高等数学函数的最值及应用
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高等数学3_5极值与最值
2 1 2 2 w=1 b h = b ( d − b ), 6 6
b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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b ∈( 0 , d )
令 得 从而有 即
2 2 w′ = 1 ( d − 3 b ) =0 6
b=
1 3
d
2d 3
h = d 2 − b2 =
d h b
d : h : b = 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 .
f ′′′(±1) ≠ 0
−1
1
x
说明: 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 2 1) , x≠0 2 − x ( 2 + sin ⎧ x f ( x) = ⎨ x=0 ⎩2 ,
f (0) = 2 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件.
5μ g ] , α ∈ [0, π F= 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α
∴
即 令
则问题转化为求 ϕ (α ) 的最大值问题 .
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5μ g ] F= , α ∈ [0, π 即 2 cosα + μ sin α ϕ (α ) = cosα + μ sin α 令 则问题转化为求ϕ (α ) 的最大值问题 .
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例7. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 观察者的眼睛1.8 m , 问观察者在距墙多远处看图才最 清楚(视角θ 最大) ? 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则
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高等数学《函数的极值与最大、最小值》课件
3) 若 f ( x)在开区间内定义,这时最值不一定存 在 ,有些实际应用问题根据实际可确定问题一 定有解 .
设 f ( x)在开区间内定义且可导, f ( x)在开区间内 有唯一驻点 x0 ,若 f ( x0 )是 f ( x)的极小值(极大值) , 则 f ( x0 )是 f ( x)的最小值 (最大值) .
f (0) 1为极大值 , 即为最大值 .
x 1时, f ( x) f (0) 1 , 即当 x 1时, 有 e x 1 . 1 x
小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤. 利用最大、小值证明不等式
思考题
若 f (a) 是 f ( x) 在[a, b] 上的最大值或最 小值，且 f (a)存在，是否一定有 f (a) 0 ？
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
定理2(第二充分条件)
设 f ( x) 在 x0处具有二阶导数,且 f ( x0 ) 0 , f ( x0 ) 0 ,则 (1) 若 f ( x0 ) 0 ,则 f ( x0 )为 f ( x)的极大值 .
f
( xk ),
f
(a),
f
(b)
}.
min
x[ a ,b ]
f (x)
min{
f ( x1) ,,
f ( xk ),
f (a),
f (b) }.
例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
高等数学第四节函数最大值、最小值的求
令 V = 0, 求出在(0, 24)内唯一的驻点 x = 8.
V 12(32 2x) V / x8 0
所以x=8是极大值点，也是最大值点. 因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
特殊情况下的最大值、最小值: (1)如果连续函数 f (x) 在 [a, b]上单调递增,则 f (x)
的最大值与最小值分别为 f (b)、 f (a);如果在 [a, b]上单 调递减, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).
(2)如果函数 f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻
点 x0 , 并且该驻点 x0 为 f (x) 的极值点, 则当 f (x0) 是极
大值时, f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最大值; 当 f (x0) 是
极小值时, 则 f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最小值 (见下
图) y.
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用 最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在 数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。
一、函数最大值最小值求法
二、函数最值应用举例
案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可 乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径 与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半 径与高之比约为1：2？
一、最值的求法
闭区间[ a , b ]上连续函数f ( x ) 必存在最大值和最
小值
y
y
y
oa
bx o a
bx
ao
bx
V 12(32 2x) V / x8 0
所以x=8是极大值点，也是最大值点. 因此,当截去的正方形边长为 8cm时, 铁盒容积最大.
比较得 最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
特殊情况下的最大值、最小值: (1)如果连续函数 f (x) 在 [a, b]上单调递增,则 f (x)
的最大值与最小值分别为 f (b)、 f (a);如果在 [a, b]上单 调递减, 则 f (x) 的最大值与最小值分别为 f (a) 与 f (b).
(2)如果函数 f (x) 在一个区间内可导且只有一个驻
点 x0 , 并且该驻点 x0 为 f (x) 的极值点, 则当 f (x0) 是极
大值时, f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最大值; 当 f (x0) 是
极小值时, 则 f (x0) 为 f (x) 在该区间上的最小值 (见下
图) y.
最大值、最小值问题
在生产实践中，为了提高经济效益，必须要 考虑在一定的条件下，怎样才能用料最省，费用 最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在 数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。
一、函数最大值最小值求法
二、函数最值应用举例
案例 [易拉罐的设计] 如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可 乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径 与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半 径与高之比约为1：2？
一、最值的求法
闭区间[ a , b ]上连续函数f ( x ) 必存在最大值和最
小值
y
y
y
oa
bx o a
bx
ao
bx
高等数学-第七版-课件-3-6 函数的极值与最大值最小值
o
x
定义 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义， 如果对于去心邻域U0(x0)内的任一x，有 y f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)) 称f(x0)为函数f(x)的一个极大值（极小值） 函数的极大值与极小值统称为函数的极值， 使函数取得极值的点称为极值点 注 极值是一个局部的概念
海岸位于A点南侧40km，是一条东西走向的笔直长堤. 演习中部队先从A出发陆上行军到达海堤，再从海堤处乘舰艇 到达海岛B. 已知陆上行军速度为每小时36km，舰艇速度为
每小时12km.问演习部队在海堤的何处乘舰艇才能使登岛用 y 时最少？ 分析 陆上行军耗时 o 海上行军耗时 A
(0,40)
？ R(x,0) B
x
(140,-60)
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
三、最大值最小值问题
（一）最大值最小值求法
（二）最值应用问题
例4 从边长为a的一张正方形薄铁皮的四角切去 边长为x的四个小正方形，折转四边，作一 个盒子，问x为何值时盒子的容积最大？
例5 某企业以钢材为主要生产材料。设该厂每天的钢材需求量为 R吨，每次订货费为C1元，每天每吨钢材的存贮费为C2元 （其中R、 C1、 C2为常数），并设当存贮量降为零时，能 立即得到补充（在一个订货周期内每天的平均存贮量为订货 量的二分之一）求一个最佳的订货周期，使每天的平均费用 最小？ q(t) Q o T C C0
o
x
定义 设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在x0∈I,使得对于区间I内 的任一x，有 f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0)),则称f(x0)为函数f(x) 在区间I上的最大值(或最小值).
高等数学课件5第五节(2)函数的最大值最小值ppt
故 在 x2 2 2 处 达 到 最 大 利 润.
例7. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x2 围成一个 曲边三角形, 在曲边 y x2 上求一点, 使曲线在该 点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形 面积最大．
解: 如图,
y
设所求切点为P( x0, y0 ),
解: 设A点到水面的垂直距离为AO h1,
B点到水面的垂直距离为BQ h2 , OQ l. 设OP x,
则光线从 A 到 B 所需要的传播时间为 A
T( x) h12 x2 h22 (l x)2 , x [0, l]. h1
v1
v2
Ox P
T( x) 1 x 1 l x v1 h12 x2 v2 h22 (l x)2
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142, 最小值 f (1) 7.
例2. 求函数 f ( x) x2 3x 2 在 [3,4] 上的 最大值与最小值.
解:
x2 3x 2,
f
(
x)
x2
3
x
2,
x [3,1] [2,4] x (1,2).
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 b2 ), b(0,d) 6
令 W 1 (d 2 3b2 ) b 1 d
6
3
从而有
2
h
d 2 b2
d 3
dh b
即
d :h:b 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
A 若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0, 则 f ( x)在 x0(
例7. 由直线 y 0, x 8 及抛物线 y x2 围成一个 曲边三角形, 在曲边 y x2 上求一点, 使曲线在该 点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形 面积最大．
解: 如图,
y
设所求切点为P( x0, y0 ),
解: 设A点到水面的垂直距离为AO h1,
B点到水面的垂直距离为BQ h2 , OQ l. 设OP x,
则光线从 A 到 B 所需要的传播时间为 A
T( x) h12 x2 h22 (l x)2 , x [0, l]. h1
v1
v2
Ox P
T( x) 1 x 1 l x v1 h12 x2 v2 h22 (l x)2
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
比较得 最大值 f (4) 142, 最小值 f (1) 7.
例2. 求函数 f ( x) x2 3x 2 在 [3,4] 上的 最大值与最小值.
解:
x2 3x 2,
f
(
x)
x2
3
x
2,
x [3,1] [2,4] x (1,2).
解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为
1 b(d 2 b2 ), b(0,d) 6
令 W 1 (d 2 3b2 ) b 1 d
6
3
从而有
2
h
d 2 b2
d 3
dh b
即
d :h:b 3 : 2 :1
由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求
结果就是最好的选择 .
A 若 f ( x0 ) 0 且 f ( x0 ) 0, 则 f ( x)在 x0(
《高等数学》PPT课件
因dyx, 故有 dx y
fxfyxy 0
记
f x f y Байду номын сангаас
x y
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极值点必满足 引入辅助函数 则极值点满足:
fxx0
fyy0 (x,y)0
F f ( x , y ) ( x , y )
F x fx x 0
F y fyy 0
F 0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .
但驻点不一定是极值点.
例如, zxy有驻点( 0, 0 ),但在该点不取极值.
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推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z2 6 时 ， A 1 4 0 ,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
例3. 讨论函 数
zx3y3及 z(x2y2)2在点(0,0)
是否取得极值.
解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点并,且在 (0,0) 都有
A<0 时取极大值;
则: 1) A C B 20时, 具有极值
当
A>0 时取极小值.
2) 当 A C B 20时, 没有极值.
3) 当 A C B 20时, 不能确定 , 需另行讨论.
证明见 第九节(P65) .
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
高等数学中的极值问题
高等数学中的极值问题导语：在高等数学中，极值问题是一个重要的概念和技巧。
通过寻找函数的最大值和最小值，我们可以解决各种实际问题，如优化、最优化、经济学等。
本文将介绍高等数学中的极值问题，包括定义、求解方法和应用。
一、极值问题的定义与分类极值问题是指在一定条件下，寻找函数的最大值和最小值。
根据函数的定义域和取值范围，极值问题可以分为两类：一类是在有限区间内求解极值，另一类是在无限区间内求解极值。
1. 有限区间内求解极值当函数的定义域为有限区间时，我们可以通过求导和边界条件来求解极值。
首先，我们需要求出函数的导数，然后找出导数为零或不存在的点，这些点即为函数的驻点。
接下来，我们需要判断这些驻点是否是极值点，可以通过二阶导数的符号判断。
最后，我们还需要考虑边界条件，即函数在定义域的两个端点处是否存在极值。
2. 无限区间内求解极值当函数的定义域为无限区间时，我们可以通过极限的概念来求解极值。
首先，我们需要求出函数的导数，然后找出导数为零或不存在的点，这些点即为函数的驻点。
接下来，我们需要判断这些驻点是否是极值点，可以通过二阶导数的符号判断。
最后，我们还需要考虑函数在无穷远处的极限，以确定整个函数的极值。
二、求解极值的方法与技巧在高等数学中，求解极值问题有多种方法和技巧。
下面将介绍常用的方法和技巧。
1. 寻找驻点驻点是函数导数为零或不存在的点，是寻找极值的关键。
我们可以通过求导的方法来寻找驻点，然后通过二阶导数的符号判断这些驻点是否是极值点。
2. 利用边界条件在有限区间内求解极值时，我们需要考虑函数在定义域的两个端点处是否存在极值。
通过分析边界条件，我们可以得到更准确的极值结果。
3. 利用二阶导数二阶导数可以帮助我们判断驻点是否是极值点。
当二阶导数大于零时，驻点是函数的极小值点；当二阶导数小于零时，驻点是函数的极大值点；当二阶导数等于零时，驻点可能是函数的极值点，但也可能是拐点。
4. 利用极限在无限区间内求解极值时，我们需要考虑函数在无穷远处的极限。
最值定理及应用举
最值定理及应用举最值定理是高等数学中的重要概念，它有两种形式：最大最小值存在定理和最值原理。
最值定理是研究函数在闭区间上的最值性质的定理，对于函数的最大值和最小值的存在性具有重要的指导作用。
在实际问题中，我们经常需要确定函数在一定范围内的最大值和最小值，最值定理能够帮助我们简化问题的求解过程。
首先，我们来介绍最大最小值存在定理。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，最值存在定理告诉我们，f(x)在[a, b]上必定有最大值和最小值，并且这两个最值必定是在[a, b]的端点处或者在[a, b]的内部点处取到的。
证明最大最小值存在定理的方法通常使用反证法。
假设在[a, b]上不存在最大值，即对于任意的x∈[a, b]，都有f(x)<M，其中M是一个实数。
由于f(x)是连续函数，根据介值定理，我们可以得到存在一个点x0∈[a, b]，使得f(x0)=M，这与假设矛盾。
所以假设不成立，即[a, b]上必定存在最大值。
同理，可证明最小值也存在。
接下来，我们来介绍最值原理。
对于一个定义在开区间(a, b)上的函数f(x)，如果f(x)在(a, b)上取得了最大值或者最小值，那么这个最值只能是在(a, b)的端点处取到的。
最值原理的证明同样可以使用反证法。
假设f(x)在(a, b)的内部点处取得最大值或者最小值，即存在c∈(a, b)，使得f(c)是f(x)在(a, b)上的最大值或最小值。
由于f(x)在(a, b)上连续，根据介值定理，我们可以找到一个(a, b)内的点d，使得f(d)在f(c)的右侧或左侧，与f(c)是最大值或最小值的假设矛盾。
因此，我们可以得出结论，最值只能出现在(a, b)的端点处。
最值定理在实际问题中有着广泛的应用。
一个常见的应用是在优化问题中，我们需要找到一个函数在一定范围内的最大值或最小值。
最值定理告诉我们，只需要在闭区间的端点和内部点处计算函数值，然后从这些值中找出最大值或最小值即可。
高等数学第三章 第5节 函数的极值与最值
极小值 f ( 3) 22.
9
f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5图形如下
M
m
10
例2. 求函数 f ( x) ( x 1) x 的极值 .
2 3
2 3
2 x 5 5 2 f ( x ) x ( x 1 ) x 解: 1) 求导数 3 3 3 x 2) 求极值可疑点 2 令 f ( x ) 0 , 得 x1 5 x2 0 导数不存在的点
所以 ( x0 , f ( x0 ))是y f ( x)的一个拐点。
18
因为当 x x0时， 有f ( x) f ( x0 ) 0,
当x x0时，有f ( x) f ( x0 ) 0,
所以f ( x0 )是f ( x )的极小值，
即
f ( x) f ( x0 ) 0 所以f ( x)单增，
y y
o
x0
x
x0
o
x
(是极值点情形)
7
y
y
o
x0
x
o
x0
x
(不是极值点情形)
求极值的步骤:
(1)确定函数的定义域；
(2) 求函数的驻点及导数不 存在的点 ; (3) 由定理判断极值点 ; (4) 求极值.
8
例1 求出函数 f ( x ) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值. 解
x0不是f ( x)的极小值点。
19
二、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值存 在.
y
y
高等数学§3-4最大值和最小值
２、做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高 为多少时最省材料？
解:设水箱的高为xdm,则它的底边长为
a=
256 = 16
dm
x
x
水箱所用的材料的面积为
s(x)=4ax+a2=64x+256(x>0)升 （立方分米） x
令 s'(x)=32x2-256 x=0,得 x=4 x2 x
a
x
因为s(x)只有一个极值，故高为 4dm时最省料
（2）计算区间端点处的函数值；
（3）对以上两类函数值进行比较即得。
2
1
例6 求函数 f(x)x3(x21)3
在区间 [2, 2] 上的最大值与最小值。
解 f(x)2x1 32x(x21)3 2
33
2
4
2 (x2 1)3 x3 3 3 x(x2 1)2
令 f(x)0
得驻点 x 2 函数的不可导点为x = 0, 1 .
2
函数f (x)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：
f(2)3433,f( 2)34, 2
f(0 ) 1 ,f( 1 ) 1
比较之，得最大值：3 4 最小值：3 43 3
注1： 一般地说，若函数f (x)的最大(小)值是在区间 (a, b)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值
B
D
20公里
C
解 设 D 点选在距离 A 点x公里处,则 DB 100 x,CD 202 x2 400 x2 .
设铁路上每吨公里货运的运费为3k ,则公路上每吨公里
货运的运费为5k（k为常数）.货物从 B 点运到 C 点每吨
货物需要的总运费为 y ,则
y 3k CD 3k DB, 即 y 5k 400 x2 3k(100 x) (0 x 100). 下面,来求 x 在区间[0,100]上取得何值时,函数 y 的值 最小.
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课题3函数的最大值、最小值
在工农业生产和科学技术研究中，常常要考虑在一定条件下，怎样才能使效率最高，成本最低，用料最省等问题。
这些问题反映在数学上就是函数的最大值和最小值问题。
案例 [易拉罐的设计]
如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是多少？请你不妨去测量一下，为什么其半径与高之比约为1：2？
一、函数的最值
若函数)(x f y =在[b a ,]上连续，则函数)(x f 在[b a ,]上一定有最大值和最小值。
它们可能在该区间的内部取得，也可能在该区间的端点处取得．在前一种情况下，函数的最大(小)值必然是函数的极大(小)值．因此，在闭区间上的连续函数的最大(小)值只能在区间端点或区间内极值点处取得，而极值点又只能在驻点或导数不存在点处，所以，求最大值和最小值的步骤：
(1)求驻点和不可导点;
(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大哪个大哪个就是最大值, 哪个小哪个就是最小值。
例 求函数52)(24+-=x x x f 在区间[2,2]-上的最大值与最小值。
解 )1)(1(4)(-+='x x x x f
令 0)(='x f ，解得驻点为1,1-==x x ，0=x
4)1()1(==-f f ， 5)0(=f ，13)2(=f ， (2)13f -=
所以 函数)(x f 的最大值是13)2(=f ，最小值为4)1()1(==-f f
说明 (1) 若函数)(x f 是],[b a 上的连续单调增加(减少)函数，则)(a f 必为)(x f 在]
,[b a 上的最小(大)值,)(b f 必为)(x f 在],[b a 上的最大(小)值．
(2) 若0x 是)(x f 在一个区间(有限或无限, 开或闭)内唯一的极值点，则当0x 为极大(小)点
(小)值。
二、最值应用举例
例 铁路上AB 段的距离为100km ,工厂C 距离A 处20km ,AC 垂直于AB(图)。
为了运输需要,要在AB 线上选定一点D ，向工厂修筑一条公路。
已知铁路上每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5，为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省，问D 点应选在何处？
解 设AD=x （km ），则DB=x -100（km ），CD=2220x +=2400x +（km ），设铁路上每公里货运的运费为3k ,则公路上每公里货运的运费为5k (k 为正常数)。
设货物从供应站B 运到工厂C 需要的总运费为y ，则
DB k CD k y ⋅+⋅=35
即 y =k 5·2400x ++)100(3x k - 0≤x ≤100
k x x
k y 340052-+⋅='
令0='y ,即0340052=-+k x kx
，化简得2252=x 。
因x ≥0,故15=x （km ）, 由于k y k y k y x x x 26100,380,400100150======,所以当15=x ，即点D 选在距A 点右方)(15km 处运费最省。
例 [容器的设计]
要设计一个容积为500ml 的圆柱形容器，其底面半径与高之比为多少时容器所耗材料最少？
解：设其底面半径为r ，高为h ，其表面积为 由 ，得
因为此问题的最小值一定存在，驻点唯一，故此驻点即为最小值点， 将31200500⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πr 代入2500r h π=，得
B 2
22r rh S ππ+=h r V 2500π==2500r h π=221000r r S π+=所以r r S π410002+-='0='S 令312500⎪⎭⎫ ⎝⎛=πr 得31200⎪⎭⎫ ⎝⎛=πh
即
例 抗弯截面模量的最大值问题
例：对于一根截面为矩形的横梁，当截面矩形的高和宽分别为h 和b 它的抗弯截面模量为.612bh W =现在要求在一根截面圆半径为R 的圆木上截出一个抗弯截面模量最大的矩形横梁，试确定其高和宽的尺寸． 解：根据勾股定理有,4222b R h -=由此可得目标函数
.20),4(6
122R b b R b W <<-= 求导得).34(6122b R db dw -=令,0=db
dw 可得目标函数在定义域内的唯一驻点.332R b =根据问题的实际意义可知，目标函数(即横梁抗弯截面模量)在定义域内的最大值是一定存在的，而且目标函数在定义域内可导，驻点唯一，所以这唯一的驻点就是目标函数在定义域内的最大值点．也就是说，为使抗弯截面模量最大，截面矩形的宽度应取为,332R b =
这时截面矩形对应的高度为.362R h =
练习1 [发动机的效率]
一汽车厂家正在测试新开发的汽车的发动机的效率，发动机的效率P （%）与汽车的速度v (单位：km/h) 之间的关系为 问发动机的最大效率是多少？（v=80,p=41%）
练习2
用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒, 在铁皮的四周各截去面积相等的小正方形，然后把四周折起, 焊成铁盒. 问在四周截去多大的正方形, 才能使所做的铁盒容积最大? （截去正方形边长为8厘米）
练习3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解 设房租为每月x 元，租出去的房子有⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--1018050x 套 每月总收入为)(x R )20(-=x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
--1018050x 12r h =3
00004.0768.0v v p -=
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=1068)20()(x x x R ，⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='101)20(1068)(x x x R 570x -= 0)(='x R 350=⇒x （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为
⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=1035068)20350()(x R )(10890元= 实际问题求最值应注意: (1)建立目标函数; (2)求最值; 练习 练习题5.4 1、（1）（3）2、4
三、小结
1．闭区间上最值的一般求法 2、实际问题求最值的步骤. 作业 上册p102 1（2）（3）；3，4
值．或最小为所求的最点，则该点的函数值即若目标函数只有唯一驻)(。