辽宁省实验中学2016_2017学年高二数学下学期期中试题理201810080211

辽宁省实验中学2016-2017学年度下学期期中阶段测试高二数学（文科）试卷考试时间120分钟 试题满分150分一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.已知复数2,()z m i m R =+∈，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ） A ． 1 B ．2 C ．-1 D ．-22.设复数z 满足1132z i z +=--，则||z =（ ） A ．5BC ．2D3.下列关于命题的说法正确的是（ ） A ．函数1y x x=+的最小值为2； B ．命题“2,13x R x x ∀∈+>”的否定是“2,13x R x x ∀∈+≤”； C ．“2x >”是“112x <”的充要条件； D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<，23x x <4. 反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于 60°”反设正确的（ ）. A.假设三内角都不大于 60° B.假设三内角都大于 60° C.假设三内角至多有一个大于 60° D.假设三内角至多有两个大于 60°5.王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分条件D ．必要条件 6.已知一组样本数据(),i i x y 如表设其线性回归方程y bx a =+ ,若已求出0.7b =，则线性回归方程为（ ） A ．0.70.35y x =+B ．0.7 4.5y x =+ C ．0.70.35y x =-D ．0.7 4.5y x =- 7.下面几种推理是类比推理的是 （ ）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则180A B ︒∠+∠= B ．由平面三角形的性质，推测四面体的性质C ．某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53个团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员。

辽宁省实验中学分校2016—2017学年度下学期期中测试 数学学科（理科）高二年级 命题人:简书 校对人:王净第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2a ＞0”，你认为这个推理 ( )A ．大前题错误B ．小前题错误C ．推理形式错误D ．是正确的2. 若复数i i a z 21-=（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A ．1=a B ．1-=a C ．0=a D ．1±=a 3．已知随机变量x 服从二项分布x ～)31,6(B ，则)2(=x P 等于 ( )A.80243 B. 4243 C. 13243 D. 13164．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为 ( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数 5. 函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()3(<'+x f x 的解集为 ( )A. (,3)(1,1)-∞-⋃-B.(,3)-∞-C. (,1)(1,)-∞-⋃+∞D. (1,)+∞6．高三（一）班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 ( ) A ．1800B ． 3600C ．4320D ．50407．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为( ) A ．恰有1只坏的概率 B ．恰有2只好的概率C ．4只全是好的概率D ．至多2只坏的概率8．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于 ( )A ．132n + B ．11331n n ++ C ．113132n n +++ D ． 11133132n n n ++++ 9．随机变量X 的分布列为()(),1,2,3,41c P X k k k k ===+，其中c 为常数，则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为 ( )A ．45B ．34C ．23D ．5610．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子．现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数有 ( )A ．10B ．20C ．30D ．40 11．若X 是离散型随机变量，32)(1==x X P ，31)(2==x X P ，且21x x <。

辽宁省实验中学分校2016-2017学年高二下学期期中考试（理）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以2a ＞0”，你认为这个推理 ( )A ．大前题错误B ．小前题错误C ．推理形式错误D ．是正确的2. 若复数iia z 21-=（i 是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ( )A ．1=aB ．1-=aC ．0=aD ．1±=a 3．已知随机变量x 服从二项分布x ～)31,6(B ，则)2(=x P 等于 ( )A.80243 B. 4243 C. 13243 D. 13164．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为 ( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数 5. 函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()3(<'+x f x 的解集为 ( )A. (,3)(1,1)-∞-⋃-B. (,3)-∞-C. (,1)(1,)-∞-⋃+∞D. (1,)+∞6．高三（一）班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 ( ) A ．1800B ． 3600C ．4320D ．50407．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为( ) A ．恰有1只坏的概率 B ．恰有2只好的概率310C ．4只全是好的概率D ．至多2只坏的概率8．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于 ( )A ．132n + B ．11331n n ++ C ．113132n n +++ D ． 11133132n n n ++++9．随机变量X 的分布列为()(),1,2,3,41cP X k k k k ===+，其中c 为常数，则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的值为 ( )A ．45B ．34C ．23D ．5610．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子．现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数有 ( )A ．10B ．20C ．30D ．40 11．若X 是离散型随机变量，32)(1==x X P ，31)(2==x X P ，且21x x <。

辽宁省实验中学分校2015—2016学年度下学期期中考试高二数学理试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若f′（x 0）=﹣3，则=（ ）A ．﹣3B ．﹣12C ．﹣9D ．﹣6 3．（1﹣2x ）4展开式中含x 项的系数（ ）A ． C ．﹣8 D ．﹣32 4，其中,a b R ∈,i 是虚数单位，则b a +的值（ ） A ．－3B ．－1C ．1D ．3 5．22sin xdx -=⎰（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．-86．已知自然数x 满足322121326x x x A A A +++=+，则x =（ ） A ．3 B ．5 C ．4 D ．67．某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要A ．408B ．480C ．552D ．816 8．函数2ln x y x =的图像在1x =处切线的斜率为（ ） A ．0 B ． 2 C ．1 D ．2ln 2 9．设函数()2x x f x e e x -=--下列结论正确的是（ ） A ．()()min 20f x f = B ．()()max 20f x f =C ．()()2f x -∞+∞在，上递减，无极值D ．()()2f x -∞+∞在，上递增，无极值 10．已知关于x 的二项式32，常数项为80，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1± C ．2 D ．2±11．数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案有（ ）种AB ．436393123C C C CD ．336393124C C C 12．函数()f x 的导函数为()f x '，对任意的x R ∈，都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A.)3(ln 2)2(ln 3f f >B.)3(ln2)2(ln 3f f <C.)3(ln 2)2(ln 3f f =D.)2(ln 3f 与)3(ln 2f 的大小不确定 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上。

2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．B．C．1 D．﹣12．（5分）不等式|2x﹣3|＜5的解集与﹣x2+bx+c＞0的解集相同，则b+c=（）A．5 B．6 C．7 D．83．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．a∈[0，6]B． C．a∈[﹣6，6]D．a∈[1，2]4．（5分）用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5．（5分）已知f（x）=•cosx，则f（π）+f′（）=（）A．0 B．C．D．﹣6．（5分）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项D．2k项8．（5分）已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）9．（5分）曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．ln2 B．ln3 C．2ln2 D．10．（5分）下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列11．（5分）已知函数f（x）=x3+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．f（﹣2）＞e3f（1）D．f（﹣2）＜e3f （1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）设i是虚数单位，则=．14．（5分）dx=．15．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是．16．（5分）观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为．三、解答题（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（10分）（1）设a，b是两个不相等的正数，若+=1，用综合法证明：a+b ＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：＜．18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．20．（12分）已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（2）若当m=0时，对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣x，a∈R且a≠0．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1时，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：设=bi（b≠0），则a﹣i=（2+i）•b i=﹣b+2bi，∴，解得a=．故选：A．2．（5分）不等式|2x﹣3|＜5的解集与﹣x2+bx+c＞0的解集相同，则b+c=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由不等式|2x﹣3|＜5得：﹣5＜2x﹣3＜5，解得﹣1＜x＜4，则根据题意可知方程﹣x2+bx+c=0，即x2﹣bx﹣c=0的两个根为﹣1和4，所以，解得b=3，c=4，∴b+c=7．故选：C．3．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．a∈[0，6]B． C．a∈[﹣6，6]D．a∈[1，2]【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+2x是R上的单调递增函数，∴f′（x）=3x2﹣2ax+2≥0，∴△=4a2﹣24≤0，解得﹣≤a≤，函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是：[1，2]．故选：D．4．（5分）用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．5．（5分）已知f（x）=•cosx，则f（π）+f′（）=（）A．0 B．C．D．﹣【解答】解：f′（x）=﹣cosx+•（﹣sinx），故f（π）=cosπ=﹣，f′（）=﹣cos﹣sin=﹣，故f（π）+f′（）=﹣﹣=﹣，故选：D．6．（5分）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值为﹣2，故实数a的取值范围是[﹣2，+∞），故选：B．7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．8．（5分）已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：f′（x）=ax2+2x+a，由题意得，解得：a∈（﹣1，0）∪（0，1），故选：D．9．（5分）曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．ln2 B．ln3 C．2ln2 D．【解答】解：曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是：==[ln（x﹣1）﹣ln（x+1）]=（ln2﹣ln4）﹣（ln1﹣ln3）=，故选：D．10．（5分）下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列【解答】解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；∵由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，是由特殊到一般故B中推理为归纳推理；∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；∵由通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列（大前提），数列{﹣2n}满足这种形式（小前提），则数列{﹣2n}为等比数列（结论）可得D中推理为演绎推理．11．（5分）已知函数f（x）=x3+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+3x，其定义域为R，关于原点对称，有f（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，又由f′（x）=3x2+3＞0，则f（x）为增函数，若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则f（2m+mt2）＜﹣f（4t），即2m+mt2＜﹣4t对任意实数t≥1恒成立，2m+mt2＜﹣4t⇔m＜﹣，即m＜﹣，又由t≥1，则t+≥2，则﹣有最小值﹣，若m＜﹣对任意实数t≥1恒成立，必有m＜﹣；即m的取值范围为（﹣∞，﹣）；故选：D．12．（5分）函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．f（﹣2）＞e3f（1）D．f（﹣2）＜e3f （1）【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，而2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，故g′（x）＜0在R恒成立，g（x）在R递减，故g（1）＞g（2），即f（1）＞，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）设i是虚数单位，则=﹣1﹣i．【解答】解：=．故答案为：﹣1﹣i．14．（5分）dx=4π．【解答】解：由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，=×42×π=4π．故dx=S扇形故答案为：4π．15．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是20．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19，∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20，故答案为：20．16．（5分）观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为．【解答】解：由归纳推理可得，第n个不等式为．故答案为．三、解答题（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（10分）（1）设a，b是两个不相等的正数，若+=1，用综合法证明：a+b ＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：＜．【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以a+b=（a+b）（）=1+1+＞2+2=4．所以a+b＞4 （5分）（2）因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要证明原不等式成立，只需证明＜a，即证b2﹣ac＜3a2，又b=﹣（a+c），从而只需证明（a+c）2﹣ac＜3a2，即证（a﹣c）（2a+c）＞0，因为a﹣c＞0，2a+c=a+c+a=a﹣b＞0，所以（a﹣c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立．（12分）18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2即：1﹣x2＜0或或，解得x＞1或x＜﹣1，或∅，或x＞1或x＜0．∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．（2）∵g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x），∴|x﹣1|+|x+3|＜m．因此g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空．令h（x）=|x﹣1|+|x+3|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+3|）min＜m，由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4，∴h（x）min=4，∴m＞4．19．（12分）已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．【解答】解：（1）因为f′（x）=x2﹣2ax+b，由f′（0）=f′（2）=1即，得，则f（x）的解析式为，即有f（3）=3，f′（3）=4所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0．（2）由（1）f（x）=x3﹣x2+x，∴，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵x∈[﹣3，2]，∴g（x）的单调增区间为[﹣3，﹣1]，减区间为（﹣1，2]，∵，∴g（x）的最小值为﹣9．20．（12分）已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（2）若当m=0时，对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+（1+m），因为f（x）在（1，+∞）上为单调函数，则方程lnx+（1+m）=0在（1，+∞）上无实根，故1+m≥0，则m≤﹣1．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则对一切x∈（0，+∞）恒成立．设，则，当x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）在（0，+∞）上，有唯一极小值h（1），即为最小值，所以h（x）min=h（1）=4，因为对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成成立，故a≤4．21．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣x，a∈R且a≠0．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1时，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=﹣x2+lnx﹣x，x∈（0，+∞），，当f'（x）＞0时，，当f'（x）＜0时，，所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，当时，函数f（x）取极大值，无极小值．（2）令g（x）=f（x）﹣2ax=ax2+lnx﹣（1+2a）x，根据题意，当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0恒成立，，①当，时，g'（x）＞0恒成立，所以g（x）在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（1），+∞），所以不符合题意；③当a＜0时，x∈（1，+∞），恒有g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上是减函数，于是“g（x）＜0对任意x∈（1，+∞）都成立”的充要条件是g（1）≤0，即a﹣（2a+1）≤0，解得a≥﹣1，故﹣1≤a＜0，综上，a的取值范围是[﹣1，0）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2017-2018学年辽宁省实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列说法正确的是（）A．若f′（x0）=0，则f（x0）是函数f（x）的极值．B．若f（x0）是函数f（x）的极值，则f（x）在x0处有导数．C．函数f（x）至多有一个极大值和一个极小值．D．定义在R上的可导函数f（x），若方程f′（x）=0无实数解，则f（x）无极值．2．（5分）用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除3．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）图象可能为（）A．B．C．D．4．（5分）下列计算错误的是（）A．sinxdx=0B．dx=C．cosxdx=2cosxdxD．sin2xdx=05．（5分）用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域区分开，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A．400种B．460种C．480种D．496种6．（5分）已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）A．0B．﹣C．0或﹣D．0或17．（5分）定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 8．（5分）函数f（x）=ax3+（a﹣1）x2+48（a﹣2）x+b的图象关于原点对称，则f（x）在[﹣4，4]上（）A．单调递增B．单调递减C．[﹣4，0]单调递增，[0，4]单调递减D．[﹣4，0]单调递减，[0，4]单调递增9．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A．96种B．84种C．78种D．16种10．（5分）在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=（）A．4B．C．2D．11．（5分）定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．4B．3C．2D．112．（5分）已知函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为l：y=g （x），若函数f（x）满足∀x∈I（其中I为函数f（x）的定义域），当x≠x0时，（f（x）﹣g（x））（x﹣x0）＜0恒成立，则称x=x0为函数f（x）的“分界点”．已知函数f（x）满足f（1）=5，f′（x）=6﹣2x﹣，则函数f（x）的“分界点”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．（5分）由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为．14．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值范围是．15．（5分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有个五位数符合“正弦规律”．16．（5分）已知e为自然对数的底数，若函数g（t）=e t•（t3﹣6t2+3t+m）满足∀t∈[1，a]，∃m∈[0，5]，使g（t）≤t成立，则正整数a的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）若不等式m•lnx≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，求实数a的取值范围．18．（12分）在数列{a n}中，a1=，且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍（n∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（12分）如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子．（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积V1是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费更少，且所得无盖的盒子的容积V2＞V120．（12分）已知函数f（x）=m•（x﹣）+2lnx（m∈R）．讨论函数f（x）的单调性．21．（12分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，若f（x1）=f（x2）（x1≠x2）．证明：f′（）＜0．22．（12分）已知函数f（x）=xe ax+lnx﹣e，（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）设g（x）=lnx+﹣e，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．2017-2018学年辽宁省实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）下列说法正确的是（）A．若f′（x0）=0，则f（x0）是函数f（x）的极值．B．若f（x0）是函数f（x）的极值，则f（x）在x0处有导数．C．函数f（x）至多有一个极大值和一个极小值．D．定义在R上的可导函数f（x），若方程f′（x）=0无实数解，则f（x）无极值．【解答】解：若f′（x0）=0，则f（x0）是函数f（x）的极值，不正确，反例y=x3，中f′（0）=0，但是x=0不是函数的极值点；若f（x0）是函数f（x）的极值，可能是尖点，函数在这一点没有导数，说f（x）在x0处有导数不正确；函数f（x）至多有一个极大值和一个极小值．显然不正确，可能由多个极值．定义在R上的可导函数f（x），若方程f′（x）=0无实数解，说明函数是单调函数，则f（x）无极值．正确．故选：D．2．（5分）用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（）A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不能被5整除D．a，b有1个不能被5整除【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．故选：B．3．（5分）设f′（x）是函数f（x）的导函数，y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由导函数的图象知，x∈[0，2]时，f′（x）≥0；x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，f′（x）＜0；∴[0，2]是f（x）的单调递增区间，（﹣∞，0），[2，+∞）是f（x）的单调递减区间；所以符合该条件的是D．故选：D．4．（5分）下列计算错误的是（）A．sinxdx=0B．dx=C．cosxdx=2cosxdxD．sin2xdx=0【解答】解：∫﹣ππsinxdx=（﹣cosx）|﹣ππ=（﹣cosπ）﹣（﹣cos（﹣π）=0因为y=cosx为偶函数所以=π故选：D．5．（5分）用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域区分开，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A．400种B．460种C．480种D．496种【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21=120（种）．用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22=360（种）．综上得不同的涂法共有480种．故选：C．6．（5分）已知两条曲线y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，则x0的值为（）A．0B．﹣C．0或﹣D．0或1【解答】解：y=x2﹣1的导数为y′=2x，∴曲线y=x2﹣1在点x0处的切线斜率为2x0y=1﹣x3的导数为y=﹣3x2，∴曲线y=1﹣x3在点x0处的切线斜率为﹣3x02∵y=x2﹣1与y=1﹣x3在点x0处的切线平行，∴2x0=﹣3x02解得x0=0或﹣故选：C．7．（5分）定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A，B可能是下列（）的运算的结果．A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 【解答】解：通过观察可知：A表示“﹣”，B表示“□”，C表示“|”，D表示“○”，图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是B*D，A*C，故选：B．8．（5分）函数f（x）=ax3+（a﹣1）x2+48（a﹣2）x+b的图象关于原点对称，则f（x）在[﹣4，4]上（）A．单调递增B．单调递减C．[﹣4，0]单调递增，[0，4]单调递减D．[﹣4，0]单调递减，[0，4]单调递增【解答】解：∵f（x）=ax3+（a﹣1）x2+48（a﹣2）x+b的图象关于原点成中心对称，∴y=f（x）为奇函数，∴f（0）=b=0，f（﹣1）+f（1）=0，即﹣a+（a﹣1）﹣48（a﹣2）+a+（a﹣1）+48（a﹣2）=0∴a=1，∴f（x）=x3﹣48x，∴f′（x）=3x2﹣48=3（x2﹣16），当x∈[﹣4，4]时，f′（x）≤0，∴f（x）在[﹣4，4]上是单调减函数．故选：B．9．（5分）某校高一开设4门选修课，有4名同学选修，每人只选1门，恰有2门课程没有同学选修，则不同的选课方案有（）A．96种B．84种C．78种D．16种【解答】解：恰有2门选修课没有被这4名学生选择，先从4门课中任选2门，为C42=6种，四个学生选这两种课共有24=16中，排除四个人全选其中一门课程为16﹣2=14种，故有14×6=84种．故选：B．10．（5分）在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=（）A．4B．C．2D．【解答】解：因为tan==tan（+θ），且tanθ=∴+θ=kπ+，∴θ=kπ+，∴tanθ=tan（kπ+）=．∴=故选：D．11．（5分）定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，且不等式f（x）＞﹣xf′（x）在（0，+∞）上恒成立，则函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：定义在R的奇函数f（x）满足：f（0）=0=f（3）=f（﹣3），f（﹣x）=﹣f（x），x＞0时，f（x）＞﹣xf′（x），即f（x）+xf′（x）＞0，∴[xf（x）]'＞0，h（x）=xf（x）在x＞0时是增函数，又h（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x），∴h（x）=xf（x）是偶函数，∴x＜0时，h（x）是减函数，结合函数的定义域为R，且f（0）=f（3）=f（﹣3）=0，可得函数y1=xf（x）与y2=﹣lg|x+1|的大致图象如图，∴由图象可知，函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为l：y=g （x），若函数f（x）满足∀x∈I（其中I为函数f（x）的定义域），当x≠x0时，（f（x）﹣g（x））（x﹣x0）＜0恒成立，则称x=x0为函数f（x）的“分界点”．已知函数f（x）满足f（1）=5，f′（x）=6﹣2x﹣，则函数f（x）的“分界点”的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【解答】解：f（x）满足f（1）=5，f′（x）=6﹣2x﹣，可设f（x）=6x﹣x2﹣4ln|x|+t，由6﹣1﹣0+t=5，可得t=0，即有f（x）=6x﹣x2﹣4ln|x|，当x＞0时，y=6x﹣x2﹣4lnx，当x＜0时，y=6x﹣x2﹣4ln（﹣x），当x＞0时，由f′（x）＞0可得1＜x＜2，由f′（x）＜0可得x＞2或0＜x＜1，即f（x）的增区间为（1，2），减区间为（0，1），（2，+∞），作出函数f（x）（x＞0）的图象，当x＜0时，f′（x）=6﹣2x﹣＞0成立，f（x）递增，f″（x）=﹣2+=0，解得x=±，x=﹣满足．由新定义，当x≠x0时，（f（x）﹣g（x））（x﹣x0）＜0恒成立，则称x=x0为函数f（x）的“分界点”．通过图象可得“分界点”有一个．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．（5分）由y2=4x与直线y=2x﹣4所围成图形的面积为9．【解答】解：联立方程组，解得或，∴曲线y=x2与直线y=x围成的封闭图形的面积为S=（y+2﹣y2）dy=（y2+2y﹣）|=9，故答案为：914．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：∵f（x）=alnx+x2（a＞0），对任意两个不等的正实数x1、x2都有＞2恒成立，∴f′（x）=+x≥2（x＞0）恒成立，∴a≥2x﹣x2恒成立，令g（x）=2x﹣x2=﹣（x﹣1）2+1，则a≥g（x）max，∵g（x）=2x﹣x2为开口方向向下，对称轴为x=1的抛物线，∴当x=1时，g（x）=2x﹣x2取得最大值g（1）=1，∴a≥1．即a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．15．（5分）一个五位数满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201，45412），则称这个五位数符合“正弦规律”．那么，共有2892个五位数符合“正弦规律”．【解答】解：条件就是b是最大的，d是最小的，a，c，e介于最小最大之间．取b=9，d=7时，a，c，e只能是8；d=6时，a，c，e可取7，8，共23种；d=5时，a，c，e可取6，7，8，共33种；...，d=0时，a，c，e可取1，2， (8)共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b=8时，是1+23+…+73种，b=7时，是1+23+…+63种，b=6时，是1+23+…+53种，b=5时，是1+23+…+43种，b=4时，是1+23+33种，b=3时，是1+23种，b=2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1=2892．故答案为：2892．16．（5分）已知e为自然对数的底数，若函数g（t）=e t•（t3﹣6t2+3t+m）满足∀t∈[1，a]，∃m∈[0，5]，使g（t）≤t成立，则正整数a的最大值为5．【解答】解：不等式g（t）≤t，即e t•（t3﹣6t2+3t+m）≤t，即m≤te﹣t﹣t3+6t2﹣3t，转化为∃m∈[0，5]，使∀t∈[1，a]，不等式m≤te﹣t﹣t3+6t2﹣3t恒成立，即不等式0≤te﹣t﹣t3+6t2﹣3t在t∈[1，a]上恒成立，即不等式0≤e﹣t﹣t2+6t﹣3在t∈[1，a]上恒成立．设φ（t）=e﹣t﹣t2+6t﹣3，则φ'（t）=﹣e﹣t﹣2t+6，设r（t）=φ'（t）=﹣e﹣t﹣2t+6，则r'（t）=e﹣t﹣2，因为1≤r≤a，有r'（x）＜0，故r（t）在区间[1，a]上是减函数，又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0，故存在t0∈（2，3），使得r（t0）=φ'（t0）=0，当1≤t＜t0时，有φ'（t）＞0，当t＞t0时，有φ'（t）＜0，从而y=φ（t）在区间[1，t0]上递增，在区间[t0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0，所以当1≤t≤5时，恒有φ（t）＞0；当t≥6时，恒有φ'（t）＜0．故使命题成立的正整数a的最大值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）若不等式m•lnx≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，求实数a的取值范围．【解答】解：不等式mf（x）≥a+x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，则a≤mlnx﹣x对所有的m∈[0，]，x∈[1，e2]都成立，令H（x）=mlnx﹣x，m∈[0，]，x∈[1，e2]是关于m的一次函数，∵x∈[1，e2]，∴lnx∈[0，2]，∴当m=0时，H（m）取得最小值﹣x，即a≤﹣x，当x∈[1，e2]时，恒成立，故a≤﹣e2．实数a的取值范围：（﹣∞，e2]注：其他方法酌情给分………（10分）18．（12分）在数列{a n}中，a1=，且前n项的算术平均数等于第n项的2n﹣1倍（n∈N*）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解答】解：（1）由已知，=（2n﹣1）a n，分别取n=2，3，4，5，得，，，；所以数列的前5项是：，，，，；…（5分）（2）由（1）中的分析可以猜想（n∈N*）．…（7分）下面用数学归纳法证明：①当n=1时，猜想显然成立．…（8分）②假设当n=k（k≥1且k∈N*）时猜想成立，即．…（9分）那么由已知，得，即a1+a2+a3+…+a k=（2k2+3k）a k+1．所以（2k2﹣k）a k=（2k2+3k）a k+1，即（2k﹣1）a k=（2k+3）a k+1，又由归纳假设，得，所以，即当n=k+1时，猜想也成立．…（11分）综上①和②知，对一切n∈N*，都有成立．…（12分）19．（12分）如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子．（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积V1是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费更少，且所得无盖的盒子的容积V2＞V1【解答】解：（1）设切去的正方形边长为x，则焊接成的盒子的底面边长为4﹣2x，高为x．所以V1=（4﹣2x）2•x=4（x3﹣4x2+4x），（0＜x＜2）………（5分）∴V1′=4（3x2﹣8x+4）．………（5分）令V1′=0得x1=，x2=2（舍去）而V1′=12（x﹣）（x﹣2）又当x＜时，V1′＞0，当＜x＜2时，V1′＜0∴当x=时盒子容积最大，最大容积V1是………（9分）方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子图a 图b 图c新焊成的盒子的容积V2为：3×2×1=6，显然V2＞V1故此方案符合要求．………（12分）20．（12分）已知函数f（x）=m•（x﹣）+2lnx（m∈R）．讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），且f′（x）=，当m≥0时，f′（x）＞0在x∈（0，+∞）时恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（2分）当m＜0时，①m≤﹣1，f′（x）≤0在x∈（0，+∞）时恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上递减，……（5分）②当﹣1＜m＜0时，由f′（x）=0，得x1=，x2=，且0＜x1＜x2，所以f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减，f（x）在（，）上单调递增．………（9分）综上所述：（1）m≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，（2）﹣1＜m＜0时，f（x）在（0，），（，+∞）上单调递减，f（x）在（，）上单调递增，（3）m≤﹣1，f（x）在（0，+∞）上单调递减………（12分）21．（12分）已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x，若f（x1）=f（x2）（x1≠x2）．证明：f′（）＜0．【解答】证明：当a＞0时，f′（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）的单调递增，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）的单调递减，设g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），则g（x）=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g′（x）=+﹣2a=，当x∈（0，）时，g′（x）＞0，g（x）递增，而g（0）=0，即有g（x）＞0，故当0＜x＜时，f（+x）＞f（﹣x），不妨设0＜x1＜＜x2，∴f（﹣x1）=f（+﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，又f（x）在（，+∞）单调递减，∴﹣x1＜x2，∴＞，∴f′（）＜0．22．（12分）已知函数f（x）=xe ax+lnx﹣e，（a∈R）（1）当a=1时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．（2）设g（x）=lnx+﹣e，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）在定义域内存在两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=xe x+lnx﹣e的导数为f′（x）=xe x+e x+，即有函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=2e+1，切点为（1，0），则有函数y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=（2e+1）（x﹣1），即为y=（2e+1）x﹣2e﹣1；（2）函数h（x）=f（x）﹣g（x）=xe ax﹣，函数h（x）在定义域内存在两个零点，即为xe ax=在x＞0有两个不等的实数根，即有﹣a=在x＞0时有两个不等的实数根，令m（x）=，则导数m′（x）=，当x＞e时，m′（x）＜0，m（x）递减；当0＜x＜e时，m′（x）＞0，m（x）递增．即有x=e处取得极大值，且为最大值，则有0＜﹣a＜，解得﹣＜a＜0．故实数a的取值范围是（﹣，0）．。

辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试高二理科数学科试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合．．．．．．．题目要求的．．．．．。

1.下列说法正确的是（ ）Ａ．若0()0f x '=，则0()f x 是函数()f x 的极值.Ｂ．若0()f x 是函数()f x 的极值，则()f x 在0x 处有导数. Ｃ．函数()f x 至多有一个极大值和一个极小值.Ｄ．定义在R 上的可导函数()f x ，若方程()0f x '=无实数解，则()f x 无极值.2.用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”则假设的内容是（ ）Ａ．a ，b 都能被5整除 Ｂ．a ，b 都不能被5整除Ｃ．a 不能被整5除 Ｄ．a ，b 有1个不能被5整除3.设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）4.下列计算错误的是（ ）Ａ．ππsin 0xdx -=⎰ Ｂ．23=⎰Ｃ．ππ22π02cos 2cos xdx xdx-=⎰⎰Ｄ．π2πsin 0xdx -=⎰5.如右图，用6种不同的颜色把图中A 、B 、C 、D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( ) A ．400种B ．460种C ．480种D ．496种6.已知两条曲线21y x =-与31y x =-在点0x 处的切线平行，则0x 的值为（ ）Ａ．0Ｂ．23- Ｃ．０或23- Ｄ．0或17.定义A B B C C D D A ****，，，的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中A ，B 可能是下列（ ）的运算的结果（ ）Ａ．B D *，A D * Ｂ．B D *，A C * Ｃ．B C *，A D *Ｄ．C D *，A D *8.函数32()(1)48(2)f x ax a x a x b =+-+-+的图象关于原点对称，则()f x 在[44]-，上（ ） Ａ．单调递增 Ｂ．单调递减 Ｃ．[40]-，单调递增，[04]，单调递减 Ｄ．[40]-，单调递减，[04]，单调递增9.某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修， 不同选课方案共有（ ）．A ．84种B ．168种C ．42种D ．336种10.在数学解题中，常会碰到形如“x ＋y1－xy”的结构，这时可类比某公式．如：设a ，b 是非零实数，且满足a sin π5＋b cosπ5a cos π5－b sinπ5＝tan 8π15，则ba ＝( )A ．4B ．15C ．2D ． 311.定义在R 上的奇函数()y f x =满足(3)0f =，且不等式()()f x xf x '>-在+∞(0,)上恒成立，则函数()()lg |1|g x xf x x =++的零点个数为（ ） A.5 B.3 C.4 D.212.已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线方程为:l ()y g x =，若函数()f x 满足x ∀∈I （其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()00f x g x x x --<⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x x =为函数()f x 的“分界点”．已知函数()f x 满足()15f =，()462f x x x'=--，则函数()f x 的“分界点”的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．B．C．1 D．﹣12．（5分）不等式|2x﹣3|＜5的解集与﹣x2+bx+c＞0的解集相同，则b+c=（）A．5 B．6 C．7 D．83．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．a∈[0，6]B． C．a∈[﹣6，6]D．a∈[1，2]4．（5分）用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数5．（5分）已知f（x）=•cosx，则f（π）+f′（）=（）A．0 B．C．D．﹣6．（5分）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项D．2k项8．（5分）已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）9．（5分）曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．ln2 B．ln3 C．2ln2 D．10．（5分）下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列11．（5分）已知函数f（x）=x3+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．f（﹣2）＞e3f（1）D．f（﹣2）＜e3f （1）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）设i是虚数单位，则=．14．（5分）dx=．15．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是．16．（5分）观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为．三、解答题（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（10分）（1）设a，b是两个不相等的正数，若+=1，用综合法证明：a+b ＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：＜．18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．19．（12分）已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．20．（12分）已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（2）若当m=0时，对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣x，a∈R且a≠0．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1时，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年辽宁省沈阳市铁路实验中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a=（）A．B．C．1 D．﹣1【解答】解：设=bi（b≠0），则a﹣i=（2+i）•bi=﹣b+2bi，∴，解得a=．故选：A．2．（5分）不等式|2x﹣3|＜5的解集与﹣x2+bx+c＞0的解集相同，则b+c=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由不等式|2x﹣3|＜5得：﹣5＜2x﹣3＜5，解得﹣1＜x＜4，则根据题意可知方程﹣x2+bx+c=0，即x2﹣bx﹣c=0的两个根为﹣1和4，所以，解得b=3，c=4，∴b+c=7．故选：C．3．（5分）函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是（）A．a∈[0，6]B． C．a∈[﹣6，6]D．a∈[1，2]【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+2x是R上的单调递增函数，∴f′（x）=3x2﹣2ax+2≥0，∴△=4a2﹣24≤0，解得﹣≤a≤，函数f（x）=x3﹣ax2+2x在实数集R上单调递增的一个充分不必要条件是：[1，2]．故选：D．4．（5分）用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为（）A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解答】解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，而命题：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：D．5．（5分）已知f（x）=•cosx，则f（π）+f′（）=（）A．0 B．C．D．﹣【解答】解：f′（x）=﹣cosx+•（﹣sinx），故f（π）=cosπ=﹣，f′（）=﹣cos﹣sin=﹣，故f（π）+f′（）=﹣﹣=﹣，故选：D．6．（5分）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值为﹣2，故实数a的取值范围是[﹣2，+∞），故选：B．7．（5分）利用数学归纳法证明不等式1+++…＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）A．1项 B．k项 C．2k﹣1项D．2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+++…+，则当n=k+1时，左边=1+++…++++…+，∴由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：++…+，共（2k+1﹣1）﹣2k+1=2k项，故选：D．8．（5分）已知定义在R上的函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，0）∪（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【解答】解：f′（x）=ax2+2x+a，由题意得，解得：a∈（﹣1，0）∪（0，1），故选：D．9．（5分）曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．ln2 B．ln3 C．2ln2 D．【解答】解：曲线f（x）=、直线x=2、x=3以及x轴所围成的封闭图形的面积是：==[ln（x﹣1）﹣ln（x+1）]=（ln2﹣ln4）﹣（ln1﹣ln3）=，故选：D．10．（5分）下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列【解答】解：∵老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，故A中推理为类比推理；∵由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2，是由特殊到一般故B中推理为归纳推理；∵由三角形性质得到四面体的性质有相似之处，故C中推理为类比推理；∵由通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列（大前提），数列{﹣2n}满足这种形式（小前提），则数列{﹣2n}为等比数列（结论）可得D中推理为演绎推理．11．（5分）已知函数f（x）=x3+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=x3+3x，其定义域为R，关于原点对称，有f（﹣x）=﹣（x3+3x）=﹣f（x），则f（x）为奇函数，又由f′（x）=3x2+3＞0，则f（x）为增函数，若不等式f（2m+mt2）+f（4t）＜0对任意实数t≥1恒成立，则f（2m+mt2）＜﹣f（4t），即2m+mt2＜﹣4t对任意实数t≥1恒成立，2m+mt2＜﹣4t⇔m＜﹣，即m＜﹣，又由t≥1，则t+≥2，则﹣有最小值﹣，若m＜﹣对任意实数t≥1恒成立，必有m＜﹣；即m的取值范围为（﹣∞，﹣）；故选：D．12．（5分）函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（）A．B．C．f（﹣2）＞e3f（1）D．f（﹣2）＜e3f （1）【解答】解：令g（x）=，则g′（x）=，而2f（x）﹣f′（x）＞0在R上恒成立，故g′（x）＜0在R恒成立，g（x）在R递减，故g（1）＞g（2），即f（1）＞，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上.）13．（5分）设i是虚数单位，则=﹣1﹣i．【解答】解：=．故答案为：﹣1﹣i．14．（5分）dx=4π．【解答】解：由定积分的几何意义知：dx是如图所示的阴影部分的面积，=×42×π=4π．故dx=S扇形故答案为：4π．15．（5分）函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是20．【解答】解：对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，等价于对于区间[﹣3，2]上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f（x）=x3﹣3x﹣1，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1），∵x∈[﹣3，2]，∴函数在[﹣3，﹣1]、[1，2]上单调递增，在[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=f（﹣1）=1，f（x）min=f（﹣3）=﹣19，∴f（x）max﹣f（x）min=20，∴t≥20，∴实数t的最小值是20，故答案为：20．16．（5分）观察下列不等式：，＜4，，＜12，…照此规律，第n个不等式为．【解答】解：由归纳推理可得，第n个不等式为．故答案为．三、解答题（满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）17．（10分）（1）设a，b是两个不相等的正数，若+=1，用综合法证明：a+b ＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法证明：＜．【解答】解：（1）因为a＞0，b＞0，且a≠b，所以a+b=（a+b）（）=1+1+＞2+2=4．所以a+b＞4 （5分）（2）因为a＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要证明原不等式成立，只需证明＜a，即证b2﹣ac＜3a2，又b=﹣（a+c），从而只需证明（a+c）2﹣ac＜3a2，即证（a﹣c）（2a+c）＞0，因为a﹣c＞0，2a+c=a+c+a=a﹣b＞0，所以（a﹣c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立．（12分）18．（12分）已知函数f（x）=|x﹣1|，（1）解关于x的不等式f（x）+x2﹣1＞0（2）若g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由不等式f（x）+x2﹣1＞0可化为：|x﹣1|＞1﹣x2即：1﹣x2＜0或或，解得x＞1或x＜﹣1，或∅，或x＞1或x＜0．∴原不等式的解集为{x|x＞1或x＜0}，综上原不等式的解为{x|x＞1或x＜0}．（2）∵g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x），∴|x﹣1|+|x+3|＜m．因此g（x）=﹣|x+3|+m，f（x）＜g（x）的解集非空⇔|x﹣1|+|x+3|＜m的解集非空．令h（x）=|x﹣1|+|x+3|，即h（x）=（|x﹣1|+|x+3|）min＜m，由|x﹣1|+|x+3|≥|x﹣1﹣x﹣3|=4，∴h（x）min=4，∴m＞4．19．（12分）已知函数（a，b∈R），f′（0）=f′（2）=1．（1）求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣4x，x∈[﹣3，2]，求g（x）的单调区间和最小值．【解答】解：（1）因为f′（x）=x2﹣2ax+b，由f′（0）=f′（2）=1即，得，则f（x）的解析式为，即有f（3）=3，f′（3）=4所以所求切线方程为4x﹣y﹣9=0．（2）由（1）f（x）=x3﹣x2+x，∴，∴g′（x）=x2﹣2x﹣3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＞0，得x＜﹣1或x＞3，由g′（x）=x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，∵x∈[﹣3，2]，∴g（x）的单调增区间为[﹣3，﹣1]，减区间为（﹣1，2]，∵，∴g（x）的最小值为﹣9．20．（12分）已知f（x）=xlnx+mx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为单调函数，求实数m的取值范围；（2）若当m=0时，对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+（1+m），因为f（x）在（1，+∞）上为单调函数，则方程lnx+（1+m）=0在（1，+∞）上无实根，故1+m≥0，则m≤﹣1．（2）2xlnx≥﹣x2+ax﹣3，则对一切x∈（0，+∞）恒成立．设，则，当x∈（0，1），h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（1，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）在（0，+∞）上，有唯一极小值h（1），即为最小值，所以h（x）min=h（1）=4，因为对任意x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成成立，故a≤4．21．（12分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．22．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx﹣x，a∈R且a≠0．（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间与极值；（2）当x＞1时，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，函数f（x）=﹣x2+lnx﹣x，x∈（0，+∞），，当f'（x）＞0时，，当f'（x）＜0时，，所以函数f（x）的单调增区间为，单调减区间为，当时，函数f（x）取极大值，无极小值．（2）令g（x）=f（x）﹣2ax=ax2+lnx﹣（1+2a）x，根据题意，当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0恒成立，，①当，时，g'（x）＞0恒成立，所以g（x）在上是增函数，且，所以不符合题意；②当，x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上是增函数，且g（x）∈（g（1），+∞），所以不符合题意；③当a＜0时，x∈（1，+∞），恒有g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上是减函数，于是“g（x）＜0对任意x∈（1，+∞）都成立”的充要条件是g（1）≤0，即a﹣（2a+1）≤0，解得a≥﹣1，故﹣1≤a＜0，综上，a的取值范围是[﹣1，0）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

沈阳铁路实验中学2016-2017学年度下学期期中考试高二数学（理）时间：120分钟 分数：150分 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知a 是实数， 2a ii-+是纯虚数，则a =（ ） A. 12 B. 12- C. 1 D. 1-2．不等式的解集与的解集相同，则（ ）A. B. C. D.3．函数()322f x x ax x =-+在实数集R 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A. []0,6a ∈ B. 6,6a ⎡⎤∈-⎣⎦C. []6,6a ∈-D. []1,2a ∈4．用反证法证明数学命题时首先应该做出与命题结论相矛盾的假设．否定 “自然数c b a ,, 中恰有一个偶数”时正确的假设为（ ） A ．自然数c b a ,,都是奇数 B ．自然数c b a ,,都是偶数 C ．自然数c b a ,, 中至少有两个偶数D ．自然数 c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数5．已知，则（ ）A. 0B.C.D.6．对一切实数x ，不等式x 2＋a|x|＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2－2,2－2，＋∞） D ．－3,2-2，+∞）； 7．D【解析】试题分析：由题意得，当n k =时，不等式的左侧为1111++++2321k-，当1n k =+时，不等式的左侧为11111111++++23212212k k kk +++++-+，所以n k =变成1n k =+时，左边增加了11112212k k k +++++，共有2k项，故选D. 8．D【解析】()2'2f x ax x a =++，由题意得： 220{240a a ≠∆=->，解得： ()()1,00,1a ∈-⋃故选D.9．D 【解析】 试题分析：所求面积()()3333222222111113ln 1n 1lnln ln ln 1111232x dx dx x l x x x x x -⎛⎫=-=--+==-=⎡⎤ ⎪⎣⎦--++⎝⎭⎰⎰，选D 10．D 【解析】试题分析：所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即“演绎”，得出具体陈述或个别结论的过程.对于D, 通项公式形如(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 为等比数列，由于数列{2}n -的通项公式()2nn a =-()12n=⨯-是形如(0)n n a cq cq =≠的数列，所以数列{2}n -为等比数列，因此选项D 推理过程属于演绎推理，故选D. 11．D 【解析】 由题意得，，则为奇函数且在上单调递增，不等式对任意实数恒成立，则在恒成立，分离参数，又因为（当且仅当时，取等号），则，故选D.12．A【解析】解：令()()2xf x H x e =，则()()()2'2'0xf x f x H x e -=< ，据此可知： ()H x 单调递减， ()()()()22121f H H f e >⇒>，()()()()22121H H f e f ->⇒-> ，结合所给选项，只有A 选项符合题意. 13．1i -- 【解析】试题分析：()()()()()()32221111111i i i i ii i +++==-+=----． 14．4π 【解析】试题分析：根据定积分的几何性质可知，216y x =-表示圆2216x y +=的上半部分，所以所求定积分等于圆面积的四分之一，即21444ππ⋅⋅=. 15．20【解析】因为f′(x)＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f′(x)＝0，得x ＝±1，所以－1，1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间上f(x)max ＝1，f(x)min ＝－19.又由题设知在区间上f(x)max －f(x)min ≤t，从而t≥20，所以t 的最小值是20.16．【解析】由归纳推理可得，第个不等式为．17．【解析】试题解析：（1）因为a ＞0，b ＞0，且a ≠b, 所以a+b=（a+b ）（b a 11+）=1+1+baa b +＞2+2b a a b ⋅=4．所以a+b ＞4 （2）因为a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，所以a ＞0，c ＜0， 23b ac a -<即证b 2－ac ＜3a 2，又b ＝－（a ＋c ），从而只需证明（a ＋c ）2－ac ＜3a 2， 即证（a －c ）（2a ＋c ）＞0，因为a －c ＞0,2a ＋c ＝a ＋c ＋a ＝a －b ＞0，所以（a －c ）（2a ＋c ）＞0成立，故原不等式成立． 考点：综合法与分析法18．(Ⅰ) 01<>x x 或；(Ⅱ) 4>m . 【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意原不等式可化为：2-11-x x > 即：1-1--11-22x x x x <>或由2-11-x x >得2-1<>x x 或 由1-1-2x x <得01<>x x 或 综上原不等式的解为01<>x x 或(Ⅱ)原不等式等价于-13x x m ++<的解集非空. 令31-)(++=x x x h ，即m x x x h <++=min 31-)(， 由43--1-31-=≥++x x x x ，所以4)(min =x h ， 所以4>m . 19．【解析】（1）切线方程为490x y --=；（2）()g x 的单调增区间为[]3,1--，减区间为(]1,2-， ()g x 的最小值为9-..试题解析：（1）因为()22f x x ax b =-+'，由()()021f f ''==即1{441b a b =-+=，得1{1a b ==，则()f x 的解析式为()3213f x x x x =-+，即有()33f =， ()34f '= 所以所求切线方程为490x y --=.（2）∵()32133g x x x x =--，∴()223g x x x =--'， 由()2230g x x x =-->'，得1x <-或3x >， 由()2230g x x x =--<'，得13x -<<，∵[]3,2x ∈-，∴()g x 的单调增区间为[]3,1--，减区间为(]1,2-， ∵()()223923g g -=-<=-， ∴()g x 的最小值为9-.20．（1）1m ≤-；（2）4a ≤. 【解析】试题解析：（1）()f x 定义域为()0,+∞， ()()ln 1f x x m '=++，因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x=++>，则()()()231'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减， 当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立， 故4a ≤.21. 【解析】解：（1）当a ＝－2时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0． 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈（0,2）时，y ＜0． 所以原不等式的解集是{x|0＜x ＜2}．（2）当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f （x ）＝1＋a ． 不等式f （x ）≤g（x ）化为1＋a≤x＋3．所以x≥a－2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a－2，即43a ≤．从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦．22．（1）当12x =时，函数()f x 取极大值13ln224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值；（2）[)1,0-.【解析】试题解析：（1）当1a =-时，函数()()2ln ,0,f x x x x x =-+-∈+∞，()()()221112121x x x x f x x x x x'-++-=-+-=-=-，当()0f x '>时, 102x <<，当()0f x '<时， 12x >. 所以函数()f x 的单调增区间为102⎛⎫ ⎪⎝⎭，,单调减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，当12x =时，函数()f x 取极大值13ln224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值.（2）令()()()22ln 12g x f x ax ax x a x =-=+-+，根据题意，当()1,x ∈+∞时， ()0g x <恒成立.()()()()2111221ax x g x ax a x x--=-++='.①当102a <<， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0g x '>恒成立， 所以()g x 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，且()1,2g x g a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不符合题意； ②当12a ≥， ()1,x ∈+∞时， ()0g x '>恒成立， 所以()g x 在()1,+∞上是增函数，且()()()1,g x g ∈+∞，所以不符合题意；③当0a <时， ()1,x ∈+∞,恒有()0g x '<,故()g x 在()1,+∞上是减函数，于是“()0g x <对任意()1,x ∈+∞都成立”的充要条件是()10g ≤， 即()210a a -+≤,解得1a ≥-，故10a -≤<. 综上， a 的取值范围是[)1,0-.。

2016-2017学年下学期期中考 高二理科数学 参考答案13．514．-10 15．1416．3 三、解答题（共6题，共70分） 17．【解析】（1）没有抓到白球，即取到的全是红球，∴没有抓到白球的概率是304236C C 1C 5=；…3分 （2）X的所有可能取值为1，2，3………………………………………………………4分()124236C C 1P X 1,C 5===()214236C C P X 2C ===35，()304236C C 1P X 3C 5===，………7分∴X 8分8()5E X =。

………………………………………………………10分18．【解析】(1)连接AC 交BD 于点O ，连接OE ；在△CPA 中，E ，O 分别是边CP ，CA 的中点，∴OE ∥PA ，而OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE . ……………………4分(2)如图建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2.则A (2,0,0)，P (0,0,2)，E (0,1,1)，B (2,2,0),∴ DE ＝(0,1,1)，DB＝(2,2,0)，……………………5分设n ＝(x ，y ，z )是平面BDE 的一个法向量，则由00n DE n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0220y z x y ⎧⎨⎩＋＝，＋＝取y ＝－1，得n ＝(1，－1,1)， 又DA＝(2,0,0)是平面DEC 的一个法向量．……………………9分∴cos 〈n ，DA 〉＝n DA n DA⋅⋅3＝.……………………11分 故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为3……………………12分 19．【解析】（1）平均值为11万元，中位数为7万元. ……………………2分（2）年薪高于7万的有5人，低于或等于7万的有5人；ξ取值为0，1，2.()25210209C P C ξ===，()1155210519C C P C ξ===，()25210229C P C ξ===，………6分∴ξ的分布列为数学期望为0121999E ξ=⨯+⨯+⨯=.……………………8分（3）设(),1,2,3,4i i x y i =分别表示工作年限及相应年薪，则 2.5,6x y ==，()()()1217 1.45ˆni i i n i i x x y y b x x ==--===-∑∑6 1.4 2.5ˆ 2.5ˆa y bx =-=-⨯=， 得线性回归方程： 1.4 2.5y x =+.………………………………11分 可预测该员工第5年的年薪收入为9.5万元. …………………12分20将22⨯列联表中的数据代入计算，得2K 的观测值：()2100301045151003.030, 3.030 3.8414555752533K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ， ∴在犯错误概率不超过0.05前提下，不能认为赞成“自助游”与性别有关系.………6分(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,依题意()()i 3ii 33313,,i ?·,i 0,1,2,3444X B P X C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫~=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴X 的分布列为：()94E X np ==.………………………………………………………………………12分 21．（Ⅰ）当2,a =212()2ln ,'(),2f x x x f x x x =-=- 1'(1)1,(1),2f f =-=()fx 在(1,(1))f 处的切线方程为()112y x -=--，即2230.x y +-=……………4分（Ⅱ）由2'().a x af x x x x-=-=由0a >及定义域为(0,)+∞，令'()0,fx x ==得1,01,a <≤即在(1,e)上，'()0f x >，)(x f 在[1,e]上单调递增， 因此，()f x 在区间[1,e]的最小值为1(1)2f =． ②若21e,1e ,a<<<<即在（上，'()0f x <，)(x f 单调递减;在上，'()0f x >，)(x f 单调递增，因此()f x 在区间[1,e]上的最小值为1(1ln ).2f a a =- 2e,e ,a ≥即在(1,e)上，'()0f x <，)(x f 在[1,e]上单调递减， 因此，在()f x 区间[1,e]上的最小值为21(e)e 2f a =-． 综上，()2min221,01,21()1ln ,1,21,.2a f x a a a e e a a e ⎧<≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩………………………………………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当01a <≤或2e a ≥时，)(xf 在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当21e a <<时，要使()f x 在区间(1,e)上恰有两个零点，则∴21(1ln )0,21(1)0,21(e)e 0,2a a f f a ⎧-<⎪⎪⎪=>⎨⎪⎪=->⎪⎩即2e1e 2a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，此时，21e e 2a <<．所以，a 的取值范围为21(e,e ).2…12分 22．【解析】(I )椭圆的长轴长为a =又与椭圆22124x y +=有相同的离心率2e =,故2, 2.c b == 所以椭圆M 的方程为22184x y +=………………………………………………4分 (II)若l 的斜率存在，设:l ,y kx m =+因l 与C 相切，故r =， 即()2221m r k =+. ①……………………………………5分又将直线l 方程代入椭圆M 的方程得()222124280,k x kmx m +++-=…………6分设()()1122,,,,A x y B x y 由韦达定理得1x +2x =24,12kmk -+12x x =222812m k -+，由0OA OB ⋅= 得到12x x +12y y =()21k +222812m k-++km 2412km k -++2m =0 化简得22388m k =+，② ……………………………………………………8分联立①②得283r =。