类比思想在高中数学教学中的应用探讨

类比思想在高中数学教学中的应用

作者：寇宗娣

来源：《中学课程辅导·教师通讯》2020年第12期

【内容摘要】为了找到“火星上是否有生命”的正确答案，有科学家将地球与火星进行类比，发现火星的某些特征与地球很相似，如二者都是绕太阳而转；二者都存在大气层；二者都会遭遇季节的更迭，此外，大多数时间下的火星温度都适宜让地球上的某些已知生物进行生存……由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在。科学家做出上述猜想的推理过程就是类比推理。这种由两类对象具有某些相似或相同的属性事实出发，引入另一类同样具备这些特征的对象的推理就叫作类似推理，或简称为类比。类比推理的过程则可理解为：由特殊到特殊，由此及彼的过程。

【关键词】类比思想 高中数学 教学应用

类比作为一种重要的思维方法和推理方法，在数学发展的历史长河中占有举足轻重的地位，数学家波利亚（GeorgePolya）认为，类比对数学学习具有重要指导意义，求解立体几何问题同样有赖于平面几何中的类比问题。笔者认为在数学课堂教学中，我们必须认真审视和对待它。

在这里，笔者为大家展示一个基于“类比平面几何结论，探索立体几何性质”的假设。

如图所示：对平面直角三角形的勾股定理作类比，从而得出空间四面体性质的假设。

这道题的类比对象为？其分别具备怎样的特征？直角三角形内边长的关系为？在空间四面体内做类比可从哪一角度入手？ 学生1：由于直角三角形两条边垂直（相互），因此，这里可选择三个面两两垂直的四面体，以此为直角三角形的类比对象。

学生2：在直角三角形中，有AC2+BC2=AB2；直角三角形中的C点对应四面体中的D点。

在四面体中有：PD2+ED2+FD2=PE2+EF2+PF2

学生3：他的结论不正确，根据边长之间的关系可以知道结论是错误的。

􀅰技巧聚焦􀅰

◇　山东　王　利

类比思想是一种分析以及解答问题的重要思想,

将其应用于高中数学教学中,可启发学生将陌生问题

转化为熟悉问题,从而促进学生解题能力的提高．为使学生掌握这一重要思想,提高其应用意识,教学中

教师可结合具体例题,讲解类比思想的应用,使学生体会类比思想应用的过程,把握该思想应用的关键．

１　注重对类比思想知识的讲解

为使学生灵活运用类比思想解答高中数学试题,

授课中应注重对类比思想知识的讲解．一方面,教师

要为学生讲解类比思想的理论知识,使其认识到类比是一种研究陌生问题的重要思想,掌握这一重要思

想,可以拓展思维,促进自身探究能力及分析问题能力的提升,使学生在学习中自觉认真学习类比思想的

相关知识．另一方面,教师要结合学生所学数学内容,

讲解相关数学例题,使学生感受类比思想在解题中的应用,体会类比思想在解题中的便利之处．同时,在日

常学习中注重积累类比思想的应用方法,把握类比思想应用的注意事项,真正实现牢固掌握,灵活运用．

例１　若数列{an}为等差数列,且am＝a,an＝b

(m≠n,m,n∈N∗),则am＋n＝bn－amn－m．现已知等比数

列{bn}(bn＞０,n∈N∗),bm＝a,bn＝b(m≠n,m,

n∈N∗),若类比上述结论,则可以得到bm＋n＝．

等差与等比数列的类比一直是高考的热点．正如

该题要求类比等差数列的性质,推测等比数列的类似性质．解答该题时,可先通过类比写出结论,即bm＋n＝

m－nambn,而后应用等比数列知识进行推理、验证,以保

证类比的正确性．显然由等比数列性质可得,bm＋n＝bm􀅰qn,bm＋n＝bn􀅰qm,因为bm＝a,bn＝b,则bmm＋n＝

am􀅰qmn,bnm＋n＝bn􀅰qmn,将两式相除得到bmm＋nbnm＋n＝ambn,

即,bm－nm＋n＝ambn,则bm＋n＝m－nambn,可知类比的结论完

全正确．２　创设类比思想应用情境

高中数学涵盖的知识点较多,可创设很多新颖的

ｌ　

基于类比思想的高中数学学习方法探讨　吴　斌　（苏州新区第一中学，江苏苏州２１５０００）　摘　要：类比思想是一种有效的逻辑思维方式．它对　于高中数学的学习大有裨益　本文首先阐述了类比思想及　其与高中数学学习方法的关系．接着用实证分析的方法研　究了类比思想在高中数学学习中的具体应用．最后针对高　中数学的教学实践提出了培养学生类比思维的建议和对　策．希望能够为类比思想在高中数学学习中的应用提供帮　助和借鉴。　关键词：类比思想　高中数学　学习方法　一、类比思想及其与高中数学学习方法的关系　类比思想是一种基本逻辑思维，它是将属性上接近或相　似的事物进行比较分析并从中总结出类似事物方法和规律的　一种思维方式，类比思想在科学研究中得到了广泛的应用并　且取得了丰硕的成果。同时，类比思想也是一种高中数学学习　方法的重要指导思想，学生采用类比思想能够将复杂问题简　单化、陌生问题熟悉化，以及抽象问题形象化。具体说来，就是　针对高中数学的章节、知识点和题型进行对比．将问题落实在　直线１２ｘ一５ｖ＋ｃ：０的距离为ｌ，则　，＋ｃｌ：ｌ，１￣１］１１２ｘ一５ｙ＋　、／１２　＋（一５）　ｃｌ＝１３．也就是１２ｘ一５ｙ＋ｃ＝＋ｌ３。　（１）当１２ｘ一５ｖ＋ｃ＝１３时，据题意直线１２ｘ一５ｙ＋ｃ＝ｌ　３４　Ｎｘ　＋ｖ‘　：４必须有两个不同的公共点，则有　＿ｌｊｌ＜２，解得一１３＜ｃ＜３９；　１３　（２）当ｌ２ｘ…５ｙ＋ｃ　１３时，据题意直线１２ｘ…５ｙ＋ｃ　ｌ３与圆Ｘ　＋ｖ。：４也必须有两个不同的公共点，则有　＜２，解得一３９＜　’　１３　ｃ＜１３。　综合（１）（２）可知满足条件的点Ｐ有四个时，实数ｃ的取值　范围是（一１３，１３）。　问题解决之后．我并没有就此结束，而是抛出了这样的一　个探究引申题：　在平面直角坐标系ｘ０ｙ中，已知圆Ｃ：（ｘ—ａ）‘＋（ｙ＿ｂ）　＝ｒ‘（ｒ＞　０），直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝Ｏ，试探究圆Ｃ上到直线ｌ的距离为ｍ的点Ｐ　的个数。　学生的探究热情高涨，因为有了前面一道高考题的解题　引领，学生慢慢地逐步发现研究方法与结论，颇感自豪。现将　学生的研究过程与成果呈现如下：　分析：首先考虑平面ｘＯｙ　中到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离　为ｍ的点Ｐ应该位于与ｌ平行的　两条直线１，，１，（如图所示）上，　问题化归为圆Ｃ与１．，ｌ，交点的　。　个数。设圆一ｂＣ到直线ｌ的距离　为ｄ，则：　（１）当ｒ＜ｄ—ｍ时，圆Ｃ上不　存在满足条件的点Ｐ（如图①）；　（２）当ｒ＝ｄ—ｍ时，圆Ｃ上满足条件的点Ｐ有且仅有一个（如　图②）；　（３）当ｄ—ｍ＜ｒ＜ｄ＋ｍ时，圆Ｃ上满足条件的点Ｐ有且仅有两个　（如图⑧）；　（４）当ｒ＝ｄ＋ｍ时，圆Ｃ上满足条件的点Ｐ有且仅有三个（如　图④）；　（５）当ｒ＞ｄ＋ｍ时．圆Ｃ上满足条件的点Ｐ有且仅有四个（如　图⑧）。　若用上述结论解２０１０年江苏高考第九题，则可快速得Ｎｃ　１　Ｉ　满足的条件为２＞　＋１，解得一１３＜ｃ＜１３。　１３　使学生经历探究的学习过程，改变学生的学习方式，培养　学生的直觉思维能力，通过类比教学可以增强学生的数学运　用意识．提高解决问题的能力。　４．通过类比，介绍知识的新领域，提出新问题。培养和开　发了学生创造性思维。并引向科学的前沿。　高中数学教材（苏教版）在介绍复数时就采用了类比的方　法，实数有加法、减法、乘法、乘方等运算及运算规律。如，若ａ，ｂ，　ｃ　ＥＲ，则ａ＋ｂ＿ｂ＋ａ（交换律），ａ＋ｂ＋ｃ＝＝ａ＋（ｂ＋ｃ），ａ－ｂ・ｃ＝ａ・（ｂ・ｃ）（结合　律），ａ・（ｂ＋ｃ）＝ａ．ｂ＋ａ・ｃ（分配律），同样，若ｚ，，　，ｚ，∈Ｃ，Ｎｚ．＋　＝　＋Ｚ．，　Ｚ１＋ｚ２＋　＝ｚｌ＋（　＋ｚ３），ｚ１・ｚ２・　＝Ｚｌ・（　・　），ｚｌ・（ｚ２＋ｚ３）＝ｚｌ・　卜Ｚ１・ｚ３，同样满　足交换律、结合律、分配律等。同时，复数￣ａ＋ｂｉ（ａ，ｂ∈Ｒ）由实部ａ　与虚部ｂ共同确定，即一个复数与一对有序数对（ａ＇ｂ）一一对应，　于是就提出了新的问题，复数的运算与向量的运算有何联系，又　有怎样的区别？这样逐步地揭开新知识的面纱。　类比可使知识条理化．它能分清概念和规律之间的相似　与差异。从而发展知识的“空缺”．指引了研究的方向。门捷列　夫元素周期表就是通过分析归纳抓住各元素的质量排列和电　荷数排列，把它们的物理性质和化学性质作类比，从而发现了　“空缺”，再有目的、有方向地寻找这些“空缺”对应的元素，并　且获得了巨大成功。１６世纪，意大利数学家卡尔丹（Ｇ．Ｃａｒ—　ｄａｎｏ．１５０１—１５７６）在讨论问题“将ｌ０分成两部分，使两者的乘　积等于４０”时，将答案写成“５＋Ｘ／－１５和５一、／一１５”。尽管当时　的数学家都认为“５＋、／一ｌ５”和“５一、／一１５”这两个式子没有意　义，是虚构的、想象的，但在解决许多问题中，使用类似于　“、ｖ／一ｌ５”这样的式子却带来了极大的方便。那么，、／一１５能作　为数吗？它真的是无意义的、虚幻的吗？这正是科学家进攻的　前沿阵地之一．随着科学家的研究与探索。引进了“虚数”，从　而将实数域扩充到复数域，解决了这个难题，建立了相应的运　算系统。这些问题的解决，类比法都发挥了巨大的作用。　在高中数学教学中紧紧抓住相似、相近概念、图形、运算　与推理等，广泛运用类比思维这一突出特点，积极运用类比法　进行教学，提高教学效益。充分利用在数学历史上数学家运用　类比思维实现知识创新的生动事例，利用教材编写中对知识　点进行类比处理的素材，积极对高中数学中相似题型的解题　方法进行类比，对学生进行类比思维的熏陶和培养。设置类比　性习题．加强类比训练，促进学生类比思维的形成，提高学生　的创新素质，努力实现素质教育与创新教育的要求。　参考文献：　『１］高中数学教材（苏教版）．　『２］高中数学课程标准．　『３］方青云．类比思想在数学学习中的重要作用［Ｊ］．理科　教学探索，２００６．　『４］邓理进．试论数学类比教学的作用［Ｊ］．常州师专学报，　２００２．

在高中数学课堂教学中渗透类比思想

摘要：类比是合情推理常用的思想方法，其不仅开拓学生的视野，还能提高学生的创新思维，通过类比的课堂教学也把课堂交给了学生，所以,比思想在高中数学教学中的应用也引起了大家的关注和研究。

关键词：数学 类比思想 合情推理 应用

类比是一种重要的数学思想方法，类比推理是合情推理的重要组成部分，它对揭示数学知识之间的内在联系，启迪解题思路等方面，都有着独特的作用。因此，在高中数学教学中，要注重类比思想的应用，这不仅可以促进学生对所学知识的理解，还可以激发学生学习的积极性。本文就类比思想在高中数学教学中的应用谈谈自己的看法:

一、类比思想在新授课中的应用

(一)类比思想在概念的形成过程中的应用

高中数学中的概念很多，有些理解起来很抽象，不少学生对此感到困难。新课程通常通过强化数学知识的实际背景来帮助学生理解概念，其实，对于某些内容，如果能利用类比，把新旧概念结合起来考虑，则可大大降低理解的难度。

例1:在学习等比数列的新授课时，可以让学生对照等差数列概念，类比出等比数列的概念，让学生体会这两个概念只有一个字的差别，这样不仅巩固了等差数列的概念，也让学生更加深刻的理解等比数列的概念。

例2:在讲授直线和圆的位置关系时，可以设计如下类比:

1、点和圆的位置关系如何判定?

2、如何判断直线与圆的位置关系?

这样设计让学生自然的接受了这一新的知识，不会觉得这种判断方法出现的很突然。

例3:在导人棱柱的定义时，可以设计类比让学生思考:

1、平面上的点沿某直线方向平移一段距离后形成什么图形?

2、线段沿某个方向平移后形成什么图形?

3、一个平面图形如三角形，平行四边形，五边形沿某一方向平移后形成什么图形?

通过这三个问题，利用类比思想，把点所具有的特点推广到线、线所具有的特点推广到面、面所具有的特点推广到空间，实际上是充分利用学生已经掌握的平面几何知识，去猜测、推导、理解相关的立体几何知识，这使学生对棱柱的理解不仅有了直观的印象，而且有了运动变化的观念。