《高等数学》-授课教案

《高等数学》-授课教案第一讲 高等数学学习介绍、函数一、新教程序言1、为什么要重视数学学习（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用；（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术；（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。

2、对数学的新认识（1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量；（2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。

（3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。

[见教材“序言”] 二、函数概念1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。

（用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。

(2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。

例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。

例如：熟悉基本初等函数的图像。

3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。

例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。

分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。

例2、作函数⎩⎨⎧≥<=0,20,)(2x x x x x f 的图像？例3、求函数⎩⎨⎧-<≥=?)1(),0(),1(010)(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，，四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。

(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。

如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。

(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。

(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。

例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求==例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+=五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。

1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]2、 思考函数的几种特性的几何意义？ [奇偶性、单调性、周期性、有界性]3、任意两个函数是否都可以复合成一个复合函数？你是否可以用例子说明？[不能]函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映；复合函数反映了事物联系的复杂性；分段函数反映事物联系的多样性。

第二讲 导数的概念（一）、极限与导数一、理论基础——极 限（复习）1、极限的概念（略讲函数在某点的极限定义）2、极限的四则运算法则（略）3、求函数的极限（几类函数的极限）（1）若)(x f 为多项式，则)()(lim 00x f x f x x =→例1：求下列极限(1))12(lim 21-+→x x x(2) )12(lim 20-+→x x x (3) )12(lim 22-+→x x x（2）若)()(x g x f 为有理分式且0)(0≠x g ,则)()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→（代入法）例2：求下列极限(1) 121lim 1-+→x x x (2) 322lim 220++-→x x x x (3) 11lim 21+-→x x x （3）若分式)()(x g x f ,当0x x →时，0)()(00==x g x f ，则用约去零因子法求极限 例3：求下列极限(1) 11lim 21--→x x x (2) 138lim 1--+→x x x (3) 132lim 21--+→x x x x （4）若分式)()(x g x f ,当∞→x 时，分子分母都是无穷大，则适用无穷小分出法求极限。

例4：求下列极限(1) 121lim 22--∞→x x x (2) 1512lim 22--+∞→x x x x (3) 121lim 2--∞→x x x 3、两个重要极限（1）1sin lim 0=→xxx （2）e x e x x x x x =+=+→∞→10)1(lim )11(lim 或 说明：其中x 可以是)(x u 的形式，且当0→x 时，0)(→x u 。

例5：求下列极限(1)x x x 3sin lim 0→ (2) x x x 5sin 3sin lim 0→ (3) x x x 10)31(lim +→ (4) xx x )31(lim +∞→二、导数定义（复习增量的概念）引例1、速度问题（自由落体运动221gt s =）引例2、切线问题（曲线2x y =）以上两个事例具体含义各不相同，但从抽象的数量关系来看，都是要求函数y 关于自变量x 在某一点0x 处的变化率，即计算函数增量与自变量增量比值的极就是函数的导数。

∆x ，求出函数在自变量这个小段内的平均变化率xy y ∆∆=，作为点0x 处变化率的近似值；2、 对y 求∆x →0的极限xy x ∆∆∆0lim →，若它存在，这个极限即为点0x 处变化率的)(x f y =在0x 点及附近有定义，当x 在0x 点取得增量x ∆时，相应函数取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，若当0→∆x 时，比值xy∆∆的极限存在，则称此极限值为)(x f 在0x 处的导数或微商。

记00)(x x dxdyx f ='或，即x yxx f x x f x f x x ∆∆=∆-∆+='→∆→∆00000lim)()(lim )((1)比值xy∆∆是函数)(x f 在],[00x x x ∆+上的平均变化率；而)(0x f '是)(x f 在0x 处的变化率，它反映函数在点0x 随自变量变化的快慢程度；(2)若x y x ∆∆→∆0lim 不存在（包括∞），则称)(x f 在0x 点不可导；(3)若)(x f 在（a,b)内每点可导，则称函数在（a,b ）内可导，记)(x f '，称 为导函数，简称导数。

(4)f '(x )是x 的函数，而f '(x 0)是一个数值，f (x )在点0x 处的导数f '(x 0)就是导函数f '(x )在点x 0处的函数值。

三、导数与极限的关系导数是一种特殊（比值）的极限，即有导数- 有极限，反之不成立。

四、基本初等函数的导数（定义）由定义知求函数导数的步骤：（三步骤） （1）求增量；（2）求比值；（3）求极限。

例6、由定义求函数C y =的导数？例7、由定义求函数x y sin =的导数？（推导）1、 xxx sin lim +∞→是否存在，为什么？[0]2、若曲线y = 3x 在),(00y x 处切线斜率等于 3 ，求点),(00y x 的坐标。

3、 已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限x x x 1)2πsin(lim 0-+→。

[0]导数的本质从微观（局部）上研究非均匀量（如：速度、密度、电流、电压等）的变化率问题，是处理非均匀量的“除法”；其思想方法：(1)在小范围内以“匀”代“不匀”或“不变”代“变”，获得近似值；(2)利用极限思想使“近似值”转化为“精确值”。

从函数的观点看，导数是描述函数的局部线性形态，即可导函数表示的曲线在局部都可以近似为一条直线（切线），凭着切线的斜率，可以研究函数的整体性质（导数应用中的单调性、极值等）。

第三讲 导数的概念（二）授课提要：一、基本初等函数的导数例1、求2x y =的导数？（由导数的定义推导）于是我们有公式：x x x x C cos )(sin ;)(;0)(1='='='-ααα 同样，由定义可得基本初等函数的导数公式：x x e e xx x x ='='-=')(;1)(ln ;sin )(cos二、导数的运算法则（u,v 为可导函数） 1、代数和：v u v u '±'='±)( 2、数 乘： u k ku '=')( 例2、求下列函数的导数(1) 1322-+=x x y (2) xx y 12+= (3) 1sin 3-=x y (4) x x y 2=例3、求函数在给定点的导数值？(1) π==x x y ,tan (2) 1,232=++=x x e y x 三、导数的几何意义（作图说明）结论：)(0x f '表示曲线y=f(x)在点（x 0,f(x 0)）的切线斜率。

例4、求曲线21xx y -=在点(1,0)处的切线方程？例5、设f(x)为可导函数，且12)1()1(lim 0=--→xx f f x ，求曲线y=f(x)在点（1,f(1)）处的切线斜率？ [导数定义及几何意义] 四、导数的物理意义结论：设物体运动方程为)(t s S =，则)(t s '表示物体在时刻t 的瞬间速度。

例6、设物体的运动方程为322++=t t s ，求物体在时刻t=1时的速度？例7、求曲线33123---=x x x y 上一点，使过该点的切线平行于直线022=+-y x 。

[13-==x x 或]例8、设某产品的成本满足函数关系：3)(2-+=x x x C (x 为产量)，求x=2时的边际成本，并说明其经济意义。

)('0x f 与)]'([0x f 有无区别？[0)()('0x x x f x f ='=，0)]'([0=x f ]导数的美学意义：局部线性之美（)())(000x f x x x f y +-'=（）。

它将可导曲线在局部线性化，它是由函数局部性质研究函数整体性质的工具和方法。

第四讲 求导公式与求导法则（一）授课提要：一、基本导数公式由导数的定义，我们可以得到如下基本导数公式：xx e e x x x C x x 1)(ln ;)(;)(;1)(;0)(1='='='='='-ααα x x x x x x x x 22csc )(cot ;sec )(tan ;sin )(cos ;cos )(sin -='='-='='二、导数的四则运算法则 设u 、v 为可导函数，则1、()v u v u '±'='±2、())0(≠'='k u k ku3、()v u v u uv '+'='4、)0(2≠'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛v v v u v u v u 例1、求下列函数的导数(1) 132+-=x x y (2) xx y 22-= (3) x e x y -=ln (4) x e y x cos =例2、求函数在给定点的导数值？(1) π==x x y ,tan (2) 1,232=++=x x e y x 例3、设222,ln x y y x x x y =-'=求证：例4、已知曲线x x y ln =的切线与直线0322=++y x 垂直，求此切线方程？ 三、二阶导数1、定义：若导函数)(x f '再求导数，称为)(x f 的二阶导数。