《常微分方程》答案习题(4)

第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。

与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。

考研数学二（常微分方程）-试卷4(总分52, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.方程y′sinχ＝ylny，满足条件y()＝e的特解是SSS_SINGLE_SELABe sinχ．CD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：这是变量分离的方程．因此选D．2.设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是SSS_SINGLE_SEL Ay＝C1χ 2＋C2χ＋C3．Bχ 2＋y 2＝C．Cy＝ln(C1χ)＋ln(C1sinχ)．Dy＝C1 sin 2χ＋C2cos 2χ．该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D2. 填空题1.下列微分方程中(填序号)_______是线性微分方程．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：②、③．2.已知(χ－1)y〞－χy′＋y＝0的一个解是y1＝χ，又知＝e χ－(χ 2＋χ＋1)，y *＝－χ 2－1均是(χ－1)y〞－χy′＋y＝(χ－1) 2的解，则此方程的通解是y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝C1χ＋C2e χ－χ 2－1，其中C1，C2为任意常数．3.已知方程＝0的两个解y1＝e χ，y2＝χ，则该方程满足初值y(0)＝1，y′(0)＝2的解y＝_______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：y＝e χ＋χ．3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.求下列方程的通解：(Ⅰ)(χ－2)dy＝[y＋2(χ－2) 3]dχ；(Ⅱ)y 2dχ＝(χ＋y 2)dy；(Ⅲ)(3y－7χ)dχ＋(7y－3χ)dy＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)原方程改写成＝2(χ－2) 2．(一阶线性方程) ，两边同乘μ＝＝2(χ－2)．积分得＝(χ－2) 2＋C．通解y＝(χ－2) 3＋C(χ－2)，其中C为任意常数．(Ⅱ)原方程改写成(以y为自变量，是一阶线性的) 两边同乘μ＝＝e y．积分得＝y y＋C 通解χ＝，其中C为任意常数．(Ⅲ)原方程改写成分离变量得积分得通解为(χ－y) 2(χ＋y) 5＝C，其中C为任意常数．2.求下列方程的通解或特解：SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ 2－4＝0，特征根λ＝±2．零不是特征根，方程有特解y *＝aχ 2＋bχ＋c，代入方程得2a－4(aχ 2＋bχ＋c)＝4χ 2．－4a＝4，b＝0，2a－4c＝0 a＝－，c＝－．得y *＝－χ 2－．则通解为y＝C1 e 2χ＋C2e －2χ－χ 2－．由初值y(0)＝C1＋C2－，y′(0)＝2C1－2C2＝2，因此得特解y＝(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ 2＋3λ＋2＝0，特征根λ1＝－1，λ2＝－2．由于非齐次项是e －χcosχ；－1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y *＝e －χ(acosχ＋bsinχ)．代入原方程比较等式两端e －χcosχ与e －χsinχ的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y＝C1 e －χ＋C2e －2χ＋ e －χ(sinχ－cosχ)，其中C1，C2为任意常数．3.求方程y〞＋2my′＋n 2 y＝0的通解；又设y＝y(χ)是满足初始条件y(0)＝a，y′(0)＝b的特解，求∫＋∞y(χ)dχ，其中，m＞n＞0，a，b为常数．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：特征方程λ 2＋2mλ＋n 2＝0，特征根λ＝－m± ，通解为y＝注意：指数均为负的将方程两边积分4.设y＝y(χ)在[0，＋∞)内可导，且在χ＞0处的增量△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)满足△y(1＋△y)＝＋α，其中当△χ→0时α是△χ的等价无穷小，又y(0)＝2，求y(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由题设等式可得(1＋△y)，令△χ→0即得＋1．从而y＝y(χ)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘μ＝，两边积分得＝C＋ln(4＋χ)y＝C(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)．令χ＝0，y＝2可确定常数C＝－2ln2，故 y＝(－2ln2)(4＋χ)＋(4＋χ)ln(4＋χ)＝(4＋χ)[－2ln2＋ln(4＋χ)]．5.设函数f(χ)连续，且∫0χ f(t)dt＝sin 2χ＋∫χtf(χ－1)dt．求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：将代入原方程即得∫0χ f(t)dt＝sin2χ＋χ∫χ f(u)du－∫χ uf(u)du．① 由f(χ)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对χ求导即得f(χ)＝2sinχcosχ＋∫0χ f(u)du＝sin2χ＋∫χf(u)du．② (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令χ＝0可得f(0)＝0，由②式还可知f(χ)可导，于是将它两端对χ求导，又得f′(χ)＝2cos2χ＋f(χ)．故求y＝f(χ)等价于求解初值问题的特解．解之可得 y＝f(χ)＝(e χ＋2sin2χ－cos2χ) ．6.设有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，试求：在(－∞，＋∞)内的连续函数y＝y(χ)，使之在(－∞，1)和(1，＋∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)＝0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：当χ＜1时，方程y′－2y＝2的两边同乘e -2χ得(ye -2χ)′＝2e -2χ，积分得通解y＝C1e 2χ－1；而当χ＞1时，方程y′－2y＝0的通解为y＝C2 e 2χ．为保持其在χ＝1处的连续性，应使C1e 2－1＝C2e2，即C2＝C1－e -2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1＝1，即所求特解为y＝7.设函数f(t)在[0，＋∞)上连续，且满足方程f(t)＝试求f(t)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得f(t)＝两边对t求导得f′(t)＝8πt ＋2π.f(1).2t.2，即f′(t)－8πtf(t)＝8πt ．① 在前一个方程中令t＝0得f(0)＝1．② 求f(t)转化为求解初值问题①＋②．这是一阶线性方程，两边同乘得＝8πt．积分得f(t)＝4πt 2＋C．由f(0)＝1得C＝1．因此f(t)＝(4πt 2＋1) ．8.已知y1*＝χe χ＋e 2χ，y2*＝χe χ＋eχ －χ，y3*＝χe χ＋e 2χ－e －χ是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*－y3*＝e －χ，y2*－y3*＝2e －χ－e 2χ．进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1＝e －χ，y2＝2(y1*－y3* )－(y2*－y3* )＝e 2χ，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*＝y1*－y1＝χe χ．因此该非齐次方程的通解是y＝C1e －χ＋C2e 2χ＋χeχ，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y〞＋py′＋qy＝f(χ)．它的相应特征根是λ1＝－1，λ2＝2，于是特征方程是(λ＋1)(λ－2)=0，即λ 2－λ－2＝0．因此方程为y〞－y′－2y＝f(χ)．再将特解y4*＝χe χ代入得(χ＋2)e χ－(χ＋1)e χ－2χe χ＝f(χ)，即f(χ)＝(1－2χ)e χ因此方程为y〞－y′－2y ＝(1－2χ)e χ．9.求解初值问题SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是可降价类型的(方程不显含χ)．令p＝，并以y为自变量变换原方程代入原方程得p 2＝y -2＋C1．由初值得C1＝－1，积分得最后得y＝(0≤χ≤2)．10.设P(χ)在(a，b)连续，∫p(χ)dχ表示p(χ)的某个原函数，C为任意常数，证明：y＝是方程y′＋P(χ)y＝0的所有解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：因为对任意常数C，y＝Ce ∫p(χ)dχ是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则 [ye ∫p(χ)dχ]′＝e ∫p(χ)dχ[y′＋p(χ)y]＝0 即存在常数C，使得ye ∫p(χ)dχ＝C，即y＝Ce －∫p(χ)dχ．11.设连接两点A(0，1)，B(1，0)的一条凸弧，P(χ，y)为凸弧AB上的任意点(图6．5)．已知凸弧与弦AP之间的面积为χ 3，求此凸弧的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设凸弧的方程为y＝f(χ)，因梯形OAPC的面积为[1＋f(χ)]，故χ 3＝∫χ f(t)dt－[1＋f(χ)]．两边对χ求导，则得y＝f(χ)所满足的微分方程为χy′－y＝－6χ 2－1．其通解为y＝＝Cχ－6χ 2＋1．对任意常数C，总有y(0)＝1，即此曲线族均通过点A(0，1)．又根据题设，此曲线过点(1，0)，即y(1)＝0，由此即得C＝5，即所求曲线为y＝5χ－6χ 2＋1．12.在[0，＋∞)上给定曲线y＝y(χ)＞0，y(0)＝2，y(χ)有连续导数．已知χ＞0，[0，χ]上一段绕χ轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，χ]上侧面积与体积分别为2π∫χy dt，∫0χπy 2 dt．按题意2π∫χ y(t) dt＝π∫χ y 2(t)dt，① y(0)＝2．② (Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(χ) ＝y 2 (χ) (在①中令χ＝0，得0＝0，不必另附加条件)．化简得(Ⅲ)解初值问题③式分离变量得积分得为解出y，两边乘将④，⑤相加得y＝13.设f(χ)为连续正值函数，χ∈[0，＋∞)，若平面区域Rt＝{(χ，y)}0≤χ≤t，0≤y＜f(χ)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y＝f(χ)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(χ)．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为∫tf 2(χ)dχ／∫0t f(χ)dχ 而相应的曲边梯形的面积为∫tf(χ)dχ．见图6．2．按题意即∫0t f 2(χ)dχ＝2[∫t f(χ)dχ]2＋∫t f(χ)dχ(χ≥0)．① (Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①f 2 (t)＝4f(t)∫t f(χ)dχ＋f(t) f(t)＝4∫f(χ)dχ＋1 ② (①中令χ＝0，等式自然成立，不必另加条件)．f(χ)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t＝0得方程(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)＝e －∫4dte -4t得[f(t)e -4t]′＝0，并由初条件得f(t)＝e 4t，即f(χ)＝e 4χ．14.设曲线y＝y(χ)上点(χ，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y ＝y(χ)的方程．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)列方程．曲线y＝y(χ)在点(χ，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为，按题意＝－1．(Ⅱ)解方程．将方程改写为ydy＋χdχ＝0，即d(χ 2＋y 2 )＝0．于是通解为χ＋y＝C(C＞0为常数)．15.求证：曲率半径为常数a的曲线是圆．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：由曲率半径公式知．曲线y＝yf(χ)满足解方程积分得由②和③式得(χ＋C1 ) 2＋(y＋C2) 2＝a 2，即曲线是圆周．若y〞＝，则同样可证．16.设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)弹性恢复力f＝ks，由条件知g＝k. k＝24g f＝24gs，g为重力加速度．重力mg＝3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度a＝(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得3 v＝3g－24gs．初始条件：t＝0时s(0)＝0，v(s)｜s＝0＝0．(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv＝(g－8gs)ds ＝gs－4gs 2＋c．由v(0)＝0＝gs－4gs 2．(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v＝0．解 gs－4gs 2＝0得 s＝0，s＝．因此，s＝为所求．17.5kg肥皂溶于300L水中后，以每分钟10L的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有1kg肥皂．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：设t时刻水中含的肥皂量为Q(t)kg．任取[t，t＋dt]，这段时间内肥皂含量的减少量：抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得Q(t)＝5．由1＝＝ln5．因此，当t＝T＝30ln5时肥皂水中只有1kg肥皂．18.求微分方程χ(y 2－1)dχ＋y(χ 2－1)dy＝0的通解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y 2－1｜＝ln｜χ 2－1｜＋C′．即(χ 2－1)(y 2－1)＝C，其中C为任意常数．19.求解下列方程：(Ⅰ)求方程χy〞＝y′lny′的通解；(Ⅱ)求yy〞＝2(y ′2－y′)满足初始条件y(0)＝1，y′＝(0)＝2的特解．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p＝y′，则原方程化为χp′＝plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为 ln｜lnp｜＝ln｜χ｜＋C′，即lnp＝C1χ，即y′＝．这样，原方程的通解即为y＝＋C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当P＝1时，也可以得到一族解y＝χ＋C3．(Ⅱ)此方程不显含χ．令p＝y′，且以y为自变量，，原方程可化为yp＝2(p 2－p)．当p≠0时，可改写为y ＝2(p－1)或，解为p－1＝C1 y 2．再利用P＝y′，以及初始条件，可推出常数C1＝1．从而上述方程为变量可分离的方程y′＝1＋y 2其通解为y＝tan(χ＋C2)．再一次利用初始条件y(0)＝1，即得C2＝．所以满足初始条件的特解为y＝tan(χ＋)．1。

习题1.24. 给定一阶微分方程2dyx dx=， (1). 求出它的通解； (2). 求通过点()1,4的特解； (3). 求出与直线23y x =+相切的解； (4). 求出满足条件102ydx =⎰的解；(5). 绘出(2),(3),(4)中的解得图形。

解：(1). 通解显然为2,y x c c =+∈；(2). 把1,4x y ==代入2y x c =+得3c =，故通过点()1,4的特解为23y x =+；(3). 因为所求直线与直线23y x =+相切，所以223y x cy x ⎧=+⎨=+⎩只有唯一解，即223x c x +=+只有唯一实根，从而4c =，故与直线23y x =+相切的解是24y x =+；(4). 把2y x c =+代入12ydx =⎰即得5c =，故满足条件12ydx =⎰的解是253y x =+；(5). 图形如下：-1.5-1-0.500.51 1.512345675. 求下列两个微分方程的公共解：242422,2y y x x y x x x y y ''=+-=++--解：由2424222y x x x x x y y +-=++--可得()()222210y x xy -++=所以2y x =或212y x =--，2y x =代入原微分方程满足，而212y x =--代入原微分方程不满足，故所求公共解是代入原微分方程不满足。

6. 求微分方程20y xy y ''+-=的直线积分曲线。

解：设所求直线积分曲线是y kx b =+，则将其代入原微分方程可得2200010k b k xk kx b k b k b k k -=⎧+--=⇒⇒====⎨-=⎩或所以所求直线积分曲线是0y =或1y x =+。

8. 试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：(2). 曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ； (5). 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方。

1．第1题微分方程是( ).A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.02．第2题设有四个常微分方程：(i) , (ii) ,(iii) , (iv).A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.您的答案：C题目分数：2此题得分：2.03．第3题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.04．第5题是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.05．第7题满足初始条件和方程组的解为( ).A. ;B.; C.; D. .A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.06．第8题可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).A.;B.; C.;D..A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.07．第10题可将一阶方程化为变量分离方程的变换为A. ；B.； C. ； D..A..B..C..D..您的答案：C题目分数：2此题得分：2.08．第12题下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.(i) , (ii) ,(iii) , (iv) .A.1B.2C.3D.4您的答案：C题目分数：2此题得分：2.09．第13题设有四个常微分方程：(i) , (ii),(iii) , (iv) .A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.您的答案：B题目分数：2此题得分：2.010．第14题微分方程的一个解是( ).A. ,B. ,C. ,D. .A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.011．第20题已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).A. ;B.; C.; D. .A.AB.BC.CD.D您的答案：A题目分数：2此题得分：2.012．第21题设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是A. B.C. D.A..B..C..D..您的答案：B题目分数：2此题得分：2.013．第22题初值问题, 的第二次近似解可以写为( ). ＋A. 6;B.; C.; D. +.A..B..C..D..您的答案：D题目分数：2此题得分：2.014．第24题设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则A. 的朗斯基行列式一定是正的;B. 的朗斯基行列式一定是负的;C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;D. 的朗斯基行列式恒不为零.A.AB.BC.CD.D您的答案：B题目分数：2此题得分：2.015．第25题设和是方程组的两个基解矩阵, 则A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;B. 存在某个常数方阵C使得, 其中;C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.A..B..C..D..您的答案：A题目分数：2此题得分：2.016．第15题求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:A. 因为,B. 所以原方程是恰当方程;C. 将方程中的重新分项组合,D. 凑出全微分：,E. 得到通解：.A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.017．第16题设为方程（A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,D. 取, 可得到.E. .A..B..C..D..E..您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.018．第17题以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:解答：记, 则(A), 注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：(D),分项组合为,或可整理为(E), 最后得到原方程的通解.A.AB.BC.CD.DE.E您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.019．第18题如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A), , , .故对应齐方程的通解为(B).(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D), 故.(iii) 原方程的通解可以表示为(E).A..B..C..D..E..您的答案：A,B,C,D,E题目分数：5此题得分：5.020．第19题利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。

常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.d o c(总86页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + yy 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： yy -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy 令xy =u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln xy =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u+du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dx dy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y + 证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u ，有： u x dx du =f(u)+1 )1)((1+u f u du=x 1dx 所以原方程可化为变量分离方程。

习题4.21. 解下列方程（1）045)4(=+''-x x x 解：特征方程1122045432124-==-===+-λλλλλλ，，，有根故通解为x=tt t t e c e c e c e c --+++432221 (2)03332=-'+''-'''x a x a x a x 解：特征方程0333223=-+-a a a λλλ有三重根a =λ故通解为x=at at at e t c te c e c 2321++ （3）04)5(=''-x x解：特征方程0435=-λλ有三重根0=λ，=4λ2，=5λ-2 故通解为54232221c t c t c e c e c x t t ++++=-（4）0102=+'+''x x x解：特征方程01022=++λλ有复数根=1λ-1+3i,=2λ-1-3i故通解为t e c t e c x t t 3sin 3cos 21--+= (5) 0=+'+'x x x解：特征方程012=++λλ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i-- 故通解为t ec t ec x t t 23sin 23cos 212211--+=(6) 12+=-''t s a s 解：特征方程022=-a λ有根=1λa,=2λ-a当0≠a 时，齐线性方程的通解为s=at at e c e c -+21Bt A s +=~代入原方程解得21aB A -== 故通解为s=at at e c e c -+21-)1(12-t a当a=0时,)(~212γγ+=t t s 代入原方程解得21,6121==γγ 故通解为s=t c c 21+-)3(612+t t(7) 32254+=-'+''-'''t x x x x解：特征方程025423=-+-λλλ有根=1λ2,两重根=λ 1 齐线性方程的通解为x=t t t te c e c e c 3221++又因为=λ0不是特征根，故可以取特解行如Bt A x +=~代入原方程解得A=-4，B=-1故通解为x=t t t te c e c e c 3221++-4-t (8) 322)4(-=+''-t x x x解：特征方程121201224-===+-λλλλ重根，重根有 故齐线性方程的通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321取特解行如c Bt At x ++=2~代入原方程解得A=1，B=0,C=1 故通解为x=t t t t te c e c te c e c --+++4321+12+t (9)t x x cos =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--取特解行如t B t A x sin cos ~+=代入原方程解得A=21,21-=B 故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--)sin (cos 21t t +-(10) t x x x 2sin 82=-'+''解：特征方程022=-+λλ有根=1λ-2,=2λ 1 故齐线性方程的通解为x=t t e c e c 221-+ 因为+-2i 不是特征根取特解行如t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得A=56,52-=-B 故通解为x=t t e c e c 221-+t t 2sin 562cos 52-- （11）t e x x =-'''解：特征方程013=-λ有复数根=1λ,231i +-=2λ,231i--13=λ 故齐线性方程的通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=-- =λ1是特征方程的根，故t Ate x =~代入原方程解得A=31故通解为t t t e c t e c t ec x 321221123sin 23cos ++=--+t te 31（12）t e s a s a s =+'+''22解：特征方程0222=++a a λλ有2重根=λ-a 当a=-1时，齐线性方程的通解为s=t tte c e c 21+,=λ1是特征方程的2重根，故t e At x 2~=代入原方程解得A=21通解为s=22121t te c e c t t ++,当a ≠-1时，齐线性方程的通解为s=at atte c e c --+21,=λ1不是特征方程的根，故t Ae x =~代入原方程解得A=2)1(1+a故通解为s=at at te c e c --+21+te a 2)1(1+ （13）t e x x x 256=+'+''解：特征方程0562=++λλ有根=1λ-1,=2λ-5 故齐线性方程的通解为x=tte c e c 521--+=λ2不是特征方程的根，故t Ae x 2~=代入原方程解得A=211 故通解为x=t t e c e c 521--++t e 2211 （14）t e x x x t cos 32-=+'-''解：特征方程0322=+-λλ有根=1λ-1+2i,=2λ-1-2i故齐线性方程的通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=i ±-1不是特征方程的根, 取特解行如t e t B t A x -+=)sin cos (~代入原方程解得A=414,415-=B 故通解为t e c t e c x t t 2sin 2cos21+=+t e t t --)sin 414cos 415((15) t t x x 2cos sin -=+''解：特征方程012=+λ有根=1λi,=2λ- i 故齐线性方程的通解为t c t c x sin cos 21+=t x x sin =+'',=1λi,是方程的解 )sin cos (~t B t A t x +=代入原方程解得 A=21- B=0 故t t x cos 21~-=t x x 2cos -=+'' t B t A x 2sin 2cos ~+=代入原方程解得 A=31B=0 故t x 2cos 31~= 故通解为t c t c x sin cos 21+=t t cos 21-t 2cos 31+习 题 6-11． 求出齐次线性微分方程组y t A dtdy)(=的通解，其中A （t ）分别为：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011)(t A ；（2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0110)(t A ；（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010100)(t A 。

常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。

解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。

代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。

进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。

第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。

解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。

常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案篇一：常微分方程丁同仁李承志第二版第一章答案习题 1-11.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解: （１）y?c2x1e?c2e?2x, y???4y?0.证明：?y?cx1e2?c?2x2e,则y?=2c2x1e2x?2c2e?,y4cx1e2?4cx2e?2,y???4y?0.∴ y?sinxx, xy??y?cosx．证明：∵y?sinx, y??xcosx?sinxx则x2xy??y?xcosx?sinxx?sinxx?cosx（３）y?x(?exxdx?c), xy??y?xex．证明：∵y?x(?exxdx?c), 则 yexex x?c?xx, exex∴xy??y?x?x?c?xxx(?ex?x?c)?xex ??(x?2)（４） ??4,x?c1,y???0,cy’?1?x??c2,??(x?2)?4,c2?x,证明：（1）当x?c1时2y=?(x?)14,y’=?x?2其他情况类似.２．求下列初值问题的解：（１）yx, y(0)?a0, y?(0)?a1, y??(0)?a2．解：∵yx, ∴y12x2?c1, ∵y??(0)?a2，∴c1?a2，∴y??x3?a2x?c2, ∵y?(0)?a1, ∴c2?a1，（２），∴y?124x4?12a2x2?a1x?c，∵y(0)?a0, 满足初值问题的解为：y?14124x?2a22x?a1x?a0． dydx?f(x), y(0)?0, （这里f(x)是一个已知的连续函数）解：∵dydx?f(x), 即 dy?f(x)dx, ∴xx?dy??f(t)dt?c,x∴y(x)?y(0)??f(t)dt?c, ∵y(0)?0, ∴c?0 0x∴满足初值问题的解为：y(x)?f(t)dt.（３）dRdt??aR, R(0)?1,解：①若R?0, 则∵dRR??adt，两边积分得：lnR??at?c ∵R(0)?1 ∴c?1 ∴满足初值问题的解为：R?e?at（４）dydx?1?y2， y(x0)?y0，解：∵dydx?1?y2，∴dy1?y2?dx，两边积分得：arctgy?x?c.∵y(x0)?y0，∴c?arctgy0?x0.∴满足初值问题的解为：y?tg(x?arctgy0?x0). （１）函数y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?,,y(n))?0的通解，其中c1,c2,cn是独立的任意常数，（２）存在一组常数(1,2,,cn)?Rn和空间中的点0(0,0,0,,y(n?1)0)（３）满足３．假设??0??(0,1,,cn)0?(0,1,,cn)???x??(n?1)?(n?1)??xn?1(0,1,,cn)试证明：存在点0的某一邻域 U，使得对任意一点M0(x?,(n?1)0,y0,y0,y0),可确定一组数ci?ci(M0),i?1,2,,n，使得y??(x,c1(M0),c2(M0),,cn(M0))是初值问题y(x,y?(x,y(n?1)(x1)0)?y00)?y0,0)?y(n?0??F(x,y,y?,,y(n?1))?0 的解．证明：因为y??(x,c1,c2,,cn)是微分方程F(x,y,y?, ,y(n))?0的通解，所以初值问题y(x(n?1)0)?y0,y?(x0)?y0,,y(x(n?1)0)?y0 ??F(x,y,y?,,y(n?1))?0的解应具有形式y??(x,c??1,c2,,c?，其中(c??n)1,c2,,c?n)应满足：??y0??(x0,c?1,,c?n)?y(x,c?1,,c??0??x0n)，（*） ??(n?1)?(n?1)??y0xn?1(x0,c?1,,c?n)如何确定(c?1,c?2,,c?n)呢？由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0的某一邻域U，使得对任意一点M?1)0(x0,y0,y?0,,y(n0)可确定一组数c??i?ci(M0),i?1,2,,n，使得（*）成立．得证．4. 求出：（１）曲线族y?cx?x2所满足的微分方程；解：y?cx?x2， y??c?2x， xy??cx?2x2则有：xy??x2?y.（２）曲线族y?c1ex?cx2xe所满足的微分方程；xx解：由y?c??y??c1e?cx2e?c1xe1ex?c2xexy???cxxx, 1e?2c2e?c1xe联立消去c1,c2得：y2y??y?0.(3)平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；解：平面上以原点为中心的圆的方程为x2?y2?r2(r?0)将视y为x的函数，对x求导得：2x?2yy??0平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为x?yy??0．(4)平面上一切圆所满足的微分方程．解：平面上圆的方程为：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0),将y视为x 的函数，对x求导得：??2(x?a)?2(y?b)y??0?2?2?2(y?b)y2?y’??0联立消去a,b得，2(y?b)y?4y0[1?(y?)2]y3y?(y??)2?0．习题 1-2作出如下方程的线素场：（１）y??xyxy（２）y??(y?1)2（３）y??x2?y22. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族：（１）y??1?xy篇二：常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习第2章习题第二章答案习题２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：１．(3x2?1)dx?(2x?1)dy?0解：P(x,y)?3x2?1， Q(x,y)?2x?1，则?P?y?0，?Q?x?2，所以 ?P?Q?y??x即原方程不是恰当方程．２．(x?2y)dx?(2x?y)dy?0解：P(x,y)?x?2y,Q(x,y)?2x?y,则?P?y?2,?Q?x?2, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则xdx?(2ydx?2xdy)?ydy?0,两边积分得：x222xy?y2?2?C. 3．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0 （a,b和c为常数）．解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?y?b,?Q?x?b, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则axdx?bydx?bxdy?cydy?0,ax2cy2两边积分得：2?bxy?2?C. 4．(ax?by)dx?(bx?cy)dy?0(b?0)解：P(x,y)?ax?by,Q(x,y)?bx?cy,则?P?Q?y??b,?x?b, 因为 b?0, 所以?P?Q?y??x，即原方程不为恰当方程５．(t2?1)cosudu?2tsinudt?0解：P(t,u)?(t2?1)cosu,Q(t,u)?2tsinu则?P?t?2tcosu,?Q?x?2tcosu, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则(t2cosudu?2tsinudt)?cosudu?0,两边积分得：(t2?1)sinu?C. ６．(yex?2ex?y2)dx?(ex?2xy)dy?0解： P(x,y?yex?2ex?y2,Q(x,y)?ex?2xy，则?P?y?ex?2y,?Q?x?ex?2y, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程则2exdx?[(yex?y2)dx?(ex?2xy)dy]?0, 两边积分得：(2?y)ex?xy2?C.７．(yx?x2)dx?(lnx?2y)dy?0 解：P(x,y)?yx?x2Q(x,y)?lnx?2y,则?P1?Q?y?x,?x?1x, 所以?P?Q?y??x，即原方程为恰当方程则(yxdx?lnxdy)?x2dx?2ydy?0两边积分得：x33?ylnx?y2?C. ８．(ax2?by2)dx?cxydy?0(a,b和c为常数) 解：P(x,y)?ax2?by2,Q(x,y)?cxy,则?P?Q?y?2by,?x?cy, 所以当?P?Q?y??x，即方程为恰当方程则ax2dx?(by2dx?cxydy)?0两边积分得：ax3?bxy23?C. 而当2b?c时原方程不是恰当方程．９．2s?1s?t?s2dst2dt?0 解：P(t,s)?2s?1t)?s?s2,Q(t,st2, 则?P?t?1?2s?Q1?2s?P?Qt2,?s?t2, 所以?y??x，方程,s?s2两边积分得：t?C． 2b?c时，原即原方程为恰当10．xf(x2?y2)dx?yf(x2?y2)dy?0, 其中f(?)是连续的可微函数．解：P(x,y)?xf(x2?y2),Q(x,y)?yf(x2?y2),则?P?Q?y?2xyf?,?x?2xyf?, 所以?P?y??Q?x，即原方程为恰当方程,两边积分得：?f(x2?y2)dx?C,即原方程的解为F(x2?y2)?C (其中F为f的原积分)．习题２-2.1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义的区域:：dyx2（１）dx?y解：原方程即为：ydy?x2dx 两边积分得：3y2 ?2x3?C,y?0．dyx2（２）dx?y(1?x3)解：原方程即为：ydy?x21?x3dx两边积分得：3y2?2ln?x3?C,y?0,x??1．（３）dydx?y2sinx?0解：当y?0时原方程为：dyy2?sinxdx?0 两边积分得：1?(c?cosx)y?0．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为1?(c?cosx)y?0．（４）dydx?1?x?y2?xy2；解：原方程即为：dy1?y2?(1?x)dx 两边积分得：arctgy?x?x22?c，即 y?tg(x?x22?c)．（５）dydx?(cosxcos2y)2 解：①当cos2y?0时原方程即为：dy(cos2y)2?(cosx)2dx 两边积分得：2tg2y?2x?2sin2x?c．②cos2y=0，即y? k?2??4也是方程的解. （６）xdx??y2解：①当y??1时原方程即为：dydx?y2?x两边积分得：arcsiny?lnx?c．② y??1也是方程的解. dyx?e?x（７）．dx?y?ey解．原方程即为：(y?ey)dy?(x?e?x)dxk?N）（22两边积分得：y2?ey?x2?e?x?c，原方程的解为：y2?x2?2(ey?e?x)?c.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）sin2xdx?cos3ydy?0, y(?)??23解：两边积分得：?cos2x2?sin3y3?c，即 2sin3y?3cos2x?c因为 y(?2)??3, 所以 c?3.所以原方程满足初值问题的解为：2sin3y?3cos2x?3．（２）．xdx?ye?xdy?0， y(0)?1；解：原方程即为：xexdx?ydy?0，两边积分得：(x?1)exdx?y22dy?c，因为y(0)?1，所以c??12，所以原方程满足初值问题的解为：2(x?1)exdx?y2dy?1?0．（３）．d??r， r(0)?2；解：原方程即为：drr?d?，两边积分得：lc，因为r(0)?2，所以c?ln2，所以原方程满足初值问题的解为：lln2 即r?2e?．（４）．dydx?lnx1?y2,y(1)?0;解：原方程即为：(1?y2)dy?lnxdx,两边积分得：y?y33?x?xlnx?c, 因为y(1)?0，所以c?1，所以原方程满足初值为：y?y33?x?xlnx?1篇三：第2章习题 2第二章答案常微分方程教程+第二版+丁同仁+李承志+答案和练习（１）y?1)3. v?1?2， 2v?1ln1?u?1?u ?x?c，?8y??c． ?3 ,（２）, x2z?ce. ?x2?1(v?u)?2.（１）y??cos(x?y)2x?v,y2?u，①当cosu?11 两边积分得：ctg2 解：令u?x?y ②当cosu?1（２）(3uv?v)du?(u 解：方程两边同时乘以22?u??1 得?，令v??2?m?z，则m?zn，令n n，?2x2?y2?3)3.(3u2v?uv2)du?即 (3uvdu?u2322, u?y,v?xdy（３）(x?y?3)?dx22?m?n?，?udx＋p(x)ue?udx?q(x)e?udx．即有：u2?u??p(x)u5.c?2x)．45?．解：设此曲线为y?y(x)dyy?dxx?tg45??1dyy1?dxx6. 探照灯的反光镜（旋转面）反射成平行线束？维坐标系．设所求曲面由曲线??0；?3e3xy2)dy?0，?ey?c． 3x3?y??z?结为求 xy 平面上的曲线1?(2xe2y?)dy?0 y即(edx?2y1?)dy?0， y26（３）．(3x?)dxy?2dy)?0，y (3x2y即 (3x2x?c. （４）．ydx?(x2? 2)?dy?0， ylny?c（5）．2xydx?(x3 2?0 ，。

习 题 4—11．求解下列微分方程1） 22242x px p y ++= )(dx dy p =解 利用微分法得 0)1)(2(=++dx dp p x 当 10dp dx+=时.得p x c =-+ 从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解22242y p px x p x c ⎧=++⎨=-+⎩或消参数P.得通解 )2(2122x cx c y -+= 当 20x p +=时.则消去P.得特解 2x y -=2）2()y pxlnx xp =+； ⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy p 解 利用微分法得 (2)0dp lnx xp x p dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭当0=+p dxdp x 时.得 c px = 从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：2()y pxln xp px c ⎧=+⎨=⎩或消p 得通解 2y Clnx C =+ 当20lnx xp +=时.消去p 得特解 21()4y lnx =- 3）()21p p x y ++= ⎪⎭⎫ ⎝⎛=cx dy p 解 利用微分法.得x dx p p p -=+++2211 两边积分得 ()c x P P P =+++2211由此得原方程以P 为参数形式的通解：21(p p x y ++= .().11222c x p p p =+++或消去P 得通解222)(C C X y =-+ 1． 用参数法求解下列微分方程1）45222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为 221542=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy y 令2sin y t = 2cos 5dy t dx = 由此可推出 1515(2sin )22cos 2cos 5dx dy d t dt t t ===从而得 c t x +=25因此方程的通解为 52x t c =+ .2sin y t = 消去参数t.得通解22sin ()5y x C =- 对于方程除了上述通解.还有2±=y .0=dxdy .显然 2=y 和2-=y 是方程的两个解。

常微分方程第四章课后答案大家好，我是你们的语文老师小七。

在高中阶段很多学生对于课本上的知识点都有一些基础认识，但是有些同学在理解了这个知识点之后就不知道该如何去理解了，所以今天我就来给大家讲解一下常微分方程第四章课后习题练习。

这一章节主要讲两个内容：①什么是常微分方程；②常微分方程解法。

第一个内容是常微分方程解法的定义，这是在课本中找不到的知识。

这一部分主要要学习基本的表达式以及一些解析式。

第二个内容是常微分方程中积分法，对于初学者来说这一部分更是需要好好学习了。

下面我们就来了解一下这些知识点吧。

首先要明确一下这章节讲的内容不能单独做练习题，而是需要把每一道例题都做完才行。

这节课除了常规的知识会做一些相关例题之外，还会讲解下几道解析式以及常见的几种情况了。

1.线性表达式的两个性质线性表达式中含有一个值为 y,由定义可知 x的值为 y=0,这种情况下表达式的两个性质分别为①线性表达式有无限长时，函数的阶数不变；②线性表达式随解变小而逐渐递减；③线性表达式对任意一阶值的变换都可以得到对应形式，比如用n× n来表示（如矩阵）。

这两个性质可以通过具体例子来说明这一点。

在函数 x>0时，由于有无穷多个解，每个解都有相应的矩阵，并且在这个矩阵中存在相同的化简问题。

那么解方程中所含有的多变量就是这两个性质。

其中 x 和 y分别表示对一个函数 x和 y取对应微分时变量之间的关系。

另外还有一种情况会用到近似解来证明：即满足 k、 z、?三大条件中有任意一种条件时，可以得到一个近似求解的常微分方程：所以两个函数均满足 k、 z、?三大条件中任意一项就可以得到这类线性表达式下面这个解法：若 y为二元函数，则 y=2 x+1 y^2 x+1 y^2 x^2 x=+1x?1=+1x-2-0 （如矩阵）。

2.等比数列在常微分方程解法方面，我们的解法就是将该解法和实际中计算的解做一个等值处理。

我们通常将等值数列分为等比数列(m= m)和等比数列(m=1)。