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周期轨道。
2.1.3 奇怪吸引子
还有另一大类的系统，它在运动时，其相空间容 积收缩到维数低于原来相空间维数的吸引子上， 即运动特征是相空间容积收缩，这类系统就是耗 散系统。在耗散系统中存在一些平衡点（不动点） 或子空间，随着时间的增加，轨道或运动都向它 逼近，它就是吸引子。在相空间中，耗散系统可 能有许多吸引子，向其中某个吸引子趋向的点的 集合称为该吸引子的吸引盆。在某吸引子的吸引 盆中不会有其它吸引子，与吸引子相反的就是排 斥子。通常耗散系统的简单吸引子有不动点、极 限环和环面。简单吸引子又受系统参数的影响， 随着系统的参数的变化，耗散运动也会出现混沌， 这时的吸引子就变为奇怪吸引子。混沌运动表现 为奇怪吸引子是耗散系统独具的性质 。
基于上述分析，可见混沌的主要特征有： 1、敏感初始条件
2、伸长与折叠 3、具有丰富的层次和自相似的结构 4、非线性耗散系统中存在混沌吸引子
2.1.2 混沌的定义
1990年，美国著名科幻小说家Michael Crichton 推出一力作《侏罗纪公园》。 小说中的混沌：存 在着另一类物理学难以描述的行为。例如与湍流 有关的问题 ，这种方程很难求解，直至混沌理论 的出现。混沌系统的行为对初始条件的变化十分
生物进化史，就是生物从原始的比较均匀的无序结构 发展为高级的不均匀的有序结构的历史。
一个系统要形成耗散结构需要满足四个条件：(1) 系统必须是一个开放系统；(2)系统必须远离平衡 态； (3)系统内部各要素之间存在着非线性的相互作 用； (4)涨落导致有序。
从上述的四个条件看，耗散结构的形成是一个不可 逆过程。在Prigogine看来，Newton和Einstein的最 大失误就是把时间看作是可逆的。他的耗散结构理 论使我们认识到，现实的世界中，时间是不可逆的 ，系统的演化过程和结果与时间相关。
定义2.2 当 x 0是f的一个n周期点时，称
{ x 0 ,f( x 0 ) ,f2 ( x 0 ) , ,fn 1 ( x 0 ) }
为f的n周期轨道。
定义2.3 设(X, )是一紧致的度量空间，f : X X是
连续映射，称f在X上是混沌的，如果：(1)f具有对 初值敏感依赖性，(2)f在X上拓扑传递，(3)f的周 期点在X中稠密。
亦可写成点映射形式：
xn1F (xn, ) , x，n [a,b]
定义2.4 连续映射或点， 映射F :[ a ,b ] R [ a ,b ] ,
(x,) F(x,) 称为是混沌的，如果：
（1）存在一切周期的周期点；
（2）存在不可数子集 S[a,b], S不含周期
点，使得
lim infF n(x,)F n(y,)0, x,yS, x y
复杂非线性系统中的混沌第二 章
2.1 混沌
2.1.1 混沌的特征
混沌运动限于有限区域且轨道永不重复、性态复 杂 。具有通常确定性运动所没有的几何和统计特 征 ：局部不稳定而整体稳定、无限自相似、连续 功率谱、奇怪吸引子、分维数、正Lyapunov特征 指数、正测度熵 等。
具有确定性运动的特征：无周期而有序、已发现 的三条通向混沌的道路、Feigenbaum普适常数、 有界性和对初值具有强的敏感性 。
大量的研究表明，在非线性耗散系统中有混沌 并伴有混沌吸引子，在非线性保守（或保面积） 系统中也有混沌，只是没有混沌吸引子（KAM定 理）。可见耗散结构和混沌是非线性科学的两朵 奇葩，是探索世界复杂性的两把金钥匙。 耗散结构 :
图2.1 热扩散实验
包含两种介质（氢气和氦气）的容器。加热一端而冷却另一端。最后， 两种介质分离，热的一端充满一种介质，冷的一端充满另一种介质。 这是一种远离平衡态的有序结构。这种有序结构的出现和维持要从外 部不断供应物质和能量，所以是一种耗费物质和能量的结构，因此称 之为“耗散结构”。实际上，所有生物体都是一种高级的耗散结构。 比如人每天要吃饭，时时要呼吸，就是一种开放系统和耗散结构。
混沌一词最先由T. Y. Li和J. A. Yorke提出。 1975年他们在美国《数学月刊》上发表了 题为“周期3意味着混沌”的文章，并给出 了混沌的一种数学定义，现称为Li-Yorke定 义或Li-Yorke定理 :
考虑一个把区间[a, b]映为自身的、连续的、
单参数映射
F :[ a ,b ] R [ a ,b ], (x, ) F (x, ), xR
敏感 。
如该系统是用以时间为自变量的微分方程来刻划， 则我们研究的目的是试图预言微分方程的解在遥 远的将来或推测在遥远的过去的最终状态。如该 系统是以离散形式进行刻划，即
xn1f(xn)
其中f是集合M到M的映射，则我们希望了解，随 着n变大，序列 x,f(x),f2(x), ,fn(x), 的最终性态。因此我们称
x,f(x),f2(x), ,fn(x),
的集合为x的前向轨道，用表示 O (x)，即 O (x) { x,f(x),f2(x), }
如果f是同胚，我们还可以定义x的全轨道 O(x) 为点 f n (x) 的集合 (nZ)，x的后向轨道 O (x) ,f n(x ),
n
lim supF n(x,)F n(y,)0, x,yS, x y
n ，
lim supF n(x,)F n(p,)0 , xS , p为周期点
n
，
此定义中前两个极限说明子集的点 xS
相当集中而又相当分散；第三个极限说明子集 不会趋近于任意点。
根据Li-Yorke定义，一个混沌系统应具有三种性质： （1）存在所有阶的周期轨道；（2）存在一个不 可数集合，此集只含有混沌轨道，且任意两个轨 道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交 替出现，同时任一轨道不趋于任一周期轨道，即 此集合不存在渐近周期轨道；（3）混沌轨道具有 高度的不稳定性。
可见周期轨道与混沌运动有密切关系，表现在两 个方面：
第一，在参数空间中考察定常的运动状态，系统往 往要在参量变化过程中先经历一系列周期制度， 然后进入混沌状态。这构成所谓“通向混沌的道 路”。
第二，一个混沌吸引子里面包含着无穷多条不稳 定的周期轨道；一条混沌轨道中有许许多多或长 或短的片段，它们十分靠近这条或那条不稳定的
的集合。
定义2.1 如果对某个 x0 M有 fn(x0)x0，但对
于小于n的自然数k，f k(x0)x0，则称 x 0是f的一个
n周期点。
当 x 0 是f 的一个n周期点时，有 fnk(x0)fk(x0) 。
此时 x0
只有n个不同的元素。
O ( x 0 ) { x 0 , x 1 , x 2 , , x n 1 , x 0 , x 1 , x 2 , , x n 1 , x 0 , }
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