北师大版八年级数学上册(课件)：27二次根式第2课时
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北师大版数学八年级上册 二次根式的运算
的值. 解：由题意得 32mn21n2，3， 解得
m
n
4, 3 1, 2
即 mn 4 1 6 .
32 3
归纳 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利 用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方 程求解即可.
【变式题】如果最简二次根式 2 3a 8与 17 2a 可以合
并，那么要使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
3. 下列二次根式，不能与 12 合并的是__②__⑤___ (填
序号）.
① 48 ；②- 125 ；③ 11 ；④ 3 ；⑤ 18.
3
2
例7
已知 a，b，c 满足 a
2
8
b5 c3
2 0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解分：析(：1)(1由)若题几意个得非a 负 式8 的 2和2为，零b ， 5则，这c 几3个2非. 负式 (必2)然能都. 理为由零如；下(2：)根∵据2三2角＜3形2的＜三5，边即关a＜系c来＜判b.断.
又∵ a c 5 2 5，∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为 a b c 5 2 5.
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
5 2，2 6，求其周长. 解：当腰长为 5 2 时， ∵ 5 2 5 2 10 2＞2 6， ∴ 此时能构成三角形，周长为 10 2+2 6； 当腰长为 2 6 时， ∵ 2 6 2 6 4 6＞5 2， ∴ 此时能构成三角形，周长为 5 2+4 6.
C. 2 3 5
D. 4 5 5 5 20 5
3. 计算：
北师大版八年级数学上册《2.7二次根式(第1、2课时)》课件
2 5;
2
3 12；
3 2
xy
1 ; x
4
288
1 . 72
2 5 2 5 10；
3 12 36 6；
(2) 3 12
1 1 2 xy 2 y； 3 2 xy x x
的式子叫做
例1 当x是怎样的实数时， 义？
x2
在实数范围内有意
解：由
x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
当x是怎样的实数时， x 在实数范围内有意义？ x ?
2
3
x为任意实数
x为大于或等于零的实数
练
习
1. 要画一个面积为18cm2的矩形，使它的宽与长的比 为2：3，则它的宽与长分别是多少？ 解：设其宽为2x，长为3x，则有
把
a a 反过来，就得到 b b
a a a 0, b 0 . b b
利用它可以进行二次根式的化简.
例5 化简：
1
3 ; 100
2
25 y . 2 9x
3 3 3 解： ； 1 100 10 100
25 y 5 y 25 y . 2 2 2 9x 3x 9x
2 3 2 a 2、 、 19 a
等，你发现有何特点？
（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.
被开方数4ab含 4，a，b这样的因 数或因式，其中4 可以开方后移到根 号外，它是开得 尽的因数
练习
1.计算：
1
解: (1)
6 5 2 30 2；
3
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计 (新版北师大版)
八年级数学上册2.7二次根式第2课时二次根式的运算教学设计（新版北师大版）一. 教材分析二次根式的运算是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行教学的。
这一节的内容主要包括二次根式的加减乘除运算，以及如何化简二次根式。
通过这一节的学习，学生能够进一步理解和掌握二次根式的运算规则，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对二次根式有一定的了解。
但是在实际操作中，部分学生可能会对二次根式的化简和运算规则理解不深，导致在解决问题时出现困难。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行讲解，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解和掌握二次根式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行二次根式的运算。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，学生能够掌握二次根式的化简方法，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，增强学生的自信心，使学生能够积极主动地参与数学学习。
四. 教学重难点1.重点：二次根式的加减乘除运算规则。
2.难点：二次根式的化简方法。
五. 教学方法采用讲解法、引导法、练习法进行教学。
通过实例分析，引导学生理解和掌握二次根式的运算规则，通过练习，巩固所学知识，提高学生的实际操作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作二次根式运算的教学课件，用于辅助教学。
2.练习题：准备一些有关二次根式运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入二次根式的运算。
例如：一个正方形的对角线长为8cm，求这个正方形的面积。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的加减乘除运算规则，并通过实例进行分析。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一些变式练习，巩固学生对二次根式运算规则的理解。
5.拓展（5分钟）讲解二次根式的化简方法，并进行一些化简练习。
北师大版八年级数学上册课件：2.7 二次根式 (共42张PPT)
aa
(ab≥0，b≥b0)
知识解读
（1）在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略被开方
数a，b均为非负数的条件；
（2）a必须是非负数，b必须是正数，式子 才成立.若a，
b都是负a数，则 ＞0，虽然 有意义，但
在a实数
范围内b无意义 a b
b a, b
例4 计算： 48 .
3
解： 48 48 16 4.
题型三 二次根式的加减运算在实际生活中的应用
例11“教师节”要到了，为了表示对老师的敬意，李 明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一 张面积为800 cm2，另一张面积为450 cm2，他想如果再用 金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有1.2 m长的金 彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如果不够， 还需买多长的金彩带？（ 2 ≈1.414，结果保留整数）
思路导图
计算出所需金彩 带的长度
将求出的长度与 1.2 m进行比较
根据比较 结果得出 结论
解：正方形壁画的边长分别为 800 cm， 450cm.
镶壁画边所用的金彩带长为 4 ( 800 450 )
4 (20 2 15 2) 140 2 197.96 (cm).
因为1.2 m=120 cm＜197.96 cm，
a a (a≥0，bb≥0) b
ab a b
知识解读
（1）
(a≥0，b≥0)中的a，b既可以是数，也可以是代数式，
但必a须b满cd足a≥0，ab≥·0.公b式·可c推·广到d多个非负因式的情况，如
(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0)；
（2） a （a≥a0，b＞0）中的a，b既可以是数，也可以是代数式， 但a，b必须b 满足a≥b0，
《二次根式(第2课时)》PPT课件 北师大版八年级数学
探究新知 素养考点 1
二次根式的加减乘除计算
例1 计算:
（1）3 2 2 3
（2） 12 3 - 5
（4） 13 3
13 - 3
（5）
12 -
1 3
3
（3）
2
5 1
（6） 8 18
2
解：(1)原式= 3 2 2 3 6 6
(2)原式= 12 3-5 36 - 5 =6-5=1
总结：只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二 次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘 （ a b k a b k（a 0,b 0,k 0) ）
巩固练习
变式训练
1.计算
12
1 2
的结果是 ( C )
A. 10 B.4
C. 6 D.2
2.下面计算结果正确的是( B )
33 5
=___5___
（6）（ 15+ 20） 5 =___3_+_2_
课堂检测
基础巩固题
4. 计算：
（1） 18- 1 2
（2） 18 + 32- 1 50
3
5
解：（1）原式= 9 2- 1 =3 2- 2 = 5 2
2
22
（2）原式= 9 2 + 16 2- 1 25 2 = 3 2 +4 2- 1 5 2
探究新知
素养考点 1 简单的二次根式的乘法运算
例1 计算:
（1） 3 5 ;
（2） 1 27 .
3
解: (1) 3 5 15 ;
(2) 1 27 1 27 9 3 .
3
3
探究新知
想一想 下边的式子如何运算？
2 3 5
北师大八年级数学上册--第二单元 2.2 二次根式的乘除运算--课件
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
(1) 2 3 = ６ (2) 5 7 = 35
问：观察上面的结果，你发现他们有什么特点吗？ 小组讨论 、抢答.
答：（1）被开方数都是正数； （2）两个二次根式相乘等于一个二次根式，
m a n b mn ab （a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9
20 (2 3 3)2 2018 360
解： (2) 6 15 10 6 15 10 233552
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解
例4 计算：(1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
2.2二次方根的乘除运算
复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
a2 a（a≥0）
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
校八年级数学上册2.7二次根式(第2课时)教案(新版)北师大版
2.7．二次根式一．教学目标：1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简。
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．通过独立思考，能选择合理的方法解决问题．4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法．根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．二、教学过程设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；第三环节：问题解决；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置.第一环节：复习引入内容：（1）最简二次根式的概念；（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？（3）上节课课后作业：若，，，求．你是怎样解决的？第二环节：知识巩固1.巩固提升例1 计算：（1）；（2）；（3）．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝＝＝＝．注意：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．2.交流收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．3.反思以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？4.练习化简：（1）；（2）；（3）．解：（1）＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝＝＝＝10．第三环节：问题解决如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．1.交流让学生充分发表意见．2.答案（1）直接求法．过点D作AB边上的高DE，可发现边AB，DC及DE都是某一个小直角三角形的斜边．根据勾股定理可求得AB＝， CD＝，DE＝，面积梯形ABCD的面积是＝18.（2）间接求法．将梯形ABCD补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形ABCD的面积是＝18．第四环节：知识提升1.知识探索问题：（）等于多少？根据算术平方根的定义，可知（）．2.知识运用例5 化简：（1）（，）；（2）（）；（3）（，）．解：（1）＝＝＝；（2）＝＝；（3）＝＝＝．3.课堂练习1.当，时化简：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）＝＝＝＝；（2）＝＝＝；（3）＝＝＝＝；（4）＝＝＝＝＝＝＝．2. 求代数式的值，其中，．解：由题知，．＝＝＝＝．当，时，＝．第五环节：课堂小结（1）二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．（2）利用式子（）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．第六环节：课后作业习题 2．11 1， 3补充作业：化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．五、教学反思拓展练习1．长方形的长和宽分别为，，这个长方形的面积是．2．三角形的三边长分别是，，，这个三角形的周长是．3．直角三角形的两直角边分别是，，这个直角三角形的斜边是．4．已知，，求的值．5．化简．6．解下列方程：（1）；（2）．7．化简：（1）；（2）。
北师大版八年级上册课件 第二章2.7.2二次根式(共21张PPT)
〔3〕、原式 2 5 3 5 1 5 6 5
5
5
〔4〕、原式 1 2 5 2 4 2 28 5
3
3
〔5〕、原式 6 1 6 1 6 6 5 6
23
6
2. 计算
，结果正确的选项是〔B
〕
3. 计算： 解：
4.一个直角三角形的两直角边分别是 5 cm和 45
cm，求这个三角形的面积。
〔2〕公式 a b a b（a≥0，b≥0），
a a （a≥0，b＞0）
bb
从左往右或从右往左在化简中能灵活运用．
提高题： x 2 3, y 2 3,
求x2 xy y 2
解： x 2 3, y 2 3, x y (2 3) （2 3） 2 3
xy (2 3)（2 3） 1
第二章 实数
§2.7.2 二次根式
第2课时
学习目标〔1分钟〕：
1.公式 a b a b〔a≥0，b≥0〕，
a a 〔a≥0,b＞0〕从右往左的运用． bb
2.了解二次根式的化简要求， 利用化简对实数进行简单的乘除、加减运算．
知识回忆
〔1〕被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因 数、因式，那么需要化简；
5.一个长方形的长和宽分别是 2 1 cm和 2 1
cm。求它的面积S和它的对角线长。〔运用平方差公式〕
〔2〕两个公式
分别把下面两个式子 ab a b (a 0，b 0)， a a (a 0，b 0) bb
等号的左边与右边对换 ，就得到二次根式的乘 法法则和除法法则 :
自学指导1：5分钟
自学课本P44的例题3；进一步熟悉公式，并解答下题
例1Байду номын сангаас计算：
解：
北师大初中数学八上27二次根式课件 1
7．解：x2＋xy＋y2＝(x2＋2xy＋y2)－xy＝(x＋y)2－xy＝(2－ 3 ＋2＋ 3)2－(2－ 3)(2＋ 3)＝16－1＝15.
谢谢观赏！
Thanks!
16×
2－5
2 4
＋6 126＝4 2－52 2＋32 2＝3 2.
(4)原式＝3 4×5－ 9×5－ 255＝3× 4× 5－ 9× 5
－ 255＝6 5－3 5－ 55＝154 5.
(5)3 18＋15 50－4 12＝9 2＋ 2－2 2＝8 2. (6) 48÷ 3－ 12× 12＋ 24＝ 438－ 12×12＋2 6＝ 4－ 6＋2 6＝4＋ 6.
课前热身 1．最简二次根式 被开方数 2．A 8－ 2＝2 2－ 2＝ 2.
随堂演练 1．C 8× 12＋ 3＝ 8×12＋ 3＝2＋ 3，故选 C. 2．C 由二次根式的加减法则可得． 3．3 4.1＋ 5
13 5. 6 2 原式＝(2 6＋ 66)÷ 3 ＝163 6÷ 3 ＝162 2.
6．计算： (1)3 40－ 25－2 110； (2)2 12－4 217＋3 48； (3) 32－5 12＋6 18；
(4)3 20－ 45－ 15； (5)3 18＋15 50－4 12； (6) 48÷ 3－ 12× 12＋ 24.
7．已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求 x2＋xy＋y2 的值．
① x＋ y＝ x＋y；② a＋2＝2 a；③6 3－2 3＝4 3；
④5
2a－
8a＝3
2a；⑤
8＋ 2
18＝
4＋
9＝5.其中正确的是
() A．①和③ B．②和③
C．③和④ D．③和⑤
3. 38× 24化简的结果是________． 4．计算：( 5＋2)(3－ 5)＝________. 5．计算：???? 24＋ 16????÷ 3＝________.
初中数学《二次根式》完整版 【北师大版】1
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14. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题.
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（1）上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出 代号________. （2）错误的原因是什么？ （3）请你写出正确的解法.
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二级能力提升练 11. 能使等式 是（ C ） A. x≠2 C. x>2
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成立的x的取值范围
B. x≥0 D. x≥2
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谢谢！
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第二章 实数
第7课 二次根式
新课学习
知识点1.二次根式的定义 一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根，a叫做被 开方数.
1. （例1）下列式子不是二次根式的是（ D ）
2. 当1≤x<5时，
= 4.
知识点2.最简二次根式的定义 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的 因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
7. 已知 x-y2的值.