二次根式的加减法

§7.2二次根式的加减法数学 学科 八 年级 下 册 诸城市辛兴初中 臧运建 学习目标：1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则2、会进行简单的二次根式的加减运算3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。

课前延伸计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3 教学过程一、自主探究 计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流） （1）3233-；（2）a a a 423+-．规律总结：与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为 ．归纳：是同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是 ．例1计算：(1)2454+(2)43932aa +二．合作探究（独立完成后小组合作交流并纠错）计算：54520290+-归纳二次根式的加减法则：三．应用提升（1）451227+-；（2）x x x916425-+．（3）)12)(12(-+； （4）)2)(2(b a b a -+四．谈一谈谈一谈本节课的收获和体会五．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）当堂小测验1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83； ；（3）nmn m 2,2； （4）yxx y 2527,43． （5）ab 2，ab 83； （6）b a 23，227ab ．2．计算： （1）433332+-； （2）75335-．（3）245253-+-；（4）12273752+-；（5）2231872-+．3．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．六．课后拓展．已知二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．。

诸城市初中数学导学稿（八下）7.2二次根式的加减法学习目标：1.了解最简二次根式的概念，会识别同类二次根式。

2、会用二次根式加减运算法则进行计算。

重点：二次根式的加减运算。

难点：二次根式的化简及同类二次根式的判断方法.教学过程：【温故知新】（1）最简二次根式的概念（2）化简：3818（3）整式加减法的运算法则是什么？【探索新知】（一）自主学习1.同类二次根式的概念：2.判断下列二次根式是不是同类二次根式3818总结：判断同类二次根式的方法：（１）（２）3.尝试计算－２3+3+ 35.0x+x2总结（二次根式的加减运算法则）：（二）合作交流1.最简二次根式2a与8是同类二次根式，则a的值是（）Ａ.４Ｂ.６Ｃ.８Ｄ.１０2. 计算：（１）21322181238-+-+-； （２）)0,0(233>>-+-b a ab a b b a a b b a【巩固提升】(1)下列二次根式中，与32是同类二次根式的有（ ）271,50,54,48,3.0．A.1个B.2个C.3个D.4个(2)已知二次根式是同类二次根式，则的α值可以是（）. A.5 B.6 C.7 D.8（3）计算：318-+【课堂小结】【达标检测】1、下列计算正确的是（ ） A.752=+ B. 34372=+ C. 5225=- D. 24812==-2、 ）A ．B ．3-CD ．-3、计算：(1)x x x x 1324296-+； （2）（23-2)2.4.先化简，再求值：)6()3)(3(--+-a a a a ，其中215+=a【我的反思】。

二次根式的加减法（第二课时）概述在数学中，二次根式是指以根号形式表示的含有平方根的表达式。

二次根式的加减法是对这样的表达式进行求和或求差的操作。

本文将介绍二次根式的加减法的基本概念和步骤，并通过一些例子来帮助读者理解和掌握这个重要的数学技巧。

二次根式的定义二次根式是形如√a或a√b的表达式，其中a和b是实数，且b大于0。

其中，a√b的形式称为含有系数的二次根式，√a的形式称为不含有系数的二次根式。

二次根式的加法二次根式的加法是指对两个二次根式进行求和的操作。

要执行二次根式的加法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。

2.如果两个二次根式的根号前的系数不同，需要将它们化为相同的琍（即通分），再进行求和。

例子1我们以一个简单的例子来说明二次根式的加法：√3 + 2√3要求这两个根式的和，首先我们注意到根号下的数目都是3，根号前的系数分别是1和2。

由于这两个系数不同，我们需要将它们化为相同的分母。

这里我们可以将第一个根式的系数2改为2的平方，即2√3 = √12，然后再进行求和。

√3 + √12现在根号前的系数相同了，我们可以将根号下的数目相加。

√3 + √12 = 3√3所以，√3 + 2√3 = 3√3我们再来看一个复杂一些的例子：3√5 + 2√7 - √5对于这个表达式，我们首先注意到根号下的数目有两个5和7，根号前的系数分别是3、2和-1。

这里我们需要将这些根式化为相同的分母。

首先，将第一个根式和最后一个根式化为相同的表达式：3√5 - √5 = 2√5现在，我们重新整理一下表达式：2√5 + 2√7因为根号下的数目相同而且根号前的系数也相同，所以将它们相加即可：2√5 + 2√7 = 4√5 + 2√7所以，3√5 + 2√7 - √5 = 4√5 + 2√7二次根式的减法二次根式的减法是指对两个二次根式进行求差的操作。

要执行二次根式的减法，需要满足以下两个条件：1.两个二次根式的根号下的数目和根号前的系数必须相同。

专题16.7 二次根式的加减（知识讲解）【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.特别说明：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)特别说明：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.特别说明：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.特别说明：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、二次根式➽➼概念➽➼同类二次根式✭✭分母有理化1．判断下列二次根式中哪些是同类二次根式：举一反三：【变式1a的值．【点拨】本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式的定义，即“被开方数相同的几个最简二次根式是同类二次根式”正确解答的前提．【变式2】分别求出满足下列条件的字母a的取值：(1)(2)2．【阅读材料】把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的．．=【理解应用】(1) 化简： ∵∵ (2)2020++ 2020++【点拨】本题考查了分母有理化，正确的计算是解题的关键．举一反三：【变式1)3x x ≤【变式2【点拨】本题考查根式的运算，解题的关键是熟练掌握根式的运算及根式分母有理化．类型二、二次根式➽➼二次根式的加减运算-+-+．3．计算：38|32|12举一反三：【变式1】计算：6-【变式2】计算：(1)(2) )011+类型三、二次根式➽➼二次根式的混合运算4．计算下列各式．(1)1)举一反三：．【变式1|1【分析】先运用二次根式乘法法则计算，并化简二次根式，去绝对值符号，最后合并同类二次根式即可．【点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【变式2】计算：(1)1 (2))21+．类型四、二次根式➽➼二次根式的化简求值5．解答下列各题(1) 已知2x =，2y =．求22x xy y ++的值．(2) 若2y =，求y x 的平方根．【答案】(1) 19; (2) 3±.【分析】（1）分别求出22,,x y xy ，再代入到代数式求值即可；举一反三：【变式1】已知x =y 22205520x xy y ＋＋的值．【点拨】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知3x =+3y =-(1) x y +=______；x y -=______；xy =______．(2) 根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子223x xy y x y -+--的值．【点拨】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键．类型五、二次根式➽➼应用6．阅读材料并回答问题肖博睿同学发现如下正确结论：材料一：若0A B ->，则A B >；若0A B -=，则A B =；若0A B -<，则A B <；材料二：完全平方公式：（1）()2222a ab b a b ++=+；（2）()2222a ab b a b -+=-．(1)(2) 2912x x ++___________()2______2=+；(3) 试比较142x x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()2y x y -的大小（写出相应的解答过程）． ）解：又32>(322-）解：根据题意，）解：4又()22x y -142x x y ⎛- ⎝【点拨】本题考查利用作差法解代数式比较大小，整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键．举一反三：【变式1】设一个三角形的三边分别为a ，b ，c ，p =12（a +b +c ），则有下列面积公式：S S (1) 一个三角形的三边长依次为3，5，6，任选以上一个公式求这个三角形的面积；(2)任选以上一个公式求这个三角形的面积．解题的关键．【变式2】某居民小区有一块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为，宽AB，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为m，宽为1)m．(1)长方形ABCD的周长是多少？(2)除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通通上要铺上造价为2元的地砖，5/m要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？答：购买地砖需要花费660元．【点拨】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质．。

二次根式的加减说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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学习课题17.5实数的运算第2课时二次根式的加减内容分析（复习课时才用）本节内容主要是理解同类二次根式的概念；能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；利用二次根式加减法解决一些实际问题.二次根式的加减是中考的基本考点之一，主要以填空题、选择题为主，有时渗透在解答题中考查．本节重点是理解并掌握二次根式的加减法运算；难点是探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算；被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．本节常见的易混点是对同类二次根式的概念理解不清，将不是同类二次根式的式子合并，初学者往往忽略这一点，出现错误．本节常见的易错点是不能准确运用性质进行化简．学习目标1．理解同类二次根式的概念；2．能够正确进行简单的二次根式加减法的运算；3．利用二次根式加减法解决一些实际问题.学习重难点重点：理解并掌握二次根式的加减法运算难点： 1．探讨二次根式加减法运算的方法,快速准确进行二次根式加减法的运算；2．被开方式中含有字母、被开方式中含有分母的二次根式的化简．学习过程一．学习准备1.知识准备：①什么同类项？②二次根式的加、减运算步骤是．③的二次根式，叫做同类二次根式.④计算12＋48＝.2. 情绪准备：在二次根式的加、减运算中，怎样合并同类二次根式？答案：1.①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．②先化简后合并．③化简后被开方数相同④6 32.只把根号外面的因数相加减，被开方数和根指数不变.二．阅读感知本节内容安排了三个层次：1．同类二次根式由问题你能计算出5x2y－3xy2－4xy2－3xy2吗？引导学生回忆整式加减运算的步骤，启发学生思维，用类比的思想，进一步提出①什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？让学生展开联想，引导学生从具体的问题入手，概括出同类二次根式的概念及主意事项．出示联系题，让学生做判断，以达到理解概念，巩固新知的目的．2．最简二次根式：提出问题你们怎样计算下列各式呢？，激发学生的学习热情，让学生自己探究、交流，在计算的过程中寻求解决问题的方法，找出“二次根式的被开方数相同是可以合并的”的规律，从而得出最简二次根式的概念．3．二次根式的加减：由两个问题如何合并二次根式呢？对二次根式的加减运算，应按怎样的步骤进行呢？展开探究，在学生掌握同类二次根式的概念基础上，师生共同归纳出，二次根式的加减法则，在计算的过程中，教师要适时地点拨，二次根式的混合运算方法和顺序，从而为学生更好地掌握本课时的重点知识点打好基础．三．合作探究1．同类二次根式：我们学习了整式的加减运算，你能计算出5x 2y －3xy 2－4xy 2－3xy 2吗？上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 学生自主完成后，让学生说出解题过程．①什么叫做同类二次根式？它有哪两个必要条件？通过引导，让学生与同类项进行类比、联想、讨论、交流，概括出同类二次根式的概念．(1)被开方数相同；(2)二次根式不能再化简；(3)根指数都是2；(4)与二次根式的系数无关．它有哪两个必要条件：（1）它们都是最简二次根式；（2）它们的被开方数必须完全相同．②下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（1）33； （2）a 1； （3）77-； （4）2a ； （5）985a ； （6）23b a 。

二次根式的加减法一、知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、二次根式的加减法法则二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．注意：(1)二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并；(2)在合并前应注意要先判断清楚它们中哪些二次根式的被开方数是相同的；在合并时类似于以前学过的合并同类项，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变．3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：(1)在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；(2)有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、二次根式的加减法运算实质上是合并同类二次根式，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化为最简二次根式，再把同类项合并，合并同类二次根式的方法与合并同类项类似．2、二次根式的混合运算中可以与有理数的混合运算及整式的混合运算及分式的运算作比较，使二次根式的混合运算易于理解和掌握，并能合理应用运算律及技巧进行计算．二次根式的除法运算转化为分母有理化的问题，同时可避免错误地使用运算律．三、典型例题讲解例1、计算：．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把被开方数相同的根式进行合并．解：．例2、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．例3、计算下列各题：．思路：(1)题可仿照单项式乘以多项式的方法进行计算；(2)、(3)题可仿用多项式乘法法则进行计算；(4)题可套用完全平方公式计算．例4、计算下列各题．解：例5、化简：总结：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项(第2小题)达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可交换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把变为，这样则为1，继续运算可避免错误．例6、已知x、y都为正整数，且．求x＋y的值．分析：因为只有化简后被开方数相同的二次根式才能合并，而，易知化简后的被开方数必为222，故可设．由此求出正整数a、b即可求出x、y．解：，于是即a＋b=3∴a=2，b=1或a=1，b=2，故x=222，y=888或x=888，y=222．∴x＋y=1110，总结：几个二次根式化简后被开方数相同，则它们可以合并，本题则是逆用该结论，即几个二次根式能合并成一个二次根式，则它们化简后的被开方数必相同．课外拓展：例、已知a、b是实数，且，问a、b之间有怎样的关系？请推导．思路分析：由特殊探求一般，在证明一般性的过程中，由因导果，从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化．解：原等式两边分别乘以，得两式相加得，所以．A 卷一、选择题1、下列计算结果正确的是( )A．B．C．D．2、下列计算正确的是( )A．B．C．D．3、下列各式化简结果不正确的是（）A．B．C．D．4、下列计算正确的是（）A．B．C．D．5、计算等于（）A．·1 B．3C．D．6、在数轴上点A表示实数，点B表示，那么离原点较远的点是（）A．A B．BC．A、B的中点D．不能确定B 卷二、填空题7、△ABC的三边长为a、b、c，且a、b满足则△ABC的周长的取值范围是______．8、若成立，则xy的值为______．9、若，则______．10、已知正数a、b，有下列结论：(1)若a=1，b=1，则；(2)若，则；(3)若a=2，b=3，则；(4)若a=1，b=5，则．根据以上几个命题提供的信息，请猜想：若a=6，b=7，则______．三、解答题11、计算或化简下列各题：12、计算：13、已知，求代数式的值．14、计算．[15、先观察下列等式，再回答问题：（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想的结果，并进行验证；（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出n（n为正整数）表示的等式，并加以验证．一．选择题DDCBDB二．填空题7、△ABC的周长大于6且小于10．8、由题意有x=2，y=3，∴x y=8．9、．10、=13．三．解答题11.12.13..14. 解：（1）配方法：本题中的根式不符合型，我们可根据分式的基本性质，分子、分母都乘以2，将原式变形为（2）换元法：设，两边同时平方得，所以x2=10，又因为x＞0，所以，即．15.。