1、八年级《数学》

北师大版 数学 八年级 上册同学们，在我们美丽的地球王国上，原始森林，参天古树带给我们神秘的遐想；绿树成荫，微风习习，给我们以美的享受.你知道吗？在古老的数学王国，有一种树木它很奇妙，生长速度大的惊人，它是什么呢？下面让我们带着这个疑问一同到数学王国去欣赏吧！A B勾股树导入新知素养目标3.学生初步运用勾股定理进行简单的计算和实际的应用.2.在探索过程中，学生经历了“观察-猜想-归纳”的教学过程，将形与数密切联系起来.1.通过数格子的方法探索勾股定理；学生理解勾股定理反映的是直角三角形三边之间的数量关系.在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.知识点做一做abca 2,b 2,c 2之间关系问题1你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?CAB图1（图中每个小方格代表一个单位面积）ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）正方形A中含有个小方格,即A的面积是个单位面积.同理:正方形B的面积是个单位面积.999思考1用什么办法能求出图1中A,B的面积?数格子图1分割成若干个直角边为整数的三角形（单位面积）思考2 怎样求出C 的面积?ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图1S 正方形C = 4×12×3×3 =18练一练 通过对图1的学习，求出图2正方形A ,B ,C 中面积各是多少?ABC ABC（图中每个小方格代表一个单位面积）图 1图 2解：正方形A 的面积是4个单位面积，正方形B 的面积是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.（1）观察图3、图4：（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：A的面积B的面积C的面积图3图44 916 9？ABCCBA图3图4做一做（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流.图3ABCCBA图4“补”“割”“拼”分割为四个直角三角形和一个小正方形补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形（4）分析填表数据AB CCBA图4图3A的面积B的面积C的面积图3图44 916 91325问题2通过以上观察分析，你能发现三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？S A + S B = S C结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积.做一做如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面猜想的数2.4量关系还成立吗？说明你的理由.　1.6问题4你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？a2+ b2= c2勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a 、b ,斜边为c ，那么即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.abc表示为：Rt △ABC 中，∠C =90°, 则a 2 + b 2 = c 2.在西方又称毕达哥拉斯定理a 2 +b 2 =c 2勾较短的直角边称为 ，股较长的直角边称为 ，直角三角形中弦斜边称为 .勾2 + 股2 = 弦2股勾弦在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.趣味小常识2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”，这就是本届大会会徽的图案.素养考点 1利用勾股定理求直角三角形的边长方法点拨：已知直角三角形的两边求第三边,关键是先明确所求的边是直角边还是斜边,再应用勾股定理.例1 如果直角三角形两直角边长分别为 BC =5厘米,AC =12厘米,求斜边AB 的长度. ab c A C B 解：在Rt △ABC 中根据勾股定理,AC²+BC²=AB²，AC =12，BC =5所以12²+5²=AB²，所以AB ²=12²+5²=169，所以AB =13厘米.答：斜边AB 的长度为13厘米.变式训练求下列图形中未知边的长度：所以x =8.解：由勾股定理得：62+x 2=102 ,所以x 2=64,巩固练习1.寻求图形面积之间的关系素养考点 2利用勾股定理求面积问题方法点拨：以直角三角形三边为基础向外作正方形，等腰三角形或半圆，都能形成简单的勾股图，对于勾股图都有相同的结论，即S 1=S 2+S 3（S 1是以斜边为基础向外作的图形的面积，S 2和S 3分别是以直角边基础向外所作图形的面积.例2 如图，以Rt △ABC 的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1+S 2+S 3=16，则S 1的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10探究新知B例3 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，求△ABC 的面积．方法点拨：当题目中没有直角三角形时，常作垂线（或作高）构造直角三角形，然后利用勾股定理求得线段的长，进而求面积.2.求非直角三角形的面积解：作AD ⊥BC 于D ，在等腰△ABC 中，因为AB =AC =13，BC =10，所以BD =CD =5，所以AD 2=AB 2-BD 2 =132-52 =144，AD =12所以S △ABC =12 BC•AD = 12×10×12=60．探究新知如图，△ABC 中，∠ACB =90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S 1，S 2，S 3，已知S 1=6，S 2=8，则S 3= ．14变式训练巩固练习连接中考1. 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ）A．5 B．6 C．7 D．82.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面积为 ．3A基础巩固题ABC 1.判断题（1）△ABC 的两边AB =5,AC =12,则BC =13. ( )（2）△ABC 的a =6,b =8,则c =10. ( )2.在△ABC 中, ∠C =90°,AC =6,CB =8,则△ABC 面积为_____,斜边为上的高为______.⨯⨯24 4.8基础巩固题15 cm17 cm 64 cm²3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .基础巩固题4.求出图中直角三角形第三边的长度.4312xx 1517所以x =8 .解：由勾股定理得：152+x 2=172 ,所以x 2=64 ,所以x =13 .解：由勾股定理得：x 2= 32 +42+152 ,所以x 2=169 ,基础巩固题5.已知∠ACB =90°,CD ⊥AB ,AC =3,BC =4. 求CD 的长.AD BC 解：因为∠ACB =90°，AC =3，BC =4，所以AB 2=AC 2+BC 2=25，即AB =5.根据三角形面积公式， AC ×BC = AB ×CD.1212所以CD = .152能力提升题如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为S 1、S 2、S 3,则S 1、S 2、S 3的关系是（ ）A.S 1+S 2=S 3B. S 12+S 22=S 32C. S 1+S 2>S 3D. S 1+S 2<S3A拓广探索题如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第2个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第3个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2018个等腰直角三角形的（2）2018斜边长是___________．勾股定理的探索如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么a2+b2=c2利用勾股定理进行计算课堂小结作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习课后作业谢谢观看 Thank You。

人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。

本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。

通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。

2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。

3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。

2.分式方程的解法及其应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。

2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。

3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。

同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。

3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

八年级下册书数学知识点在八年级下册的数学学习中，同学们需要掌握多个知识点，本文将围绕几个重点内容进行讲解。

一、平面图形与立体图形的计算在平面图形与立体图形的计算中，需要掌握图形的特征和相关计算公式。

例如，对于矩形，其特征为有四条边，相邻两条边长度相等，对角线相等且垂直相交；其面积计算公式为长乘以宽。

对于正方体，其特征为六个面都是正方形；其表面积计算公式为六倍边长的平方，体积计算公式为边长的立方。

二、函数初步函数是数学中的一个重要概念，涵盖了函数的定义、概念和基本性质等方面。

学生需要通过练习掌握函数的常见形式，如一次函数和二次函数等，并熟悉其图像特征和解析式的表示方式。

在解题中，需要理解函数的自变量与函数值之间的关系和如何求出函数值。

三、三角函数初步三角函数是三角学中的重要内容之一，在八年级下册的学习中也会有重点涵盖。

同学们需要了解正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数的基本概念，并学会根据角度大小计算函数值。

此外，三角函数在解决实际问题中也起到重要作用，例如船只航线问题、建筑工地斜坡问题等。

四、方程与不等式在方程和不等式的学习中，需要理解其基本概念、性质和解法，并在练习中掌握解题技巧。

同时，方程和不等式在数学的应用中也十分广泛，包括化学化学方程式、物理运动问题等许多领域。

五、统计学初步统计学作为一门应用数学，重点研究数据的收集、整理、描述、分析等内容。

在学习中，需要了解数据的类型与特征、常见统计指标的计算方法、表格和图表的制作等。

对于实际问题，统计学也有着广泛的应用，例如市场调查、人口普查等。

以上是八年级下册数学的主要知识点，同学们可以通过反复练习和深入思考来掌握这些知识，不断提高自己的数学能力。

2022-2023学年八年级数学上《1.2一定是直角三角形吗》一．选择题（共7小题）1．（2022春•西城区校级期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，3，4C．1，，D．1，2，3 2．（2021秋•兴义市期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝7，b＝24，c＝253．（2021秋•揭东区期末）下列选项中不是勾股数的是（）A．7，24，25B．4，5，6C．3，4，5D．9，12，15 4．（2021秋•简阳市期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（）A．3，4，5B．5，12，14C．6，8，9D．8，13，15 5．（2022春•澄迈县期中）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A．9，40，41B．，，C．3，4，5D．1，，6．（2022春•龙马潭区月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．1，1，2B．5，7，9C．6，8，10D．6，12，14 7．（2022春•恩施市校级月考）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9二．填空题（共7小题）8．（2022•揭阳三模）在四边形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，则∠CAD＝．9．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B ＝90°，则∠BCD的度数．10．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．11．（2022春•济宁月考）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：（填“能”或“不能”．）12．（2022•朝阳区二模）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．13．（2021春•密山市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a ＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是．14．（2021春•五华区校级期中）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；…，请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数：．三．解答题（共6小题）15．（2022春•东莞市期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：（1）分别求出边AB、AC、BC的长度，并计算△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．16．（2021秋•苏州期末）若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为，（分别用含p的代数式表示）．17．（2022春•黄陂区月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．18．（2022春•大兴区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝，BC＝2，CD＝4．求∠ADC的度数．19．（2022春•蜀山区校级期中）阅读并解答问题：能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数，在学习完“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下数字表格：n23456…a4681012…b38152435…c510172637…请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝，b＝，c＝；（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．20．（2021春•淮南期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：n23456…a4581012…b38152435…c510172637…请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝，b＝，c＝；（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝，b＝，c＝；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．2022-2023学年八年级数学上《1.2一定是直角三角形吗》参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2022春•西城区校级期中）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1B．2，3，4C．1，，D．1，2，3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A、∵1＝1＝1，∴以1，1，1为边构成的是等边三角形，不是直角三角形，故A不符合题意；B、∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴以2，3，4为边不能构成直角三角形，故B不符合题意；C、∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，∴12+（）2＝（）2，∴以1，，为边能构成直角三角形，故C符合题意；D、∵1+2＝3，∴以1，2，3为边不能构成三角形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2．（2021秋•兴义市期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝3B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5D．a＝7，b＝24，c＝25【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：A．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵22+32≠42，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵22+42≠52，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵72+242＝252，∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于最长边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．3．（2021秋•揭东区期末）下列选项中不是勾股数的是（）A．7，24，25B．4，5，6C．3，4，5D．9，12，15【考点】勾股数．【专题】三角形；运算能力．【分析】根据勾股数的定义求解即可．【解答】解：A．∵72+242＝252，且7，24，25是正整数，∴7，24，25是勾股数，此选项不符合题意；B．∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，此选项符合题意；C．∵32+42＝52，且3，4，5是正整数，∴3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；D．∵92+122＝152，且9，12，15是正整数，∴9，12，15是勾股数，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13…4．（2021秋•简阳市期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（）A．3，4，5B．5，12，14C．6，8，9D．8，13，15【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．【解答】解：A 、42+32＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；B 、52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C 、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D 、82+122≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A ．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．5．（2022春•澄迈县期中）如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A ．9，40，41B ．，，C ．3，4，5D ．1，，【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：A 、∵92+402＝81+1600＝1681，412＝1681，∴92+402＝412，∴以9，40，41为边长能构成直角三角形，故A 不符合题意；B 、∵（）2+（）2＝+＝，（）2＝，∴（）2+（）2≠（）2，∴以，，为边长不能构成直角三角形，故B 符合题意；C 、∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴以3，4，5为边长能构成直角三角形，故C 不符合题意；D 、∵12+（）2＝1+2＝3，（）2＝3，∴12+（）2＝（）2，∴以1，，为边长能构成直角三角形，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．6．（2022春•龙马潭区月考）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．1，1，2B．5，7，9C．6，8，10D．6，12，14【考点】勾股数．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、12+12≠22，不能构成直角三角形，故选项错误，不合题意；B、52+72≠92，不能构成直角三角形，故选项错误，不合题意；C、62+82＝102，能构成直角三角形，是整数，故选项正确，符合题意；D、62+122≠142，不能构成直角三角形，故选项错误不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．7．（2022春•恩施市校级月考）下列各组数中，不是勾股数的是（）A．3，4，5B．5，12，13C．8，15，17D．6，7，9【考点】勾股数．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案．【解答】解：A．∵32+42＝52，∴是勾股数，不符合题意；B．∵52+122＝132，∴是勾股数，不符合题意；C．∵82+152＝172，∴是勾股数，不符合题意；D．∵62+72≠92，∴不是勾股数，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．二．填空题（共7小题）8．（2022•揭阳三模）在四边形ACBD中，AC⊥BC且BC＝2，AD＝3，AB＝4，BD＝5，则∠CAD＝120°．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形，进而利用三角形的度数解答即可．【解答】解：∵AD＝3，AB＝4，BD＝5，∴BD2＝AD2+AB2，∴△ABD是直角三角形，∴∠DAB＝90°，∵AC⊥BC，BC＝2，AB＝4，∴∠BAC＝30°，∴∠CAD＝∠DAB+∠BAC＝90°+30°＝120°，故答案为：120°．【点评】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出△ABD是直角三角形解答．9．（2022春•黄石期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD＝，DA＝5，∠B ＝90°，则∠BCD的度数135°．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】在等腰Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC，再利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴AC＝＝＝3，∵CD＝，DA＝5，∴AC2+CD2＝（3）2+（）2＝25，AD2＝52＝25，∴AC2+CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝135°，故答案为：135°．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．10．（2022•孝感）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是m2+1（结果用含m的式子表示）．【考点】勾股数；列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2+1，综上所述，其弦是m2+1，故答案为：m2+1．【点评】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．（2022春•济宁月考）如图，在每个小正方形的边长均为1的正方形网格中，有三条线段a，b，c（线段端点都在格点上），以这三条线段为边能否组成一个直角三角形？答：能（填“能”或“不能”．）【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】利用勾股定理求解可得线段a，b，c的长度，根据勾股定理的逆定理可以判断以这三条线段为边能否组成一个直角三角形．【解答】解：（1）a＝＝，b＝＝，c＝＝2，∴a2+c2＝（）2+（2）2＝2+8＝10＝b2，∴以这三条线段为边能组成一个直角三角形．故答案为：能．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．12．（2022•朝阳区二模）如图所示的网格是正方形网格，网格中三条线段的端点均是格点，以这三条线段为边的三角形是直角三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．【分析】利用勾股定理求解可得线段的长度，根据勾股定理的逆定理可以判断以这三条线段为边能否组成一个直角三角形．【解答】解：∵＝，＝2，（）2+（2）2＝52，∴以这三条线段为边的三角形是直角三角形．故答案为：直角．【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．13．（2021春•密山市期末）古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a ＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．请你利用这个结论得出一组勾股数是4，3，5（答案不唯一）．【考点】勾股数．【分析】取m＝2，分别计算出a，b，c的值即可求解．【解答】解：∵如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c 为勾股数，∴当m为大于1的任意整数时，a，b，c为勾股数，如m＝2，那么a＝2m＝4，b＝m2﹣1＝3，c＝m2+1＝5，故答案为4，3，5（答案不唯一）．【点评】本题考查了勾股数的定义及学生阅读理解的能力，本题是开放性试题，注意答案不唯一．14．（2021春•五华区校级期中）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；…，请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数：20，99，101．【考点】勾股数；规律型：数字的变化类．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】据前面的几组数可以得到每组勾股数与各组的序号之间的关系，如果是第n组数，则这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1．根据这个规律即可解答．【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+2），第二个是：（n+1）（n+3），第三个数是：（n+2）2+1，故可得第⑧组勾股数是20，99，101．故答案为：20，99，101．【点评】本题考查了勾股数，此题属规律性题目，解答此题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照此规律即可解答．三．解答题（共6小题）15．（2022春•东莞市期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：（1）分别求出边AB、AC、BC的长度，并计算△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【分析】（1）根据勾股定理求出AB、BC、AC长，再求出三角形的周长即可；（2）求出AB2+BC2＝AC2，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝＝2，△ABC的周长＝AB+AC+BC＝++2＝3+；（2）△ABC是直角三角形，理由是：∵AB＝，AC＝，BC＝，∴AB2+BC2＝13+52＝65，AC2＝65，∴AB2+BC2＝AC2，即△ABC的形状是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键．16．（2021秋•苏州期末）若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是3，4，5；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4（分别用含p的代数式表示）．【考点】勾股数；列代数式；规律型：数字的变化类．【专题】探究型；配方法；数感；运算能力．【分析】（1）将m＝2，n＝1代入计算，即可得到m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，进而得出该组勾股数是3，4，5；（2）依据作差的方法即可判断出最大的数为m2+n2，再分类讨论：①当m2﹣n2最小时，②当2mn最小时，分别依据最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，即可得出m，n的值；（3）先利用配方法，得到2p2+6p+5＝（p+1）2+（p+2）2，再令m＝p+2，n＝p+1，即可得到另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4．【解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；（2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2，∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去），又∵m﹣n＝1，∴n＝5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n＝（舍去），综上所述，m＝6，n＝5；（3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2，令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．【点评】本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．17．（2022春•黄陂区月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．求：（1）求△ABC的周长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．【分析】（1）根据勾股定理得出各边的长，再相加即可；（2）根据勾股定理的逆定理即可得到结论．【解答】解：（1）根据勾股定理得：AB＝＝，BC＝＝＝2，AC＝＝，则△ABC的周长为：+2+＝3+；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵BC2+AB2＝52+13＝65＝AC2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18．（2022春•大兴区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝，BC＝2，CD＝4．求∠ADC的度数．【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力．【分析】连接BD，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理判断∠CDB＝90°，计算即可．【解答】解：连接BD，∵∠A＝90°，AB＝AD＝，∴∠ADB＝45°，在Rt△ADB中，BD2＝AB2+AD2＝2+2＝4，在△CDB中，BC2﹣CD2＝（2）2﹣42＝4，∴BC2﹣CD2＝BD2，即BC2＝BD2+CD2，∴∠CDB＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝135°．【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．19．（2022春•蜀山区校级期中）阅读并解答问题：能够成为直角三角形三边长的三个正整数成为勾股数，在学习完“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下数字表格：n23456…a4681012…b38152435…c510172637…请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝14，b＝48，c＝50；（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．【考点】勾股数；列代数式；规律型：图形的变化类．【专题】阅读型；规律型；等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】（1）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；（2）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；（3）根据勾股定理的逆定理即可求解．【解答】解：（1）当n＝7时，a＝2×7＝14，b＝72﹣1＝49﹣1＝48，c＝48+2＝50．故答案为：14，48，50；（2）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．证明如下：∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∴以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．20．（2021春•淮南期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：n23456…a4581012…b38152435…c510172637…请回答下列问题：（1）当n＝7时，a＝14，b＝48，c＝50；（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．【考点】勾股数；列代数式；规律型：图形的变化类．【专题】规律型；等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．【分析】（1）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；（2）根据表格中数据确定a＝2n，b＝n2﹣1，c＝b+2，依此即可求解；（3）根据勾股定理的逆定理即可求解．【解答】解：（1）当n＝7时，a＝2×7＝14，b＝72﹣1＝49﹣1＝48，c＝48+2＝50．故答案为：14，48，50；（2）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．故答案为：2n，n2﹣1，n2+1；（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．证明如下：∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，∴以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．【点评】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．。

八年级数学《勾股定理》教案8篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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教学设计2024秋季八年级数学上册第十五章分式《分式：从分数到分式》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解分数与分式之间的联系与区别，掌握分式的概念及其基本形式，能够识别并构造简单的分式。

2.数学思维：通过分数到分式的过渡，培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力和代数表达能力。

3.问题解决：学会将实际问题中的数量关系抽象为分式模型，初步运用分式解决实际问题。

4.情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养探索未知、勇于挑战的学习态度。

二、教学重点•分数与分式的联系与区别。

•分式的概念及其基本形式。

•识别并构造简单的分式。

三、教学难点•理解分数到分式的抽象过程，把握其本质特征。

•灵活运用分式的概念解决实际问题，特别是涉及多个变量的复杂情境。

四、教学资源•多媒体课件（包含分数与分式的对比图、分式实例展示）•教科书及配套习题集•黑板与粉笔•学生练习本五、教学方法•讲授法：介绍分数与分式的联系、分式的概念及基本形式。

•对比法：通过分数与分式的对比，帮助学生理解其异同点。

•实例分析法：通过具体实例展示分式的应用，增强学生的直观感受。

•讨论法：组织学生讨论分数到分式的过渡过程，分享学习心得。

•练习法：通过练习巩固学生对分式概念的理解和应用能力。

六、教学过程导入新课•情境导入：创设一个与分数相关的生活情境（如分配糖果、计算比例等），引导学生回顾分数的概念及其应用。

•问题引出：提出一个稍微复杂的问题，其中涉及到多个变量或需要更一般化的表示方法，从而引出分式的概念。

新课教学1.分数与分式的联系与区别•对比讲解：从形式、意义、应用范围等方面对比分数与分式的异同点。

•实例展示：给出几个分数与分式的例子，让学生尝试区分并说明理由。

2.分式的概念及其基本形式•定义阐述：明确分式是两个整式相除的商式，强调分子、分母及除法的意义。

•形式分析：分析分式的基本形式，指出其中的关键要素（如分母不能为0）。

3.识别与构造分式•例题演示：给出几个实际问题或数学表达式，引导学生识别其中的分式结构，并尝试构造新的分式。