高二理科数学期末综合测试

高二数学(理科)期末试卷
本文档为高二数学(理科)期末试卷的题目和答案。

试卷题目包
括选择题、填空题、计算题和证明题。

试卷内容涵盖了高二数学课
程的各个知识点。

选择题部分包括了多项选择题和单项选择题，考察了学生对数
学概念和定理的理解和应用能力。

填空题部分要求学生填写正确的数值或表达式，考察了学生对
问题的分析和解决能力。

计算题部分要求学生进行具体的计算操作，涉及到数值运算、
代数运算、几何运算等，考察了学生对运算方法和计算规则的掌握。

证明题部分要求学生运用已学的数学理论和方法进行推导和证明，考察了学生的逻辑思维能力和数学推理能力。

试卷内容难度适中，旨在检测学生对高二数学知识的掌握程度
和应用能力。

根据试卷得分，可以评估学生的数学水平，并作出针
对性的教学调整。

希望本次期末试卷能够促进学生对数学学科的兴趣和研究动力，帮助他们提升数学能力和解决问题的能力。

对于学生来说，认真复课堂内容和做好试卷的备考是取得好成
绩的关键。

希望学生们抓住这次机会，全力以赴，取得优秀的成绩。

祝愿每位学生都能在高二数学(理科)期末试卷中取得好成绩！。

高二理科数学第一学期期末质量检测试题一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线x ＝－2y 2的准线方程是A ．21-=y B ．21=y C ．81-=x D ．81=x 2．若a ＞b ＞c , 则下列不等式中一定成立的是A ．ab ＞acB ．a (b 2＋c 2)＞c (b 2＋c 2)C ．| ab | ＞| bc |D ．a | c | ＞b | c | 3．两圆x 2＋y 2＝4与⎩⎨⎧θ+=θ+-=sin 4y cos 3x 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y =0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点．若31=PF ，则2PF ＝ A. 1或5B. 6C. 7D. 95．若||2h x a -<，||2h y b -<，则下列不等式一定成立的是A.||x y a b h +--<, ||x y a b h --+<B. ||x y a b h +--<，||x y a b h -+-<C.||x y a b h +++<，||x y a b h --+<D. ||2hx y a b +--<，||2h x y a b -+-<6．直线xcos θ+y -1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是A. [0,π)B. [0,]4π∪3[,)4ππ C. [,]44ππ- D. 3[,]44ππ7．设0＜a ＜21，则下列不等式中一定成立的是 A ．a a a a -<+<-<+11111122 B ．aa a a -<+<+<-11111122 C ．22111111a aa a +<-<+<- D ．22111111a aa a +<-<-<+ 8. 抛物线y 2=2px 与直线ax+y －4=0交于两点A 、B ，其中点A 的坐标是(1, 2)，设抛物线的焦点为F ，则FB FA +等于A. 5B. 6．C. 53D. 79．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-．若方程 1(2)kx ⊗-=有解，则k的取值范围是A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ﹒[]0,1C ﹒10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ﹒14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知椭圆1a y 2222=+b x ( a > b > 0) 的离心率为1e ，准线为1l 、2l ；双曲线1y a 32222=-b x 离心率为2e ，准线为3l 、4l ；若1l 、2l 、3l 、4l 正好围成一个正方形，则21e e 等于 A.33 B .36 C.22 D. 2 二、填空题：本大题共5个小题,每小题4分,共20分.把答案直接填在题中横线上. 11. 不等式2log (1)x -≤0的解集是 .12. 若直线x ＋3y －7＝0与直线kx －y －2＝0的方向向量分别为→→j i 、，则当0=⋅→→j i 时，实数k 的值为 .13. 若直线)0b ,0a 02by ax 2>>=+-（始终平分圆01y 4x 2y x 22=+-++的圆周，则b1a 1+的最小值为 . 14. 椭圆的中心在直角坐标系的原点，左焦点为(－3, 0)，且右顶点为D （2，0），设点A的坐标是⎪⎭⎫⎝⎛21,1，点P 是椭圆上的动点，则线段PA 中点M 的轨迹方程是 .15. 给出下列四个命题：① 两平行直线0123=--y x 和0246=+-y x 间的距离是13132；② 方程11422-=-+-ty t x 可能表示椭圆；③ 若双曲线1422=+k y x 的离心率为e ，且21<<e ，则k 的取值范围是()20,60--∈k ；④ 曲线0992233=++-xy y x y x 关于原点对称．其中所有正确命题的序号是_____________ .三、解答题: 本大题共6个小题，共80分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)求以点(－2, 3)为圆心，且被直线x +y=0.17. (本小题满分13分)已知不等式23611(){|1}216axx x x x b -+<<>的解集是或. ⑴. 求a ，b 的值， ⑵. 若c>1，解不等式203c xax x b-<-+.18. (本小题满分13分)怀化啤酒厂生产淡色和深色两种啤酒.粮食、啤酒花和麦芽是三种有约束的资源，每天分别可以提供480斤、160两和1320斤.假设生产一桶淡色啤酒需要粮食5斤、啤酒花4两、麦芽20斤；生产一桶深色啤酒需要粮食15斤、啤酒花4两、麦芽40斤；售出后，每桶淡色啤酒可获利15元，每桶深色啤酒可获利25元.假设每天生产出的啤酒都可售完，问每天生产淡色和深色两种啤酒各多少桶时，工厂的利润最大？ 19. (本小题满分14分)如图，点P(a, b)在第一象限内，且在直线y=x 的左侧，点M(－m, －m)在第三象限内， O 为原点 .(1). 由图可知，直线PM 与直线PO 的斜率哪个较大？ (2). 试用不等式的语言描述上述事实：“若 ， 则 < ”； (3). 用代数方法证明你的结论. 20. (本小题满分14分)已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点.(1). 求双曲线C 2的方程；(2). 若直线l ：2+=kx y 与椭圆C 1及双曲线C 2恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围. 21. (本小题满分14分)有对称中心的曲线叫做有心曲线. 显然圆、椭圆、双曲线都是有心圆锥曲线. 我们称下列定义为椭圆的第三定义：定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a, 0)(a ≠0)的斜率乘积等于常数λ(λ<0, 且λ≠－1)的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ）叫做椭圆.⑴. 请用类似的方法写出双曲线的第三定义，并加以证明；⑵. 请用类似的方法写出圆的定义（不必证明）， 你能从上述定义中得到有心圆锥曲线(包括椭圆、双曲线、圆)的统一定义吗？请写出你的结论（不必证明）.高二理科数学试题参考答案及评分意见一、选择题：每小题5分,共50分.1-5. DBCCA ；6-10. BADBA ； 二、填空题：每小题4分,共20分.11. {x │1＜x ≤2}； 12. 3； 13. 4； 14.141y 421x 22=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-；15. ①，②，④.三、解答题：共6小题, 共80分.16. 解：由已知，圆心(－2, 3)到直线x +y=0的距离：21232d =+-= …………3分 设圆的半径为r, 则有 222r 21421=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛， ………………………7分∴ r 2=4， ……………………………10分故所求圆的方程为 (x+2)2+(y －3)2=4 ……………………………12分17. 解：（1）原不等式可化为 46322121⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ax等价于 a x 2－3x+6>4, 即 a x 2－3x+2>0, ………………3分由题设 x=1是方程a x 2－3x+2=0 的解，∴ a ×12－3×1+2=0, 得 a =1. ………4分 原不等式等价于 x 2－3x+2>0⇒x<1, 或x>2, ∴ b=2. ………………6分 （2）由a =1，b=2，得原不等式为0(1)(2)x cx x ->--， ………………7分∵ c>1 ∴ 1<c<2时，不等式的解集为{x |1<x <c, 或x >2}； ………………9分c=2时，不等式的解集为{x |1<x <2, 或x >2}； ………………11分 c>2时，不等式的解集为{x |1<x <2, 或x >c}. ………………13分18. 解：设每天生产淡色和深色两种啤酒分别为x 、y 桶,每天的利润为z 元，则z=15x +25y=5(3x+5y), (x, y ∈N) ……………2分依题意得： 5154804416020401320x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩，xyOy =xPM化简得：39640266x y x y x y x N y N+≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪∈⎪∈⎪⎩ ……………5分作出可行域如图： ……………8分作直线l 0：3x+5y=0把l 0到过点A 的位置时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数z=15+25y 取得最大值.……………10分又由⎩⎨⎧=+=+66y 2x 40y x 得A (14, 26),∴当x=14，y=26时，z max =860元 . ……………………………12分 答：每天生产淡色和深色两种啤酒分别为14和26桶时,每天的利润最大. …………13分19. 解：(1). k PM <k PO ； ………………………3分(2). 若0<a<b ，m>0，则b m ba m a+<+ ………………………7分 证明： (3). ∵ )a(a )(a )a(a )(a )a(a a m b m m m b m b b m m b +-=++-+=-++ …………………10分又 0<a<b ，m>0，∴ m(a －b)<0, a(a+m)>0∴0)a(a )(a <+-m b m , ………………………12分 ∴aa bm m b <++ 成立 ………………………14分 注：其他证明方法酌情记分.20. 解：（1）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由故C 2的方程为22 1.3x y -=………………………………………………5分 （2）将.04kx 28x )k 41(1y 4x 2kx y 2222=+++=++=得代入由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得x,0)1k 4(16)k 41(16k )28(22221>-=+-=∆即 21.4k >①…………7分 09kx 26x )k 31(1y 3x 2kx y 2222=---=-+=得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得2222222130,1 1.3()36(13)36(1)0.k k k k k ⎧-≠⎪≠<⎨∆=-+-=->⎪⎩即且 ② …………9分29(,),(,),1366,(A A B B A B A BA B A B A B A B A B A B A x y B x y x x x x k OA OB x x y y x x y y x x kx kx -+=⋅=-⋅<+<+=++设则由得而222222(1)()29(1)2131337.31A B A B k x x x x k k kk k =+++-=+⋅+⋅+--+=- 22223715136,0.3131k k k k +-<>--于是即解此不等式得22131.153k k ><或 ③…………12分 由①、②、③得.1k 151331k 4122<<<<或 故k的取值范围为311313(1,(,)(,)(,1)2215---………………14分 21. 解：⑴.双曲线的第三定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a,0) (a ≠0)的斜率乘积等于常数λ(λ＞0)的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ）叫做双曲线.…………………………3分证明如下：∵ 1MA y k x a =+，2MA yk x a=- (x ≠±a)∴ 21222MA MA y y y k k x a x a x aλ⋅=⋅==+--， …………………………5分 即：y 2=λx 2－λa 2⇒λx 2－y 2=λa 2⇒12222=λ-a y a x ， (x ≠±a) ……………………7分∵ λ＞0，a ≠0， ∴ 方程12222=λ-ay a x 所表示的曲线（连同定点A 1、A 2 ）是双曲线. ……………9分⑵. 圆的定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a, 0)(a ≠0)的斜率乘积等于－1的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ）是圆. ……………………11分有心圆锥曲线的统一定义：直角坐标平面内的一个动点M(x,y)到两定点A 1 (－a, 0), A 2 (a, 0)(a ≠0)的斜率乘积等于常数λ（λ≠0）的点的轨迹（连同定点A 1、A 2 ），当λ<0, 且λ≠－1时是椭圆；当λ=－1时是圆；当λ＞0时, 是双曲线.……………………14分。

高二数学（理科）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，请将第Ⅰ卷选择题的答案用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后重新填涂；请将第Ⅱ卷的答案用黑色中性笔答在答题卡指定答题区域内，在本试卷上答题无效．考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保留． 2．所有同学们答卷时请注意：（1）题号后标注学校的，相应学校的学生解答； （2）没有标注学校的题所有学生均需解答． 3．本试卷共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．方程表示的曲线是（ ）．()()222320x y -++=A ．一个点B ．两条直线C ．一个圆D ．两个点2．把二进制数化为十进制数为 ()2111A ．2B ．7C ．4D ．83．甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是A ．甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高B ．甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低C ．乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高D ．乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低4．澳大利亚的心理学家MichaelWhite 设计出了一种被人称为“怀特错觉”的图片．这种图片只有三种颜色：黑、白、灰，但大多数人都会看到四种颜色．这是因为灰色的色块嵌入了白色和黑色条纹中，从视觉上看，原本完全相同的灰色因亮度不同而仿佛变成了两种．某班同学用下边图片验证怀特错觉，在所调查的100名调查者中，有55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色（他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中），根据这个调查结果，估计在人群中产生怀特错觉的概率约为A ．0.45B ．0.55C ．0.05D ．0.955．命题“存在实数x ，使”的否定是 1x >A ．对任意实数x ，都有 B ．不存在实数x ，使 1x >1x ≤C ．对任意实数x ，都有 D ．存在实数x ，使1x ≤1x ≤6．已知x ，y 的取值如表所示：x 2 3 4 y645如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为，则等于 13ˆˆ2ybx =+ˆbA ．B ．C ．D ．12-12110-1107．如图所示的算法源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该算法框图，若输入的a 、b 分别为36、96，则输出的a =A ．0B ．8C ．12D ．248．（四中）从单词“equation ”中选取5个不同的字母排成一排，含有q 、u （其中q 、u 相连）的不同排法共有 A ．120种B ．480种C ．720种D ．960种8．（实验）已知空间四边形，点M ，N 分别是，的中点，且，O ABC -OA BC OA a = ，，用，，表示向量为OB b = OC c = a b cMNA ．B ．111222a b c ++ 111222a b c -+C ．D ．111222a b c -++ 111222a b c -+-9．希尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家希尔宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形，挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为希尔宾斯基三角形）．在如图第3 个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率A ．B ．C ．D ．359167162510．已知抛物线焦点为F ，点P 是C 上一点，O 为坐标原点，若的面2:8C y x =POF △积为2，则等于 PF A ．B ．3C ．D ．4527211．若直线与曲线有公共点，则b 的取值范围为 y x b =+y =A．B ．C ．D ．[]2,2-2,⎡-⎣⎡-⎣(2,-12．（四中）函数，关于x 的方程有5个不()1,00,0x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩()()20f x bf x c ++=等的实数根的充要条件是 A ．且 B ．且 2b <-0c >2b >-0c <C ．且D ．且2b <-0c =2b ≥-0c =12．（实验），，若对任意的，存在()22f x x x =-()()20g x ax a =+>[]11,2x ∈-，使，则a 的取值范围是[]01,2x ∈-()()10g x f x =A ．B ．C ．D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)3,+∞(]0,3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，本题共20分．请把正确答案填在答题卡中相应题号的横线上）13．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则应从高中生中抽取__________人．14．（四中）的展开式的常数项是__________．（用数字作答）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭14．（实验）圆和圆的交点为A ，B ，则线段22250x y x +--=222440x y x y ++--=的垂直平分线的方程为__________．AB 15．在正方体中M 、N 分别为，的中点，O 为侧面1111ABCD A B C D -AD 11C D 11BCC B 的中心，则异面直线与所成角的余弦值为__________．MN 1OD 16．（四中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P()2222:10,0x y C a b a b-=>>1F 2F 为双曲线C 右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲1PF 222x y a +=1212F PF PF F ∠=∠线C 的离心率为__________．16．（实验）双曲线的左、右焦点分别为，，P 为双曲线右支上一点，I221169x y -=1F 2F 是的内心，且，则__________．12PF F △2112IPF IPF IF F S S S λ=-△△△λ=三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知，q ：关于x 的方程有实数根． :22p a -<<20x x a -+=（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若为真命题，为真命题，求实数a 的取值范围． p q ∨q ⌝18．（本小题满分12分） 求解下列问题：（1）求过直线与直线的交点，且与直线平行的50x y --=30x y +-=3460x y -+=直线方程；（2）求以点为圆心，与直线相切的圆的方程． ()1,243350x y +-=19．（本小题满分12分）开学初某校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取n 名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．[)50,60（1）求n 的值；（2）已知抽取的n 名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从[]90,100的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．[]90,10020．（本小题满分12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日6月10日 昼夜温差x （℃） 1011131295就诊人数y （人数）22 25 29 26 16 14（1）求出y 关于x 的线性回归方程； ˆˆˆybx a =+（2）如果7月10号昼夜温差为8℃，预测因患感冒而就诊的人数（结果四舍五入保留整数）．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ˆˆˆybx a =+，． ()()()1122211ˆn niii ii i nni ii i xx y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-21．（本小题满分12分）如图，四边形为正方形，E ，F 分别为，的中点，以为折痕把ABCD AD BC DF DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且．PF BF ⊥（1）证明：平面平面； PEF ⊥ABFD （2）求与平面所成角的正弦值． DP ABFD 22．（四中）（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且过点，直线1与椭圆交于A ，B 两⎛ ⎝点（A ，B 两点不是左、右顶点），当直线1的斜率为时，弦的中点D 在直线12AB 上．12y x =-（1）求椭圆C的方程；（2）若以线段为直径的圆过椭圆的右顶点，判断直线l 是否经过定点，若过定点，求AB 出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 22．（实验）（本小题满分12分）已知椭圆，四个点，，，()2222:10x y C a b a b +=>>()11,1P ()20,1P 3P ⎛- ⎝中恰有三点在椭圆C 上． 4P ⎛ ⎝（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若直线与直线的():1l y kx m m =+≠2P A 2P B 斜率的和为，判断直线l 是否经过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说1-明理由．红山区2022～2023学年第一学期期末质量检测试卷高二数学（理科答案）一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9101112 ABCDCAC四中D实验CBAB四中C实验A二、填空题 13．70 14．（四中） （实验） 20-10x y +-=15． 16．（四中）（实验）1653451．【答案】A【解析】由已知得，解得，23020x y -=⎧⎨+=⎩322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以方程表示一个点． 3,22⎛⎫- ⎪⎝⎭2．【答案】B【解析】．故选：B ． ()212111121217=⨯+⨯+=3．【答案】C【解析】由茎叶图的性质可知乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩比甲同学高．4．【答案】D【解析】因为在所调查的100名调查者中，55人认为图中有4种颜色，有45人认为图中有3种颜色，而在被调查者所列举的颜色中，有40人没有提到白色（他们认为白色是背景颜色，不算在图片颜色之中），所以100名调查者中，产生怀特错觉的人数为， 554095+=因此估计在人群中产生怀特错觉的概率约为． 950.95100=故选：D 5．【答案】C【解析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x ，使”的否定是“对任意实数x ，都有”．故选C ． 1x >1x ≤6．【答案】A 【解析】∵，， 23433x ++==64553y ++==∴回归直线过点，∴， ()3,513ˆ532b =+∴．故选A ． 1ˆ2b=-7．【答案】C【解析】第一步：初始值，；此时；进入循环； 36a =96b =a b ≠第二步：，计算，此时，进入循环； 3696a =<963660b =-=3660≠第三步：，计算，此时，进入循环； 3660a =<603624b =-=3624≠第四步：，计算，此时，进入循环；3624a =>362412a =-=1224≠第五步：，计算，此时，结束循环，输出． 1224a =<241212b =-=1212=12a =故选：C ．8．（四中）【答案】D 8．（实验）【答案】C【解析】如图所示，连接，，ON AN，()()1122ON OB OC b c =+=+ ，()()()111112222222AN AC AB OC OA OB a b c a b c =+=-+=-++=-++ 所以．故选C ． ()11112222MN ON AN a b c =+=-++9．【答案】B【解析】解：由题意可知：每次挖去的面积为前一个三角形剩下面积的，不妨设第一个14三角形的面积为1． ∴第三个三角形的面积为1， 则阴影部分的面积之为， 119114416⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭第3个大正三角形中随机取点，则落在黑色区域的概率：．9916116=故选：B ． 10．【答案】A【解析】由已知得，设，则， ()2,0F ()00,P x y 01222y ⋅⋅=所以，于是，于是． 02y =012x =0522p PF x =+=11．【答案】B 【解析】由可得，表示圆心，的半圆，y =()2240x y y +=≥()0,02r =当经过时，此时； y x b =+()2,02b =-当与此半圆相切时，y x b =+2r b ==作出半圆与直线的图象如下，由图象可知，要使直线与曲线有公共点，则．y x b =+y =2,b ⎡∈-⎣故选：B12．（四中）【答案】C【解析】当时，0x =()0f x =当为的一个根时可得．0x =()()20f x bf x c ++=0c =所以，即有4个不同的根， ()()20f x bf x c ++=()()20f x bf x +=∵，∴有4个根．()0f x ≠()f x b =-时，，图象如图所示： 0x ≠()112f x x x x x =+=+≥由图可知． 22b b ->⇒<-综上可得，． 2b <-0c =故选：C ． 12．（实验） 【答案】A【解析】函数，()()22211f x x x x =-=--因为，所以在的值域为，[]1,2x ∈-()f x []1,2-[]1,3-函数在的值域为， ()()20g x ax a =+>[]1,2-[]2,22a a -+因为对任意的，存在，使， []11,2x ∈-[]01,2x ∈-()()10g x f x =所以，[][]2,221,3a a -+⊆-所以，解得．故选：A ．212230a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩102a <≤13．【答案】7014．（四中）【答案】20-【解析】展开式的通项为，，1， (6)61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()62161r r r r T C x -+=-0r =令，所以展开式的常数项为．6203r r -=⇒=()336120C ⨯-=-14．（实验）【答案】10x y +-=【解析】将化为圆的标准方程是，其圆心是．22250x y x +--=()2216x y -+=()1,0两圆的方程相减得公共弦所在直线方程为． AB 4410x y -+=又线段的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，且其斜率为， AB 1-故所求直线方程为，即． ()01y x -=-+10x y +-=15．【答案】16【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以，，所在直线为x ，y ，z 轴建立空DA DC 1DD 间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则，，，，()1,0,0M ()0,1,2N ()1,2,1O ()10,0,2D ∴，．()1,1,2MN =- ()11,2,1OD =--则． 1111cos ,6MN OD MN OD MN OD ⋅===∴异面直线与所成角的余弦值为． MN 1OD 1616．（四中）【答案】53【解析】如图，设直线与圆相切于点M ，则，， 1PF 222x y a +=OM a =1OM PF ⊥取的中点N ，连接，1PF 2NF 由，可得， 1212F PF PF F ∠=∠2122PF F F c ==则，， 21NF PF ⊥1NP NF =由， 222NF OM a ==，即有，2b =14PF b =由双曲线的定义可得，即：，， 122PF PF a -=422b c a -=2b c a =+可得，即，解得，即． ()224b c a =+()()2224c ac a -=+53c a =53e =16．（实验）【答案】45【解析】如图，设内切圆的半径为r ．12PF F △由，得， 2112IPF IPF IF F S S S λ=-△△△2112111222PF r PF r F F r λ⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⋅整理得．1212PF PF F F λ-=因为P 为双曲线右支上一点，所以，，1228PF PF a -==1210F F =所以． 84105λ==三、解答题17．（本小题满分10分）【解析】（1）∵方程有实数根，得：，得． 20x x a -+=:140q a ∆=-≥14a ≤（2）∵为真命题，为真命题，p q ∨q ⌝∴p 为真命题，q 为假命题，即得，得． 2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩124a <<18．（本小题满分12分）【解析】（1）交点，因为的斜率为， ()4,1-3460x y -+=34故所求直线的方程为，即． ()3144y x +=-34160x y --=（2）半径，又圆心．5r ()1,2∴圆的方程为． ()()221225x y --=＋19．（本小题满分12分）【解析】（1）由频率分布直方图知，成绩在内的频率为[)50,60．()10.04000.03000.01250.0100100.075-+++⨯=因为成绩在内的频数为3， [)50,60所以抽取的样本容量． 3400.075n ==（2）由频率分布直方图知，抽取的学生中成绩在的人数为， []90,1000.010010404⨯⨯=因为有甲、乙两名女生，所以有两名男生．用A ，B 表示两名男生，从4人中任取2人的所有情况为甲乙，甲A ，甲B ，乙A ，乙B ，，共6种，其中女学生甲被抽到的情况共3种．AB 所以随机抽取2人参加物理竞赛，其中女学生甲被抽到的概率为． 3162=20．（本小题满分12分）【解析】（1）∵，，10x =22y =由公式可求得，， 39ˆ 1.9520b==39ˆ2210 2.520a=-⨯=∴回归直线方程是． ˆ 1.95 2.5yx =+（2）当时，， 8x =ˆ 1.958 2.518.118y=⨯+=≈∴如果7月10号昼夜温差为8℃，预测因患感冒而就诊的人数约为18人． 21．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）由已知可得，， BF PF ⊥BF EF ⊥又，∴平面．PF EF F ⋂=BF ⊥PEF 又平面，∴平面平面． BF ⊂ABFD PEF ⊥ABFD （Ⅱ）作，垂足为H ． PH EF ⊥由（Ⅰ）得，平面．PH ⊥ABFD 以H 为坐标原点，的方向为y 轴正方向，为单位长，HF BF建立如图所示的空间直角坐标系．H xyz -由（Ⅰ）可得． DE PE ⊥又，，∴．2DP =1DE =PE =又，，∴，∴，，1PF =2EF =PE PF ⊥PH =32EH =则，，， ()0,0,0H P ⎛ ⎝31,,02D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，为平面的法向量．31,2DP ⎛= ⎝HP ⎛= ⎝ ABFD 设与平面所成角为，DP ABFD θ则sin cos ,DP HP DP HP DP HPθ⋅====∴与平面． DP ABFD 22．（四中）（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆C 的标准方程为，()222210x y a b a b+=>>，．()11,A x y ()22,B x y 因为直线l 的斜率为时，弦的中点D 在直线上， 12AB 12y x =-所以，，121212y y x x -=-121212y y x x +=-+由得，所以．① 22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2221222212y y b x x a -=--224a b =因为椭圆过点，所以．② ⎛ ⎝221314a b +=由①②得，，2a =1b =所以椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）易得椭圆的右顶点为，．()22,0A 22AA BA ⊥①当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为， ()0022x x x =-<<此时要使以为直径的圆过椭圆的右顶点，AB，解得或（舍去）， 02x =-065x =02x =此时直线l 的方程为． 65x =②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为．y kx b =+因为，所以，220AA BA ⋅=()121212420x x x x y y +-++=将，代入并整理得11y kx b =+22y kx b =+()()()2212121240k x x kb x x b ++-+++=．（*）联立直线方程和椭圆方程，得， 2214y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得，()222418440k x kbx b +++-=则，，122841kb x x k -+=+21224144b x x k -+=代入（*）式得， ()()2222211448240441k b kb k k b b k --⋅+-++⋅++=+即， 2222222222444481641640k b k b k b kb k b k b -+--+++++=即，解得或， 22121650k kb b ++=12k b =-56k b =-则或，即或， 56b y x b =-+2b y x b =-+5665b y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()22b y x =--则直线l 过点或（舍去）． 6,05⎛⎫⎪⎝⎭()2,0综上所述，直线l 过定点． 6,05⎛⎫⎪⎝⎭22．（实验）（本小题满分12分）【解析】（1）由于，两点关于y 轴对称， 3P 4P 故，两点在椭圆C 上，所以． 3P 4P 221314a b+=又，所以C 不经过点，所以点在C 上， 222211134a b a b +>+1P 2P 因此，解得，222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为．2214x y +=（2）设直线与直线的斜率分别为，，2P A 2P B 1k 2k 将与联立，消去y 得，y kx m =+2214x y +=．()222418440kx kmx m +++-=设，，则，．()11,A x y ()22,B x y 122841km x x k +=-+21224441m x x k -=+又，()()12121212121212122111111kx x m x x y y kx m kx m k k x x x x x x +-+--+-+-+=+=+==-故．()()()12122110k x x m x x ++-+=即，解得． ()()22244810414121m k kmm k k --⋅+-⋅=+++12m k +=-故直线l 的方程为，即， 12m y x m +=-+()1122m y x ++=--所以直线l 过定点． ()2,1-。

高二数学（上）期末考一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式0322<--x x 的解集是（ ）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．()3,-∞-Y ()+∞,1D ．()1,-∞-Y ()+∞,32. 已知平面α的法向量是()2,3,1-，平面β的法向量是()4,,2λ-，若//αβ，则λ的值是（ ） A ．103-B ．6-C ．6D ．1033．已知, , a b c 满足c b a <<，且0ac <，那么下列选项中一定成立的是( ) A. ab ac > B. ()0c b a -< C. 22cb ab < D. ()0ac a c ->4. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是( ) A ．511 B ．1023 C ．1533 D ．30695. 下列有关命题的说法正确的是( ) A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题6. 设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ） A.1 B.25C.2D.57. 已知向量)0,1,1(=→a ，)2,0,1(-=→b ，且→→+b a k 与→→-b a 2互相垂直，则k 的值是（ ） A. 1 B.51 C. 53 D. 57 8. 若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足22()4a b c +-=，且060C =，则a b +的最小值为( )A ．3 B ． 3C ．43D ．8-9．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为︒60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．[]2,1B ．()2,1C ．()+∞,2D ． [)+∞,210.若抛物线24y x =的焦点是F ,准线是l ,则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）． A.4个 B.2个 C.1个 D.0个二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.11．等差数列{}n a 中，若34512,a a a ++=则71a a += .12. 已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则z x y =+的最小值是 .13. 已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为 . 14. 点P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到点)1,0(-A 的距离与P 到直线1-=x 的距离和的最小值是 . 15．设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项积为n T ，并满足条件011,01,110099100991<-->->a a a a a ，给出下列结论：（1）10<<q ； （2）1198<T ；（3）110199<a a ；（4）使1<n T 成立的最小自然数n 等于199，其中正确的编号为 （写出所有正确的编号） 三、解答题:本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项，⑴求12,a a 的值；⑵求数列{}n a 的通项公式。

第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（ ）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（ ）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（ ）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（ ） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（ ）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（ ） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（ ）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（ ） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（ ）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（ ） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（ ）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（ ）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表； （1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分） 已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围； （2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >， 故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立， 所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++， 因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<； 同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--， 所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-， 令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞， 所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数， 所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立， 则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >， 令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。

高二下学期数学（理科）期末测试卷（含答案）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．若复数z满足z（1+2i）＝10i，则＝（）A．4﹣2i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣4+2i3．（﹣2x）5的展开式中含x3项的系数是（）A．40B．﹣40C．80D．﹣804．已知向量，若，则m＝（）A．B．C．D．5．某中学有高中生3600人，初中生2400人为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（）A．48B．72C．60D．1206．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bc cos A＝，则＝（）A．﹣2B．2C．D．9．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．[2，4）C．（1，3]D．[3，4）10．已知抛物线C：x＝4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A．41πB．C．25πD．12．已知函数f（x）＝sin x的图象与直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则属于（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．函数的图象的对称中心是．14．已知函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+x2，则f（﹣2）＝．15．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成的，如图所示，在黄金三角形A1AB中，．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是．16．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝3x+6过点F1，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表数据；携带行李重量（kg）[0，20]（20，30]（30，40]（40，50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出10kg 的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 19．图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形．其中∠BAD＝60°，AB⊥AE，AD＝AE＝2AB＝2，将△ABE沿AB折起到△ABP的位置，使得，如图2．（1）证明：PA⊥BD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．20．已知函数在x＝0处取得极值．（1）求m的值；（2）若过点（2，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求t的取值范围．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且F2到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）过F1的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：f'（x1•x2）＜1﹣a．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．2．若复数z满足z（1+2i）＝10i，则＝（）A．4﹣2i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣4+2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+2i）＝10i，得z＝，∴．故选：A．3．（﹣2x）5的展开式中含x3项的系数是（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3的项的系数．解：二项式（﹣2x）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x2r﹣5，令2r﹣5＝3，求得r＝4，∴展开式中含x3的项的系数是•（﹣2）4＝80，故选：C．4．已知向量，若，则m＝（）A．B．C．D．【分析】可求出，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．解：，，且，∴，解得．故选：B．5．某中学有高中生3600人，初中生2400人为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（）A．48B．72C．60D．120【分析】根据分层抽样的基本知识建立比例关系并解方程即可．解：高中人数初中人数∴∴n＝120故选：D．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．解：∵，∴＝cos[﹣（2）]＝cos（2θ﹣）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．故选：D．7．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】对于A，由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n；对于B，由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β；对于C，由线线平行的判定定理得m∥n；对于D，α与β相交或平行．解：由l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，知：对于A，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；对于C，若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则由线线平行的判定定理得m∥n，故C正确；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：D．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bc cos A＝，则＝（）A．﹣2B．2C．D．【分析】由已知利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tan A的值，进而根据三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．解：∵＝×bc sin A，可得bc cos A＝bc sin A，∴tan A＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：C．9．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．[2，4）C．（1，3]D．[3，4）【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝是R上的单调递增函数，必有，解可得3≤a＜4，即a的取值范围为[3，4）；故选：D．10．已知抛物线C：x＝4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C：x＝4y2，可得准线方程为：x＝﹣，过点F（，0）且斜率的直线l：y＝（x﹣），由题意可得：，可得x2﹣x+＝0，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：+＝．故选：A．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A．41πB．C．25πD．【分析】由三视图得到直观图，然后把所得几何体改变位置放置，找出其外接球的球心，求出三角形的半径，代入球的表面积公式得答案．解：由三视图得到直观图，如图，该几何体为三棱锥D1﹣CC1E，正方体的棱长为4，E为BB1的中点，取出该几何体如图，三棱锥E﹣C1D1C，底面三角形C1D1C为等腰直角三角形，直角边长为4，侧面EC1C⊥底面C1D1C，．则底面三角形的外心为CD1的中点G，设△EC1C的外心为H，分别过G与H作底面C1D1C与侧面EC1C的垂线相交于O，则O为三棱锥E﹣C1D1C的外接球的球心，在△EC1C中，求得CK＝4，sin∠ECK＝，则2EH＝，即EH＝，则HK＝，，则．∴该几何体外接球的表面积是4．故选：A．12．已知函数f（x）＝sin x的图象与直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则属于（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，）【分析】画出函数f（x）＝sin x的图象，直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）的图象，利用数形结合，推出x1+x3＝2x2＝2π，x3∈（2π，），转化求解所求表达式的范围即可．解：函数f（x）＝sin x的图象关于（π，0）对称，直线kx﹣y﹣kπ＝0过（π，0），作出函数y＝sin x的图象，与直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）的图象，恰有三个公共点，由图象可知x1+x3＝2x2＝2π，并且x3∈（2π，），由f′（x）＝cos x，x∈（2π，），所以cos x3＝，即x3＝π+tan x3，所以＝＝∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．函数的图象的对称中心是（﹣，0），k∈Z．【分析】由题意利用正切函数的图象的对称性，得出结论．解：对于函数，令2x+＝，求得x＝﹣，故函数的图象的对称中心是（﹣，0），k∈Z，故答案为：（﹣，0），k∈Z．14．已知函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+x2，则f（﹣2）＝5．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）的值，结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+x2，则f（2）＝log33+22＝5，又由f（x）为偶函数，则f（﹣2）＝f（2）＝5；故答案为：515．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成的，如图所示，在黄金三角形A1AB中，．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是．【分析】根据多边形相似，求出满足条件的概率即可．解：如图示：，在△ABC中，过点B作BH⊥AC，垂足为H，设AB＝2，由题意知AA1＝A1B＝﹣1，∠A1AB＝36°，在△A1AB中，由余弦定理得：cos∠A1AB＝＝＝，在RT△ABH中，得：cos∠A1AB＝＝，∴AH＝AB•＝2×＝，∴A1H＝AH﹣AA1＝﹣（﹣1）＝，∴A1B1＝2A1H＝3﹣，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1的面积分别记作S1，S2，∵正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1相似，∴＝＝＝，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是，故答案为：．16．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝3x+6过点F1，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为．【分析】求出双曲线的焦距，结合双曲线定义，利用勾股定理以及点到直线的距离，列出方程组，求出a，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线的左、右焦点分别为F1、F2直线l：y＝3x+6过点F1，可得c＝2，直线l：y＝3x+6过点F1与双曲线C在第二象限交于点P，设PF1＝2m，PF2＝2a+2m，所以，解得m＝，a＝，可得e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n≥2时，2S n﹣1＝na n﹣1，可得2a n＝（n+1）a n﹣na n﹣1（n≥2），整理化简可得：，利用“累乘求积法”可得a n．（2）由（1）可知＝，利用裂项求和方法即可得出．解：（1）当n≥2时，2S n﹣1＝na n﹣1，又2S n＝（n+1）a n，相减可得2a n＝（n+1）a n﹣na n﹣1（n≥2），整理得（n﹣1）a n＝na n﹣1（n≥2），则，故，当n＝1时，a1＝2满足上式，故a n＝2n．（2）由（1）可知＝，则＝．18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表数据；携带行李重量（kg）[0，20]（20，30]（30，40]（40，50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出10kg 的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）由题意补全列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）由题意补全2×2列联表如下；托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100因为，所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关．（2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人，从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1、2、3、4，所以补助券总金额X的所有取值可能为100元，200元，300元，400元；计算，，，，所以X的分布列为：X100200300400P数学期望为（元）．19．图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形．其中∠BAD＝60°，AB⊥AE，AD＝AE＝2AB＝2，将△ABE沿AB折起到△ABP的位置，使得，如图2．（1）证明：PA⊥BD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【分析】（1）由已知得∠ABC＝120°，连接AC，在△ABC中，由余弦定理求得AC，利用勾股定理得到PA⊥AC，再由PA⊥AB，利用直线与平面垂直的判定可得PA⊥平面ABCD，从而得到PA⊥BD；（2）由（1）可知PA⊥平面ABCD，以D为原点，以DB，DC的方向分别为x轴，y 轴的正方向，以过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面PAD与平面PBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PD﹣B的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°．连接AC，在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝7，∵，PA＝2，∴PC2＝AC2+PA2，得PA⊥AC，∵PA⊥AB，且AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD；（2）∵BC＝2，CD＝1，∠BCD＝60°，∴BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝3，∴BD2+CD2＝BC2，得BD⊥CD．由（1）可知PA⊥平面ABCD，则以D为原点，以DB，DC的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点D作PA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，故，，．设平面PAD的一个法向量为，则，令x1＝1，可得；设平面PBD的一个法向量是，则，令y2＝2，可得．故．设二面角A﹣PD﹣B为θ，由图可知θ为锐角，则．20．已知函数在x＝0处取得极值．（1）求m的值；（2）若过点（2，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求t的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，再结合题意可得f′（0）＝0，解得m．（2）设切点坐标为，由导数的几何意义可得切线斜率k＝，写出切线的方程，再代入（2，t），得．令，由于有三条切线所以y＝t与y＝g（x）由三个交点．对函数g（x）求导分析单调性及极值，进而得出t的取值范围．解：（1）因为，以．因为f（x）在x＝0处取得极值，所以f'（0）＝m＝0．经验证m＝0符合题意．（2）设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将（2，t）代入切线方程，得．令，则g'（x）＝x2﹣4，则g'（x）＝x2﹣4＝0，解得x＝±2．当x＜﹣2或x＞2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增；当﹣2＜x＜2时，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣2，2）上单调递减．所以g（x）的极大值为，g（x）的极小值为．因为有三条切线，所以方程t＝g（x）有三个不同的解，y＝t与y＝g（x）的图象有三个不同的交点，所以．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且F2到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）过F1的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据离心率得到a，b，c的关系，进而可表示出直线l的方程为，则可表示出F2到直线的距离，解得c＝1，即可得到C的方程；（2）考虑直线PQ斜率存在时的情况，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系结合平行四边形性质，运用向量法得到，求得D的坐标，代入椭圆方程，解出k∈∅；斜率不存在时m：x＝﹣1，满足条件，得到D坐标解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，所以a＝2c，，所以直线l的方程为，即．由题意可得F2（c，0），则，解得c＝1．故椭圆C的标准方程为．（2）①当直线PQ的斜率存在时，设直线m的方程为y＝k（x+1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，则，．设D（x0，y0），由四边形OPDQ为平行四边形，得，则，即，若点D落在椭圆C上，则，即，整理得，解得k∈∅．②当直线PQ的斜率不存在时，直线m的方程为x＝﹣1，此时存在点D（﹣2，0）在椭圆C上．综上，存在直线m：x＝﹣1，使得点D（﹣2，0）在椭圆C上．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：f'（x1•x2）＜1﹣a．【分析】（1）由题意推出，构造函数，问题转化为函数与y＝a 在（0，+∞）上有两个不同交点，通过函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后求解a的范围．（2）求出，要证f'（x1•x2）＜1﹣a，只需证（ax1﹣1）+（ax2﹣1）＞0，即证．令，转化证明即可．解：（1）由题意，可得，转化为函数与直线y＝a在（0，+∞）上有两个不同交点，，故当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0．故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1．又，故当时，g（x）＜0；当时，g（x）＞0．可得a∈（0，1）．（2）证明：，由（1）知x1，x2是lnx﹣ax+1＝0的两个根，故，要证f'（x1•x2）＜1﹣a，只需证x1•x2＞1，即证lnx1+lnx2＞0，即证（ax1﹣1）+（ax2﹣1）＞0，即证，即证．不妨设0＜x1＜x2，故，令，，＝，则h（t）在（0，1）上单调递增，则h（t）＜h（1）＝0，故（*）式成立，即要证不等式得证．。

高二数学期末考试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共 11 小题，每题 3 分，共 33 分〕r 1、与向量 a (1, 3, 2)平行的一个向量的坐标是〔 〕A ．〔 1 3，1，1〕 B ．〔－1，－3，2〕C ．〔－ 1 2 ， 3 2，－1〕 D ．〔 2 ，－ 3，－2 2 〕2、设命题 p ：方程 2 3 1 0x x 的两根符号不一样；命题 q ：方程2 3 1 0x x 的两根之和为 3，判断命题“ p 〞、“ q 〞、“ p q 〞、“ p q 〞为假命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0〞是“ ab ＜a 2b 22〞的 〔 〕A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2y 2 x的焦距为 2，那么 m 的值等于 〔 〕. 4、椭圆 1m 4A ．5B ．8C ．5 或 3D ．5 或 85、空间四边形 OABC 中， OA a ，OB b ，OC c ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 为 BC 中点，那么 MN =〔 〕1 2 1A ． a b c2 3 22 1 1 B ． a b c3 2 21 1 1 C ． a b c2 2 22 2 1 D ． a b c3 3 26、抛物线 2y 4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，那么点 M 的纵坐标为〔 〕A ．17 16B ．1516C ．78D ．07、对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x ＋2y －3＝0，那么该双曲线的离心率为〔 〕或5 4B. 5 或52C. 3 或3 2或5 38、假定不等式 |x －1| <a 成立的充足条件是 0<x<4,那么实数 a 的取值范围是 ( )A ．a 1B ．a 3C ．a 1D ．a 39、a (1 t,1 t,t),b (2,t,t) ，那么| a b |的最小值为〔〕A ．55 B．555C．3 55 D．11510、动点 P(x、y)知足 10 2 ( 2)2(x 1 y ＝|3x＋4y＋2|，那么动点 P 的轨迹是〔〕)A ．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．没法确立2 y2x11、 P 是椭圆125 9上的一点， O 是坐标原点， F 是椭圆的左焦点且1OQ (OP OF ), | OQ | 4，那么点 P 到该椭圆左准线的距离为〔〕25D.2高二数学期末考试卷〔理科〕答题卷一、选择题〔本大题共 11 小题，每题 3 分，共 33 分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕2 x12、命题：x R, x 1 0的否定是2 y213、假定双曲线x 4 4 的左、右焦点是F1、F2 ，过F1 的直线交左支于 A、B 两点，假定|AB|=5 ，那么△ AF2B 的周长是 .14、假定a ( 2,3, 1)，b ( 2 ,1,3) ，那么a,b为邻边的平行四边形的面积为．15、以下四个对于圆锥曲线的命题中：u uur uuur ①设A、B 为两个定点， k 为正常数，| PA| | PB | k ，那么动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线2 2x y25 91 与椭圆2x352 1y 有同样的焦点；2 x③方程2x 5 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；25④和定点A( 5, 0) 及定直线l : x 的距离之比为4此中真命题的序号为 _________．54的点的轨迹方程为2 2x y16 91．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 55 分〕2 2x y16、〔本题总分值 8 分〕命题 p：方程1表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：2m m 12 2y x 双曲线15 m 的离心率e (1, 2) ，假定p,q只有一个为真，务实数m 的取值范围．17、〔本题总分值 8 分〕棱长为 1 的正方体 AB CD－A1B1C1D1，试用向量法求平面 A1BC1与平面 AB CD 所成的锐二面角的余弦值。

高二数学试卷（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1、答卷前，考生务必用2B铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4、考生必须保持答题卡的整洁．考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.【答案】C【解析】，故选C.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.16【答案】C【解析】∵随机变量X～B（8，p），且D（X）=1.28，∴8P（1-p）=1.28，∴p=0.2或0.8故选：C3. 某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算的观测值为10，，则下列选项正确的是( )A. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B. 有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习有影响D. 在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A【解析】因为7.879＜K 2=10＜10.828，对照数表知，有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响． 故选：A ．4. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是 A. 假设都是偶数； B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数【答案】B【解析】试题分析：“中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选B...............................考点：命题的否定.5. 函数的单调递减区间是A. B.C. ，D.【答案】A【解析】函数y=x2﹣lnx的定义域为（0，+∞）．令y′=2x﹣= ，解得，∴函数y=x2﹣lnx的单调递减区间是．故选：A ．点睛：求函数的单调区间的“两个”方法方法一(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性6. 已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为A. B. 4 C. －1 D. 1 【答案】A【解析】由条件中所给的随机变量的分布列可知 EX=﹣1×+0×+1×=﹣， ∵E （2X+3）=2E （X ）+3，∴E （2X+3）=2×（﹣）+3= ．故答案为：A ．7. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，∴p(A)= ，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4),∴P(AB)= ∴.本题选择B 选项.8. 在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布 N(－1,1)的部分密度曲线)的点的个数的估计值为附：若X ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954 4.A. 1 193B. 1 359C. 2 718D. 3 413【答案】B【解析】正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]= ×（0.9544﹣0.6826）=0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p==0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359=1359．故选B．点睛：正态曲线的性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交 .（2）曲线是单峰的，它关于直线=μ对称（由得）（3）曲线在=μ处达到峰值（4）曲线与轴之间的面积为19. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，则下列结论错误的是( )A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【答案】B【解析】由题意，故选：B．10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 300【答案】A【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有C53•A33=60种分法，分成2、2、1时，根据分组公式90种分法，所以共有60+90=150种分法，故选A．点睛：一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。