话，做出这个结论并不是很难，就是简单套用公式逐一对比并定义新的常量，但是把高斯定理和环路定理推广到另一个完全不同的力学领域的思维方式确实很难得。

我个人认为物理科学不仅仅要的是知识渊博，更为重要的是一种全新的思维方式，一种不同于传统敢于创新的理念。

比如说这个推广，我们学生往往把高斯和环路定理局限在电学知识领域，哪里会认为这两个定理还可以继续向广度方向进一步推广，然而这篇文章的作者却独具慧眼发现并很好地总结了这个规律。

首先，文章讲了高斯定理的推广。

由库伦定律和万有引力定律得出质量对应于电荷量，并进一步深入，和电场强度类似，在万有引力场中定义了一个引力场强度矢量，也就是引力常数g，就这样依葫芦画瓢的出一个引力场“高斯定理”。

这种“高斯定理”在某些具有对称性的问题中可以大大简化原本复杂的积分运算过程。

其次，文章讲到环路定理的推广。

它在万有引力场中引入了引力势和引力势能。

如此根据电势能和电势公式就能相应得出引力势能和引力公式。

作者还将这个公式代入到卫星环绕问题中去进行进一步检验。

万有引力场中的高斯定理说明了穿过闭合曲面的引力场强通量只和它包围的质量有关。

万有引力场中的环路定理说明了万有引力沿闭合路径的环流为0。

静电场和万有引力场，最大的共同之处就是都是力的作用形式相似。

两个物体相互作用，形成相互作用力。

力的表达形式也极为相似。

这应该是促使作者做出将高斯定理与环路定理向万有引力场推广的一个重要表象。

我想很多人读到这篇文章，肯定会不以为意，因为高斯定理和环流定理在万有引力中的推广很好理解，如果让我们自己推导的话应该也不会有太大的问题。

高斯定理在万有引力场中的推广
5120209283 张弛
在推导公式之前，我先将静电场和万有引力场中的有关物理量进行类比。

具体类比如下所示：
静电学中的库仑定律：
102214r q q F e r
επ=∙ （1） 牛顿万有引力定律：
122r m m F G e r
=∙∙ （2） 以上（1）、（2）两式在数学形式是完全相同的，我就做了如下类比和猜想：
1）电学中
014πε相当于力学中的G ，为了记法方便，我就姑且记为01
4G πε⇔，也即014G επ⇔；
2）电学中的电荷q 相当于力学中的质量m ，有q m ⇔；
3）仿照电通量的概念，在引力场中定义引力场强通量g Φ，
对某面积微元的引力场通量：cos g d g dS gdS θ=∙= Φ。

因此，对
某曲面s 的总引力场强通量：g s
g d S =∙⎰⎰
Φ。

有了以上的铺垫，不难得出穿过某闭合曲面S 的引力场强通量应满足
014i i E d S q g dS G m πε∙=⇔∙=-∑∑⎰⎰⎰⎰
上式即为万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理有着相似的形式。

引力场中的高斯定理引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价.Ⅰ、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致.引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线.引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS 的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS.引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线.引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积.Ⅱ、通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关.证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm.以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm.（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S′，根据（1）通过此球面的事情感兴趣,要勤奋地工作!”。

高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理是物理学界以及数学界较为重要的定理之一，它可以被广泛地用于万有引力场的研究中。

首先，我们需要了解高斯定理的核心部分——高斯梯度定理：它指出了引力场的数学表示和图像的梯度的空间表示之间的联系，即：万有引力场的空间表示有一个正定的悬赏函数，和任意点的梯度之间存在明确的联系，此外，这个悬赏函数的倒数是一个完全定义的单值函数，接下来，我们就可以用这个悬赏函数来求出万有引力场的强度以及各种有关物理量。

另一方面，万有引力场对空间上某点上发生的结构变化也有着重要的影响，它可以通过高斯梯度定理来计算这种变化。

高斯梯度定理中，梯度是一个十分重要的概念，它是三维空间中某点处的万有引力场变化速率。

对此，高斯定理可以让我们通过知道梯度 at 点 P 的方向和大小来推断出空间上某个点处的引力场的强度和变化情况，也就是我们可以根据某点的梯度来计算出空间上的点的引力场的强度以及计算出不同空间上的点之间的引力场是否在变化。

至此，我们可以看出，高斯定理在万有引力场的有效应用中发挥了重要作用，它提供了万有引力场变化情况的推断，可以让我们很快的分析出物体之间的引力场变化情况，这样使我们可以进一步研究万有引力场，更好的理解它。

此外，高斯定理也有许多其它的应用，例如他可以用于空气动力学，静电学以及地学等领域。

引力场中高斯定理的应用王宁;孙彩霞;齐玉红【摘要】本文用类比的方法将静电场中的高斯定理的形式推广到万有引力场中,从而引出万有引力场中的"高斯定理".通过万有引力场中的"高斯定理",将某些质量分布具有对称性的物体引起的引力场强的计算得到简化.【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(024)004【总页数】3页(P78-80)【关键词】万有引力定律;万有引力场强;类比;高斯定理【作者】王宁;孙彩霞;齐玉红【作者单位】黄河科技学院实验中心,河南,郑州,450006;黄河科技学院数理部,河南,郑州,450006;郑州大学,河南,郑州,450006【正文语种】中文【中图分类】O314万有引力是自然界普遍存在的作用力,宇宙之中,小到微观粒子,任何有质量的物体与物体之间都存在着相互吸引的力,这种力就称为万有引力[1]。

假设有两个质点,质量分别为m1和m2,相隔距离为 r.那么它们之间相互作用的万有引力用矢量形式表示根据实验测定G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2,负号表示和方向相反。

在万有引力的周围存在着引力场,那么我们可以利用万有引力定律以及微积分的知识能解决引力场场强的求解问题,但是计算却是一个相当繁琐的过程。

那么能不能够用简单的方法求解出质量分布具有对称性的物体的引力场强呢?在此我们引入万有引力场中的高斯定理求解问题。

我们知道万有引力定律和库仑定律都是平方反比定律,两者的形式非常相似,而静电场中的高斯定理是库仑定律和叠加原理的必然结论[2]。

那么利用万有引力定律和叠加原理也可以得到引力场中的高斯定理。

通过引力场中的高斯定理,来解决一些具有对称性物体的引力场强问题时,可以大大简化复杂的积分计算,非常方便。

通过对万有引力场和静电场来做类比,得到任意闭合曲面内的万有引力场的高斯定理,万有引力场强通量是否具有静电场中高斯定理的形式呢?我们来加以推导。

《高斯定理与环路定理在万有引力场中的推广》读后感课本中从电场到磁场，我们学习或是解题过程中总是免不了要运用到高斯定理和静电环路定理作为解题的第一步骤。

因此我们知道了电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问。

本篇文章则利用了类比的科学研究方法，将静电场中的高斯定理和静电环路定理推广到了经典万有引力场中。

进一步引入引力场强度，引力势能，引力场强通量，说明了万有引力场是一种有源场，并引入引力环流的概念，说明了，万有引力场也是一种无旋场。

文章中通过大量的计算，公式的推导，结合利用牛顿万有引力定律和微积分，万有引力势能导出第一、第二字宙速度，用万有引力场中的高斯定理等求解相关的问题来证明了其类比假设的正确性。

最值得注意的就是其中的类比方法，有时在学习或是生活中适当地掺入类比的思想，不仅可以全面提高分析问题和解决问题的能力，或许还会受到其他更多的意想不到的效果。

电磁学中的高斯定理和静电环路定理是反应静电场基本性质的两个定理，利用这两个定理可以解决很多电荷具有对称分布的静电学问题。

高斯定理的定义：通过任意闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的所有电荷量的代数和与电常数之比。

高斯定理的说明：高斯定理反映了静电场是有源场这一特性，它表示，电场强度对任意封闭曲面的通量只取决于该封闭曲面内电荷的代数和，与曲面内电荷的分布情况无关，与封闭曲面外的电荷亦无关。

环路定理静电场环路定理：在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积分等于0. 与静电场力作功和路径无关是一致的.这种力场也叫保守力场或势场.安培环路定理：在稳恒磁场中，磁感强度H沿任何闭合路径的线积分，等于这闭合路径所包围的各个电流之代数和。

万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

引力场：引力场中的某点的是该点位置的矢量函数，对于多个质点产生的引力场，引力场强满足叠加原理万有引力场中高斯定理:万有引力场中的高斯定理，与静电场中的高斯定理具有相似的形式万有引力场中的环路定理：即引力场强在闭合回路上的积分为零，称为万有引力场中的环路定理引力势能：在量值上等于将物体。