高二数学必修2圆的参数方程知识点

数学必修二圆的方程知识点总结

总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况加以总结和概括的书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，快快来写一份总结吧。但是却发现不知道该写些什么，以下是小编收集整理的数学必修二圆的方程知识点总结，希望能够帮助到大家。

圆的方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。

2、圆的方程

（1）标准方程，圆心，半径为r；

（2）一般方程

当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为

当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；

（2）过圆外一点的'切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程

（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。 设圆，

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。

当时两圆外离，此时有公切线四条；

当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

当时，两圆内含；当时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

高中数学必修二圆与方程

高中数学必修二：圆与方程

圆和方程作为高中数学必修二中的重要知识点，是数学学习中的基础内容。圆是平面上到给定点距离等于定值的点的集合，是几何中的重要图形之一；而方程则是描述数学关系的一种数学语言。本文将详细讲解圆和方程的相关知识，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。

1. 圆的基本概念

在几何中，圆是一个封闭曲线，由一个平面上所有到指定点距离相等的点组成。圆的基本要素包括圆心、半径、直径、弦、弧等。圆心是圆的中心点，通常用字母O表示；半径是从圆心到圆周上任意点的距离，通常用字母r表示；直径是通过圆心的两个端点的线段，通常用字母d表示。弦是连接圆上两点的线段，弧是圆上的一段曲线。圆的周长公式为C=2πr，面积公式为S=πr²。

2. 圆的相关定理

在学习圆的过程中，我们需要掌握一些重要的定理，如圆的相交、切线、相切等相关定理。其中，切线与圆的切点垂直、相切圆的切线垂径于切点等定理是解题中经常用到的重点内容。此外，根据圆的位置关系，我们还可以推导出诸如同位角、同弦、相等弧等相关定理，这些定理在解题中能够帮助我们更快更准确地完成题目。

3. 圆的参数方程 在高中数学中，我们还需要学习圆的参数方程。当圆的中心不在坐标原点时，我们可以通过参数方程的方式来描述圆的位置。圆的参数方程一般为x=rcosθ，y=rsinθ，其中θ为参数，r为半径。通过参数方程，我们可以方便地描述圆的位置和形状，是解决复杂问题时的重要工具。

4. 一元二次方程

另一个重要的数学概念是一元二次方程。一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c为常数且a≠0。解一元二次方程的方法有因式分解、配方法、求根公式等。掌握一元二次方程的解题方法对于高中数学的学习至关重要，同时也是解决实际问题的基础。

5. 二次函数

一元二次方程的图像是抛物线，对应的函数为二次函数。二次函数的一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。二次函数的图像在平面直角坐标系中为一条抛物线，开口方向由二次系数a的正负确定。学习二次函数的性质和图像，有助于我们更好地理解和掌握一元二次方程的相关知识。

圆与方程

1. 圆的标准方程：以点),(baC为圆心，r为半径的圆的标准方程是222)()(rbyax.

特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.

2. 点与圆的位置关系：

(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：

a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r

(2). 给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.

①M在圆C内22020)()(rbyax

②M在圆C上22020)()rbyax（

③M在圆C外22020)()(rbyax

（3）涉及最值：

① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值

minPBBNBCr

maxPBBMBCr

② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值

minPAANrAC

maxPAAMrAC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

3. 圆的一般方程：022FEyDxyx .

(1) 当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr. (2) 当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.

(3) 当0422FED时，方程不表示任何图形.

注：方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0CA且0422AFED.

4. 直线与圆的位置关系：

直线0CByAx与圆222)()(rbyax

圆心到直线的距离22BACBbAad

1）无交点直线与圆相离rd；

1

第二讲 参数方程（2）

圆的参数方程

【学习目标】

1.掌握圆的参数方程，明确圆的参数方程中参数的几何意义．

2.会用圆的参数方程解决求轨迹和最值问题．

【学习重点、难点】

掌握圆的参数方程，会用圆的参数方程解决求轨迹和最值问题

【知识链接】

1.在直角坐标系中圆的标准方程和一般方程是什么？

2.参数方程定义中的关系式为：

【自学导航】

阅读课本P23～P24页内容，了解本节知识体系.

【课堂探究与典型例题】

探究1：圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程？

探究2：圆心在点1,Oab，半径为r的圆的参数方程？

vbaPxyrxOy

类型一 圆的参数方程与普通方程互化

【例1】

（1）已知圆的普通方程为x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，将它化为参数方程；

（2）已知曲线的参数方程x＝1＋2cos t，y＝－2＋2sin t(0≤t≤π)，把它化为普通方程，并判断该曲线表示什么图形.

【规律方法】 x y

Orpp02

类型二 利用圆的参数方程求轨迹

【例2】如下图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，6,0Q是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程.

【规律方法】

【变式训练】已知点Q (2,0)，点P是圆 x＝cos θy＝sin θ上一动点，求PQ中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

类型三 利用圆的参数方程求范围

【例3】设P(x,y)是圆222xyy上的动点.

（1）求2xy的取值范围；

（2）若0xyc恒成立，求实数c的取值范围.

【规律方法】

【变式训练】

已知)(sincos2为参数yx，则22)4()5(yx的最大值是 . 3

学情分析

在《必修1》中，学生已经学习了圆的标准方程和普通方程，在《选修4-4》中，学生已经学习了参数方程，在这个基础上学生这节课学习圆的参数方程。