绝密★启用前 广西柳州铁一中学2017-2018学年度高二下学期段考文科数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．计算(1)(2)i i +⋅+= A ．1i - B ．13i + C ．3i + D ．33i + 2．已知全集U =R ，集合{10}A x x =+<，2{30}B x x x =+<，则A B I 等于（ ）． A ．{30}x x -<< B ．{31}x x -<<- C ．{1}x x <- D ．{10}x x -≤<3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 4．已知函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩若()10f a =，则a 的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．3± D ．5 5．下列说法中正确的是（ ） A ．“a b >”是“22a b >”成立的充分不必要条件 B ．命题:,20x p x R ∀∈>，则00:,20x p x R ⌝∃∈< C ．为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为40…○…………装…………………订…………○…※※请※※不※※要※※在※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………装…………………订…………○…^ 1.230.08y x=+.6．已知向量(2,3)a=r，(1,2)b=-r，若ma b+rr与2a b-rr垂直，则实数m的值为（）A．65-B．65C．910D．910-7．如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断框中的横线上可以填入的最大整数为（）A．17B．16C．15D．148．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长的长度为（）．A．B．C．D．29．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）…………○………………○…… A ．2726mm 5π B ．2363mm 5π C ．2363mm 10π D ．2363mm 20π 10．已知函数()()()0,0f x sin x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3,04M π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间[]0,π上是单调函数，则ωϕ+=( ) A ．223π+ B ．22π+ C ．322π+ D ．1023π+ 11．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>与函数y =P ，若函数y =的图象在P 处的切线过椭圆的左焦点(1,0)F -，则椭圆的离心率是（ ） A ．12 B C D ．2 12．定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足()()+2f x f x =-，且当[]1,1x ∈-时，()f x x =，则下列四个命题： ①()20180f =； ②函数()f x 的最小正周期为2； ③当[]2018,2018x ∈-时，方程()12f x =有2018个根；④方程()5log f x x =有5个根． 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．函数ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为_____．………装…………○…※※不※※要※※在※※装※※订………装…………○…14．已知变量x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最小值为________. 15．以点(0,b )为圆心的圆与直线y =2x +1相切于点(1,3)，则该圆的方程为__________． 16．在ABC ∆中，D 为AC 上一点，且2,1AD DC ==，BD 为ABC ∠的角平分线，则ABC ∆面积的最大值为_____． 三、解答题17．已知等比数列{}n a 满足12358,16a a a a ==．（1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设21log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．从柳州铁一中高二男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学体重的平均值和方差（同一组数据用该组区间的中点值代表）；（2）若要从体重在[)[)60707080，,，内的两组男生中，用分层抽样的方法选取5人，再从这5人中随机抽取2人，求被抽取的两位同学来自不同组的概率．19．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，60CAF ∠=︒．线…………○……线…………○…… （1）求证：BF AE ⊥； （2）求多面体EF ABCD -被平面ACEF 分成两部分的体积比．20．已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切. （1）求该抛物线的方程； （2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AM BM +为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由. 21．设函数()2ln(),,x f x e a x a a R e =--+∈为自然对数的底数. (1)若0a >,且函数()f x 在区间[0,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围； (2)若023a <<，试判断函数()f x 的零点个数. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为sin ρθ= （1）求曲线1C 的极坐标方程； （2）设1C 和2C 交点的交点为,A B ，求AOB ∆ 的面积． 23．（1）解不等式232x x +++≤； （2）已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，求xy yz zx ++的取值范围．参考答案1．B【解析】分析：根据复数乘法法则求结果.详解：()()1221313,i i i i ++=-+=+选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi2．B【解析】 集合{1}A x x =<-，2{30}{30}B x x x x x =+<=-<<， ∴{31}A B x x ⋂=-<<-． 故选B ．点晴;集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目. 3．C【解析】试题分析：假设公差为d ,依题意可得1323212,22d d ⨯+⨯⨯=∴=.所以62(61)212a =+-⨯=.故选C.考点：等差数列的性质.4．B【解析】【分析】根据分段函数解析式及函数值，解方程即可确定a 的值，舍去不合要求的解即可.【详解】函数()21,02,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩当0x ≤时，()21f x x =+，若()10f a =，即2110a +=，解得3a =-或3a =（舍）； 当0x >时，()2f x x =-，若()10f a =，即210a -=，解得5a =-（舍）；综上可知，a 的值为3-故选：B【点睛】本题考查了分段函数的求值，根据函数值求自变量的值，属于基础题.5．D【解析】对于A ，取1a =-，2b =时，不能推出22a b >，故错误；对于B ，命题:,20x p x R ∀∈>的否定为00,20x x R ∃∈≤，故错误；对于C ，为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，则分组的组距为8004020÷=，故错误；对于D ，因为回归直线的斜率的估计值为1.23，所以回归直线方程可写成1.23y x a =+$，根据回归直线方程过样本点的中心()4,5，则0.08a =，所以回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+，故正确. 故选D.6．B【解析】()()21,32,24,1ma b m m a b +=-+-=-v v v v ,由于两个向量垂直,所以()()21,324,18432560m m m m m -+⋅-=---=-=,解得65m =,故选B. 7．B【解析】由程序框图，得1,3;4,5;9,7;16,9S i S i S i S i ========，即判断框中的横线上可以填入的最大整数为16.故选B.8．A【解析】【分析】先由三视图得出该几何体的直观图，结合题意求解即可.【详解】由三视图可知其直观图，该几何体为四棱锥P-ABCD ，最长的棱为PA ，则最长的棱长为PA =故选A ．【点睛】本题主要考查几何体的三视图，属于基础题型.9．C【解析】 根据题意可估计军旗的面积大约是22303631110010S mm ππ=⨯⨯= ，故选C 10．A【解析】由于()f x 是R 上的偶函数，且0ϕπ≤≤，故2ϕπ=，由图象关于点3,04M π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则304f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即3042sin ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3cos 04ωπ=，又因为()f x 在区间[]0,π上是单调函数，且0>ω，所以32=423ωππω=，，故223πωϕ+=+，故选A. 【方法点睛】本题主要通过求三角函数的解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用三角函数性质求解析的方法：1、利用最值求出A ；2、利用周期公式求出ω；3、利用特殊点或对称性求出ϕ，在求解每一个参数时，一定根据题设条件，考虑参数的范围，这样才能保证解析式的唯一性.11．B【解析】设00(1,(1,1)P x y x P=='='=Q因此22111a b+=，所以2221bb a=，211,2a a a+-==,e==,选B.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c的方程或不等式，再根据,,a b c的关系消掉b得到,a c的关系式，而建立关于,,a b c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．C【解析】【分析】由()()()42f x f x f x+=-+=可判断①正确，②错误；由周期性利用数形结合可判断③正确；画出5logy x=的图象，由交点个数可得判断④正确，从而可得结果.【详解】∵()()2f x f x+=-，∴()()()42f x f x f x+=-+=，∴函数()f x的最小正周期为4，故②错误，∴()()()()20184504220f f f f=⨯+==-．∵当[]1,1x∈-时，()f x x=，∴()00f=，即()20180f=，故①正确．∵函数()f x 在实数集R 上为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()2f x f x +=-，即函数()f x 关于直线1x =对称．画出函数()f x 的图象如图所示： 由图象可得，当[]2,2x ∈-时，方程()12f x =有2个根，故当[]2018,2018x ∈-时，方程()12f x =有2018222018÷⨯=个根，故③正确；画出5log y x =的图象如图所示，与函数()f x 有5个交点，故④正确，故选C ． 【点睛】有关函数的零点(方程的根)的问题常见思路：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 13．210x y --= 【解析】 【分析】根据导数，先求得切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程. 【详解】 函数ln y x x =+则1'1y x=+由导数几何意义可知112k =+=根据点斜式可得直线方程为()121y x -=⨯- 化简可得210x y --= 故答案为：210x y --= 【点睛】本题考查了导数的几何意义，过曲线上一点的切线方程求法，属于基础题. 14．0【分析】画出可行域，分析目标函数得133z y x =-+，当13y x =-在y 轴上截距最小时，即可求出z的最小值. 【详解】作出可行域如图：联立3040x x y +=⎧⎨-+=⎩得31x y =-⎧⎨=⎩化目标函数3z x y =+为133zy x =-+， 由图可知，当直线13y x =-过点(3,1)A -时，在y 轴上的截距最小, z 有最小值为0，故填0.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题. 15．x 2+(y −72)2=54【解析】由题意设圆的方程为x 2+(y −b )2=r 2(r >0)， 根据条件得{1+(3−b )2=r 25=r ，解得{b =72r =√52． ∴该圆的方程为x 2+(y −72)2=54． 16．3 【解析】设BC x =，则2AB x =，在ABC ∆中由余弦定理表示出cos B ，再由同角三角函数关系式求得sin B .表示出ABC ∆的面积，结合二次函数性质即可求得ABC ∆面积的最大值. 【详解】∵2,1AD DC ==，BD 为ABC ∠的角平分线， ∴设BC x =，则2AB x =，如下图所示:∴在ABC ∆中，由余弦定理可得22222(2)359cos 224x x x B x x x+--==⨯⨯．∴sin B === ∴ABC ∆面积1sin 2S AB BC B =⋅⋅23x ≤===,当且仅当x =∴三角形面积的最大值为3． 故答案为：3 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，同角三角函数式的应用，二次函数的性质，属于中档题.17．（1）12n n a -=（n ∈+N ），21nn S =-；（2）1n nT n =+ 【解析】（1）根据等比中项的性质及1238,a a a =可求得2a .再由516a =可求得公比q 和首项，进而得数列{}n a 的通项公式；由等比数列求和公式即可求得前n 项和n S ；（2）将12nn a +=代入式子可求得数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法即可得数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ．因为1238,a a a =且2132a a a =所以328a =，得22a =， 又因为35216a a q ==， 所以38q =，得121q a ==，． 所以12n n a -=（n ∈+N ），所以()111221112nnn n a q S q--===---．（2）因为12n n a -=所以12nn a +=，则212log log 2n n n b a n +===，所以()1111111n n b b n n n n +==-++． 所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ,1111112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111n =-+ 1nn =+．本题考查了等比数列通项公式及等比中项的简单应用，等比数列求和公式的应用，裂项求和法的应用，属于中档题.18．（1）平均值64.5，方差114.75； （2）35【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图先求得各组的频率，即可由频率分布直方图中各小矩形底边中点乘以频率求和，得平均数；由方差公式，可计算数据的方差.（2）由题意线求得体重在[)6070，及[)7080，的男生人数，利用分层抽样比可得在各组内抽取人数.由古典概型概率求法，随机抽取2人的所有情况，即可得解. 【详解】（1）依频率分布直方图得各组的频率依次为： 0.05，0.35，0.30，0.20，0.10； 计算这100名学生的平均体重约为：450.05550.35650.30750.20850.1064.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；方差为：()()()2224564.50.055564.50.356564.50.3-⨯+-⨯+-⨯+()()227564.50.28564.50.1114.75-⨯+-⨯=．（2）由（1）及已知可得：体重在[)6070，及[)7080，的男生分别为： 0.3010030⨯=（人）,0.2010020⨯=（人）， 从中用分层抽样的方法选5人，则体重在[)6070，内的应选3人，记为a ，b ，c ； 体重在[)7080，内的应选2人；记为1，2； 随机抽取2名同学有如下种情形：()()()()()(),,,1,,2,,,,1a b a c a a b c b ,，,()()()()2,1,2,12b c c ，，，， 共有10个基本事件； 其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有6个， 所以抽取的2名同学来自不同组的概率63105p ==． 【点睛】本题考查了频率分布直方图求平均数和方差的应用，分层抽样与抽样比的应用，古典概型概率求法，属于基础题.19．（1）证明见解析 （2）1：2 【解析】 【分析】（1）根据线段及60ABC ∠=︒，可求得AC ，由勾股定理逆定理可证明BC AC ⊥；由平面与平面垂直的性质可得AE BC ⊥，连接CF ，由菱形性质可得AE FC ⊥，即可得AE ⊥平面BFC ，因而BF AE ⊥.（2）由点D 向线段AC 做垂线，垂足为M ，则点M 为AC 中点,可得DM ⊥平面ACEF ，分别求得D ACEF V ﹣和B ACEF V ﹣即可得两部分的体积比. 【详解】（1）证明：在等腰梯形ABCD 中，由2AD DC BC ===，60ABC ∠=︒，可得AC =∴222AC BC AB +=，即BC AC ⊥， ∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACEF ，而AE ⊂平面ACEF ， ∴AE BC ⊥．连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形， ∴AE FC ⊥， 又BC FC C ⋂=， ∴AE ⊥平面BFC ， ∵BF ⊂平面BCF ， ∴BF AE ⊥；（2）∵AD DC =，由点D 向线段AC 做垂线，垂足为M ，则点M 为AC 中点,如下图所示:∵平面ACEF ⊥平面ABCD ，交线为AC ，∴DM ⊥平面ACEF ，1DM ==∴13D ACEF ACEFV S DM =⨯⨯﹣菱形 116132⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭∵BC AC ⊥， ∴BC ⊥面ACEF ， ∴13B ACEF ACEF V S BC =⨯⨯﹣菱形 116232⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭∴多面体EF ﹣ABCD 被平面ACEF 分成两部分的体积比为1：2． 【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定与性质应用，平面与平面垂直的判定与性质，三棱锥体积求法，属于中档题.20．(1) 28y x =；(2) (4,0)M . 【解析】试题分析：（1）直线与抛物线相切，所以有28320p p ∆=-=，可解得4p =，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有12128,8y y t y y m +==-，把目标式坐标化可得()()()()222122222222222212121111114||||41111y y t m AM BM y y m t y t y t t ⎛⎫⎛⎫+++=+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭与t 无关，可得4m =.试题解析：(1)联立方程有，240{2x y px+==，有280y p -+=，由于直线与抛物线相切，得28320,4p p p ∆=-==，所以28y x =. (2) 假设存在满足条件的点(),0(0)M m m >，直线:l x ty m =+，有2{8x ty m y x=+=，2880y ty m --=，设()()1122,,,A x y B x y ，有12128,8y y t y y m +==-，()()22222111||1AM x m y t y =-+=+，()()22222222||1BM x m y t y =-+=+，()()()()222122222222222212121111114||||41111y y t m AM BM y y m t y t y t t ⎛⎫⎛⎫+++=+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，当4m =时，2211||||AM BM +为定值，所以()4,0M . 21．(1)[)1，+∞；(2)函数()f x 没有零点. 【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为xa e x -≥-在[0+∞，）恒成立，记12'()f x n ，根据函数的单调性求出a 的范围即可；（2）求出()1xf x e x a'=-+，记()()h x f x ='，根据函数的单调性得到()f x '在区间(),a -+∞递增，从而求出()f x 的最小值大于0，判断出函数无零点即可.试题解析：(1)∵函数()f x 在区间[)0+∞，内单调递增， ∴()1'0xf x e x a=-≥+在区间[)0+∞，内恒成立. 即x a e x -≥-在区间[)0+∞，内恒成立. 记()xg x ex -=-，则()'10x g x e -=--<恒成立，∴()g x 在区间[)0+∞，内单调递减,∴()()01g x g ≤=，∴1a ≥，即实数a 的取值范围为[)1+∞，. (2)∵203a <<，()1'xf x e x a=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x a =+>+，知()'f x 在区间(),a -+∞内单调递增. 又∵()1'010f a =-<，()1'10f e a a=->+， ∴()'f x 在区间(),a -+∞内存在唯一的零点0x ，即()0001'0x f x e x a=-=+， 于是001x ex a=+，()00ln x x a =-+. 当0a x x -<<时，()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时，()()'0,f x f x >单调递增. ∴()()()000min 2ln xf x f x e a x a ==--+0000112323a x x a a a x a x a=-+=++-≥-++， 当且仅当01x a +=时，取等号. 由203a <<，得230a ->， ∴()()0min 0f x f x =>，即函数()f x 没有零点. 22．（1）4cos ρθ=；（2【解析】 【分析】（1）先将曲线1C 的参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程即可. （2）将1C 和2C 的极坐标方程联立，求得两个曲线交点的极坐标，即可由极坐标的含义求得AOB ∆的面积.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为222x cos y sin αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数的1C 的直角坐标方程为2240x x y -+=． 所以1C 的极坐标方程为 4cos ρθ=（2）解方程组4cos sin ρθρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得到4sin cos θθ=所以sin 2θ=， 则6k πθπ=+或3k πθπ=+（k Z ∈）．当6k πθπ=+（k Z ∈）时，ρ= 当3k πθπ=+（k Z ∈）时，2ρ=．所以1C 和2C 的交点极坐标为：6A k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭,2,3B k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭.所以12ABC S OA OB sin AOB ∆=⋅∠=． 故AOB ∆【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，利用极坐标求三角形面积，属于中档题.23．（1）7322⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，； （2）112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【解析】 【分析】（1）根据绝对值，分类讨论去绝对值，即可得解集.（2）利用基本不等式即完全平方公式的性质，即可求得xy yz zx ++的取值范围.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
