数列求和常见法
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数列求和常见法
数列是高中代数的重要内容，数列求和是数列的重要内容之一。
数列求和是对按照一定规律排列的数进行求和。
除了等差数列和等比数列有求和公式外，
大部分数列的求和都需要一定的技巧。
常见的方法有公式法、错位相减法、倒序相加法、分解分组法、裂项法、通项化归、并项求和等等。
1. 公式法：
适用题型：直接是等差数列或是等比数列形式的可以直接利用公式求和
s
n
= 2
)
(
1a a n n + = n
a
1
+2
)1(d
n n - s
n
=n
a 1
（q=1) Sn=
q
q a n
--1)
1(1 （q ≠1）
例如 ：已知数列﹛a
n
﹜满足a
1
=2
3，a a n n n 11
3--+=（n ≥2），求数列的前n 项和。
解：
11=a 31
12=-a a 32
23=-a a (31)
1--=-n n n a a 所有等式的左边与左边相
加等于右式与右式相加（叠加法）得
a n
=2
3n
，所以﹛
a
n
﹜是以2
3
为首项，以3为公比的等比数列，直接应用公式31)1(233--=n
n s 4
3
3
1-=+n 注意：有些题目需要经过转化才能利用公式。
2.错位相减法（倍差法）
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 ，如 {
a
n
}、
{}b n
分别是等差数列和等比数列. 则s n
= b a b a b a n
n
++2
2
1
1
例如：
13-=n a n
2n
n b =
c n
=a n
b n
求c n
的前n 项和T
n。
解：T n
= 2×2
1
+5×
2
2
+8×2
3
+………（3n-1）×2n
(1)
2
T
n
= 2×2
2
+5×
2
3
+………(3n -4) ×
2
n
+(3n-1)
2
1
+n (2)
（1）－（2）得 －
T
n
= 2×
2
1
+ 3×
2
2
+3×
2
3
+…………3×
2
n
－(3n-1)
2
1
+n 从第二项起
到倒数第二项这（ｎ－１）项正好是以２为公比的等比数列，共n-1项可以利用公式化简
即 －
T
n
＝２×2
1
＋３×
2
1)1(421
--⨯-n －（３ｎ－１）
2
1
+n
整理，得
T
n
＝８＋（３ｎ－４）2
1
+n ．
注意：在错位相减后要数准形成的等比数列的项数。
3.裂项法
适用于通项公式是分式形式的，可以把一项拆成两个或多个的差的形式，然后进行累加
抵消中间的许多项。
常用公式：
（1）
11
1)1(1+-=+n n n n
（2）
)1
1(1)(1k
n n k k n n +-=+
(3)
)1
21
121(21)12)(12(1+--=+-n n n n
(4)
))
3)(2(1
)2)(1(1(21)3)(2)(1(1++-++=+++n n n n n n n
（5）
)(1
1b a b
a b
a --=
+ 例： 求数列{
})
1(1+n n 的前n 项和.
解：
a
n
=1
1
1)1(1+-=+n n n n （裂项）
则 Sn = 1
1141313121211+-
++-+-+-
n n =1- 11+n =1+n n
注意：数列每一项拆为两项，首尾相消或隔项相消，无限项化为有限项，余下的项首尾
前后呼应，即前面剩正项则后面剩负项， 前面剩负项则后面剩正项， 前后剩项个数一致。
4.倒序相加法
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，
a a
a a a s n n n
++++=-1
3
2
1
a a a a
a s n n
n
1
231
++++=-
上下相加 得到2
s
n
即s
n
= 2
)(1
n
a a n
+。
5.分解分组法
适用数列表面看既不是等差数列，也不是等比数列，但将这类数列适当分组，可分为几
个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如： 求
23 , 49 ,825, 16
65……前n 项的和。
解：此数列可化为1+ 21 ，2+ 41 ，3+ 81 ，4+ 16
1
……
通项公式
2
1
n
n n a +
=
∴
2
211213212n n n s +++
+++= =
2
1
1)11(212
)1(2--++n n n =
2)1(n n ++ )1
1(2
n - 注意：准确把握等比数列的公比、等差数列的公差，及项数。
6.通项化归
适用于数列通项公式没先将通项公式进行化简，再进行求和。
例如：求数列1，1+2，1+2+4，1+2+4+8,……的前n 项和。
此时先将
a
n
求出
即
2
2221
210-+++=n n a =
12
1122
-=--n
n
再利用分组求和法求和。
即
n n n n
n
n s --=---=
-+-+-=+22
1)1(21112
22221
2
1
注意：准确把握通项时的项数及分组求和时的项数。
7.并项求和：
适用于相邻几项合并后形成等差，等比或常数的数列。
例如：1-2+3-4+5-6+……+99-100 =（1-2）+（3-4）+……(99-100)=50
注意：此数列可视为两个等差数列，但运算量大，用并项求和轻而易举就解决了。
运算时注意项数的奇偶，是否都能并成一组还是有剩项。
8周期数列求和
适用于具有周期性的数列，求出一个周期内各项的和，及一个周期内各项分别是什么再求和。
例如：已知数列{}a n
中，a 1
=3，62
=a
，且a a a n n n -=++12，求s 100
解：由
31=a ，62
=a
，a a a n n n -=++12知33=a ，34-=a ，65-=a ，36-=a ，
37
=a
，
68
=a
，
39
=a
……由此观察
{}a n
周期为
6.
=s
6
0，
3363166100
-+++=s s
=9。
注意：周期数列一般给出的都是递推关系式，需要展开一些项观察周期和一个周期内各
项的值。
以上是数列求和的常见的几种方法，做题时观察数列的特点和规律选择适当的方法就会轻而易举的进行求解。
数列求和
1．公式法 2．倒序相加： 3．错位相减： 4. 裂项相消 5．分组求和：
练习题
类型一、倒序相加法求和
1. 设
，利用倒序相加法，求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值为________.
2.求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
类型二、错位相减法求和
利用错位相减法求和的步骤是：①在等式两边同乘等比数列{b n }的公比；②将两个等式错位相减；③利用等比数列前n 项和公式求和
1． 求数列1,3a,5a 2,7a 3,…,(2n-1)a n-1
的前n 项和，其中a ≠0.
2.求和:⋅⋅⋅+++=2
321x x S n +)1,0()1(12
≠≠+---x x nx x
n n n
类型三、裂项相消法求和
1.在数列{a n }中，a n =
12n
,n 1n 1n 1++⋯++++又n n n 1
2b a a +=，求数列{b n }的前n 项的和.
2.求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
类型四、分组转化法求和
1.求和：2
2
2
2n 2n 111x x x .x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2.求数列的前n 项和：231
,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，。
