浙江数学竞赛(微积分)试题

2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题经管类一、计算题（每小题14分，满分70分）1求极限lim log ()abx x x x →+∞+。

2．设()sin ax f x e bx =（,a b R ∈为常数），求()(0)n f 。

装 订 线3．计算 0sin d n x x x π⎰（n 为正整数）。

4．求积分2241d 1x x x x+++⎰5．设函数21()2af x x x=+，0x >，常数0a >，试求最小的常数a ，使得()6f x ≥。

二、（满分20分）证明：111ln 1lnni n n n i =+<<+∑，n +∈三、（满分20分）求2211(21)2nn nn C n ∞=-∑的值。

四、（满分20分）在草地中间有一个半径为R 的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为,(02)kR k <<，求山羊能吃到草的草地面积。

五、（满分20分）（1）求极限lim 2coscos cos 482n n n πππ→∞（2）证明2π=经管类一、计算题 1、若a b ≥l i m l o g (a b x x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab a x xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理，当a b <时，l i m l o ga b x x x x →+∞+b=，所以l i m l o g a b x x x x →+∞+m a x (a b = 2、解：()sin cos ax ax f x ae bx be bx e bx bx ⎫'=+=+⎪⎭)()cos sin sin cos sin ax e bx bx bx θθθ=+=+arcsin θ⎛⎫==⎝同理)()sin()cos()f x ea bxb bx θθ''=+++22()sin(2)ax a b e bx θ=++可得()()()()()()/2/222()22sin()0sin()n n nax n f x a b e bx n f a b n θθ=++⇒=+3、解：sin d n x x x π⎰()011sin sin nnj j j j x x dx x j xdx ππππππ-====+-∑∑⎰⎰()()201sin d 21212nj n x x x j n n n n n n πππππ==+-=++-=+∑⎰4、解：2442222121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++-()()22242221111111d d d 121121/23/41/23/4x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪++++-+⎝⎭++-+⎝⎭⎰⎰⎰1r c t a r C =5、解：2()0a f x x x '=-=0x = 032()10a f x x ''=+> ()f x ∴f==6= 即8a =时 ()6f x ≥，且在02x =时，(2)6f = 所以min 8a =二、证明：显然11111d d j j jj x x x j x+-<<⎰⎰ 2j ≥1 1122111111d 1d 1ln nn n j n j j j j x x n j j x x -===∴=+<+=+=+∑∑∑⎰⎰另一方面111111111111d ln nn n j j j j j x n j jn x n n --+====+>+=+∑∑∑⎰三、解：[]2222221221(2)!(22)!(22)!1(21)2(21)2(!)2!(1)!22(1)!nn n n n n n n n C n n n n n nn ----===---- 而2212(21)122n n n n -=- 122222222111(21)222nn nn n n nn n C C C n ---∴=-- 而22102nn n C → ∴原级数1=四、解：以过拴羊点与池塘圆心为x 轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为222()x R y R -+=而羊能跑的最大圆周为2222x y k R +=，易知在22R x k =时，两圆有两个交点2222012d 2R k S k R x π∴=+⎰222222arcsin (arcsin 22x x R R k R k R x R R k kR R π-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭2222arcsin 22k k R k R π=+222221arcsin 14222k k R R R π⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222arcsin arcsin 12222k k k R R k R R ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭五（1）解：cos cos cos cos cos cos sin /sin 48248222n n n n n πππππππ=1121111cos cos cos sin cos sin 4822442sin 2sin 2sin 222n n n n n n nn ππππππππ----===∴原极限22lim2sin2n n nππ→∞==（2）cos4π=c o s 8π===c o s 2n π==2cos cos cos 482n ππππ==书中横卧着整个过去的灵魂——卡莱尔人的影响短暂而微弱，书的影响则广泛而深远——普希金人离开了书，如同离开空气一样不能生活——科洛廖夫书不仅是生活，而且是现在、过去和未来文化生活的源泉——库法耶夫书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者———史美尔斯书籍便是这种改造灵魂的工具。

2008年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）一、计算题(每题12分，共60分) 1．求123sin 0lim 3x x xxx e e e →⎛⎫++⎪⎝⎭2．计算cos(3)sin(5)dxx x +⋅+⎰3．设3(2008)()arcsin ,(0)f x x x f =求4．求曲线2() 1ln 2ds tts x t y t e -=⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰在1t =处的切线方程。

5．求曲线[]sin ,,2y x x x ππ=∈与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体体积。

二、（20分）（1）证明()2n n f x x nx =+-（n 为正整数）在(0,)+∞上有唯一正根n a ； （2）计算lim(1)nn x a →∞+。

三、（20分）已知t 为常数，且[0,2]max cos x x x t ππ∈+-=，求t 的值。

四、（20分）分析级数321sin 1n n n π∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑的收敛性。

五、（15分）证明：对234, 102!3!4!x x x x x ∀∈++++>R 。

六、（15分）已知120,0a a >> （1）若存在数列{}n y 满足条件：1122()0;()lim 0;()n n n n n n a y b y c y a y a y ++→∞>==+ 1,2,3n =⋅⋅⋅证明: 121a a +>；(2)若121a a +>，证明存在满足条件（a ）、（b ）、（c ）的数列{}n y 。

参考答案（经管类）一、1.解：原极限2301limln()sin 3x x xx e e e x e→++=而232300113lim ln()lim 2sin 33x x x x x x x x e e e e e e x x →→++++-== ∴原极限2e =2.解：()()()()()cos 3sin 5cos 3sin 3cos 2cos 3sin 2x x x x x ++=++++⎡⎤⎣⎦∴原积分()()()2111ln tan 3tan 2tan 3cos 2sin 2cos 3cos 2dx x C x x ==++++++⎰3.解：()arcsin x '=,()2121!!12!n n n n x n +∞=-=+∑∴()()21121!!arcsin 2!21n nn n x x x n n +∞+=-=++∑ ()()()244121!!2!21n n n n f x x x n n +∞+=-=++∑ ∴()()()200810022003!!02008!21002!2005f=4. 解：1dx t dt -= ()4()22 122tt ts dy ee t sds dt --=++⎰112t dye dx-=∴=+ 12t y == 10t x==∴曲线在1t =处的切线方程为()122y e x --=+5. 解： 2 222 222sin 2cos V x y dx x xdx x xπππππππππ==-=⎰⎰2 233 4cos 104sin 108x xdx xdx πππππππππ-=+=-⎰⎰二.（1）证明：1()n n f x nxn -'=+ ＞0 ()f x ∴在()0,+∞上严格单调增且1()n f n ＜0，2()n f n＞0，n f ∴在()0,+∞上有唯一的零点n a （2）易知，当充分大时22n ＞222()n n n -2222(,)n a n n n ∴∈- ∴由夹逼定理知()2lim 1nn n a e →∞+=三、解：记()cos f x x x t =+-，()1sin 0f x x '=-≥[]{}{}0,2 1 max ()max (0),(2)max 1,2121 x t t f x f f t t t t ππππππ∈->⎧∴==-+-=⎨+-≤⎩[]0,2max ()1x f x t πππ∈∴=⇒=+四、解：()331222sin sin 1sin 111n n n n n n n n n πππ-⎛⎫⎛⎫+-==- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭当n →∞时3221sin 0sin 11n n n n n ππ+∞=∴++∑ 收敛 当n →∞时3221sin sin 11n n n n n n πππ+∞=∴++∑ 发散 ∴原级数条件收敛。

2012浙江省高等数学（微积分）竞赛试题文专类一计算题：（每小题14分，满分70分）1．求极限lim log ()abx x x x →+∞+。

2．设()sin ax f x e bx =（,a b R ∈为常数），求()(0)n f 。

装 订线3．计算2sin dx x xπ⎰。

4．求不定积分24d1xx x x++⎰。

5．极值设函数21(), 02af x x x x=+>，常数0a >，试求最小的常数a ，使得()6f x ≥。

二、（满分20分）设p R ∈，且1p ≥，证明0,0a b ∀≥≥有22pp p a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭。

三、（满分20分）验证44 00 4 d (cos sin )cos (cos sin )cos x x x x x x x x xπππ-=++⎰⎰，并计算积分4d (cos sin )cos xx x x xπ+⎰四、（满分20）在草地中间有一个半径为R 的圆形池塘，池塘边拴着一只山羊，拴山羊的绳子长为,(02)kR k <<，求山羊能吃到草的草地面积。

五、（满分20分）设函数()f x 在(0,)+∞内可导，且极限lim ()x f x →+∞与lim ()x f x →+∞'都存在，证明lim ()0x f x →+∞'=。

文专类一、计算题 1、若a b ≥l i m l o g (a b x x x x →+∞+l i m l o g(1)l i m l o g (1a b ab ax xx x x x a x a --→+∞→+∞=+=++= 同理，当a b<时，l i m l o ga b x x x x →+∞+b=， 所以l i m l o g a b x x x x →+∞+m a x (a b = 2、解：()sin cos ax ax f x ae bx be bx e bx bx ⎫'=+=⎪⎭)()cos sin sin cos sin ax e bx bx bx θθθ=+=+θ⎛⎫==⎝同理)()sin()cos()f x ea bxb bx θθ''=+++22()sin(2)ax a b e bx θ=++3、220sin d sin d sin d x x x x x x x x x ππππ=-⎰⎰⎰2200cos sin d cos sin d x x x x x x x xππππππ=-++-⎰⎰22244ππππ=++++=+4、224221111d d d 131212()24xx t x t t C xxt t t ===+++++++⎰⎰⎰2C =二、证明：记()p f x x =由台劳公式()2()()2228a b a b a b a b f a f f f ξ-++-⎛⎫⎛⎫'''=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()2()()2228b a a b a b b a f b f f f η-++-⎛⎫⎛⎫'''=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1p ≥ 2()(1)0p f x p p x -''=-≥ ()()22a b f a f b f +⎛⎫∴+≥ ⎪⎝⎭三、解：()4d /4(cos sin )cos x x x x t x x x ππ===-+⎰⎰令4/4d )d (cot sin )cos tt t t tππ-=-=+⎰所以41d (cxx t x d x t t tx x xxπππππ==+++⎰⎰⎰()/40ln 1tan ln 288x πππ=+=四、解：以过拴羊点与池塘圆心为x 轴，拴山羊点为原点，则池塘边界圆为222()x R y R -+=而羊能跑的最大圆周为2222x y k R +=，易知在22R x k =时，两圆有两个交点2222012d 2R k S k R x π∴=+⎰222222arcsin (arcsin 22x x R R k R k R x R R k kR R π-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭2222arcsin 22k k R k R π=222221arcsin 14222k k R R R π⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222arcsin arcsin 12222k k k R R k R R ππ⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭五、证明：由中值定理：(1)()(),(,1)f x f x f x x ξξ'+-=∈+lim ()x f x →+∞' 存在 ()lim ()lim ()lim (1)()0x x x f x f f x f x ξ→+∞→+∞→+∞''∴==+-=。

湖州师范学院高等数学（微积分）竞赛试题答案（数学专业）一、 计算题（每小题15分，满分60分）1. 计算：222sin )(cos 112lim2xe x xxxx -+-+→。

解：),(082114422x xxx+-+=+)(0811124422x x x x+=+-+。

又 )(023)](01[)](0211[cos 2222224x x x x x x e x x+-=++-+-=-，故 222sin )(cos 112lim2xe x xxxx -+-+→121sin )(023)(081lim sin 1)(023)(081lim 222244022222440-=⋅+-+=⋅⋅+-+=→→x x xx x x x x x x x x x x x 2．设2006)1(lim=--∞→ββαn nn n ，试求βα,的值。

解：ββα)1(--n n n=)1(0))1(01(1)11(11nn nnn nnn⋅+=+--=--+---βββαβαββα，显然由条件知0≠β，而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=+->+-∞=⋅++-∞→,01,0,01,1,01,)1(0lim1βαβαββαββαn n n n 因此有,01=+-βα且20061=β，故20061,20062005=-=βα3. 求积分⎰+π2cos1sin dx xx x解：⎰+π2cos1sin dx xx x =⎰+22cos1sin πdx xx x +⎰+ππ22cos1sin dx xx x令t x -=π，有⎰⎰⎰+-=-+---=+222222c o s 1s i n )()(c o s 1)s i n ()(c o s 1s i n ππππππππdt tt t dt t t t dx xx x=⎰⎰+-+2222cos1sin cos1sin πππdx xx x dx xx所以⎰+π2cos1sin dx xx x =4|)(cos cos1sin 2222πππππ=-=+⎰x arctg dx xx4．计算二重积分⎰⎰Dy x dxdy e},max(22，其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D 。

2006年浙江省高等数学（微积分）竞赛试题及解答一．计算题1. 求()1lim 2xx x e x →∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.解法一 令1t x =，原式011lim 2t t e t t →⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()0211limtt t e t→-+=()0lim 211tt t e →=+=；解法二 原式112lim 1x x x e x e x -→∞⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭121lim1xx e x x-→∞-+=122221lim1xx e xxx-→∞-+=-1lim 21x x e -→∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.2. 求()()2ln 2ln 132x x dx x x +-+++⎰.解：原式()()()11ln 2ln 112x x dx x x ⎛⎫=+-+-⎪++⎝⎭⎰ ()()()()()()ln 2ln 1ln 2ln 1x x d x x =-+-++-+⎰()()21ln 2ln 12x x C =-+-++⎡⎤⎣⎦.3. 求曲线222,arctan ,y x t t y t e e ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩在0t =处的切线方程.解：当0t =时，()00x =，()02y =，由22x t t =-，22dx t dt=-，2t dx dt==-，由2arctan yy t e e +=，21arctan 01yy t y e y t''+⋅+=+，该式中令0t =，2y =， 解出()220t dy y dt e='==-，因此201t dy dxe==，所求曲线()y fx =在0t =处的切线方程为()2120y x e-=-，即212y x e=+.4. 设()1x fx x=+，求()()10fx .解：()()()112211111x fx x x x-+-==+-++()()12f x f x =+，()()1121112f x x -'=+，()()1221111122f x x -⎛⎫''=-+ ⎪⎝⎭，，()()()1101021111191222f x x -⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1122112f x x --'=-+，()()1222111122f x x --⎛⎫''=---+ ⎪⎝⎭，，()()()1101022111191222f x x --⎛⎫⎛⎫=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()10101012fx f x f x =+()()()()()()91019212210101113171131719122x x ----=⋅+-⋅⋅+()192101317191121x x -⋅⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭ .二．设()36xxfx e=-，问()0fx =有几个实根？并说明理由.解：()22xxf x e '=-，()xf x e x ''=-，显然()0x f x e x ''=->，(),x ∈-∞+∞，()f x '在(),-∞+∞上严格递增； ()11102f e '-=-<，()010f '=>，由零点定理，存在唯一()01,0x ∈-，使得()00f x '=，即0x 为()f x 的唯一的驻点.同时，0x 为()fx 在(),-∞+∞内唯一的极小值点，也是最小值点， 又在()1,0-，()306xxf x e=->，故方程()0fx =在(),-∞+∞内无实根.三．已知()323lim1x x x ax b →∞++-=，求a ，b 的解.解：由条件，可得()32310lim1x x x ax b x→∞=++--3211lim 1x a x x →∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭1a =-， 于是1a =，从而()323lim1x b x x x →∞=++-3211lim 11x x x x →∞⎛⎫=++- ⎪⎝⎭221332211lim 1111111x x xx x x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13=.四．求由0y =，1y x e=，ln y x =围成的平面图形D 的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体体积. 解：1y x e=与ln y x =的交点坐标为2x e =，1y =，在()20,e内，1lnx x e>，所以D 的面积221ln e ex A dx x dx e=-⎰⎰()22321121ln 132ee x x x e =⋅--()2136e=-；或者()1222yA ee ydy =-⎰122301123yeey ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ()2136e=-；D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积222211ln 4e ex V dx xdx eππ=-⎰⎰()221l n l n2224e e x x x x ππ=--+⎡⎤⎣⎦2π=；或者()12222yV y ee ydy π=-⎰1222yydee ππ=-⎰1221222y y e e πππ⎛⎫=--=⎪⎝⎭.五．设()f x 有连续的二阶导数，证明：()()()()000x f x f f x tf x t dt '''=++-⎰.证明：因为()0xtf x t dt ''-⎰()()0x td f x t '=--⎰()()00x xf f x t dt ''=-+-⎰()()()00xd xf f x t dt dt'=-+--⎰()()()00xf f f x '=--+，所以()()()()000x f x f f x tf x t dt '''=++-⎰.六．证明：(),x ∀∈-∞+∞，sin sin 2sin a x b x x +≤的充分必要条件为21a b +≤. 证明：必要性设sin sin 2sin a x b x x +≤，两边分别约去sin 0x ≠， 由此，得2cos 1a b x +≤，令0x →，取极限，得21a b +≤，在2cos 1a b x +≤中，令x π→，取极限得21a b -+≤， 当a ，b 同号时，221a b a b +=+≤， 当a ，b 异号时，221a b a b +=-≤. 充分性设21a b +≤，因为2cos 21a b x a b +≤+≤， 两边同时乘以sin x ，所以sin sin 2sin a x b x x +≤.。

2016浙江省高等数学（微积分）竞赛试题(文专类)一计算题：（每小题14分，满分70分）1．21sin 0lim(cos )xx x x +→.方法一：21ln cos sin 0lim xxxx e+→=21limln cos x x xx e →+=ln cos (1)tan lim2x x x xxe→-+=201tan tan cos lim2x x x x xe →+---=12e -=方法二:21ln cos sinlim xxxx e +→=2120l i mx x x x e +-→=（）12e-=2．求不定积分221cos (1sin )x xdx x x -+⎰. 解：()1sin xdx x x '=+⎰1sin x C x x=++3．设322x y x=-，求在()1,1的二阶导数值(1)y ''.解：23(2)y x x -=222(2)3yy x y x '--= 2232(2)x y y y x +'∴=-22()(2)2(2)46y x yy x yy x ''''-+--= 232(2)()(2)x yy x y y y x ''+--''=- (1)3y ''∴= 4．求积分112min(ln(1),)2xx dx -+⎰. 解：令()ln(1)2x F x x =+- 111(),(,1)122F x x x '=-∈-+ 1()0,(,1)2F x x '∴>∈- 0ln(10)02+==1ln(1)02min(ln(1),)2012x x x x xx ⎧+-≤<⎪⎪+=⎨⎪≤≤⎪⎩112011021211220012min(ln(1),)2ln(1)2ln(1)141[(1)ln(1)]42ln 214xx dx x x dx dx x x x x dx x x x x -----+=++=+-++=++-+-=⎰⎰⎰⎰5．已知32()sin cos f x x x x =+- ，求)(x f 零点的个数。

2010年浙江省大学生高等数学(微积分竞赛试题
(经管类
计算题(每小题14分满分70分
1. 计算
n n →∞
2. 计算2(1sin cos
cos x e x x dx
x +∫
3. 设为锐角(含直角三角形,求ABC ∆sin sin sin cos cos cos A B C A B C
++−−−的最大值和最小值。

4. 设[]x 为小于等于的最大整数,
x {(,|13,24}D x y x y =≤≤≤≤,求[]D
x y dxdy +∫∫。

5. 设连续,满足f 20((x
x t f x x e f t d −′=+∫t ,求(0f ′。

(本题满分20分如图设有一个等边三角形,内部放满排半径相同的圆,彼此相切, 记n A 为等边三角形的面积,为n 排圆的面积之和,求n A lim
n n A A
→∞。

(本题满分20分设((x
f x e P x =,其中为5次多项式,证明
(P x (1必有极值点;
(f x (2必有奇数个极值点。

(f x
(本题满分20分证明:
22
22
1
0,
t x
x
x e dt e
x
+∞−−∀><
∫。

（本题满分 20 分）定义数列 {an } 如下： a1 = 求 lim an 。

n →∞ 1 1 , an = ∫ max{an −1 , x}dx, n = 2,3, 4,L ， 0 2 6。

2002.12.7年浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（经管类）题 号 一二三四五六总分得 分 评卷人一．计算题（每小题5分，满分30分）1． 1．1．求极限01cos lim (1)(11)x x xe x →--+-。

2．求积分|1|Dxy dxdy -⎰⎰，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。

3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。

学校姓名准考证号 专业装订线4．设()f x 连续，且当1x >-时，2()[()1]2(1)xxxe f x f t dt x +=+⎰，求()f x 。

5．设211arctan 2nn k S k ==∑，求lim n n S →∞。

6．求积分12121(1)x xx e dx x++-⎰。

学校姓名准考证号专业装订线二．（本题满分15分）求平面221x y z +-=含在椭圆柱体22149x y +=内的面积。

三．（本题满分20分）证明：220sin()0x dx π>⎰。

四．（本题满分20分）设二元函数(,)f x y 有一阶连续偏导数，且(0,1)(1,0)f f =.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程(,)(,)0yf x y x f x y x y∂∂-=∂∂。

学校姓名准考证号 专业装订线五．（本题满分15分）（非数学类做）设{},{}n n a b 为满足1,1n na b n ea e n +=+≥的两个实数列，已知0(1),n a n >≥且1n n a ∞=∑收敛.证明：1nnn b a ∞=∑也收敛。

六．（本题满分15分）已知函数)(x f 在[ 0, 1 ]上三阶可导，且1)0(-=f ，0)1(=f ，0)0(='f ，试证至少存在一点)1,0(∈ξ，使设11=a ，12=a ，n n n a a a 3212+=++，1≥n ，求n n n x a ∞=∑1的收敛半径、收敛域和函数。

2011浙江省高等数学（微积分）竞赛试题
数学类
一、计算题（每小题14分，满分70分）
1.若。

产 " = 0,1,2,••盘满足=0,求极限
lim（＜20Vn + a x J〃 + l + % J〃 + 2 H a k+ k.
n—
2.求Jmax（l?.r,x2,■ ■ ■,x n\lx.
詩+ 2 2=i
3.设x,vsR+,求方程组I 的解.
7.x3+14y3+2k3 =6
4.计算jj, ^4x + -Jydxdy.
Vx+7y＜l
5.设球面J +伏+乙2 = R2上的曲线段C在xQy平面上的投影曲线为：
X = R COS t cos（4z）71亠
."（0d—）,且。

的密度与该点到z轴的距离成正比，比例常数为k, y = 7? cos t sin（4r） 2
求C的质量.
二、（满分20分）证明：卩3] +疽=卩2] +工3存在一个非整数解，其中[x]表示不大于X 的最大整数.
三、（满分20分）设曲面S为半径为4的球血挖去一个小球冠剩下的部分（如图），如果图中所示角度＜ze （0,歹），求S的形心与球心的距离.
四、（满分20分）设/'连续，函数g（，）= £优00-，酒,证明累背g。

）= max{g（0）,g
（l）}.
五、（满分20分）设正项级数z%收敛，证明Zd时2收敛•
n=l n=l。