人教版七年级数学下册相交线

人教版初中数学七年级下相交线和平行线知识点总结本章介绍了平面内两条直线相交与平行的关系，重点探讨了两条直线相交时形成角的特征、两条直线互相垂直的特性、两条直线平行的条件和特征，以及有关图形平移变换的性质。

本文将对其中的重点知识点进行总结。

5.1 相交线1.邻补角与对顶角当两条直线相交时，所形成的四个角具有不同的关系。

其中，对顶角是具有特殊位置关系的两个角，它们的大小相等；邻补角则是互为反向延长线的两个角，它们的和为180度。

2.垂线垂线是指当两条直线相交时，其中一个角为直角的情况。

垂线具有两个性质：一是过一点只有一条直线与已知直线垂直；二是连接直线外一点与直线上各点的垂线段最短。

3.垂线的画法画垂线的方法有两种：一是过直线上一点画已知直线的垂线；二是过直线外一点画已知直线的垂线。

画法可采用“一靠二移三画”的方法。

4.点到直线的距离点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

记忆时应结合图形进行理解。

本章内容的重点是垂线和其性质、平行线的判定方法和性质、平移和其性质，以及这些知识点的组织运用。

在研究这些知识点时，需要注意记忆其定义和性质，掌握其画法和应用方法。

垂线是指从一个点垂直于一条直线或平面的线段，而垂线段则是垂线的长度。

它们都具有垂直的性质，可以用来计算点到直线的距离或两点间的距离。

点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离，而两点间的距离是点与点之间的长度。

线段和距离都是长度的概念，但线段是一种图形，不能等同于距离。

平行线是指在同一平面内不相交的两条直线，它们的位置关系只有两种：相交和平行。

判断两条直线的位置关系可以根据它们的公共点个数来确定，有且只有一个公共点时两直线相交，无公共点时两直线平行，两个或两个以上公共点时两直线重合。

平行公理指出，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

同时，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成的八个角，包括同位角、内错角和同旁内角。

5.1.1相交线教学设计课题 5.1.1 相交线单元第五单元学科初中数学年级七下学习目标1.了解两直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质.2.理解对顶角性质的推导过程，能使用该性质进行简单的计算.3.通过动手、操作、推断、交流等活动，进一步发展空间观念，培养识图能力，推理能力和有条理表达能力.4.通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯.重点了解两直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质．难点理解对顶角性质的推导过程，能使用该性质进行简单的计算．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课【观察思考】握紧剪刀的把手时，随着把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角是怎么变化的？分析：随着把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也逐渐变小.【观察思考】如果把剪刀的构造抽象成一个几何图形，会是什么样的图形？请你在纸上画出来．分析：剪刀的构造可看作两条相交的直线，剪刀刃之间的角就是相交直线所成的角．【复习回顾】相交线的概念：如果两条直线只有一个公共点，那么我们就说这两条直线相交，它们的公共点叫做交点．观察并思考.挖掘和利用现实生活背景，让学生将理论知识与现实生活相联系.分析：如上图，AB、CD为两条直线，点O是直线AB与直线CD的交点，我们就可以说直线AB与直线CD相交．【教学建议】引导学生观察剪刀把手夹角与刀刃夹角之间的大小关系，为后续学习邻补角、对顶角做铺垫．讲授新课【合作探究】任意画两条相交的直线，形成几个角？这些角有什么位置关系？分析：任意两条相交的直线，形成4个角；这4个角有公共顶点.【观察思考】在两条相交的直线所形成的4个角中，∠1与∠2有怎样的位置关系？分析：∠1与∠2：①有一条公共边OC；②另一边互为反向延长线；③具有这种关系的两个角，互为邻补角.问题：你还能找出其它的邻补角吗？分析：∠2与∠3；∠3与∠4；∠4与∠1问题：∠1与∠2的度数有什么关系？分析：∠1+∠2=180o【观察思考】在两条相交的直线所形成的4个角中，∠1与∠3思考并回答小组交流合作，观察思考积极回答问题.让学生了解平面内两直线相交所成的4个角之间有怎样的特征.让学生经历合作探究的过程，通过观察、发现、归纳、概括得出邻补角和对顶角的概念；培养学生发现问题，解决问题和抽象概括能力.有怎样的位置关系？分析：∠1与∠3：①有一个公共顶点O；②∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线；③具有这种关系的两个角，互为对顶角.问题：你还能找出其它的对顶角吗？分析：∠2与∠4【合作探究】∠1与∠3的度数有什么关系？分析：∠1+∠2=180o∠2+∠3=180o∠1+∠2=∠2+∠3∠1=∠3总结：对顶角的性质：对顶角相等.【教学建议】引导学生小组合作，自主实践，教师巡回指导，随时观察学生完成情况并进行相应指导.熟悉并掌握对顶角相等.通过分析已知求证，利用平角的定义和等式的性质进行推导，培养学生逻辑推理力.【典型例题】如图，直线a、b相交，若∠1 = 40°，求∠2、∠3、∠4的度数.解：由邻补角的定义，∠1 = 40°可得∠2 = 180°－∠1= 180°－40°= 140°由对顶角相等，可得∠3 = ∠1 = 40°∠4 = ∠2 = 140°【教学建议】教师适当引导，学生自主完成.思考并积极回答.通过例题，规范学生对解题步骤的书写，让学生感受数学的严谨性.【随堂练习】1.如图，直线AB、CD、EF 两两相交，图中共有___对对顶角，___对邻补角.答案：6；12.2.下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为( )答案：D3. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE是射线. 则：∠BOC的对顶角是________________，∠AOC的对顶角是________________，∠AOC的邻补角是________________，∠BOE的邻补角是________________.答案：∠AOD；∠BOD；∠BOC、∠AOD；∠AOE.4. 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，求∠BOD，∠BOC的度数.解：因为OA平分∠EOC，∠EOC = 70°所以∠AOC = 35°由对顶角相等，得∠BOD =∠AOC = 35°自主完成练习进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间.通过课堂练习巩固新知，加深对顶角、余角、补角的概念和性质的理解,并学会运用它们解决一些问题.由邻补角的定义，得∠BOC = 180°－∠AOC= 180°－35°= 145°【教学建议】教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，根据学生完成情况适当分析讲解.课堂小结以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容. 回顾本节课所讲的内容通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.板书1.邻补角：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角．邻补角互补.2.对顶角：（1）概念：有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角，互为对顶角．（2）对顶角相等.。

5.1.1相交线一、教学目标【知识与技能】1.借助两直线相交所形成的角初步理解邻补角、对顶角的概念.2.会根据邻补角、对顶角的性质去求一个角的度数.3.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们解决简单实际问题.【过程与方法】1.通过动手操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念,培养识图能力、推理能力和表达能力.2.在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些简单问题.【情感态度与价值观】引导学生对图形进行观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验,树立学习的信心.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】对顶角的性质【教学难点】理解对顶角相等的性质的探索.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2-5）同学们，你们看这座宏伟的大桥，它的两端有很多斜拉的平行钢索，桥的侧面有许多相交钢索组成的图案；围棋棋盘的纵线相互平行，横线相互平行，纵线和横线相交．这些都给我们以相交线、平行线的形象．在我们生活中，蕴涵着大量的相交线和平行线．那么两条直线相交形成哪些角？这些角又有什么特征？（二）探索新知1.出示课件7-12，探究邻补角与对顶角的定义教师问：如图，把两根木条用钉子钉在一起，转动其中一根木条，观察两根木条所形成的角的位置及大小关系.你能动手画出两条相交直线吗?学生答：能，作图如下：教师问：两条直线相交，形成的小于平角的角有几个，是哪几个？学生答：两条直线相交，形成的小于平角的角有四个 .分别是∠1，∠2，∠3，∠4.教师问：将这些角两两相配能得到几对角？教师依次展示学生答案：学生1答：∠1 和∠2.学生2答：∠2 和∠3.学生3答：∠3 和∠4.学生4答：∠4 和∠1.教师问：为何如此分类呢？学生答：有一条边在一条直线上，角的顶点相同.教师问：还有其他分类吗？学生答：分类如下：∠1 和∠3，∠2 和∠4.教师问：这样分的标准是什么？学生答：两边分别在一条直线上，有共同的顶点.总结点拨：（出示课件9）教师问：观察∠1和∠2的顶点和两边，有怎样的位置关系？师生一起解答：如图，∠1与∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1与∠2 互补），具有这种位置关系的两个角，互为邻补角.教师问：类比∠1和∠2，看∠1和∠3有怎样的位置关系？学生答：这两个角的两边都在同一条直线上，有相同的顶点.教师总结：如图，∠1与∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角.总结点拨：（出示课件12）考点1：对顶角的判断下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（）（出示课件13）师生共同讨论解答如下：解析：对顶角是由两条相交直线构成的，只有两条直线相交时，才能构成对顶角．答案：D.出示课件14，学生自主练习后口答，教师订正.答案：D.2.出示课件15-17，探究对顶角、邻补角的性质教师问：在上学期我们已经知道互为补角的两个角的和为180°，因而互为邻补角的两个角的和为180°.如图所示，∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？学生答：猜想：∠1 =∠3.教师问：你能利用学过的有关知识来验证∠1与∠3的数量关系吗？学生答：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠2=180°，∴∠1=∠3.教师问：∠1与∠3互为什么角？学生答：互为对顶角.教师问：由此你能猜想对顶角有什么性质？学生答：猜想：对顶角相等.教师问：你能证明你的猜想吗？学生先独立思考，师生共同讨论后解答如下：师生一起解答：已知：直线AB与CD相交于O点(如图),求证:∠1=∠3，∠2=∠4.证明：∵直线AB与CD相交于O点,∴∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3.同理可得∠2=∠4.教师问：您能利用几何语言描述一下对顶角的性质吗？学生答：符号语言：∵直线AB与CD相交于O点，∴∠1=∠3，∠2=∠4.教师总结点拨：（出示课件18）两直线相交分类位置关系名称数量关系∠1 和∠2，∠2 和∠3，∠3 和∠4，∠4 和∠11.有公共顶点2.有一条公共边3.另一边互为反向延长线邻补角邻补角互补∠1 和∠3，∠2 和∠4.1.有公共顶点2.没有公共边对顶角对顶角相等3.两边互为反向延长线考点1：利用对顶角、邻补角的性质求角的度数如图,直线a、b相交，∠1=40°,求∠2、∠3、∠4的度数.（出示课件19）学生独立思考后，师生共同解答.学生1解：由邻补角的定义可知∠2=180°-∠1=180°-40°=140°；学生2解：由对顶角相等可得∠3=∠1=40°，∠4=∠2=140°.教师总结。

相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。

人教版初中数学七年级下 相交线和平行线知识点总结本章使生了解在平面不重合的直相交平行的位置系，究了直相交的形成的角的学内两条线与两种关研两条线时特征，直互相垂直所具有的特性，直平行的期共存件和所有的特征以及有形平移的两条线两条线长条它关图变换性，利用平移一些美的案质设计优图.。

重点：垂和的性线它质,平行的判定方法和的性，平移和的性，线它质它质以及些的用这组织运.5.1相交线1、邻补角与对顶角直相交所成的四角中存在几不同系的角，的念及性如下表：两线个种关它们概质形图点顶的系边关大小系关角对顶∠1∠与2有公共点顶∠1的两边与∠2的互两边为反向延长线角相等对顶即∠1=∠2角邻补 ∠3∠与4有公共点顶∠3∠与4有一公共，另一条边互反向延边为长。

线∠3+∠4=180°注意点：⑴角是成出的，角是具有特殊位置系的角；对顶对现对顶关两个⑵如果∠α∠与β是角，那一定有∠对顶么α=∠β；反之如果∠α=∠β，那∠么α∠与β不一定是角对顶⑶如果∠α∠与β互角，一定有∠为邻补则α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，∠则α∠与β不一定是角邻补。

⑶直相交形成的四角中，每一角的角有，而角只有一。

两线个个邻补两个对顶个2、垂线⑴定，直相交所成的四角中，有一角是直角，就直互相垂直，其中的一直叫做义当两条线个个时说这两条线条线另一直的垂，的交点叫做垂足。

条线线它们符言作：号语记 第1页共7页1243A BCDO如所示：图AB⊥CD ，垂足为O⑵垂性线质1：一点有且只有一直已知直垂直 过条线与线(平行公理相比与较记)⑶垂性线质2：接直外一点直上各点的所有段中，垂段最短。

：垂段最短。

连线与线线线简称线3、垂线的画法：⑴直上一点已知直的垂；⑵直外一点已知直的垂。

过线画线线过线画线线注意：①一段或射的垂，就是所在直的垂；②一点作段的垂，垂足可在段上，也画条线线线画它们线线过线线线可以在段的延上。

线长线法：⑴一靠：用三角尺一直角靠在已知直上，⑵二移：移三角尺使一点落在的另一直角上，⑶画条边线动它边边三：沿着直角，不要成人的印象是段的。

七年级下册第一单元相交线的知识点
1. 相交线：只有一个公共点的两条直线，叫相交线。

2. 邻补角：两条直线相交，有一条公共边，且另一条边互为反向延长线的两个角叫邻补角。

两直线相交所成的四个角中存在两对邻补角。

3. 对顶角：两条直线相交，一个角两边与另一个角两边互为反向延长线的两个角叫对顶角。

两直线相交，有2对对顶角。

对顶角相等。

4. 垂线：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角时，这两条直线就互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

垂线的性质包括过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，以及连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

另外，垂线是一条直线，具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90度，垂直是相交的特殊情况。

垂线的画法可以通过已知直线和一点，利用直角三角板来画出。

以上知识点是七年级下册第一单元相交线的主要内容，通过学习这些知识点，学生可以更好地理解直线之间的位置关系，为后续学习打下基础。