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2023中国数学奥林匹克试题

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2023中国数学奥林匹克试题

1、 题目一：求绝对值方程的解

评论：这道题考查了学生对绝对值概念的理解以及一元二次方程的解法。在解题过程中，学生需要分析绝对值的性质，并根据给定的方程进行分类讨论，最后得出方程的解。这道题对于锻炼学生的逻辑思维和数学分析能力很有帮助。

2、 题目二：几何证明题

评论：这道题主要考察了学生的几何证明能力。学生需要利用所学的几何知识，对给定的图形进行推理分析，证明所给的结论。这道题不仅要求学生有扎实的几何基础，还需要他们具备一定的空间想象能力和逻辑推理能力。

3、 题目三：找规律填数

评论：这道题考察了学生的观察能力和归纳总结能力。题目给出了一系列的数字，学生需要通过观察和分析，找出其中的规律，然后根据规律填写下一个数字。这道题对于培养学生的数学思维和解决问题的能力很有帮助。

题目四至题目十（假设题目）及评论如下：

题目四：数列与不等式

• 内容：给定一个数列的递推公式，要求证明该数列的某项满足特定不等式。

评论：此题深入考查了数列的性质和不等式的应用。学生需要灵活运用数列的递推关系，结合不等式的性质和证明技巧来解决问题。这类题目对于培养学生的数学严谨性和推理能力非常有益。

________________________________________

题目五：函数与极限

• 内容：涉及函数的性质、图像的变换以及极限的计算。

评论：此题综合考查了函数的基本性质和极限的计算方法。学生需要准确理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并能够运用极限的知识求解相关问题。这类题目有助

于提升学生的数学分析能力和综合运用知识的能力。

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题目六：组合数学

• 内容：涉及排列组合、概率计算等组合数学问题。

评论：组合数学是数学奥林匹克竞赛中的常考内容。此题要求学生熟练掌握排列组合的基本原理和计算方法，并能够灵活应用于实际问题中。这类题目对于培养学生的逻辑思维和问题解决能力很有帮助。

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题目七：平面几何

• 内容：涉及平面图形的性质、面积计算等几何问题。

评论：平面几何是中学数学的重要内容之一。此题考查了学生对平面图形基本性质的理解和运用能力，要求他们能够准确分析图形的特点，并运用所学知识求解相关问题。这类题目有助于培养学生的空间想象能力和几何直观能力。

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题目八：代数方程与不等式组

• 内容：给定复杂的代数方程或不等式组，要求求解或证明相关结论。

评论：此题考查了学生对代数方程和不等式组的掌握情况。学生需要运用代数知识对方程或不等式进行变形、化简和求解，并能够结合题目的特点选择合适的解法。这类题目有助于提升学生的代数运算能力和问题解决能力。

________________________________________

题目九：立体几何与空间向量

• 内容：涉及三维空间中的几何图形、空间向量及其运算等立体几何问题。

评论：立体几何和空间向量是中学数学中较为抽象和难度较大的内容之一。此题要求学生能够准确理解三维空间中的几何概念，并能够运用空间向量的知识进行计算和分析。这类

题目对于培养学生的空间想象能力和抽象思维能力很有帮助。

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题目十：综合题

• 内容：综合考查多个数学领域的知识，如代数、几何、数论等，要求学生综合运用所学知识解决问题。

评论：综合题是数学奥林匹克竞赛中的压轴大戏，往往难度较高，综合性强。此题要求学生具备扎实的数学基础和较强的综合运用能力，能够灵活运用所学知识解决复杂问题。这类题目对于提升学生的数学素养和创新能力具有重要意义。

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2023年中国数学奥林匹克国家集训队第二轮选拔考试试题+

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2023 年国家集训队第二轮选拔考试试题

I. 试 题

13. 是否存在正无理数x, 使得至多存在有限个正整数 n, 满足对任意整数

1 ≤ k ≤ n, 都有 ?

14. 对非空有限实数集 B 和实数 x, 定义

(1) 给定正整数 m. 求最小的实数 λ, 使得对任意正整数 n 和任意实数

都存在 m 元实数集 B, 满足

(2) 设 m 是正整数, ε 是正实数. 求证: 存在正整数 n 和非负实数 x1, x2, · · · , xn,

满足对任意 m 元实数集 B, 都有

15. 对凸四边形 ABCD, 称其内部一点 P 为平衡的, 如果:

(1) P 不在 AC, BD 上;

(2) 设 AP, BP, CP, DP 分别交 ABCD 的边界于点A′,B′,C′,D′ 则 AP·PA′=BP·PB′=CP·PC′=DP·PD′

求平衡点数目的最大可能值

. 16. 如图, 圆 两两外切, 且均与直线 l 相切. 设 切于点 B1,

切于点 B2 切于点 分别与 l 切于点 A, A1, A2, 其中 A 在

线段 A1A2 上. 设直线 A1C, A2B2 交于点 D1, 直线 A2C, A1B1 交于点 D2 . 求证:

17. 是否存在两两不同的整数 a1, a2, · · · , 同时满足:

(1) 对任意正整数 且

(2) 对任意正整数 n, ?

18. 求最大的实数 λ, 使得对任意一个 100 阶双随机矩阵, 总可以从中选

出150 个元素, 并将其余 9850 个元素都改为 0, 满足此时每行元素之和与每列元

素之和都不小于 λ .

注: 一个 n 阶双随机矩阵是一个 n × n 的方阵, 所有元素均为非负实数, 且每

行元素之和与每列元素之和均为 1.

19. 设 A, B 是单位圆 上的两个定点,满足 P 是 上的一个

动点,满足 是锐角三角形且 AP > AB > BP . 设 的垂心为H, S

中国数学奥林匹克试题 2001

中国数学奥林匹克试题 2001

第十六届中国数学奥林匹克(2001年)

1.给定a，。内接于单位圆ABCD的凸四边形适合以下条件：

1.圆心在这凸四边形内部；

2.最大边长是a,最小边长是。

过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线LA、LB、LC、LD。已知LA与

LB、LB与LC、LC与LD、LD与LA分别相交于A'、B'、C'、D'四点。求

面积之比SA'B'C'D'/SABCD的最大值与最小值。

2.设X={1,2,3,…2001},求最小的正整数m，适合要求：对X的任何一个

m元子集W,都存在u、v(u和v允许相同)，使得u+v是2的方幂。

3.在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓，众喜鹊都飞去。一

段时间后，它们又都回到这些顶点上，仍是每个顶点上一只，但未必都回

到原来的顶点。求所有正整数n，使得一定存在3只喜鹊，以它们前后

所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形，或同为直角三角形，或

同为钝角三角形

4.设a,b,c,a+b-c,a+c-b,b+c-a,a+b+c是7个两两不同的质数,且a,b,c中有

两数之和是800。设d是这7个质数中最大数与最小数之差。求d的最大

可能值。

5.将周长为24的圆周等分成24段。从24个分点中选取8个点，使得其中

任何两点间所夹的弧长都不等于3和8。问满足要求的8点组的不同取法

共有多少种？说明理由。

6.记a=2001。设A是适合下列条件的正整数对(m，n)所组成的集合：

1.m<2a；

2.2n|(2am-m2+n2)；

3.n2-m2+2mn≦2a(n-m)。令，求和。

2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题答案

2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题答案

赛题妙解

2023中国数学奥林匹克预赛北京赛区预赛一试试题参考解答

2023 年 5 月 21 日

8 : 00 − 9 : 20

前 8 题每题 8 分, 第 9 题 16 分, 第 10, 11 题每题 20 分

题1

如图

1,∠

ACB=90◦

,

AC=BC,

AD⊥CE,

BE⊥

CE,垂足分别是

D,E.已知

AD=8,

BE=3,则

DE=

.

AB

CDE

图1

答案

5.

解析

解:易知

△ACDCBE.

故

CE=AD=8,

CD=BE=3.

从而

DE=CE−CD=5.

第1页

题2

S是集合

{1,2,···,2023}的子集,满足任意两个元素

的平方和不是9的倍数,则

|S|的最大值是(这里

|S|表示

S的元素个数).

答案

1350.

解析

解:整数

x及其平方

x2

模9的余数情况如下表:

x(mod

9)0±1±2±3±4

x2

(mod

9)01407

由此可知,󰀍

2023

3󰀎

=674个3的倍数只能任选1个,

其它所有数均可选入.

故

|S|

max=2023−674+1=1350.

题3

已知函数

f(x)=sin

ωx+sin

2x,其中

ω∈N

+,

ω⩽

2023.若

f(x)<2恒成立,则满足题设的常数

ω的个数为

.

答案

1770.

解析

解:只要考虑sin

2x=1⇐⇒x=󰀄

k+1

4󰀅

π时,

sin

ωx=sinω(4k+1)π

4=1.

只须

ω(4k+1)≡2(mod

8)⇐⇒ω≡2(mod

8).

第2页

而在

1, 2, · · · , 2023 中模 8 余 2 的数有 253 个, 故所求

数目为

2023−253=1770.

题4

已知集合

A={1,2,3},映射

f:A→A,且满足对任

意

x∈A,有

f󰀁

f(x)󰀂

⩾

x,则这样的

f有个.

答案

13.

解析

解:分情况讨论:

(1)当

f(1)=1时,

=

⇒

f(2)=2=

⇒f(3)=3,

f(2)=3=

⇒f(3)=2或

3;

(2)当

f(1)=2时,

=

⇒

f(2)=1=

⇒f(3)=3,

f(2)=2=

⇒f(3)=3,

f(2)=3=

第八届中国东南地区数学奥林匹克试题

第八届中国东南地区数学奥林匹克试题

第八届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2011年7月27日上午8：00—12：00）宁波·北仑

卢兴江供题，求对给定的的取值范围求一、已知.2131min22abbxbaxRx

杨晓鸣供题的值。、、求两两互质，且、、二、已知正整数cbabaccabcbacba,,,332332332

李胜宏供题或，使得、不同元素元子集，至少存在两个的任意一个，，，，，使得集三、求所有正整数.3550321nbanbabaMn

陶平生供题证明：中点，、分别为、。若于交、于交任作直线外心四、如图，过EOFACMBNFENACMABMNOABC

EFABCOMN第八届中国东南地区数学奥林匹克

第二天

（2011年7月28日上午8：00—12：00）宁波·北仑

陶平生供题。三点共线、、。证明：、类似地得到设、类似得到上、分别在、，作。自、、于、、别交是其三条角平分线，分、、中，五、△3333332121210200100000000.,//,//CBACBABCAABBABACAACCAABBAAACBAABCABCCCBBAAABC

nininiiiiiBPAPMPBAABABMnniP111.,max,...,2,1金蒙伟供题证明：两点之间的距离。、为平面上上任一点，记为此平面内线段个顶点，为平面上六、设

陶平生供题皆为完全平方数。，证明：。满足：七、设数列12121237,1nnnnnnaaNnnaaaaaa

陶平生供题最大值试求互不相同。点所标数字使得染有该颜色的三个，都存在某一种颜色，对其中任意三个四边形颜色各不相同。每个凸四边形四个顶点满足：个凸四边形，使得它们点构作点，现在以这些点为顶绿四色，每色三个个点染上红、黄、蓝、的，，，号为八、把时钟盘面上的标nn21121221