第二章 章末综合检测改过的

(时间：60分钟，满分：100分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分)1.下列现象中，最能恰当地说明分子间有相互作用力的是()A．气体容易被压缩B．高压密闭的钢筒中的油从钢壁渗出C．两块纯净的铅压紧后合在一起D．滴入水中的墨汁微粒向不同方向运动答案：C2.(2012·广东六校联考)下列现象中，不能．．用分子动理论来解释的是()A．白糖放入杯中，杯中的水会变甜B．大风吹起时，地上的尘土飞扬C．一滴红墨水滴入一杯水中，过一会杯中的水变成了红色D．把两块纯净的铅块用力压紧，两块铅合在了一起解析：选B.大风吹起尘土，是物体在力的作用下运动状态的改变，和分子动理论没有关系，其余三项都可以用分子动理论来解释．3.关于布朗运动，以下说法中正确的是()A．温度越高、布朗运动越激烈，布朗运动就是分子的热运动B．布朗运动间接反映了分子的热运动C．在室内看到阳光下的尘埃不停地运动也是布朗运动D．在安静的环境中，布朗运动可能会停止解析：选B.布朗运动不是分子的热运动，但能反映分子运动的情况，尘埃是在重力及气流的影响下运动的．4.(2010·高考四川卷)下列现象中不．能说明分子间存在分子力的是()A．两铅块能被压合在一起B．钢绳不易被拉断C．水不容易被压缩D．空气容易被压缩解析：选D.A、B选项说明分子间存在引力，C选项说明分子间存在斥力，D选项说明气体分子间距大，故答案为D.5.若已知阿伏加德罗常数、物质的摩尔质量和摩尔体积，则可以计算出()A．固体物质分子的大小和质量B．液体物质分子的大小和质量C．气体物质分子的大小和质量D．气体分子的质量和分子间的平均距离解析：选ABD.由于固体和液体分子间距离很小，可近似地认为分子是紧密排列的，因此用摩尔体积除以阿伏加德罗常数即可求出每个分子的体积．而气体分子间距离很大，用上面的方法只能计算出每个分子平均占有的空间，它的三次方根表示气体分子间的平均距离．不论固态、液态还是气态，用摩尔质量除以阿伏加德罗常数都是一个分子的质量，因此只有选项C 是错误的．6.(2012·南通中学第一次调研)对于分子动理论和物体的内能理解，下列说法正确的是( )A ．液体表面的分子间距较大，所以表现为引力，液体表面有收缩的趋势B ．用力拉铁棒的两端，铁棒没有断，这是分子间存在吸引力的宏观表现C ．气体状态在变化时，温度升高，气体分子的平均动能增大，气体的压强也一定增大D ．当分子间的引力和斥力平衡时，分子势能最小解析：选ABD.由分子力的特性可知A 、B 、D 正确；气体的温度升高时，气体分子的平均动能增大，每次与器壁碰撞的平均作用力增大，但由于体积增大很大时，对器壁在单位时间单位面积上的碰撞次数可能大大减少，所以压强不一定增大，C 错．7.(2012·黄冈中学调研)某气体的摩尔质量为M ，摩尔体积为V ，密度为ρ，每个分子的质量和体积分别为m 和V 0，则阿伏加德罗常数N A 不可能表示为( )A ．N A ＝V V 0B ．N A ＝V ρmC ．N A ＝M mD ．N A ＝M ρV 0 解析：选AD.由N A ＝M m ＝ρV m计算阿伏加德罗常数，不仅适用于分子间隙小的液体与固体，而且适用于分子间隙大的气体，故B 、C 正确；而N A ＝V V 0＝M ρV 0仅适用于分子间隙小的液体与固体，由于气体分子间有很大的间隙，每个气体分子所占据的空间为V 占比每个分子的体积V 0大得多，所以A 、D 不正确．8.分子动理论较好地解释了物质的宏观热学性质．据此可判断下列说法中错误的是( )A ．显微镜下观察到墨水中的小炭粒在不停地做无规则运动，这反映了液体分子运动的无规则性B ．分子间的相互作用力随着分子间距离的增大，一定先减小后增大C ．分子势能随着分子间距离的增大，可能先减小后增大D ．在真空、高温条件下，可以利用分子扩散向半导体材料掺入其他元素解析：选B.墨水中的小炭粒做布朗运动，反映了液体分子做无规则运动，A 正确．分子间的相互作用力表现为斥力时，分子间距离越大，分子力越小；当分子间的作用力表现为引力时，分子间的距离由最小开始变大时，分子间作用力先增大，后减小，C 正确，B 不正确．由于分子是做永不停息地无规则运动的，高温情况下，分子能很快地扩散到其他材料中，D 正确．9.关于晶体和非晶体，下列说法中正确的是( )A ．具有各向同性的物体一定没有明显的熔点B ．晶体熔化时，温度不变，则内能也不变C ．通常的金属材料在各个方向上的物理性质都相同，所以这些金属都是非晶体D ．晶体和非晶体在适当条件下可相互转化解析：选D.多晶体呈现各向同性，但有确定的熔点，故A 错；晶体熔化时，其温度虽然不变，但是其体积和内部结构可能发生变化，则内能就可能发生变化，故B 错；金属材料虽然呈现各向同性，但是并不意味着一定是非晶体，可能是多晶体，故C 错，D 对． 10.如图1－2所示为分子势能随距离变化的图象，从图中分析可得到( )图1－2A．r1处为分子的平衡位置B．r2处为分子的平衡位置C．r→∞处，分子间的势能为最小值，分子间无相互作用力D．若r＜r1，r越小，分子间势能越大，分子间仍有斥力存在解析：选BD.图线的斜率代表分子间的作用力，所以在r2处分子间的作用力为0，B正确．当r→∞时，分子力仍存在，只是很小而已，C错误．当r＜r1时，分子间仍存在斥力，D对．11.(2010·高考大纲全国卷)图1－3为两分子系统的势能E p与两分子间距离r的关系曲线．下列说法正确的是()图1－3A．当r大于r1时，分子间的作用力表现为引力B．当r小于r1时，分子间的作用力表现为斥力C．当r等于r2时，分子间的作用力为零D．在r由r1变成r2的过程中，分子间的作用力做负功解析：选BC.当分子间距离r＝r2时，分子间势能E p最小，此时分子间的作用力为零，C正确；当r大于r2时，分子间的作用力表现为引力，当r1＜r＜r2时表现为斥力，A错；当r 小于r1时，分子力表现为斥力，B正确；在r由r1变成r2的过程中，分子力表现为斥力，分子力方向与运动方向相同，分子力做正功，D错．12.在下列说法中，正确的有()A．温度高的物体中的分子的平均动能一定比温度低的物体的分子平均动能大B．温度高的物体中的每一个分子的动能，一定大于温度低的物体中的每一个分子的动能C．温度高的物体中的分子运动的平均速率，一定比温度低的物体中的分子运动的平均速率大D．温度高的物体中的每一个分子运动的速率，一定比温度低的物体中的每一个分子的运动的速率大解析：选A.温度是物体中分子无规则运动的平均动能的标志，温度越高，说明物体中分子运动的平均动能越大，因此选项A正确．物体中分子运动的动能，有的大，有的小，具有多种可能的值，温度较高的物体中也一定有相当数量的分子的动能，比低温物体中动能较大的分子的动能要小，所以选项B是错误的．对于同一物体来说，分子的质量都相同，如果平均动能相同，平均速率也一定相同，温度越高，分子平均动能越大，分子运动的平均速率越大．但对于不同物质构成的不同物体，只能从温度高低判定平均动能大小，不能判定平均速率大小，因为两种物质的分子质量往往是不同的，所以，选项C、D是错误的．二、填空题(本题共2小题，每小题8分，共16分．把答案填在题中的横线上)13.将下列实验事实与产生的原因对应起来．事实：A.水与酒精混合体积变小B．固体很难被压缩C．细绳不易拉断D．糖在热水中溶解得快E．冰冻食品也会变干原因：a.固体分子也在不停地运动着b．分子运动的剧烈程度与温度有关c．分子间存在着空隙d．分子间存在着引力e．分子间存在着斥力它们的对应关系分别是(1)__________，(2)__________，(3)________，(4)________，(5)________．(在横线上填上对应关系的字母)解析：水与酒精混合后体积变小，说明分子间存在空隙；固体很难被压缩是分子间斥力的作用；细绳不易拉断，说明分子间存在着引力；糖在热水中溶解得快，说明分子运动的剧烈程度随温度升高而增大；冰冻食品也会变干，说明固体分子也在不停地运动．答案：(1)A→c(2)B→e(3)C→d(4)D→b(5)E→a14.做“用油膜法估测分子的大小”的实验时，要求油滴在水面散开到最大面积，形成________，其理论基础是将分子看做________．若油滴体积为V，油膜面积为S，则分子直径约为d＝________，一般分子直径的数量级为________m.解析：由于油分子和水分子具有较强的亲和力，所以当在水面上散开到最大面积时，可视为油分子单层排列在水面上，其理论基础是将分子视为球形且是一个挨一个排列的；测量原理为油膜的厚度即为分子直径：d＝VS，除有些较大的有机分子外，一般分子直径的数量级为10－10 m.答案：单分子油膜球形VS10－10三、计算题(本题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后答案的不能得分．有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位) 15.(10分)(2012·南京调研)已知阿伏加德罗常数是N A＝6.0×1023mol－1，铜的摩尔质量为6.4×10－2kg/mol，铜的密度是8.9×103kg/m3.试估算1个铜原子占有的体积为多少？(结果保留两位有效数字)解析：铜的摩尔体积为V＝Mρ＝6.4×10－28.9×103≈7.2×10－6(m3/mol)一个铜原子的体积V0＝VN A＝7.2×10－66.0×1023＝1.2×10－29(m3)答案：1.2×10－29 m316.(14分)已知某种油的摩尔质量为0.1 kg/mol，密度为0.8×103kg/m3，现取一滴体积为0.3×10－3 cm3的油滴，滴于水面上展成一单分子层油膜，测得油膜的面积为0.42 m2，试根据上述数据求出阿伏加德罗常数．(保留一位有效数字)解析：由题意可得d ＝V S ＝0.3×10－3×10－60.42 m ≈7×10－10 m ， 每个分子的体积为V 0＝43πr 3＝16πd 3. 摩尔体积V mol ＝0.10.8×103 m 3/mol ＝18×10－3 m 3/mol ， 所以N A ＝V mol V 0＝18×10－316πd 3) mol －1≈7×1023 mol －1. 答案：7×1023 mol －1。

章末检测一、填空题1．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________.2．已知M＝{x|x≥22，x∈R}，给定下列关系：①π∈M；②{π}M；③πM；④{π}∈M.其中正确的有________．(填序号)3．已知集合A{2,3,7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有________个．4．设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(∁I M)∩(∁I N)＝________.5．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥3}，下图中阴影部分所表示的集合为______．6.用描述法表示如图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)为______________________．7．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.8．已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围是________．9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．10．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________.11．已知P＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，Q＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，则P与Q的关系为________．12．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1D∈/A，x＋1D∈/A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．13．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B ＝________，∁B A＝________.14．设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝∅，则m的值是________．二、解答题15．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(∁U M)∩N，(∁U M)∪(∁U N)．16．A＝{x|－2<x<－1或x>1}，B＝{x|a≤x<b}，A∪B＝{x|x>－2}，A∩B＝{x|1<x<3}，求实数a，b的值．17．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，求实数m的值．18．设A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，B＝{x|x2＋cx＋15＝0}，又A∪B＝{3,5}，A∩B＝{3}，求实数a，b，c的值．19．设全集是实数集R ，A ＝{x |12≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋a <0}． (1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．20．若集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |x －m <0}．(1)若m ＝3，全集U ＝A ∪B ，试求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值范围．答案1．{x |0≤x ≤1}2．①②3．64．∅5．{1,2}6．{(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0} 7．0或38．a ≥29．∁U B ∁U A10．－311．P ＝Q12．113．{0,1,3,5,7,8} {7,8} {0,1,3,5}14．1或215．解 由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．16．解 ∵A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴b ＝3，又A ∪B ＝{x |x >－2}，∴－2<a ≤－1，又A ∩B ＝{x |1<x <3}，∴－1≤a ≤1，∴a ＝－1.17．解 ∵A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .当m ＝0时，B ＝∅，B ⊆A .当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1m ，由－1m ∈A ，∴－1m ＝2或－1m ＝3，得m ＝－12或－13. 所以m 的值为0，－12，－13. 18．解 ∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∴32＋3c ＋15＝0，∴c ＝－8.由方程x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝3或x ＝5，∴B ＝{3,5}．由A ⊆(A ∪B )＝{3,5}知，3∈A,5D ∈/A (否则5∈A ∩B ，与A ∩B ＝{3}矛盾) 故必有A ＝{3}，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0有两相同的根3，由根与系数的关系得3＋3＝－a,3×3＝b ，即a ＝－6，b ＝9，c ＝－8.19．解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}， 当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}，∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}， A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅.①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }，要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12， 解得－14≤a <0. 综上可得，实数a 的取值范围是a ≥－14. 20．解 (1)∵A ＝{x |－2<x <4}．当m ＝3时，由x －m <0，得x <3，∴B ＝{x |x <3}，∴U ＝A ∪B ＝{x |x <4}，∁U B＝{x|3≤x<4}．∴A∩(∁U B)＝{x|3≤x<4}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.(3)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.。

章末复习与测试教学目标1.整合本章知识要点.2.进一步理解合情推理与演绎推理的概念、思维形式、应用等.3.进一步熟练掌握直接证明与间接证明.4.理解数学归纳法，并会用数学归纳法证明问题． 教学知识梳理1．合情推理(1)归纳推理：由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理：由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理：由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．3．直接证明和间接证明(1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：①综合法是从已知条件推出结论的证明方法；②分析法是从结论追溯到条件的证明方法．(2)间接证明的一种方法是反证法，是从结论反面成立出发，推出矛盾的方法．4．数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学命题．证明时，它的两个步骤缺一不可，它的第一步(归纳奠基)是证当n ＝n 0时结论成立；第二步(归纳递推)是假设当n ＝k 时结论成立，推得当n ＝k ＋1时结论也成立．教学探究类型一 合情推理与演绎推理例1 (1)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2 ＝43×2×3；⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； ……照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________. 【答案】43n (n ＋1) 【解析】第一个等式中1＝3－12，2＝3＋12； 第二个等式中，2＝5－12，3＝5＋12； 第三个等式中，3＝7－12，4＝7＋12. 由此可推得第n 个等式等于43×2n ＋1－12×2n ＋1＋12＝43n (n ＋1)． (2)根据图(1)的面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′P A ·PB ′PB ，可猜想图(2)有体积关系：V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC＝________.【答案】P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC【解析】题干两图中，与△P AB ，△P A ′B ′相对应的是三棱锥P －ABC ，P －A ′B ′C ′；与△P A ′B ′两边P A ′，PB ′相对应的是三棱锥P －A ′B ′C ′的三条侧棱P A ′，PB ′，PC ′.与△P AB 的两条边P A ，PB 相对应的是三棱锥P －ABC 的三条侧棱P A ，PB ，PC .由此，类比题图(1)的面积关系，得到题图(2)的体积关系为V 三棱锥P －A ′B ′C ′V 三棱锥P －ABC ＝P A ′P A ·PB ′PB ·PC ′PC. (3)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【答案】1和3【解析】由题意可知丙不拿2和3.若丙拿1和2，则乙拿2和3，甲拿1和3，满足题意；若丙拿1和3，则乙拿2和3，甲拿1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.反思与感悟(1)用归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．(2)进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．(3)演绎推理是由一般到特殊的推理，其结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的．因此，在演绎推理中，只要前提及推理正确，结论必然正确．跟踪训练1(1)如图是由火柴棒拼成的图形，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现：第4个图形中有________根火柴棒；第n个图形中有________根火柴棒．【答案】133n＋1【解析】设第n个图形中火柴棒的根数为a n，可知a4＝13.通过观察得到递推关系式a n－a n－1＝3(n≥2，n∈N*)，所以a n＝3n＋1.(2)若数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，则有性质“若S m＝S n(m，n∈N*且m≠n)，则S m ＋n＝0.”类比上述性质，相应地，当数列{b n}为等比数列时，写出一个正确的性质：________________.【答案】数列{b n}为等比数列，T m表示其前m项的积，若T m＝T n(m，n∈N*，m≠n)，则T m＋n＝1【解析】由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时，加减运算类比推理为乘除运算．累加类比为累乘，由此，等差数列{a n}的性质类比到等比数列{b n}中为：数列{b n}为等比数列，T m表示其前m项的积，若T m＝T n(m，n∈N*，m≠n)，则T m＋n＝1.类型二综合法与分析法例2试用分析法和综合法分别推证下列命题：已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α1－cos α.证明方法一分析法要证2sin 2α≤sin α1－cos α成立，只需证4sin αcos α≤sin α1－cos α， ∵α∈(0，π)，∴sin α>0，只需证4cos α≤11－cos α， ∵1－cos α>0，∴4cos α(1－cos α)≤1，可变形为4cos 2α－4cos α＋1≥0，只需证(2cos α－1)2≥0，显然成立．方法二 综合法∵11－cos α＋4(1－cos α)≥4， 当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号， ∴4cos α≤11－cos α. ∵α∈(0，π)，∴sin α>0，∴4sin αcos α≤sin α1－cos α， ∴2sin 2α≤sin α1－cos α. 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法：分析法是倒溯，综合法是顺推，二者各有优缺点．分析法容易探路，且探路与表述合一，缺点是表述易错；综合法条件清晰，易于表述，因此对于难题常把二者交互运用，互补优缺，形成分析综合法，其逻辑基础是充分条件与必要条件．跟踪训练2 设a ，b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.证明 要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立，即需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，即需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立．只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而由已知条件可知，a ≠b ，所以a －b ≠0，所以(a －b )2>0显然成立．即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.类型三 反证法例3 若x ，y 都是正实数，且x ＋y >2，求证：1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立．证明 假设1＋x y <2和1＋y x<2都不成立， 则有1＋x y ≥2和1＋y x≥2同时成立． 因为x >0且y >0，所以1＋x ≥2y 且1＋y ≥2x ，两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，所以x ＋y ≤2.这与已知x ＋y >2矛盾．故1＋x y <2与1＋y x<2中至少有一个成立． 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题；涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时，也常用反证法．跟踪训练3 已知：ac ≥2(b ＋d )．求证：方程x 2＋ax ＋b ＝0与方程x 2＋cx ＋d ＝0中至少有一个方程有实数根．证明 假设两方程都没有实数根，则Δ1＝a 2－4b <0与Δ2＝c 2－4d <0，有a 2＋c 2<4(b ＋d )，而a 2＋c 2≥2ac ，从而有4(b ＋d )>2ac ，即ac <2(b ＋d )，与已知矛盾，故原命题成立．类型四 数学归纳法例4 已知在数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34， S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即当n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想均成立．反思与感悟 (1)用数学归纳法证明等式问题是数学归纳法的常见题型，其关键点在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始n 0是多少．(2)由n ＝k 到n ＝k ＋1时，除等式两边变化的项外还要利用当n ＝k 时的式子，即利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．跟踪训练4 观察下列四个等式：第一个式子 1＝1第二个式子 2＋3＋4＝9第三个式子 3＋4＋5＋6＋7＝25第四个式子 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49(1)按照此规律，写出第五个等式；(2)请你做出一般性的猜想，并用数学归纳法证明．解 (1)第5个等式：5＋6＋7＋…＋13＝81.(2)猜想第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，左边＝1，右边＝(2－1)2＝1，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，猜想成立，即有k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＝(2k －1)2.那么当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(3k －1)＋3k ＋(3k ＋1)＝k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋…＋(3k －2)＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1)＝(2k －1)2＋(2k －1)＋3k ＋(3k ＋1)＝4k 2－4k ＋1＋8k ＝(2k ＋1)2＝[2(k ＋1)－1]2.右边＝[2(k ＋1)－1]2，即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据①②知，猜想对任意n ∈N *都成立.达标检测1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．128【答案】B【解析】5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得：x ＝26＋1＝65.2．在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示x ，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线，类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( ) A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1 【答案】A【解析】∵在平面直角坐标系中，方程x a ＋y b＝1表示的图形是一条直线，具有特定性质：“在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ”．类比到空间直角坐标系中，在x ，y ，z 轴上截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为x a ＋y b ＋z c＝1.故选A. 3．若a >0，b >0，则有( )A.b 2a>2b －a B.b 2a <2b －a C.b 2a≥2b －a D.b 2a ≤2b －a 【答案】C【解析】因为b 2a －(2b －a )＝b 2－2ab ＋a 2a ＝(b －a )2a ≥0，所以b 2a≥2b －a . 4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实数C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根【答案】A【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A. 5．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n(2n＋2)＝n4(n＋1)(n∈N*)．解(1)当n＝1时，左边＝12×1×(2×1＋2)＝1 8，右边＝14×(1＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＝k4(k＋1)，则当n＝k＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k(2k＋2)＋12(k＋1)[2(k＋1)＋2]＝k4(k＋1)＋14(k＋1)(k＋2)＝k(k＋2)＋14(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)24(k＋1)(k＋2)＝k＋14(k＋2)＝k＋14[(k＋1)＋1].所以当n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n∈N*，等式都成立．。

章末测评验收卷(四、五)(时间：75分钟 满分：100分)一、单项选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1．用于通信的无线电波能绕过建筑墙体从而保证手机能正常接收信号，而光波却不能绕过墙体实现正常照明功能，这是因为( )A ．无线电波是横波，光波是纵波B ．无线电波的波速小于光波的波速C ．无线电波的振幅大于光波的振幅D ．无线电波的波长大于光波的波长答案 D解析 无线电波的波长远大于光波的波长，无线电波更易发生明显衍射现象，绕过墙体，故选项D 正确。

2．LC 振荡电路的振荡频率为f 1，发射源发射的电磁波的频率为f 2，欲使该振荡电路与发射源发射的电磁波发生电谐振，采取的措施是使电容器两极板间的距离减小。

则下列关系式正确的是( )A ．f 1<f 2B ．f 1>f 2C ．f 1＝f 2D ．无法确定答案 B解析 由f 1＝12πLC和C ＝εr S 4πkd 可知，当d 减小时，C 增大，频率f 1减小，则f 1>f 2，B 正确。

3．用一自感系数为L 的线圈和一电容器构成一半导体的调谐电路，要使该调谐电路能接收到波长为λ的无线电波，则电容器的电容应为(已知无线电波在空气中的速度为c )( )A.λ2πLcB.12πLcλC.λ22πLc 2 D.λ24π2Lc 2答案 D解析由λ＝cf可得波长为λ的无线电波的频率f＝cλ，故调谐电路的频率也为f，又f＝12πLC ，所以cλ＝12πLC，得C＝λ24π2Lc2，故D正确。

4．隐形飞机的原理：在飞机研制过程中设法降低其可探测性，使之不易被敌方发现、跟踪和攻击。

结合你所学的物理知识分析下列说法，其中正确的是() A．隐形飞机运用隐蔽色涂层，无论距你多近的距离，即使你拿望远镜也不能看到它B．隐形飞机使用吸收雷达电磁波的材料，在雷达屏幕上显示的反射信息很小、很弱，很难被发现C．隐形飞机使用吸收雷达电磁波涂层后，传播到复合金属机翼上的电磁波在机翼上不会产生感应电流D．主要是对发动机、喷气尾管等因为高温容易产生紫外线辐射的部位采取隔热、降温等措施，使隐形飞机不易被对方发现和攻击答案 B解析雷达向外发射电磁波，当电磁波遇到飞机时发生反射，雷达通过接收反射回来的电磁波，就可以测定飞机的位置，所以要想降低飞机的可探测性，可以使用吸收雷达电磁波的材料，在雷达屏幕上显示的反射信息很小、很弱，很难被发现，故B正确，A、C、D错误。

章末验收卷(三)(时间：75分钟满分：100分)一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分)1.(2021·山东高二期末)交通警察向行进中的车辆发射频率已知的超声波，同时测量反射波的频率，根据反射波频率变化的多少就能知道车辆的速度，其工作原理利用的是()A.波的干涉B.波的衍射C.波的折射D.多普勒效应答案D解析交通警察向行进中的车辆发射频率已知的超声波，同时测量反射波的频率，根据反射波频率变化的多少就能知道车辆的速度，其工作原理利用的是多普勒效应。

2.(2020·湖北高二期末)2019年4月10日人类第一次发布了世界上首张黑洞图像，利用了射电望远镜对电磁波的捕捉。

下列关于波的说法正确的是()A.两列波叠加一定会出现稳定的干涉图样B.在干涉图样中，振动加强区域的质点的位移一定大于振动减弱区域质点的位移C.当波源远离接收者时，观察者接收到的波的频率比波源频率低D.只有障碍物或孔的尺寸与波长比较相差不多或小得多，波才能发生衍射答案C解析两列波在同一空间相遇，需要波的频率相等，相位差恒定，才能形成稳定的干涉图样，故A错误；在干涉图样中，振动加强区域的质点的振幅最大，振动减弱区域的质点的振幅最小，但所有的质点都在平衡位置附近振动，位移有大有小，两种质点的位移大小关系不能确定，则B错误；根据多普勒效应可知，当波源远离接收者时，观察者接收到的波的频率比波源频率低，故C正确；只有障碍物或孔的尺寸与波长比较相差不多或小得多，波才能发生明显的衍射现象，故D 错误。

3.(2021·江苏镇江一中高二月考)关于机械波的概念，下列说法正确的是()A.横波中质点的振动方向为竖直方向，纵波中质点的振动方向为水平方向B.简谐横波在长绳中传播，绳上相距半个波长的两振动质点位移大小始终相等C.任一质点每经过一个周期沿波的传播方向移动一个波长D.如果振源停止振动，在介质中传播的波也就立即停止答案B解析横波中质点的振动方向与运动方向相互垂直，纵波中质点的振动方向与波的传播方向在同一条直线上，故A错误；平衡位置相距半个波长的两质点振动完全相反，故位移大小始终相等，故B正确；质点不会随着波的传播而移动，故C错误；振源停止振动，但介质中的波仍继续传播，故D错误。

第1章 章末综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．将(x －q )(x －q －1)(x －q －2)…(x －19)写成A m n 的形式是( )A ．A x －19x －qB ．A x －20x －qC ．A 19－qx －qD ．A 20－qx －q解析：选D ．由排列形式可以看出(x －q )为最大数，共有20－q 个数连乘．2．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B ．154C ．－38D ．38解析：选C.T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫x 26－r ·⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－1)r 22r －6C r 6x 3－r ，令3－r ＝2，则r ＝1，所以x 2的系数为(－1)1×2－4×C 16＝－38，故选C.3．五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建一项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同承建方案的种数是( )A ．C 14C 44B ．C 14A 44C ．C 44D ．A 44解析：选B ．让甲工程队先选子项目有C 14种方法，其余4个工程队的承建方案有A 44种，根据分步乘法计数原理，共有C 14A 44种不同的承建方案．4．若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i (i ＝0,1,2)∈{1,2,3,4,5}，并且m ＋n ＝606，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为( )A ．32个B ．30个C ．62个D ．60个解析：选D ．由于m ＋n ＝606，则m 、n 的十位数字的安排方法有(4,6)、(6,4)、(5,5)共3种方法，个位数字的安排方法有(1,5)、(5,1)、(2,4)、(4,2)、(3,3)共5种方法，百位数字的安排方法有(1,4)、(4,1)、(2,3)、(3,2)共4种安排方法，由分步乘法计数原理得实数对(m 、n )表示平面上不同点的个数为3×5×4＝60个，故选D ．5．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5 解析：选B ．∵(x 2－1x)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )(－1)r x －r ＝(－1)r C r 5x 10－3r . 令10－3r ＝4，得r ＝2，∴含x 4的项的系数为C 25＝10.6．现在甲、乙、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、乙、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为( )A ．14B ．16C ．18D ．20解析：选C.由等差数列性质，x ＋y ＝2z ，x 、y 必同奇同偶，不同取法为2C 23C 23＝18，故选C.7．(ax ＋1)7的展开式中，x 3项的系数是x 2项的系数与x 5系数的等比中项，则a 的值为( )A.53 B ．925C.259D ．1±105解析：选C.(C 47a 3)2＝C 57a 2C 27a 5，解得a ＝259. 8．从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )A ．432B ．288C ．216D ．108解析：选C.首先个位数字必须为奇数，从1,3,5,7四个中选择一个有C 14种，再从剩余3个奇数中选择一个，从2,4,6三个偶数中选择两个，进行十位，百位，千位三个位置的全排，则共有C 14C 13C 23A 33＝216(个)，故选C.9．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A ．540B ．300C ．180D ．150解析：选D ．先将5人分成3组有两类：①1,1,3分组有C 35A 33种；②1,2,2分组有C 25C 23A 22A 33(均匀分组，要除以组数的阶乘)．故共有C 35A 33＋C 25C 23A 22A 33＝150种．10．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒解析：选C.由题意知，共有A 55＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共用120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1195秒．11．若(3x ＋1x)n 展开式中各项系数和为1024，则展开式中含x 的整数次幂的项共有( )A ．2项B ．3项C ．5项D ．6项解析：选B ．令x ＝1,22n ＝1024，∴n ＝5.T r ＋1＝C r 5(3x )5－r (1x)r ＝C r 5·35－rx 10－3r 2，含x 的整数次幂即使10－3r 2为整数，r ＝0、r ＝2、r ＝4，有3项，故选B ．12．如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块．现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )A ．96B ．84C ．60D ．48解析：选B ．当选2种不同花时，有A 24＝12种，当选3种不同花时有C 34C 12A 33＝48种，当选四种不同花时有A 44＝24种，∴共有12＋48＋24＝84种．二、填空题(本大题共4小题，请把正确的答案填在题中横线上)13．(1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________．解析：(1－x )20的二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 20·(－x )r ＝C r 20·(－1)r ·x r 2，令r2＝1，∴x 的系数为C 220·(－1)2＝190.令r 2＝9，∴x 9的系数为C 1820(－1)18＝C 220＝190，故x 的系数与x 9的系数之差为0.答案：014．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的方法(用数字作答)．解析：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，有C 29C 37C 44＝1260(种)． 答案：126015．1＋3＋32＋…＋399被4除所得的余数是________．解析：原式＝(1＋3)＋32(1＋3)＋…＋398(1＋3)，能被4整除，故余数为0，此题也可用二项式定理求解．答案：0 16．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．解析：上午测试安排有A 44种方法，下午测试分为：(1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”，其余三位同学有2种方法测试；(2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”，则有C 13种方法选择，其余三位同学选1人测试“握力”有C 13种方法，其余两位只有一种方法，则共有C 13·C 13＝9因此测试方法共有A 44·(2＋9)＝264种． 答案：264三、解答题(本大题共6小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．求(x －3x )9展开式中的有理项． 解：∵T r ＋1＝C r 9(x 12)9－r (－x 13)r ＝(－1)r C r 9x 27－r 6. 令27－r 6∈Z ，即4＋3－r 6∈Z ，且r ＝0,1,2， (9)∴r ＝3或r ＝9.当r ＝3时，27－r 6＝4，T 4＝(－1)3·C 39·x 4＝－84x 4； 当r ＝9时27－r6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3. 18．某甲A 篮球队12名队员(含2名外援)中有5名主力队员(含1名外援)，选5名队员首发上场，要求主力队员不少于4名且两名外援不能同时上场，则有多少种不同的选法？解：第一种情形，4名主力队员不含外援，则从其余的6名内援和另1名外援中任选1人的方法有C 17种；第二种情形，4名主力队员中有1名外援，则有C 34·C 16种； 第三种情形，5名队员全是主力队员，只有1种方法．由分类加法计数原理，不同的选法总数共有C 17＋C 34·C 16＋1＝32(种)． 19．已知(a 2＋1)n 的展开式中各项的系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．解：令a ＝1，则(a 2＋1)n 的展开式中各项的系数之和为2n ，⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式中，T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1655－r ·x 10－2r·x －r 2＝C r 5·⎝⎛⎭⎫1655－r ·x 10－52r ，令10－52r ＝0，则r ＝4，所以常数项为T 5＝C 45·165＝16，则2n ＝16，所以n ＝4.由于(a 2＋1)4的展开式中各项的系数等于其对应的二项式系数，故系数最大的项为T 3＝C 24·(a 2)2＝6a 4＝54，所以a 4＝9，所以a ＝±3. 20．把7个大小完全相同的小球，放置在三个盒子中，允许有的盒子一个也不放． (1)如果三个盒子完全相同，有多少种放置方法？ (2)如果三个盒子各不相同，有多少种放置方法？解：(1)∵小球的大小完全相同，三个盒子也完全相同，∴把7个小球分成三份，比如分成3个、2个、2个这样三份放入三个盒子中，不论哪一份小球放入哪一个盒子均是同一种放法，因此，只需将7个小球分成如下三份即可，即(7,0,0)、(6,1,0)、(5,2,0)、(5,1,1)、(4,3,0)、(4,2,1)，(3,3,1)、(3,2,2)．共计有8种不同的放置方法．(2)设三个盒子中小球的个数分别为x 1、x 2、x 3，显然有x 1＋x 2＋x 3＝7，于是，问题就转化为求这个不定方程的非负整数解，若令y i ＝x i ＋1(i ＝1,2,3)，则y 1＋y 2＋y 3＝10，问题又成为求不定方程y 1＋y 2＋y 3＝10的正整数解的组合数的问题，在10个1中间9个空当中，任取两个空当作记号，即可将10分成三组，∴不定方程的解有C 29＝36组．21．(1)若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2011x 2011(x ∈R )，求(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋…＋(a 0＋a 2011)的值；(2)如果(1－2x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|的值．解：(1)令x ＝0，得a 0＝1，再令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2011＝－1， 那么a 1＋a 2＋…＋a 2011＝－2，(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋…＋(a 0＋a 2011)＝2011－2＝2009.(2)因为展开式的通项为T r ＋1＝(－2)r C r 8x r，r ∈{0,1,2,3，…，8}，所以当r 为偶数时，系数为正；当r 为奇数时，系数为负，故有|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－…＋a 8.令展开式中的x ＝－1即可得到(1＋2)8＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－…＋a 8＝38，即|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 8|＝38.22．在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m ，n ≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项．(1)求常数项是第几项；(2)求ab的取值范围．解：(1)设T r ＋1＝C r 12·(ax m )12－r ·(bx n )r ＝C r 12·a 12－r ·b r x m (12－r )＋nr 为常数项，则有m (12－r )＋nr ＝0，因为2m ＋n ＝0，所以m (12－r )－2mr ＝0，解得r ＝4，故可知常数项是第5项．(2)因为第5项又是系数最大的项，所以有⎩⎪⎨⎪⎧C 412a 8b 4≥C 312a 9b 3，①C 412a 8b 4≥C 512a 7b 5，②因为a ＞0，b ＞0，则由①②可得85≤a b ≤94.。

(时间：90分钟,满分：100分）一、单项选择题(本题共6小题,每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确）1。

下列关于放射性现象的说法中，正确的是（）A。

原子核发生α衰变时,生成核与原来的原子核相比，中子数减少了4B。

原子核发生α衰变时,生成核与α粒子的总质量等于原来的原子核的质量C。

原子核发生β衰变时,生成核的质量数比原来的原子核的质量数多1D。

单质的铀238与化合物中的铀238的半衰期是相同的解析：选D、原子核发生α衰变时,生成核与原来的原子核相比,中子数减少了2，A错误；生成核与α粒子的总质量小于原来的原子核的质量,B错误；原子核发生β衰变时，生成核的质量数与原来的原子核的质量数相同,C错误；放射性元素的半衰期由原子核的内部因素决定,跟元素的化学状态无关，所以单质的铀238与化合物中的铀238的半衰期是相同的,D正确。

2.一个质子和一个中子聚变结合成一个氘核，同时辐射一个γ光子。

已知质子、中子、氘核的质量分别为m1、m2、m3，普朗克常量为h，真空中的光速为c、下列说法正确的是( ) A。

核反应方程是错误!H＋错误!n→错误!H＋γB.聚变反应中的质量亏损Δm＝m1＋m2－m3C。

辐射出的γ光子的能量E＝(m3－m1－m2）cD。

γ光子的波长λ＝错误!解析：选B、根据核反应过程质量数守恒和电荷数守恒可知，得到的氘核为错误!H，故A错误；聚变反应过程中辐射一个γ光子,质量减少Δm＝m1＋m2－m3,故B正确;由质能方程知，辐射出的γ光子的能量为E＝Δmc2＝(m2＋m1－m3）c2，故C错误；由c＝λν及E＝hν得λ＝错误!,故D错误.3.原子核聚变可望给人类未来提供丰富的洁净能源.当氘等离子体被加热到适当高温时,氘核参与的几种聚变反应可能发生,并放出能量。

这几种反应的总效果可以表示为6错误! H―→k错误!He＋d错误!H＋2错误!n＋43、15 MeV,由平衡条件可知( ）A.k＝1,d＝4B.k＝2，d＝2C。

(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分)1．如图2－6所示，两辆车在以相同的速度做匀速运动；根据图中所给信息和所学知识你可以得出的结论是( )图2－6A ．物体各部分都受重力作用，但可以认为物体各部分所受重力集中于一点B ．重力的方向总是垂直向下的C ．物体重心的位置与物体形状或质量分布有关D ．力是使物体运动的原因2. 质量为m 的木块在推力F 的作用下，在水平地面上做匀速运动(如图2－7)．已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪一个( )图2－7A ．μmgB ．μ(mg ＋F sin θ)C ．μ(mg －F sin θ)D ．F cos θ3．(2010年高考课标全国卷)一根轻质弹簧一端固定，用大小为F 1的力压弹簧的另一端，平衡时长度为l 1；改用大小为F 2的力拉弹簧，平衡时长度为l 2.弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内，该弹簧的劲度系数为( )A.F 2－F 1l 2－l 1B.F 2＋F 1l 2＋l 1C.F 2＋F 1l 2－l 1D.F 2－F 1l 2＋l 14. 如图2－8所示，放在光滑水平面上的一个物体，同时受到两个水平方向力的作用，其中水平向右的力F 1＝5 N ，水平向左的力F 2＝10 N ，当F 2由10 N 逐渐减小到零的过程中，二力的合力大小( )图2－8A ．逐渐减小B ．逐渐增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小5．在中央五套每周都有棋类节目，如棋类授课和评析节目，他们的棋盘都是竖直挂在墙上，棋盘是磁石制成的，而每个棋子都是一个小磁体，下列说法正确的是( )①小棋子共受到四个力作用；②每个棋子的质量肯定都有细微差异，所以不同棋子所受的摩擦力不同；③棋盘表面应选相对粗糙的材料；④如果某个棋子贴不上棋盘，总会滑落，肯定是其质量偏大．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④6．如图2－9所示，两木块质量分别为m 1和m 2，两轻质弹簧的劲度系数分别为k 1和k 2，上面木块压在弹簧上(但不拴接)，整个系统处于静止状态．现缓慢向上提上面的木块，直到它刚离开上面的弹簧，在这个过程中下面木块移动的距离为( )图2－9A.m 1g k 1B.m 2g k 1C.m 1g k 2D.m 2g k 27. 把一重为G 的物体用一个水平的推力F ＝kt (k 为恒量，t 为时间)压在竖立的足够高的平整的墙上如图2－10所示．从t ＝0开始物体所受的摩擦力f 随t 的变化关系是( )图2－10图2－118. 如图2－11所示，轻弹簧的两端各受10 N 拉力F 作用，弹簧平衡时伸长了5 cm(在弹性限度内)；那么下列说法中正确的是( )图2－11A ．该弹簧的劲度系数k ＝200 N/mB ．该弹簧的劲度系数k ＝400 N/mC ．根据公式k ＝F /x ，弹簧的劲度系数k 会随弹簧弹力F 的增大而增大D ．弹簧所受的合力为10 N9. 如图2－12所示，完全相同的两物块A 、B ，质量均为1 kg ，与地面间的动摩擦因数均为0.2，它们之间连接有一劲度系数为100 N/m 的轻弹簧．整个系统置于水平地面上静止不动，弹簧处于原长．现有一水平向右的变力F 作用于物块A 上，F 从0开始，缓慢增大到3 N 时，轻弹簧的伸长量为( )图2－12A ．0B ．1 cmC ．2 cmD ．3 cm10．如图2－13所示，一轻绳通过固定在墙边的小滑轮与均匀铁球相连，在水平拉力F 作用下，铁球缓缓上升．不计一切摩擦，则在铁球上升的过程中( )图2－13A ．球对绳的拉力增大，球对墙的压力增大B ．球对绳的拉力减小，球对墙的压力增大C ．球对绳的拉力增大，球对墙的压力减小D．球对绳的拉力和墙的压力都减小二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分．按题目要求作答)11．为了探究弹簧弹力F和弹簧伸长量x的关系，某同学选了A、B两根规格不同的弹簧进行测试，根据测得的数据绘出如图2－14所示的图像，从图像上看，该同学没能完全按实验要求做，使图像上端成为曲线，图像上端成为曲线的原因是__________________．弹簧B的劲度系数为__________．若要制作一个精确度较高的弹簧秤，应选弹簧__________(填“A”或“B”)．图2－1412．某同学做“验证力的平行四边形定则”实验时，主要步骤是：A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上．B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套．C．用两个弹簧测力计分别勾住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O.记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数．D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F.E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳套的方向，按同一标度作出这个力F′的图示．F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论．上述步骤中：(1)有重要遗漏的步骤的序号是__________和__________；(2)遗漏的内容分别是__________和__________．三、计算题(本题共4小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)13. (9分)如图2－15所示，质量M＝2 3 kg的木块套在水平杆上，并用轻绳与质量m ＝ 3 kg的小球相连．今用跟水平方向成α＝30°角的力F＝10 3 N拉着球带动木块一起向右匀速运动，运动中M、m相对位置保持不变，取g＝10 m/s2.求：图2－15(1)运动过程中轻绳与水平方向夹角θ；(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ.14．(9分)如图2－16甲所示，完全相同的A、B两物体放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数均为μ＝0.2，每个物体重G＝10 N，设物体A、B与水平面间的最大静摩擦力均为f m＝2.5 N，若对A施加一个向右的由零均匀增大到6 N的水平推力F，请将A所受到的摩擦力随水平推力F的变化情况在图乙中表示出来．(要求写出作图过程)图2－1615．(10分)水平面上有一重40 N的物体，受到F1＝12 N和F2＝6 N的两方向相反的水平力作用而保持静止．已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ＝0.2.(1)此时物体所受的摩擦力为多大？(2)将F1撤去后，物体受的摩擦力为多大？(3)将F2撤去后，物体受的摩擦力为多大？16. (12分)如图2－17所示，物体A重100 N，物体B重20 N，A与水平桌面间的最大静摩擦力是30 N，整个系统处于静止状态，这时A受到的静摩擦力是多大？如果逐渐加大B的重力，而仍保持系统静止，则B物体重力的最大值是多少？图2－17。

章末质量评估(二)(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是()．A．合情推理就是正确的推理B．合情推理就是归纳推理C．归纳推理是从一般到特殊的推理过程D．类比推理是从特殊到特殊的推理过程答案 D2．有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|＜1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()．A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确解析用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设p＋q＞2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.答案 D3．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()．A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析三段论中的大前提，小前提及推理形式都是正确的．答案 A4．用反证法证明命题“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()．A.3a＝3b B.3a<3bC.3a＝3b，且3a<3b D.3a＝3b或3a<3b答案 D5．下面几种推理是合情推理的是()．①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试张军成绩是100分，由此推出全班同学成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.A．①②B．①③④C．①②④D．②④解析①是类比，②④是归纳推理．答案 C6．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为()．A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)解析 前三组数分别求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n 组数的和为n 3. 答案 B7．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中的白色地面砖有( )．A ．4n －2块B ．4n ＋2块C ．3n ＋3块D ．3n －3块解析 法一 第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n 个图案中有4n ＋2块．法二 验n ＝1时，A 、D 选项不为6，排除．验n ＝2时，C 选项不为10，排除．故选B. 答案 B8．函数f (x )是[－1,1]上的减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则 下列不等式中正确的是( )．A ．f (sin α)＞f (cos β)B ．f (cos α)＜f (cos β)C ．f (cos α)＞f (sin β)D ．f (sin α)＜f (sin β)解析 因为α、β是锐角三角形的两个内角， 所以α＋β＞π2，所以π2＞α＞π2－β＞0， 所以cos α＜cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝sin β.而cos α∈(0,1)，sin β∈(0,1)， f (x )在[－1,1]上是减函数， 故f (cos α)＞f (sin β)． 答案 C9．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()．①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角相等；②各个面是全等的正三角形，相邻的两个面所成的二面角相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点的任两条棱的夹角相等；④各棱长相等，相邻两个面所成的二面角相等．A．①④B．①②C．①②③D．③解析类比推理原则是：类比前后保持类比规则的一致性，而③④违背了这一规则，①②符合．答案 B10．设P＝1log211＋1log311＋1log411＋1log511，则()．A．0<P<1 B．1<P<2C．2<P<3 D．3<P<4解析P＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120，1＝log1111<log11120<log11121＝2，即1<P<2.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 11．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：当n≥2时，有________．解析左边为n项和：1＋122＋132＋…＋1n2，右边为分式，易知n≥2时为2n－1n.答案1＋122＋132＋…＋1n2<2n－1n12．若三角形内切圆半径为r，三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S＝12r(a＋b ＋c )，根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，其四个面的面积分别为 S 1、S 2、S 3、S 4，则四面体的体积V ＝________.解析 由类比推理，以球心为顶点，四个面分别为底，将四面体分割为4个棱锥，得证．答案 13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则A D →＝12(A B →＋A C →)，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为_______________________________．答案 在三棱锥A -BCD 中，G 为△BCD 的重心，则A G →＝13·(A B →＋A C →＋A D →) 14．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，则S 2、S 3、S 4分别为__________，由此猜想S n ＝________. 解析 由S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列， 得2S n ＋1＝S n ＋2S 1，∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.令n ＝1，则2S 2＝S 1＋2＝1＋2＝3⇒S 2＝32， 同理分别令n ＝2，n ＝3， 可求得S 3＝74，S 4＝158.由S 1＝1＝21－120，S 2＝32＝22－121， S 3＝74＝23－122，S 4＝158＝24－123，猜想S n ＝2n －12n －1.答案 32，74，158 2n－12n －1三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角(不妨设C 为最大角)， ∵B >A ≥60°，C >A ≥60°，∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾， ∴假设错误，原结论成立，即A <60°. 16．(10分)设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值， 归纳并猜想出结果． 解 当n ＝1,2,3,4时， 计算得原式的值分别为： S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝nn ＋1.证明 ∵11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 17．(10分)先解答(1)，再通过类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋tan x1－tan x；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．(1)证明 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x； (2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下： ∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．18．(12分)若a 1>0、a 1≠1，a n ＋1＝2a n1＋a n(n ＝1,2，…，)(1)求证：a n ＋1≠a n ；(2)令a 1＝12，写出a 2、a 3、a 4、a 5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n ； (3)证明：存在不等于零的常数p ，使⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋p a n 是等比数列，并求出公比q 的值．(1)证明 (采用反证法)．假设a n ＋1＝a n ，即2a n1＋a n ＝a n ，解得a n ＝0,1.从而a n ＝a n －1＝……＝a 1＝0,1， 与题设a 1>0，a 1≠1相矛盾， ∴假设错误． 故a n ＋1≠a n 成立．(2)解 a 1＝12、a 2＝23、a 3＝45、a 4＝89、a 5＝1617，a n ＝2n －12n －1＋1.(3)证明 因为a n ＋1＋p a n ＋1＝(2＋p )a n ＋p2a n ，又a n ＋1＋p a n ＋1＝a n ＋pa n·q ，所以(2＋p－2q)a n＋p(1－2q)＝0，因为上式是关于变量a n的恒等式，故可解得q＝12、p＝－1.19．(12分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n＋2n.(1)设b n＝a n2n－1.证明：数列{b n}是等差数列；(2)求数列{a n}的前n项和S n.(1)证明∵a n＋1＝2a n＋2n，∴a n＋12n＝a n2n－1＋1，∵b n＝a n2n－1，∴b n＋1＝b n＋1，即b n＋1－b n＝1，b1＝1，故数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知，b n＝n，a n＝n2n－1，则S n＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，2S n＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，两式相减，得S n＝n·2n－1·20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1.。