锐角三角函数(解直角三角形)

3
2
=



6
= ，
∴ a =3 3.
由勾股定理得 b = 2 − 2 = 36 − 27 = 3 .
已知一锐角和一边解三角形中的两锐角互
余求出另一个锐角，再利用已知角的正切求出另一条直角边.当已
知直角边是已知锐角的对边时，利用这个角的正弦求斜边；当已
5
3
= ，
5
H
2.如图，在△ABC 中，sinB
AC 的长为(
1
= ，tanC
3
=2，AB = 3，则
)
A. 2
B.
5
2
C. 5
D.2
A
B
C
解：如图，过 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠ADC=∠ADB=90°，
A
∵ tanC =2 =

，sinB

1
3
= =

，

∴ AD =2DC，AB =3AD，
∠A的邻边
∠B的邻边
A
a
b
C
知识点2：解直角三角形的基本类型及解法
1.根据下列条件，解直角三角形：
(1)在 Rt△ABC 中，∠C =90°，a =20，c =20 2；
解：(1)在 Rt△ABC 中，∠C = 90° ，


则 sinA = =
20
20 2
=
2
2
，
∴ ∠A =45°，∴ ∠B =90°-∠A =45°，∴ b =a=20.
按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然
后确定锐角，再确定它的对边和邻边.
直角三角形中的边角关系
如图，在 Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A，∠B，∠C 所

第二十章 锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角（2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12B. 2C. 2D.1 【解析】sin45°=2【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。

需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。

（2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为A ．12 BCD【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC【答案】B【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义．29.2 三角函数的有关计算图4图4（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）A ．200米B.C.D. 1)米解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB ==，又CD=100，因此AB=AD+DB=00100100100tan tan tan 30tan 45CD CD A B +=+=。

答案：D点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。

( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23,则BC 的长为（A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易.（2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x x x x-=+-=即，解方程得，1211,22x x ==（不合题意，舍去），即； 又cosA=2ABAD ===点评：本题考查了等腰三角形的判定、性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，二次根式的化简，构造直角三角形求非特殊角的三角函数值等，涉及知识点较为广泛，具有较强的综合性，难度较大。

2023-11-06CATALOGUE 目录•锐角三角函数的定义•锐角三角函数在解直角三角形中的应用•特殊角的锐角三角函数值及其应用•锐角三角函数的实际应用•练习与解答01锐角三角函数的定义定义正弦函数是直角三角形中锐角的对边与斜边的比值，记作sin(α)。

性质正弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其最大值为1，最小值为0。

单位正弦函数的单位是弧度(rad)。

定义余弦函数是直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作cos(α)。

性质余弦函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而减小，其最大值为1，最小值为-1。

单位余弦函数的单位是弧度(rad)。

010203正切函数定义正切函数是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，记作tan(α)。

性质正切函数在$0^{\circ}$到$90^{\circ}$之间随着角度的增加而增加，其值无限增大。

单位正切函数的单位是弧度(rad)。

02锐角三角函数在解直角三角形中的应用利用正弦函数解直角三角形已知锐角A的对边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。

正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。

求解公式：b=a×sin(A)/sin(B)。

010203利用余弦函数解直角三角形余弦定理：c²=a²+b²-2abcos(C)。

已知锐角A的邻边与斜边的比值，可以用来求解未知边b。

求解公式：b=(a²+c²-b²)/2ac。

利用正切函数解直角三角形已知锐角A的对边与邻边的比值，可以用来求解未知边b。

正切定理：tan(A)=a/b，tan(B)=b/a。

求解公式：b=a×tan(A)。

01030203特殊角的锐角三角函数值及其应用$\frac{\sqrt{3}}{2}$30度的正弦值$\frac{1}{2}$30度的余弦值$\sqrt{3}$30度的正切值30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值45度的正弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的余弦值：$\frac{\sqrt{2}}{2}$45度的正切值：130度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0360度的正切值$\sqrt{3}$30度、45度、60度的正弦值、余弦值、正切值0160度的正弦值$\frac{\sqrt{3}}{2}$0260度的余弦值$\frac{1}{2}$在解直角三角形时，特殊角的三角函数值可以作为已知条件，用于求解其他角度或边的长度。

根据题目要求，确定已知的边 或角，并标记出来。
选择适当的三角函数
根据已知条件选择适当的三角 函数（正弦、余弦、正切）， 以便建立方程。
建立方程
利用三角函数定义和勾股定理 ，建立关于未知边的方程。
解方程
解方程求出未知边或角。
解直角三角形的实际应用
测量问题
在测量中，经常需要解直 角三角形来计算高度、距 离等。
在直角三角形中，如果一个角是 60度，那么它所对的直角边等于
斜边的√3倍。
特殊角的三角函数值
sin30度=1/2， cos30度=√3/2， tan30度=1/√3
sin60度=√3/2， cos60度=1/2， tan60度=√3
sin45度=√2/2， cos45度=√2/2， tan45度=1
建筑学
在建筑设计、施工等过程 中，需要利用解直角三角 形来计算角度、长度等参 数。
物理学
在力学、电磁学等领域中， 解直角三角形也是常用的 工具。
03
特殊角的解法
30度、45度、60度角的解法
30度角
在直角三角形中，如果一个角是 30度，那么它所对的直角边等于
斜边的一半。
45度角
在等腰直角三角形中，如果一个角 是45度，那么它所对的直角边等于 斜边的长度。
了解三角函数在实际问题中的应用， 如测量、工程等。
掌握利用三角函数图象解方程的方法。
综合练习题
综合运用三角函数的性质和图 象解决复杂问题。
结合其他数学知识，如代数、 几何等，综合运用三角函数。
了解三角函数与其他数学知识 的联系，如微积分、线性代数 等。
THANKS
感谢观看
求出对角的正切值。
三角函数对解直角三角形的影响