2019年北京市西城区高考数学一模试卷和答案(文科)
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2019年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁
UA）∩
B＝（ ）
A．{﹣3，﹣1} B．{﹣3，﹣1，3} C．{1，3} D．{﹣1，1}
2．（5
分）若复数，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（ ）
A．4 B．5 C．7 D．9
5．（5分）在△ABC中，已知a＝2
，
，，则c＝（ ）
A．4 B．3 C
． D
．
6．（5分）设a，b，m均为正数，则“b＞a
”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）如图，阴影表示的平面区域W是由曲线x﹣y＝0，x2+y2＝2所围成的．若点P（x，
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y）在W内（含边界），则z＝4x+3y的最大值和最小值分别为（ ）
A．，﹣7 B．， C．7， D．7，﹣7
8．（5分）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线|y|＝
2﹣x2围成的平面区域的直径为（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5
分）设向量
，满足
||＝2，
||＝3
，＜
，＞＝60
°，则•
（
+）＝ ．
10．（5分）设F
1，F
2
为双曲线的两个焦点，若双曲线C
的两个顶点恰好将线段F
1F
2三等分，则双曲线C的离心率为 ．
11．（5分）能说明“在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B”为假命题的一组A，B的值
是 ．
12．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为 ．
13．（5
分）设函数当f（a）＝﹣1时，a＝ ；如果对于
任意的x∈R都有f（x）≥b，那么实数b的取值范围是 ．
14．（5分）团体购买公园门票，票价如表：
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购票人数 1～50 51～100 100以上
门票价格 13元/人 11元/人 9元/人
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a
≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费
为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票
费为990元，那么这两个部门的人数a＝ ；b＝ ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．
15．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．
16．（13分）已知数列{a
n}的前n项和S
n＝n（n+1）+2，其中n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a
n}的通项公式；
（Ⅱ）若a
2，a
k+2，a
3k+2（k∈N*）为等比数列{b
n}的前三项，求数列{b
n}的通项公式．
17．（13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名
著”活动．活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单
位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中
以a表示．
（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求图中a的所有可能取值；
（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设a＝3，现从所有的
“阅读达人”里任取2人，求至少有1人来自甲组的概率；
（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为s
02．若在甲组中增加一个阅读量为10的学生，并记新得
到的甲组阅读量的方差为s
12，试比较s
02，s
12的大小．（结论不要求证明）
（注：s2＝，其中为数据x
1，x
2，…，x
n
的平均数）
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18．（14分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥
DE，DE⊥AD，DC＝DE．
（Ⅰ）求证：AD⊥CE；
（Ⅱ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅲ）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面ADQ⊥平面BCE？并说明理由．
19．（13分）设函数f（x）＝mex﹣x2+3，其中m∈R．
（Ⅰ）当f（x）为偶函数时，求函数h（x）＝xf（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣2，4]上有两个零点，求m的取值范围．
20．（14分）已知椭圆W
：的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P
（1，0）的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
（Ⅰ）求椭圆W的方程及离心率；
（Ⅱ）求四边形ACBD面积的最大值；
（Ⅲ）若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？若是，写
出该直线的方程．（结论不要求证明）
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2019年北京市西城区高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．（5分）设全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁
UA）∩
B＝（ ）
A．{﹣3，﹣1} B．{﹣3，﹣1，3} C．{1，3} D．{﹣1，1}
【解答】解：根据题意，全集U＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，则∁
UA＝{x|x≤0或x≥2}
又由B＝{﹣3，﹣1，1，3}，则集合（∁
UA）∩B＝{﹣3，﹣1，3}；
故选：B．
2．（5
分）若复数，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】
解：∵
＝，
∴在复平面内z
对应的点的坐标为（），位于第四象限．
故选：D．
3．（5分）下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝x2+2x B．y＝2x+1 C．y＝x3+1 D．y＝（x﹣1）|x|
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意；
对于B，y＝2x+1，其值域为（0，+∞），不符合题意；
对于C，y＝x3+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于D，y＝（x﹣1）|x|
＝，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
故选：C．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（ ）
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A．4 B．5 C．7 D．9
【解答】解：当k＝1时，S
＝＝﹣3，k＝3，S＜2成立，
S
＝
＝﹣，k＝5，S＜2成立，
S
＝，k＝7，S＜2成立，
S
＝，k＝9，S＜2不成立，
输出，k＝9，
故选：D．
5．（5分）在△ABC中，已知a＝2
，
，，则c＝（ ）
A．4 B．3 C
． D
．
【解答】解：∵a＝2
，
，，
∴sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B
）＝，
∴由正弦定理，可得：c
＝
＝
＝．
故选：C．
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6．（5分）设a，b，m均为正数，则“b＞a
”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵a，b，m均为正数，
∴由得b（a+m）＞a（b+m），
即ab+bm＞ab+am，
即bm＞am，
∵m是正数，
∴b＞a，成立，
即“b＞a
”是“”的充要条件，
故选：C．
7．（5分）如图，阴影表示的平面区域W是由曲线x﹣y＝0，x2+y2＝2所围成的．若点P（x，
y）在W内（含边界），则z＝4x+3y的最大值和最小值分别为（ ）
A．，﹣7 B．， C．7， D．7，﹣7
【解答】解：由题意可知直线平移直线0＝4x+3y，当直线经过A上取得最小值，平移到
与x2+y2＝2相切于B时，取得最大值，B（﹣1，﹣1），最小值为：﹣7；
由可得：25x2﹣8zx+z2﹣18＝0，△＝64z2﹣4（z2﹣8）×25＝0，解得z＝5，
z＝（舍去），
所以则z＝4x+3y的最大值和最小值分别为：5；﹣7．
故选：A．
