2020年初三数学一模试卷(含答案)

2020年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±42．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣64．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝25．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5 6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．67．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．68．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3 9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．16．（6分）计算：（+）÷．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c （1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±4【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵22＝4，∴4算术平方根为2．故选：B．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：D．4．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2【分析】把方程的左边的式子进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0∴x1＝1，x2＝2．故选：A．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．【解答】解：根据该几何体的俯视图的面积为5，可知每个小正方体的棱长为1，从正面看有两层，底层是三个正方形，上层是一个正方形，所以这个几何体的主视图的面积为4．故选：B．7．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．6【分析】将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、m 的值即可．【解答】解：把点A（2，m），B（﹣1，6）分别代入，得．解得k＝﹣6，m＝﹣3．故选：A．8．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是BD的线段垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】连接OA，由垂径定理得：AC＝BC，根据勾股定理，可以求出AC的长，从而得AB的长．【解答】解：如图，连接OA，∵OC⊥AB于点C，∴AC＝BC，∵⊙O的半径是5，∴OA＝5，又OC＝3，所以在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，所以AB＝2AC＝8．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x＝6x﹣2，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案为：x＝2．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】根据点P1、P2的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为6﹣2．【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM＝DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，∴x＝（2﹣x），解得x＝4﹣2，∴CM＝4﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝4﹣2，∴BF＝BC+CF＝2+4﹣2＝6﹣2．故答案为：6﹣2．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为100°．【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠BOD，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：连接OD，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝80°，∵BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OD⊥AD，∴∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，∴∠A＝180°﹣∠BOD＝100°，故答案为：100°．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解．【解答】解：（1）2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2＝2×﹣+1﹣4＝﹣+1﹣4＝﹣3；（2），解不等式①得x＞1.5；解不等式②得x≤3．故不等式组的解集为1.5＜x≤3．16．（6分）计算：（+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•＝•＝．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，进而求得BE、AE的大小，再利用AB＝BE﹣AE可求出答案．【解答】解：作DG⊥AE于G，则∠BDG＝α，则四边形DCEG为矩形．∴DG＝CE＝35m，EG＝DC＝1.6m在直角三角形BDG中，BG＝DG•×tanα＝35×0.58＝20.3m，∴BE＝20.3+1.6＝21.9m．∵斜坡AC的坡比为i AC＝1：10，CE＝35m，∴EA＝35×＝3.5，∴AB＝BE﹣AE＝21.9﹣3.5≈18m．答：旗杆AB的高度为18m．18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35＝300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a＝300×0.3＝90（人），b＝＝0.15，c＝＝0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0①，由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，得到E（﹣，0），解方程组得到B（6，﹣2），连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），∴3k+b＝0①，点C到y轴的距离是3，∵k＜0，∴b＞0，∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴×3×b＝3，解得：b＝2．把b＝2代入①，解得：k＝﹣，则函数的解析式是y＝﹣x+2．故这个函数的解析式为y＝﹣x+2；把点A（a，4）代入y＝﹣x+2得，4＝﹣a+2，解得：a＝﹣3，∴A（﹣3，4），∴m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，即0＝﹣x﹣3，解得：x＝﹣，∴E（﹣，0），解得，，，∴B（6，﹣2），连接AE，BE，∵AB∥DE，∴S△ADB＝S△AEB＝（3+）×4+（3+）×2＝．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．【分析】（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE ＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论；（2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到＝，推出CD•DE＝AO2﹣OD2；由△ACP∽△CBP，得到，得到PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，于是得到结论；（3）由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；把已知条件代入得到OD＝1（负值舍去），求得AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为﹣2．【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a﹣b的值，此题得解．【解答】解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），∴2＝﹣a+b，∴a﹣b＝﹣2．故答案为：﹣2．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；，解①得：x＜7，当a＞0，解②得：x＞，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故＝3，即b＝6，a＝2符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故＝3，即b＝﹣6，a＝﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：＝．故答案为：．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为1．【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+mx﹣m得，①﹣②得2a＝2am，解得m＝1，故答案为1．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为2．【分析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．再根据矩形性质和勾股定理即可求出DG的长．【解答】解：如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．∵BC＝AD＝2，AB＝CD＝6，根据翻折可知：DE＝EF＝x，AF＝AD＝2，则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF＝＝4，则BE＝BF+EF＝4+x，在Rt△BEC中，根据勾股定理，得（4+x）2＝（6﹣x）2+（2）2，解得x＝2．则DG的最大值为2．故答案为：2．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为3．【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b．【解答】解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0），∴OA＝OB＝b，∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），∵＝，∴＝，整理得，12a2+17ab﹣14b2＝0，解得，a1＝b，a2＝﹣b（舍去），则D（b，﹣b），∴b×（﹣b）＝﹣4，解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去），∴b＝3，故答案为：3．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？【分析】（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，根据实际比计划多购进100盏彩灯，列方程求解；（2）设再购进彩灯a盏，根据利润＝售价﹣进价和货栈要想获得利润不低于15000元列出不等式并解答．【解答】解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，依题意得：＝+100，解得x＝75，经检验x＝75是所列方程的根，则0.8x＝0.8×75＝60（元）．答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；（2）设再购进彩灯a盏，由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），依题意得：（500+a）（1﹣20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5﹣60]≥15000，解得a≥．因为a取正整数，所以a＝215．答：至少再购进彩灯215盏．27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．【分析】（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，由此即可证明；（2）连接BF，延长EB1交AA1于M．由△MFB1∽△MEA1，推出△MEF∽△MA1B1，推出∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝F A1；（3）首先求出AE，由cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，根据AF＝AE•cos∠EAF，计算即可；【解答】（1）证明：如图∵EB＝EB1，EA＝EA1，∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，∵∠BEB1＝∠AEA1，∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，∴△AA1E∽△BB1E．（2）证明：连接BF，延长EB1交AA1于M．∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1，∴△MFB1∽△MEA1，∴＝，∴＝，∵∠EMF＝∠A1MB1，∴△MEF∽△MA1B1，∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°，∴EF⊥AA1，∵EA＝EA1，∴AF＝F A1．（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1，∴AE＝＝，∵DG＝GC，∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，AF＝AE•cos∠EAF＝•＝．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．【分析】（1）先求出对称轴为x＝4，进而求出AB＝4，进而求出点A，B坐标，即可得出结论；（2）利用面积的和差建立方程求解，即可得出结论；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，先判断出点E，M，Q，P四点共圆，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判断出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝＝2，得出HG ＝HM＝1，进而求出Q（8，6），得出结论；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，先判断出△PDQ∽△EFP，得出，进而判断出DP＝，PF＝2QD，即可得出结论．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．。

2020年中考数学一模试卷一、选择题1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．2．如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+184．若正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m等于（）A．2B．﹣2C．4D．﹣45．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．15°B．35°C．25°D．40°6．在平面直角坐标系中，将直线y＝3x的图象向左平移m个单位，使其与直线y＝﹣x+6的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞6D．m＜67．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AC＝5，AD＝3，BC＝CD．则点C 到AB的距离是（）A．B．C．3D．28．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．9．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（）A．B．C．D．410．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），直线AB交y轴于点B（0，﹣7），动点C（x，y）在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是（）A．有最小值9B．有最大值9C．有最小值8D．有最大值8二、填空题（共4小题，每题3分，共计12分）11．将实数0，﹣，2.7，﹣1.4，0.14用“＜”号连接起来应为．12．任意五边形的内角和与外角和的差为度．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k 的值等于．14．如图，线段BC和动点A构成△ABC，∠BAC＝120°，BC＝3，则△ABC周长的最大值．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．计算：16．先化简，再求值：（x+1）÷（2+），其中x＝﹣．17．如右图，已知点P是线段MN外一点，请利用直尺和圆规画一点Q，使得点Q到M、N两点的距离相等，且点Q与点M、P在同一条直线上．（保留作图痕迹）18．如图，AB∥CF，D，E分别是AB，AC上的点，DE＝EF．求证：△ADE≌△CFE．19．某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2040%良好合格10m%不合格5n%请根据以上信息，解答下列问题：优秀良（1）本次调查随机抽取了名学生；表中m＝，n＝；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．20．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．21．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系（1）求线段OP对应的y甲与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）求y乙与x的函数关系式以及乙到达A地所用的时间；（3）经过小时，甲、乙两人相距2km．22．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．23．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°；以斜边AB上的一点O为圆心作圆O，与AC、BC分别相切与点D、E．（1）求证：CD＝CE；（2）若AC＝8，AB＝10；求AD的长．24．已知二次函数L与y轴交于点C（0，3），且过点（1，0），（3，0）．（1）求二次函数L的解析式及顶点H的坐标（2）已知x轴上的某点M（t，0）；若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；试说明四边形CHC′H′为平行四边形．（3）若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时，称这种平行四边形为“和谐四边形”；在（2）的条件下，当平行四边形CHC′H′为“和谐四边形”时，求t的值．25．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为；问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（每题3分，共计36分）1．﹣2020的绝对值是（）A．﹣2020B．2020C．﹣D．【分析】根据绝对值的定义直接进行计算．解：根据绝对值的概念可知：|﹣2020|＝2020，故选：B．2．如果有一个正方体，它的展开图可能是下列四个展开图中的（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解：由原正方体的特征可知，含有4，6，8的数字的三个面一定相交于一点，而选项B、C、D中，经过折叠后与含有4，6，8的数字的三个面一定相交于一点不符．故选：A．3．下列计算正确的是（）A．（x﹣8y）（x﹣y）＝x2+8y2B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3+x2﹣x D．（6xy+18x）÷x＝6y+18【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，本题得以解决．解：∵（x﹣8y）（x﹣y）＝x2﹣9xy+8y2，故选项A错误；∵（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故选项B错误；∵﹣x（x2+x﹣1）＝﹣x3﹣x2+x，故选项C错误；∵（6xy+18x）÷x＝6y+18，故选项D正确；故选：D．4．若正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m等于（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】利用待定系数法求出m，再结合函数的性质即可解决问题．解：∵y＝mx（m是常数，m≠0）的图象经过点A（m，4），∴m2＝4，∴m＝±2，∵y的值随x值的增大而减小，∴m＜0，∴m＝﹣2，故选：B．5．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上．若∠1＝65°，则∠2的度数为（）A．15°B．35°C．25°D．40°【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝65°，∴∠3＝65°，∴∠2＝90°﹣65°＝25°．故选：C．6．在平面直角坐标系中，将直线y＝3x的图象向左平移m个单位，使其与直线y＝﹣x+6的交点在第二象限，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞6D．m＜6【分析】将直线y＝3x的图象向左平移m个单位可得：y＝3（x+m），求出直线y＝3（x+m），与直线y＝﹣x+6的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．解：将直线y＝3x的图象向左平移m个单位可得：y＝3（x+m），联立两直线解析式得：，解得：，即交点坐标为（，），∵交点在第二象限，∴，解得：m＞2．故选：A．7．如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AC＝5，AD＝3，BC＝CD．则点C 到AB的距离是（）A．B．C．3D．2【分析】在AB上截取AE＝AD＝3，连接CE，过C作CF⊥AB于F点，根据SAS定理得出△ADC≌△AEC，故可得出CE＝CD，再由垂直平分线的性质求出AF的长，根据勾股定理即可得出结论．解：在AB上截取AE＝AD＝3，连接CE，过C作CF⊥AB于F点．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．在△ADC与△AEC中，∵，∴△ADC≌△AEC（SAS），∴CE＝CD．∵CD＝CB，∴CE＝CB．∵CF⊥BE，∴CF垂直平分BE．∵AB＝5，∴BE＝2，∴EF＝1，∴AF＝4，在Rt△ACF中，∵CF2＝AC2﹣AF2＝52﹣42＝9，∴CF＝3．故选：C．8．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（）A．B．C．D．【分析】作EF⊥BC于F，构造Rt△CFE中和Rt△BEF，由已知条件AB＝，BC＝3，可求得∠ADB＝30°，所以Rt△CFE和Rt△BEF都可解，从而求出BE，BF的长，再求出CF的长，在Rt△CFE中利用勾股定理可求出EC的长．解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．9．如图，△ABC内接于⊙O，AC＝5，BC＝12，且∠A＝90°+∠B，则点O到AB的距离为（）A．B．C．D．4【分析】作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，利用圆周角定理得到∠CBD＝90°，再证明CD∥AB得到•∠BDC＝∠ABC，所以BD＝AC ＝5．然后利用勾股定理计算出CD，再利用面积法求出BN即可．解：作直径CD，连BD，过O作OM⊥AB于M，过B作BN⊥CD于N，如图，则∠CBD ＝90°，∵∠A＝90°+∠ABC，∴∠ABD+∠D＝∠A+∠D＝180°，∴CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC，∴＝，∴BD＝AC＝5．∴OM＝BN，在Rt△ABD中，CD＝＝13，∵×BN×CD＝×BC×BD，∴BN═＝＝，∴OM＝，即点O到AB的距离为．故选：B．10．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），直线AB交y轴于点B（0，﹣7），动点C（x，y）在直线AB上，且1＜x＜7，过点C作x轴的垂线交抛物线于点D，则CD的最值情况是（）A．有最小值9B．有最大值9C．有最小值8D．有最大值8【分析】根据待定系数法求得抛物线的解析式好我在想AB的解析式，设C（x，x﹣7），则D（x，x2﹣7x），根据图象的位置即可得出CD＝﹣（x﹣4）2+9，根据二次函数的性质即可求得．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O和点A（7，0），∴，解得，∴二次函数为y＝x2﹣7x，∵A（7，0），B（0，﹣7），∴直线AB为：y＝x﹣7，设C（x，x﹣7），则D（x，x2﹣7x），∴CD＝x﹣7﹣（x2﹣7x）＝﹣x2+8x﹣7＝﹣（x﹣4）2+9，∴1＜x＜7范围内，有最大值9，故选：B．二、填空题（共4小题，每题3分，共计12分）11．将实数0，﹣，2.7，﹣1.4，0.14用“＜”号连接起来应为﹣＜﹣1.4＜0＜0.14＜2.7．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．解：将实数0，﹣，2.7，﹣1.4，0.14用“＜”号连接起来应为﹣＜﹣1.4＜0＜0.14＜2.7．故答案为：﹣＜﹣1.4＜0＜0.14＜2.7．12．任意五边形的内角和与外角和的差为180度．【分析】利用多边形的内角和公式求出五边形的内角和，再结合其外角和为360度，即可解决问题．解：任意五边形的内角和是180×（5﹣2）＝540度；任意五边形的外角和都是360度；所以任意五边形的内角和与外角和的差为540﹣360＝180度．故答案为：180．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的负半轴上，反比例函数y＝（x＜0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为6，则k 的值等于﹣2．【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k的值，本题得以解决．解：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），则﹣a•＝6，点D的坐标为（，），∴，解得，k＝﹣2，故答案为﹣2．14．如图，线段BC和动点A构成△ABC，∠BAC＝120°，BC＝3，则△ABC周长的最大值3+2．【分析】延长BA到D，使AD＝AC，连接CD，作△BCD的外接圆⊙O，当BD的长度最大时，△ABC周长最大，而BD为⊙O的直径时，BD最大．设⊙O的半径为r，连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，根据垂径定理得出BE的长，再用正弦函数得出OB的长度，则BD的最大值可得，从而△ABC周长的最大值可得．解：延长BA到D，使AD＝AC，连接CD，作△BCD的外接圆⊙O，∵AD＝AC，∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝AB+BC+AD＝BD+BC．∵BC＝3，∴当BD的长度最大时，△ABC周长最大，∴当点A与点O重合时，BD为⊙O的直径，BD最大．设⊙O的半径为r，连接OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝120°，∴∠BOE＝∠AOB＝60°．∵BC＝3，OE⊥BC，∴BE＝，∴＝sin60°，∴＝，∴r＝，∴BD的最大值为2r＝2．∴△ABC周长的最大值为3+2．故答案为：3+2．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）15．计算：【分析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．解：原式＝1﹣1+3+4+3×＝1﹣1+3+4+＝7+．16．先化简，再求值：（x+1）÷（2+），其中x＝﹣．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．解：（x+1）÷（2+）＝（x+1）÷＝（x+1）＝，当x＝﹣时，原式＝＝．17．如右图，已知点P是线段MN外一点，请利用直尺和圆规画一点Q，使得点Q到M、N两点的距离相等，且点Q与点M、P在同一条直线上．（保留作图痕迹）【分析】作线段MN的垂直平分线与射线PM的交点即为所求作的点．解：作MN的垂直平分线l，连接并延长PM交l于点Q．点Q即为所求作的点．18．如图，AB∥CF，D，E分别是AB，AC上的点，DE＝EF．求证：△ADE≌△CFE．【分析】首先根据AB∥CF可得∠ADE＝∠F，再加上对顶角∠AED＝∠CEF，和条件DE＝EF可利用ASA证明△ADE≌△CFE．解：∵AB∥CF，∴∠ADE＝∠F，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（ASA）．19．某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动，为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、不合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．等级频数频率优秀2040%良好合格10m%不合格5n%请根据以上信息，解答下列问题：优秀良（1）本次调查随机抽取了50名学生；表中m＝20，n＝10；（2）补全条形统计图；（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．【分析】（1）用优秀的人数除以优秀的人数所占的百分比即可得到总人数；（2）根据题意补全条形统计图即可得到结果；（3）全校2000名乘以“优秀”和“良好”等级的学生数所占的百分比即可得到结论．【解答】解：（1）本次调查随机抽取了20÷40%＝50名学生，＝20%，＝10%，∴m＝20，n＝10，故答案为：50，20，10；（2）补全条形统计图如图所示；（3）2000×＝1400人，答：该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1400人．20．图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【分析】过B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．21．甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ 和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x（h）之间的函数关系（1）求线段OP对应的y甲与x的函数关系式并注明自变量x的取值范围；（2）求y乙与x的函数关系式以及乙到达A地所用的时间；（3）经过或小时，甲、乙两人相距2km．【分析】（1）根据函数图象中的数据，利用待定系数法可以求得线段OP对应的y甲与x 的函数关系式；（2）利用待定系数法可以求得y乙与x的函数关系式以及乙到达A地所用的时间；（3）根据（1）和（2）中的函数解析式，可以求得经过多少小时，甲、乙两人相距2km．解：（1）设线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝kx（k≠0），12＝k，得k＝18，即线段OP对应的y甲与x的函数关系式为y甲＝18x（0＜x＜）；（2）设y乙与x的函数关系式为y乙＝ax+b，，解得，即y乙与x的函数关系式为y乙＝﹣4.5x+12，当y乙＝0时，﹣4.5x+12＝0，解得x＝，∴乙到达A地所用的时间小时；（3）|（﹣4.5x+12）﹣18x|＝2，﹣4.5x+12﹣18x＝2或18x﹣（﹣4.5x+12）＝2，解得，x＝或x＝，∴经过或小时，甲、乙两人相距2km．故答案为：或．22．为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．【分析】（1）直接根据概率公式计算可得；（2）画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，所以八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；故答案为．（2）树状图如图所示：共有9种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率＝＝．23．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°；以斜边AB上的一点O为圆心作圆O，与AC、BC分别相切与点D、E．（1）求证：CD＝CE；（2）若AC＝8，AB＝10；求AD的长．【分析】（1）连接OD、OE，根据切线的性质、正方形的判定定理得到四边形OECD 为正方形，根据正方形的性质证明结论；（2）根据勾股定理求出BC，证明△AOD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OD、OE，∵AC、BC都与圆O相切，∴OE⊥BC，OD⊥AC，又∠C＝90°，∴四边形OECD为矩形，∵OD＝OE，∴四边形OECD为正方形，∴CD＝CE；（2）解：设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴＝，即＝，解得，r＝，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣＝．24．已知二次函数L与y轴交于点C（0，3），且过点（1，0），（3，0）．（1）求二次函数L的解析式及顶点H的坐标（2）已知x轴上的某点M（t，0）；若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；试说明四边形CHC′H′为平行四边形．（3）若平行四边形的边与某一条对角线互相垂直时，称这种平行四边形为“和谐四边形”；在（2）的条件下，当平行四边形CHC′H′为“和谐四边形”时，求t的值．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式，由配方法可求顶点坐标；（2）由中心对称的性质可得CM＝C'M，HM＝H'M，可得结论；（3）分四种情况讨论，由两点距离公式和一次函数的性质可求解．解：（1）设二次函数L的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）由题意可得：解得：∴二次函数L的解析式为：y＝x2﹣4x+3，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点H的坐标（2，﹣1）（2）∵若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；∴CM＝C'M，HM＝H'M，∴四边形CHC′H′为平行四边形；（3）∵点C（0，3），点H（2，﹣1）∴直线CH解析式为：y＝﹣2x+3；若CC'⊥CH时，则CC'解析式为：y＝x+3，当y＝0时，0＝t+3，∴t＝﹣6；若HH'⊥CH时，则HH'解析式为：y＝x﹣2，当y＝0时，0＝t﹣2，∴t＝4∵若抛物线L关于点M对称的新抛物线为L′，且点C、H的对应点分别为C′，H′；∴点C'（2t，﹣3），点H'（2t﹣2，1）若CH'⊥HH'，则H'C2+H'H2＝CH2，∴（2t﹣2﹣0）2+（3﹣1）2+（2t﹣2﹣2）2+（1+1）2＝（0﹣2）2+（3+1）2，∴t＝若CC'⊥CH'，则H'C2+C'C2＝C'H'2，∴（2t﹣2﹣0）2+（3﹣1）2+（2t﹣0）2+（3+3）2＝（0﹣2）2+（3+1）2，∴△＜0，方程无解；综上所述：t＝或4或﹣6．25．问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，则四边形ABCD的面积为3；问题探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分别找一点E、F，使得△BEF的周长最小，并求出△BEF的最小周长；问题解决：（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，则在四边形ABCD中（包含其边沿）是否存在一点E，使得∠AEC＝30°，且使四边形ABCE的面积最大．若存在，找出点E的位置，并求出四边形ABCE的最大面积；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意可证△ABD≌△CBD，可得∠ADB＝∠CDB＝30°，可求AB＝BC ＝，即可求四边形ABCD的面积；（2）由轴对称的性质可得BE＝EM，AB＝AM＝2，BF＝FN，BC＝CN＝3，可得△BEF 的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，由勾股定理可求MN的长，即可得△BEF的最小周长；（3）由圆的内接四边形性质可得∠AEC＝30°，由矩形的性质可得BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，由勾股定理可得CE＝4+2＝AE，由当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大，即可求四边形ABCE的最大面积．解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°∴△ABD≌△CBD（SAS）∴∠ADB＝∠CDB，且∠ADC＝60°∴∠ADB＝∠CDB＝30°，且∠BAD＝∠BCD＝90°∴AB＝BC＝∴四边形ABCD的面积＝2××3×＝3故答案为：3（2）如图，作点B关于AD的对称点M，作点B关于CD的对称点N，连接MN，交AD 于点E，交CD于点F，过点M作MG⊥BC，交CB的延长线于点G，∵点B，点M关于AD对称∴BE＝EM，AB＝AM＝2，∴BM＝4∵点B，点N关于CD对称∴BF＝FN，BC＝CN＝3∴△BEF的周长＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN∵∠ABC＝135°，∴∠GBM＝45°，且GM⊥BG，∴∠GBM＝∠GMB＝45°∴BG＝GM，且BG2+GM2＝BM2，∴BG＝4＝GM，∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，∴在Rt△GMN中，MN＝＝＝2∴△BEF的最小周长为2（3）作△ABC的外接圆，交CD于点E，连接AC，AE，过点A作AM⊥CD于点M，作BN⊥AM于点N，∵四边形ABCE是圆内接四边形∴∠ABC+∠AEC＝180°∴∠AEC＝30°，∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形BCMN是矩形∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，∵∠ABC＝150°，∴∠ABN＝60°，且BN⊥AM∴∠BAN＝30°，∴BN＝AB＝1，AN＝BN＝∴AM＝+2，CM＝1∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，∴AE＝2AM＝2+4，ME＝AM＝3+2∴CE＝CM+ME＝4+2＝AE∴点E在AC垂直平分线上，∵S四边形ABCE＝S△ABC+S△ACE，且S△ABC是定值，AC长度是定值，点E在△ABC的外接圆上，∴当点E在AC的垂直平分线上时，S四边形ABCE最大∴S四边形ABCE＝S四边形ABCM+S△AME＝××1+＝8+4。

2020年初三数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．－3的绝对值是 A ．－13B ．－3C ．13D ．32．函数中y ＝x2－x 自变量x 的取值范围是A ．x ≥2B ．x ≤2C ．x ≠2D ．x ＞23．在下列四个图形中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是 A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．(－2a 2)3＝8a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．(a －b )2＝a 2－b 25．某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的 A ．最高分B ．方差C ．中位数D ．平均数6．下列图形中，主视图为①的是A ．BC ．D ．7．已知a －b ＝2，则a 2－b 2－4b 的值为 A ．2B ．4C ．6D ．88．下列判断错误的是A ．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是平行四边形9．如图，平面直角坐标系中，A （－8，0），B （－8，4），C （0，4），反比例函数y ＝k x的图象分别与线段AB ，BC 交于点D ，E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k ＝ A ．－20B ．－16C ．－12D ．－810．如图，等边三角形ABC 边长是定值，点O 是它的外心，过点O 任意作一条直线分别交AB ，BC 于点D ，E ．将△BDE 沿直线DE 折叠，得到△B ′DE ，若B ′D ，B ′E 分别交AC 于点F ，G ，连接OF ，OG ，则下列判断错误的是 A ．△ADF ≌△CGEB ．△B ′FG 的周长是一个定值C ．四边形FOEC 的面积是一个定值D ．四边形OGB ′F 的面积是一个定值二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 11．16的平方根是 ．12．某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400，将12400用科学记数法表示应为 ． 13．若3m ＝5，3n ＝8，则32m ＋n＝ ．14．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，OC ∥AD ，∠DAB ＝60°，∠ADC ＝106°，则∠OCB ＝ ． 16．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，D 为BC 边的中点，以AD 上一点O 为圆心的O 和AB ，BC 均相切，则⊙O 的半径为 ．（第16题图）（第15题图）ABCDFGB′O（第10题图）（第9题图）（第6题图①）17．如图，二次函数y ＝(x ＋2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，与x 轴的一个交点为A （－1，0），点B在抛物线上，且与点C 关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A ，B 两点，根据图象，则满足不等式(x ＋2)2＋m ≤kx ＋b 的x 的取值范围是 ．18．如图，正方形ABCD 和Rt △AEF ，AB ＝5，AE ＝AF ＝4，连接BF ，DE ．若△AEF 绕点A 旋转，当∠ABF 最大时，S △ADE ＝ ．三、解答题（共84分） 19．（本题满分8分）（1）计算：(π－3)0＋2sin45°－⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1 （2）解不等式组：⎩⎨⎧1－2x ＜3x ＋13＜220．（本题满分8分）解方程： （1）x 2－8x ＋1＝0 （2）3x －2－1－x2－x＝121．（本题满分8分）如图，□ABCD 中，E 为AD 的中点，直线BE ，CD 相交于点F ．连接AF ，BD ． （1）求证：AB ＝DF ；（2）若AB ＝BD ，求证：四边形ABDF 是菱形．ABCDEF（第18题图）（第17题图）22．（本题满分8分）某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90≤x ≤100；B 组：80≤x ＜90；C 组：70≤x ＜80；D 组：60≤x ＜70；E 组：x ＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有________人，请将两幅统计图补充完整； （2）抽取的测试成绩的中位数落在________组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？调查测试成绩扇形统计图ADFEBC23．（本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和A，B，C三把不同的钥匙．其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24．（本题满分8分）如图，△ABC中，⊙O经过A，B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．25．（本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．y/千克）26．（本题满分8分）如图，线段OB 放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画（工具只能用直尺）射线OA ，使tan ∠AOB 的值分别为1，2，3．27．（本题满分10分）已知，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ＞0）图象的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点C ，B 关于过点A 的直线l 对称，直线l 与y 轴交于D ． （1）求A ，B 两点坐标及直线l 的解析式； （2）求二次函数解析式；（3）在第三象限抛物线上有一个动点E ，连接OE 交直线l 于点F ，求EFOF的最大值．BO图3B O图2B O图128．（本题满分10分）如图，矩形ABCD ，AB ＝2，BC ＝10，点E 为AD 上一点，且AE ＝AB ，点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰Rt △BFG ，以BG ，BF 为邻边作□BFHG ，连接AG ．设点F 的运动时间为t 秒，（1）试说明：△ABG ∽△EBF ；（2）当点H 落在直线CD 上时，求t 的值；（3）点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出HC 的最小值．图2AB CDE图1ABC DFEG H9．如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20 B．﹣16 C．﹣12 D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【解答】解：过点E作EG⊥OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则△BDE≌△FDE，∴BD＝FD，BE＝FE，∠DFE＝∠DBE＝90°易证△ADF∽△GFE∴，∴AF：EG＝BD：BE，∵A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），∴AB＝OC＝EG＝4，OA＝BC＝8，∵D、E在反比例函数y＝的图象上，∴E（，4）、D（﹣8，）∴OG＝EC＝，AD＝﹣，∴BD＝4+，BE＝8+∴，∴AF＝，在Rt△ADF中，由勾股定理：AD2+AF2＝DF2即：（﹣）2+22＝（4+）2解得：k＝﹣12故选：C．10．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（）A．△ADF≌△CGEB．△B′FG的周长是一个定值C．四边形FOEC的面积是一个定值D．四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∠FOG＝60°＝∠DOF ＝∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD＝CG，AF＝CE，从而得△ADF≌△CGE；B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF＝GF＝GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；C、根据S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC＝（定值），可作判断；D、方法同C，将S四边形OGB'F＝S△OAC﹣S△OFG，根据S△OFG＝•FG•OH，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，可作判断．【解答】解：A、连接OA、OC，∵点O是等边三角形ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∴点O到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分∠BDB'，∴点O到AB、DB'的距离相等，∴点O到DB'、AC的距离相等，∴FO平分∠DFG，∠DFO＝∠OFG＝（∠FAD+∠ADF），由折叠得：∠BDE＝∠ODF＝（∠DAF+∠AFD），∴∠OFD+∠ODF＝（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）＝120°，∴∠DOF＝60°，同理可得∠EOG＝60°，∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，∴△DOF≌△GOF≌△GOE，∴OD＝OG，OE＝OF，∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，∴AD＝CG，AF＝CE，∴△ADF≌△CGE，故选项A正确；B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，∴DF＝GF＝GE，∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，∴B'G＝AD，∴△B'FG的周长＝FG+B'F+B'G＝FG+AF+CG＝AC（定值），故选项B正确；C、S四边形FOEC＝S△OCF+S△OCE＝S△OCF+S△OAF＝S△AOC＝（定值），故选项C正确；D、S四边形OGB'F＝S△OFG+S△B'GF＝S△OFD+S△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD+S△OAF＝S△OCG+S△OAF＝S△OAC ﹣S△OFG，过O作OH⊥AC于H，∴S△OFG＝•FG•OH，由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，故选项D不一定正确；故选：D．16．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．根据切线的性质，知OE、OF是⊙O的半径；然后由三角形的面积间的关系（S△ABO+S△BOD＝S△ABD＝S△ACD）列出关于圆的半径的等式，求得圆的半径即可．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．∵AB、BC是⊙O的切线，∴点E、F是切点，∴OE、OF是⊙O的半径；∴OE＝OF；在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴由勾股定理，得BC＝4；又∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD，又∵S△ABD＝S△ABO+S△BOD，∴AB•OE+BD•OF＝CD•AC，即5×OE+2×OE＝2×3，解得OE＝，∴⊙O的半径是．故答案为：．17．如图，二次函数y＝（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），点B 在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过A，B两点，根据图象，则满足不等式（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围是﹣4≤x≤﹣1 ．【分析】将点A代入抛物线中可求m＝﹣1，则可求抛物线的解析式为y＝x2+4x+3，对称轴为x＝﹣2，则满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1．【解答】解：抛物线y＝（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），∴m＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝x2+4x+3，∴点C坐标（0，3），∴对称轴为x＝﹣2，∵B与C关于对称轴对称，点B坐标（﹣4，3），∴满足（x+2）2+m≤kx+b的x的取值范围为﹣4≤x≤﹣1，故答案为﹣4≤x≤﹣1．18．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ 6 ．【分析】作DH⊥AE于H，如图，由于AF＝4，则△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，利用勾股定理计算出BF＝3，接着证明△ADH≌△ABF得到DH＝BF＝3，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：作DH⊥AE于H，如图，∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，在Rt△ABF中，BF＝＝3，∵∠EAF＝90°，∴∠BAF+∠BAH＝90°，∵∠DAH+∠BAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAF，在△ADH和△ABF中，∴△ADH≌△ABF（AAS），∴DH＝BF＝3，∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．故答案为6．22．某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学生的测试成绩进行统计（根据成绩分为A、B、C、D、E五个组，x表示测试成绩，A组：90≤x≤100；B组：80≤x＜90；C组：70≤x＜80；D组：60≤x＜70；E组：x＜60），通过对测试成绩的分析，得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）抽取的学生共有400 人，请将两幅统计图补充完整；（2）抽取的测试成绩的中位数落在B组内；（3）本次测试成绩在80分以上（含80分）为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人？【分析】（1）根据E组的人数和所占的百分比可以求得本次调查的人数，再根据条形统计图中的数据可以求得B组和C组所占的百分比．根据本次调查的总人数和B组所占的百分比可以求得B组的人数；（2）根据扇形统计图中的数据可以得到中位数落在哪一组；（3）根据统计图中的数据可以计算出该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生共有：40÷10%＝400（人），故答案为：400；A所占的百分比为：100÷400×100%＝25%，C所占的百分比为：80÷400×100%＝20%，B组的人数为：400×30%＝120，补全的统计图如下图所示；（2）由扇形统计图可知，抽取的测试成绩的中位数落在B组内，故答案为：B；（3）1200×（25%+30%）＝660（人），答：该校初三测试成绩为优秀的学生有660人．【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．有甲、乙两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好都能打开的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）【分析】首先根据题意列表，得所有等可能的结果，可求得打开一把锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图：可能出现的等可能性结果有6种，分别是（A，B），（A，C），（B，A），（B，C），（C，A），（C，B），只有1种情况（有先后顺序）恰好打开这两把锁P（恰好打开这两把锁）＝．【点评】此题主要考查了利用树状图法求概率，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．24．如图，△ABC中，⊙O经过A、B两点，且交AC于点D，连接BD，∠DBC＝∠BAC．（1）证明BC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为6，∠BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．由圆周角定理得出∠BDE＝90°，再求出∠EBD+∠DBC＝90°，根据切线的判定定理即可得出BC是⊙O的切线；（2）分别求出等边三角形DOB的面积和扇形DOB的面积，即可求出答案．【解答】证明：（1）连接BO并延长交⊙O于点E，连接DE．∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD+∠E＝90°，∵∠DBC＝∠DAB，∠DAB＝∠E，∴∠EBD+∠DBC＝90°，即OB⊥BC，又∵点B在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）连接OD，∵∠BOD＝2∠A＝60°，OB＝OD，∴△BOD是边长为6的等边三角形，∴S△BOD＝×62＝9，∵S扇形DOB＝＝6π，∴S阴影＝S扇形DOB﹣S△BOD＝6π﹣9．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形面积，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出∠EBD+∠DBC＝90°和分别求出扇形DOB和三角形DOB的面积．25．某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用．（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围．【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a，解得m即可（2）可先求出y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130，再根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出销售利润w与销售价x之间的函数关系式，即可求最大利润（3）设扣除捐赠后利润为s，则s＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14），再根据对称轴的位置及增减性进行判断即可．【解答】解：（1）设购进水果a千克，水果售价定为m元/千克，水果商才不会亏本，则有a•m（1﹣5%）≥（12.5+0.8）a则a＞0可解得：m≥14∴水果商要把水果售价至少定为14元/千克才不会亏本（2）由（1）可知，每千克水果的平均成本为14元得y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣5x+130由题意得：w＝（x﹣14）y＝（x﹣14）（﹣5x+130）＝﹣5x2+200x﹣1820整理得w＝﹣5（x﹣20）2+180∴当x＝20时，w有最大值∴当销售单价定为20元时，每天获得的利润w最大，最大利润是180元．（3）设扣除捐赠后利润为s则s＝（x﹣14﹣p）（﹣5x+130）＝﹣5x2+（5p+200）x﹣130（p+14）∵抛物线的开口向下∴对称轴为直线x＝＝∵销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润s随x的增大而减小∴≤22解得p≤4故1≤p≤4【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润＝一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．26．如图，线段OB放置在正方形网格中，现请你分别在图1、图2、图3添画（工具只能用直尺）射线OA，使tan∠AOB的值分别为1、2、3．【分析】根据勾股定理以及正切值对应边关系得出答案即可．【解答】解：如图1所示：tan∠AOB＝＝＝1，如图2所示：tan∠AOB＝＝＝2，如图3所示：tan∠AOB＝＝＝3，故tan∠AOB的值分别为1、2、3．．【点评】此题主要考查了应用与设计作图以及锐角三角函数关系、勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．27．已知，如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx﹣对称．（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；（2）求二次函数解析式；（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两动点，连接CN，NM、MD，求D的坐标并直接写出CN+NM+MD的最小值．【分析】（1）令二次函数解析式y＝0，解方程即求得点A、B坐标；把点A坐标代入直线l解析式即求得直线l．（2）把二次函数解析式配方得顶点C（﹣1，﹣4a），由B、C关于直线l对称可知AB＝AC，用a表示AC的长即能列得关于的方程．求得a有两个互为相反数的解，由二次函数图象开口向上可知a＞0，舍去负值．（3）①用待定系数法求直线AC解析式，由BD∥AC可知直线BD解析式的k与AC的k相同，再代入点B坐标即求得直线BD解析式．把直线l与直线BD解析式联立方程组，求得的解即为点D坐标．②由点B、C关于直线l对称，连接BN即有B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM最小；作点D关于直线AC的对称点Q，连接DQ交直线AC于点E，可证B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ最小，CN+NM+MD最小值＝BM+MD最小值＝BQ．由直线AC垂直平分DQ且AC∥BD可得BD⊥DQ，即∠BDQ＝90°．由B、D坐标易求BD的长；由B、C关于直线l 对称可得l平分∠BAC，作DF⊥x轴于F则有DF＝DE，所以DQ＝2DE＝2DF＝4；利用勾股定理即求得BQ的长．【解答】解：（1）当y＝0时，ax2+2ax﹣3a＝0解得：x1＝﹣3，x2＝1∴点A坐标为（﹣3，0），点B坐标为（1，0）∵直线l：y＝kx﹣经过点A∴﹣3k﹣＝0 解得：k＝﹣∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣（2）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a∴点C坐标为（﹣1，﹣4a）∵C、B关于直线l对称，A在直线l上∴AC＝AB，即AC2＝AB2∴（﹣1+3）2+（﹣4a）2＝（1+3）2解得：a＝±（舍去负值），即a＝∴二次函数解析式为：y＝x2+x﹣（3）∵A（﹣3，0），C（﹣1，﹣2），设直线AC解析式为y＝kx+b∴解得：∴直线AC解析式为y＝﹣x﹣3∵BD∥AC∴设直线BD解析式为y＝﹣x+c把点B（1，0）代入得：﹣+c＝0 解得：c＝∴直线BD解析式为y＝﹣x+∵解得：∴点D坐标为（3，﹣2）如图，连接BN，过点D作DF⊥x轴于点F，作D关于直线AC的对称点点Q，连接DQ交AC于点E，连接BQ，MQ．∵点B、C关于直线l对称，点N在直线l上∴BN＝CN∴当B、N、M在同一直线上时，CN+MN＝BN+MN＝BM，即CN+MN的最小值为BM∵点D、Q关于直线AC对称，点M在直线AC上∴MQ＝MD，DQ⊥AC，DE＝QE∴当B、M、Q在同一直线上时，BM+MD＝BM+MQ＝BQ，即BM+MD的最小值为BQ∴此时，CN+NM+MD＝BM+MD＝BQ，即CN+NM+MD的最小值为BQ∵点B、C关于直线l对称∴AD平分∠BAC∵DF⊥AB，DE⊥AC∴DE＝DF＝|y D|＝2∴DQ＝2DE＝4∵B（1，0），D（3，﹣2）∴BD2＝（3﹣1）2+（﹣2）2＝16∵BD∥AC∴∠BDQ＝∠AEQ＝90°∴BQ＝∴CN+NM+MD的最小值为8．28．如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝10，点E为AD上一点，且AE＝AB，点F从点E出发，向终点D 运动，速度为1cm/s，以BF为斜边在BF上方作等腰直角△BFG，以BG，BF为邻边作▱BFHG，连接AG．设点F的运动时间为t秒．（1）试说明：△ABG∽△EBF；（2）当点H落在直线CD上时，求t的值；（3）点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值．【分析】（1）根据两边成比例夹角相等即可证明两三角形相似；（2）如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．首先证明△GFN≌△FHM，想办法求出点H的坐标，构建方程即可解决问题；（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．推出点H 在直线y＝x+上运动，根据垂线段最短即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵△ABE，△BGF都是等腰直角三角形，∴＝＝，∵∠ABE＝∠GBF＝45°，∴∠ABG＝∠EBF，∴△ABG∽△EBF．（2）解：如图构建如图平面直角坐标系，作HM⊥AD于M，GN⊥AD于N．设AM交BG于K．∵△GFH是等腰直角三角形，∴FG＝FH，∠GNF＝∠GFH＝∠HMF＝90°，∴∠GFN+∠HFM＝90°，∠HFM+∠FHM＝90°，∴∠GFN＝∠FHM，∴△GFN≌△FHM，∴GN＝FM，FN＝HM，∵△ABG∽△EBF，∴＝＝，∠AGB＝∠EFB，∵∠AKG＝∠BKF，∴∠GAN＝∠KBF＝45°，∵EF＝t，∴AG＝t，∴AN＝GN＝FM＝t，∴AM＝2+t，HM＝FN＝2+t，∴H（2+t，4+t），当点H在直线CD上时，2+t＝10，解得t＝．（3）由（2）可知H（2+t，4+t），令x＝2+t，y＝4+t，消去t得到y＝x+．∴点H在直线y＝x+上运动，如图，作CH垂直直线y＝x+垂足为H．根据垂线段最短可知，此时CH的长最小，易知直线CH的解析式为y＝﹣3x+30，由，解得，∴H（8，6），∵C（10，0），∴CH＝＝2，∴HC最小值是2．。

2020年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列计算结果为负数的是（）A．﹣1+2B．|﹣1|C．D．﹣2﹣12．计算a5•（﹣）2的结果是（）A．﹣a3B．a3C．a7D．a103．若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（）A．2B．5C．6D．124．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥5．如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．85°6．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2=．9．据统计，2020年春节“黄金周”（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为．10．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为．11．已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为cm2．12．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是．13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．甲乙丙丁平均数/环9.7 9.5 9.5 9.7方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是．14．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象一个交点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是．15．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=°．16．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC 的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为cm．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=+1，b=﹣1．18．解不等式组并写出不等式组的整数解．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？20．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）21．甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．22．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2020年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表（1）本次问卷调查抽取的学生共有人，其中“不了解”的学生有人；（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为°；（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？23．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？24．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km 和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）当货车出发h时，两车相距200km．25．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为；（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x 轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．26．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．27．问题提出平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C 三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．初步思考（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA2=DB•DE．深入研究（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．2020年江苏省南京市建邺区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列计算结果为负数的是（）A．﹣1+2B．|﹣1|C．D．﹣2﹣1【考点】算术平方根；绝对值；有理数的加法；负整数指数幂．【分析】先化简各项，再根据负数的定义，即可解答．【解答】解：A、﹣1+2=1，故错误；B、|﹣1|=1，故错误；C、=2，故错误；D、﹣2﹣1=﹣，正确；故选：D．2．计算a5•（﹣）2的结果是（）A．﹣a3B．a3C．a7D．a10【考点】分式的乘除法．【分析】首先计算分式的乘方，然后再相乘即可．【解答】解：原式=a5•=a3，故选：B．3．若a＜2＜b，其中a、b为两个连续的整数，则ab的值为（）A．2B．5C．6D．12【考点】估算无理数的大小．【分析】依据平方数越大对应的算术平方根越大可求得a、b的值，最后依据有理数的乘法法则求解即可．【解答】解：∵4＜8＜9，∴2＜＜3，即2＜2＜3．∴a=2，b=3．∴ab=6．故选：C．4．如图是一几何体的三视图，这个几何体可能是（）A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选A．5．如图，已知a∥b，∠1=115°，则∠2的度数是（）A．45°B．55°C．65°D．85°【考点】平行线的性质．【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠3，再根据对顶角相等解答．【解答】解：如图，∵a∥b，∠1=115°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣115°=65°，∴∠3=∠2=65°．故选C．6．在学习“一次函数与二元一次方程”时，我们知道了两个一次函数图象的交点坐标与其相应的二元一次方程组的解之间的关系，请通过此经验推断：在同一平面直角坐标系中，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个【考点】二次函数的性质；一次函数与二元一次方程（组）．【分析】由题意知函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组的解的个数，即可判断．【解答】解：根据题意，函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点个数即方程组的解的个数，解方程组得：，所以函数y=5x2﹣3x+4与y=4x2﹣x+3的图象交点只有一个交点（1，6），故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．8．若a﹣b=3，a+b=﹣2，则a2﹣b2=﹣6．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式，进而将已知代入求出答案．【解答】解：∵a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），∴把a﹣b=3，a+b=﹣2代入得：原式=3×（﹣2）=﹣6．故答案为：﹣6．9．据统计，2020年春节“黄金周”（2月7日至13日）期间，南京共接待游客4 880000人．将4880000用科学记数法表示为 4.88×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：4880000=4.88×106，故答案为：4.88×10610．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：3，∴△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．故答案为：1：9．11．已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为3πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．故答案为：3π．12．已知方程x2+mx﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是﹣3．【考点】根与系数的关系．【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．【解答】解：设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系可得：x1•1=﹣3，解得x1=﹣3．故答案为：﹣3．13．某校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加市运会射击比赛．在选拔赛中，每人射击10次，他们10次成绩的平均数及方差如下表所示．甲乙丙丁平均数/环9.7 9.5 9.5 9.7方差/环2 5.1 4.7 4.5 4.5请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是丁．【考点】方差．【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2=5.1，S乙2=4.7，S丙2=4.5，S丁2=4.5，∴S甲2＞S乙2＞S2丁=S2丙，∵丁的平均数大，∴最合适的人选是丁．故答案为：丁14．在同一平面直角坐标系中，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象一个交点的坐标是（﹣2，3），则它们另一个交点的坐标是（2，﹣3）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：根据题意，直线y=k1x经过原点与双曲线y=相交于两点，又由于双曲线y=与直线y=k1x均关于原点对称．则两点关于原点对称，一个交点的坐标为（﹣2，3），则另一个交点的坐标为（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．15．如图，在正十边形A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10中，连接A1A4、A1A7，则∠A4A1A7=54°．【考点】正多边形和圆．【分析】找出正十边形的圆心O，连接A7O，A4O，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：如图，连接A7O，A4O，∵正十边形的各边都相等，∴∠A7OA4=×360°=108°，∴∠A4A1A7=×108°=54°．故答案为：54．16．如图①，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙O的圆心与点D重合，⊙O与线段CD交于点E，且CE=4cm．将⊙O沿DC方向向上平移1cm后，如图②，⊙O恰与△ABC的边AC、BC相切，则等边△ABC的边长为cm．【考点】切线的性质；等边三角形的性质；平移的性质．【分析】如图，设圆O与BC的切点为M，连接OM，根据切线的性质可以得到∠OMC=90°，而根据已知条件可以得到∠DCB=30°，设AB为2xcm，根据等边三角形得到CD=xcm，而CE=2cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，由此得到半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：如图，设图②中圆O与BC的切点为M，连接OM，则OM⊥MC，∴∠OMC=90°，依题意知道∠DCB=30°，设AB为2xcm，∵△ABC是等边三角形，∴CD=xcm，而CE=4cm，又将量角器沿DC方向平移1cm，∴半圆的半径为（x﹣4）cm，OC=（x﹣1）cm，∴sin∠DCB==，∴=，∴x=，∴等边△ABC的边长为=2x=2（cm），故答案为：．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=+1，b=﹣1．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，分式化为最简后把a、b的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（）•=﹣．当a=+1，b=﹣1时，原式=﹣=﹣=﹣．18．解不等式组并写出不等式组的整数解．【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得x≥﹣1．解不等式2x﹣3＜0，得x＜．所以不等式组的解集是﹣1≤x＜．故不等式组的整数解为﹣1、0、1．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E、F在对角线AC上，且∠ABF=∠CDE，AE=CF．（1）求证：△ABF≌△CDE；（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形BFDE是菱形？为什么？【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质．（1）由平行线的性质得出∠BAC=∠DCA．证出AF=CE．由AAS证明△ABF≌△CDE 【分析】即可；（2）先证明四边形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再证明四边形BFDE是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．在△ABF和△CDE中，，又∵∠ABF=∠CDE，∴△ABF≌△CDE（AAS）；（2）解：当四边形ABCD满足AB=AD时，四边形BEDF是菱形．理由如下：连接BD交AC于点O，如图所示：由（1）得：△ABF≌△CDE，∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，∴BF∥DE．∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形．∴BD⊥AC．∵BF=DE，BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形．20．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）根据勾股定理求出AD的长；（2）作EH⊥AB于H，求出AE的长，根据正弦的概念求出点E到车架AB的距离．【解答】解：（1）在Rt△ADF中，由勾股定理得，AD===15（cm；（2）AE=AD+CD+EC=15+30+15=60（cm），如图②，过点E作EH⊥AB于H，在Rt△AEH中，sin∠EAH=，则EH=AE•sin∠EAH=AB•sin75°≈60×0.97=58.2（cm）．答：点E到AB的距离为58.2 cm．21．甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看．（1）甲同学观看《最强大脑》的概率是；（2）求甲、乙两名同学观看同一节目的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）由甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与甲、乙两名同学观看同一节目的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵甲、乙两名同学从《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目中随机选择一个观看，∴甲同学观看《最强大脑》的概率是：．故答案为：；（2）分别用A，B，C表示《奔跑吧兄弟》、《极限挑战》、《最强大脑》三个综艺节目，用表格列出所有可能出现的结果：甲乙 A B CA （A，A）（B，A）（C，A）B （A，B）（B，B）（C，B）C （A，C）（B，C）（C，C）∵一共有9种可能的结果，它们是等可能的，其中符合要求的有3种．∴P （甲、乙两名同学观看同一节目）==．答：甲、乙两名同学观看同一节目的概率为：．22．“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，随着国际货币基金组织正式宣布人民币2020年10月1日加入SDR（特别提款权），以后出国看世界更加方便．为了解某区6000名初中生对“人民币加入SDR”知晓的情况，某校数学兴趣小组随机抽取区内部分初中生进行问卷调查，将问卷调查的结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不了解”四个等级，并将调查结果整理分析，得到下列图表：某区抽取学生对“人民币加入SDR”知晓情况频数分布表（1）本次问卷调查抽取的学生共有100人，其中“不了解”的学生有20人；（2）在扇形统计图中，学生对“人民币加入SDR”基本了解的区域的圆心角为72°；（3）根据抽样的结果，估计该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有多少人（了解是指“非常了解”、“比较了解”和“基本了解”）？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．【分析】（1）根据非常了解的有26人，所占的比例是26%，据此即可求得抽取的总人数，然后利用总人数减去其它组的人数即可求得“不了解”的学生数；（2）利用360°乘以对应的百分比即可求得；（3）利用总人数乘以对应的比例即可求得．【解答】解：（1）调查抽取的总人数是26÷26%=100（人），不了解的人数是100﹣26﹣34﹣20=20（人）．故答案是：100，20；（2）基本了解的区域的圆心角是360°×=72°，故答案是：72；（3）该区6000名初中生对“人民币加入SDR”了解的有：6 000×80%=4 800（人）．答：估计该校6 000名初中生中对“人民币加入SDR”了解的有4 800人．23．某商场将进货价为每只30元的台灯以每只40元售出，平均每月能售出600只．调查表明，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为10 000元？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设这种台灯的售价为x元，根据一台的利润×总的台数=总的利润和这种台灯的售价每上涨1元，其销售量将减少10只，列出方程，再求解即可．【解答】解：设这种台灯的售价为x元，根据题意得：[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）=10000，解得x1=50，x2=80，答：当这种台灯的售价定为50或80元时，每个月的利润恰为10000元．24．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发2.4h后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶．设货车出发xh后，货车、轿车分别到达离甲地y1km 和y2km的地方，图中的线段OA、折线BCDE分别表示y1、y2与x之间的函数关系．（1）求点D的坐标，并解释点D的实际意义；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）当货车出发2或5h时，两车相距200km．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）待定系数求出OA解析式，继而根据点D的纵坐标为300求得其横坐标，即可得答案；（2）根据休息前2.4小时行驶300km可得行驶后行驶300km也需要2.4h，即可得点E坐标，待定系数法即可求得DE所在直线解析式；（3）先求出BC所在直线解析式，再根据①轿车休息前与货车相距200km，②轿车休息后与货车相距200km，分别列出方程求解可得．【解答】解：（1）设OA所在直线解析式为y=mx，将x=8、y=600代入，求得m=75，∴OA所在直线解析式为y=75x，令y=300得：75x=300，解得：x=4，∴点D 坐标为（4，300 ），其实际意义为：点D是指货车出发4h后，与轿车在距离A地300 km处相遇．（2）由图象知，轿车在休息前2.4小时行驶300km，∴根据题意，行驶后300km需2.4h，故点E 坐标（6.4，0 ）．设DE所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点D （4，300 ），E （ 6.4，0）代入y=kx+b得：，解得，∴DE所在直线的函数表达式为y=﹣125x+800．（3）设BC段函数解析式为：y=px+q，将点B（0，600）、C（2.4，300）代入，得：，解得：y=﹣125x+600，①当轿车休息前与货车相距200km时，有：﹣125x+600﹣75x=200，解得：x=2；②当轿车休息后与货车相距200km时，有：75x﹣（﹣125x+800）=200，解得：x=5；故答案为：2或5．25．数学活动课上，小君在平面直角坐标系中对二次函数图象的平移进行了研究．图①是二次函数y=（x﹣a）2+（a为常数）当a=﹣1、0、1、2时的图象．当a取不同值时，其图象构成一个“抛物线簇”．小君发现这些二次函数图象的顶点竟然在同一条直线上！（1）小君在图①中发现的“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x；（2）如图②，当a=0时，二次函数图象上有一点P（2，4）．将此二次函数图象沿着（1）中发现的直线平移，记二次函数图象的顶点O与点P的对应点分别为O1、P1．若点P1到x 轴的距离为5，求平移后二次函数图象所对应的函数表达式．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据题意得出抛物线的顶点坐标，根据待定系数法即可求得；（2）根据平移的规律得出点O1的坐标为（3，1）或（﹣27，﹣9），从而求得解析式．【解答】解：（1）∵当a=﹣1时，抛物线的顶点为（﹣1，﹣），当a=0时，抛物线的顶点为（0，0），∴设直线为y=kx，代入（﹣1，﹣）得，﹣=﹣k，解得k=，∴“抛物线簇”的顶点所在直线的函数表达式为y=x，故答案为y=x．（2）由题意得：点P1D的纵坐标为5或﹣5，∴抛物线沿着直线向上平移了1个单位或向下平移了9个单位，∴此时点O1的纵坐标为1或﹣9，代入直线y=x求得横坐标为3或﹣27，∴点O1的坐标为（3，1）或（﹣27，﹣9），∴平移后的二次函数的表达式为y=（x﹣3）2+1或y=（x+27）2﹣9．26．如图，直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG=4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．【考点】切线的判定．【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，进而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案．【解答】（1）证明：连接FO，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG=∠FCE．∴∠OFC=∠FCG．∵CE是⊙O的直径，∴∠EDG=90°，又∵FG∥ED，∴∠FGC=180°﹣∠EDG=90°，∴∠GFC+∠FCG=90°∴∠GFC+∠OFC=90°，即∠GFO=90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）解：延长FO，与ED交于点H，由（1）可知∠HFG=∠FGD=∠GDH=90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE=HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG=HD，∴HE=FG=4．∴ED=8．∵在Rt△OHE中，∠OHE=90°，∴OH==3．∴FH=FO+OH=5+3=8．=（FG+ED）•FH=×（4+8）×8=48．S四边形FGDH27．问题提出平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点P是A、B、C 三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．初步思考（1）如图①，在等边△ABC的内部和外部各作一个△ABC的巧妙点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，点D、E是△ABC的两个巧妙点，其中AD=AB，AE=AC，BD=BC=CE，连接DE，分别交AB、AC于点M、N．求证：DA2=DB•DE．深入研究（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P可能为△ABC的巧妙点吗？若可能，请画出示意图，并直接写出∠BAC的度数；若不可能，请说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据“巧妙点”的定义利用：点P在三角形的内部时，点P到△ABC的三个顶点的距离相等，所以点P是三角形的外心；点P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可；（2）先证明△ADB≌△ABC，△ACE≌△ABC，得到相等的角，再证明∠BMD=∠ABD，得到DB=DM．最后证明△DAM∽△DEA，得到=，即DA2=DM•DE，由DM=DB，所以DA2=DB•DE．（3）在△ABC中，AB=AC，若存在一点P，使PB=BA，PA=PC．点P能为△ABC的巧妙点，分别画出图形即可解答．【解答】解：（1）如图①；（2）∵AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，在△ADB和△ABC中∴△ADB≌△ABC，同理：△ACE≌△ABC．∴∠BAD=∠BAC=∠CAE=36°，∠ADB=∠ABD=∠ABC=72°，∴∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE=108°，∵AD=AB=AC=AE，∴∠ADE=∠AED=36°=∠BAD，∴∠BDM=∠BDA﹣∠MDA=36°，∠BMD=∠ADM+∠DAM=72°=∠ABD，∴DB=DM．∵∠DBM=∠ABD，∠AED=∠BAD，∴△DAM∽△DEA，∴=，∴DA2=DM•DE，∵DM=DB，∴DA2=DB•DE．（3）第一种如图①或图②（只需画一个即可），∠BAC=60°．第二种如图③，∠BAC=36°；第三种如图④，∠BAC=108°；第四种如图⑤，∠BAC=120°．以上共四种：60°、36°、108°、120°．2020年7月21日。

1丰台区2020年初三毕业及统一练习初三数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AC BD BD CD 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. a ≥1 10. 4511.412. 313.=14. 315.（0，1）；0（答案不唯一，m ≥-1即可）16.160；180三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24-25题，每小题6分，第26- 28题，每小题7分）17. 解：原式=32321312-++-，……３分=233131-++-，…4分=23.……5分18. 解：()3411.2＞①，②-+x x x x 解不等式①得x4 .……2分解不等式②得x ≥1. ……4分∴不等式组的解集为1≤x4. ……5分19. 证明：∵∠CAB=∠CBA ，∴CA=CB .……2分∵AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，S △ABC =1122BC AD AC BE =，∴AD=BE ．……5分20. 解：（1）∵一元二次方程x 2 -4x +2m-2= 0有两个不相等的实数根，∴24b ac =-……1分()16422m =--0.解得m 3. ……2分（2）当m=1时，x 2 -4x = 0.……3分解得x 1=0，x 2=4. （答案不唯一） (5)分21. 解：（1）令x=0，∴y=4. ∴A （0，4）. ……２分（2）∵S △AOM =2，AO=4，122M AOx =，∴M x =1.……3分①当M x =1时，M y =5.如下图=k y x过点（1，5），∴k=5.……4分②当M x =-1时，M y =3.如下图=k y x过点（-1，3），∴k=-3.……5分综上所述，k=5或-3.MAyxO-1-2-3-1-2-3123-4-6-5465123-4-6-5465MA yxO-1-2-3-1-2-3123-4465123-4-5465-11234222. （1）证明：∵□ABCD ，∴AC =2 AO ，BD =2BO.……1分∵AO=BO ，∴AC=BD.∴□ABCD 为矩形. …2分（2）解：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，∵DE 为∠ADB 的角平分线，且∠DAB =90∴EG=EA . ……3分∵AO=BO ，∴∠CAB=∠ABD.∵AD = 3，tan ∠CAB=34，∴tan ∠CAB= tan ∠ABD =34.∴AB=4.∴sin ∠CAB= sin ∠ABD =35.设AE=x ，则BE=4-x ，在△BEG 中，∠BGE =90，∴345x x=-. ……4分解得AE =x=32.……5分23. （1）28.3%；……1分（2）2.1；……3分（3）①②.……5分24. 解：（1）直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个. ……1分∵点P 到点A ，B 的距离都等于a ，∴点P 为AB 的中垂线与BC 的交点.∵到点P 的距离等于a 的所有点组成图形W .∴图形W 是以点P 为圆心，a 为半径的圆.根据题意补全图形：DCBAEPF……2分连接AP ∵∠B=22.5°，∴APD =45°.∵点D 到点A 的距离也等于a ，∴DA=AP=a . ∴∠D =APD =45°.∴∠P AD = 90°. ∴D A ⊥P A.∴DA 为☉P 的切线.∴直线DA 与图形W 的公共点的个数为1个.……3分（2）∵AP=BP ，∴∠BAP=∠B =22.5°. ∵∠BAC=90°. ∴∠PAC=∠PCA=67.5°. ∴PA= PC=a. ∴点C 在☉P 上. ……4分∵AE ⊥BD 交图形W 于点E ，∴AC=CE .∴∠DPE =∠APD =45°. ∴∠APE = 90°. ∵EP=AP=a=2，∴AE=22，45E =. …5分∵∠B=22.5°，AE ⊥BD ，∴∠BAE=67.5°.∴∠AFE =∠BAE=67.5°.∴EF=AE=22.……6分GO ABCDE325.解：（1）AC ，CD ，FD. …….…...…...…….…….…...…...……….…...….….....………2分（2）正确画出函数图象：….......….….....………4分（3）3.5cmx5cm. ....….......…...….......…...….......…...…........….........….....………6分26.解：（1）对称轴是直线x=1. …………………………………………………………………1分（2）当a 0时，∵对称轴为x=1，当x=1时，y 有最小值为-a ；当x=3时，y 有最大值为3a. .…........…...……2分∴3a -（-a ）=4. ∴a=1.....…......…......….............................…...….......….........….....………3分∴二次函数的表达式为：22y x x =-..…........…...….......….........….....………4分当a0时，同理可得y 有最大值为-a ；y 有最小值为3a. ∴-a-3a=4. ∴a=-1.∴二次函数的表达式为：22y x x =-+. .…........…...….......….........….....………5分综上所述，二次函数的表达式为22y x x =-或22y x x =-+.（3）-1≤t ≤2.....….....................…........…...….......….........….....………7分27. 解：（1）正确补全图1：…………………………………………………………………………2分（2）∠CQO+∠CPO=180°.……………………………………………………………3分理由如下：∵四边形内角和360°，且∠AOB=120°，∠PCQ=60°，∴∠CQO +∠CPO=∠1+∠2=180°.…………………………………………4分654321ODPC BAQ FDCD y/cm54321O12345x/cm4（3）OC=4时，对于任意点P ，总有OP+OQ =4.…………………………………5分证明：连接OC ，在射线OA 上取点D ，使得DP=OQ ，连接CD.∴OP+OQ =OP+DP =OD.∵∠1+∠2=180°，∵∠2+∠3=180°，∴∠1=∠3. ∵CP=CQ∴△COQ ≌△CDP （SAS ）. ………………………………………………………6分∴∠4=∠6，OC=CD. ∵∠4+∠5=60°，∴∠5+∠6=60°. 即∠OCD =60°. ∴△COD 是等边三角形.∴OC=OD=OP+OQ =4. ……………………………………………………………………7分28.解：（1）☉B ，☉C. …………………………………………………………………………………………………………2分（2）解：如图，当☉D 1与y 轴相切时，t 1=1. …………………………………………………3分当☉D 2与y=x 相切时，t 2=2+2.……………………………………………4分∴t 的取值范围是1≤t ≤2+2. …………………………………………………5分（3）60°≤∠EOM90°. ……………………………………………………………7分t 1t 2D 2D 1yxO -1-11234512345。

2020年中考数学一模试卷(带答案)一、选择题1．在数轴上，与表示6的点距离最近的整数点所表示的数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cosB 的值为（ ） A ．15 B ．14C ．15 D ．4173．如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF=3，那么菱形ABCD 的周长为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．94．定义一种新运算：1an nnbn xdx a b -⋅=-⎰，例如：222khxdx k h ⋅=-⎰，若m252mx dx --=-⎰，则m =（ ）A ．-2B ．25-C ．2D ．255．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数/分 70 80 90100 人数/人13x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A ．80分 B ．85分C ．90分D ．80分和90分6．已知11(1)11A x x ÷+=-+，则A ＝( ) A ．21x x x -+ B ．21x x - C ．211x - D ．x 2﹣17．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A ．只有乙B ．甲和丁C ．乙和丙D ．乙和丁8．下列图形是轴对称图形的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm ，正方形A 的边长为6cm 、B 的边长为5cm 、C 的边长为5cm ，则正方形D 的边长为（ ）A ．14cmB ．4cmC ．15cmD ．3cm10．已知直线//m n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（30ABC ∠=︒），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30°D ．40︒11．如图，AB 为⊙O 直径，已知为∠DCB=20°，则∠DBA 为（ ）A ．50°B ．20°C ．60°D ．70°12．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（ ）A．10B．12C．16D．18二、填空题13．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE ＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____．14．如果a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数如：2的差倒数是1112=--,-1的差倒数是111(1)2=--，已知14a=，2a是1a的差倒数，3a是2a的差倒数，4a是3a的差倒数，…，依此类推,则2019a=___________．15．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过菱形OACD的顶点D和边AC的中点E，若菱形OACD的边长为3，则k的值为_____．17．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________．18．农科院新培育出A、B两种新麦种，为了了解它们的发芽情况，在推广前做了五次发芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：种子数量10020050010002000A出芽种子数961654919841965发芽率0.960.830.980.980.98B出芽种子数961924869771946发芽率0.960.960.970.980.97下面有三个推断：①当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率均为0.96，所以他们发芽的概率一样；②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.98附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.98；③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子．其中合理的是__________（只填序号）．19．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．20．二元一次方程组627x yx y+=⎧⎨+=⎩的解为_____．三、解答题21．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？22．某小区响应济南市提出的“建绿透绿”号召，购买了银杏树和玉兰树共150棵用来美化小区环境，购买银杏树用了12000元，购买玉兰树用了9000元．已知玉兰树的单价是银杏树单价的1.5倍，那么银杏树和玉兰树的单价各是多少？23．如图1，已知二次函数y=ax2+32x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+32x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．24．已知：如图，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．25．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题：(1)写出A，C两点的坐标；(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】的大小，即可得到结果． 【详解】46 6.25<<Q ，2 2.5∴<<，的点距离最近的整数点所表示的数是2， 故选：B ． 【点睛】此题考查了实数与数轴，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2．A解析：A 【解析】∵在Rt △ABC 中,∠C =90°，AB =4，AC =1，∴BC ，则cos B =BC AB ， 故选A3．A解析：A 【解析】【分析】易得BC 长为EF 长的2倍，那么菱形ABCD 的周长=4BC 问题得解． 【详解】∵E 是AC 中点， ∵EF ∥BC ，交AB 于点F ， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴BC=2EF=2×3=6， ∴菱形ABCD 的周长是4×6=24， 故选A ．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质及菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.4．B解析：B 【解析】根据新定义运算得到一个分式方程，求解即可. 【详解】 根据题意得，5211m11(5)25m x dx m m m m---⎰-=-=-=-， 则25m =-， 经检验，25m =-是方程的解， 故选B. 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．D解析：D 【解析】 【分析】先通过加权平均数求出x 的值，再根据众数的定义就可以求解． 【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1）， x=3∴该组数据的众数是80分或90分． 故选D ． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x 是解答问题的关键．6．B解析：B 【解析】 【分析】 由题意可知A=111)11x x ++-（，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再用分式的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】 解：A=11111x x ++-=111xx x +-g =21x x -故选B. 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解析：D【解析】【分析】根据分式的乘除运算步骤和运算法则逐一计算即可判断．【详解】∵22211x x x x x -÷--=2221·1x x x x x ---=() 2212·1xx xx x----=()()221·1x x xx x----=()2xx --=2xx-，∴出现错误是在乙和丁，故选D．【点睛】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式乘除法的运算法则是解题的关键.8．C解析：C【解析】试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．故轴对称图形有4个．故选C．考点：轴对称图形．9．A解析：A【解析】运用直角三角形的勾股定理，设正方形D的边长为x，则22222(65)(5)10x+++=，x=（负值已舍），故选A解析：B【解析】【分析】根据平行线的性质判断即可得出结论.【详解】解：Q直线//m n，21180ABC BAC∴∠+∠∠+∠=+︒，30ABC=︒∠Q，90BAC∠=︒，140∠=︒，218030904020∴∠=---︒︒=︒︒︒，故选：B．【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.11．D解析：D【解析】题解析：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠DCB=90°-20°=70°，∴∠DBA=∠ACD=70°．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．12．C解析：C【解析】【分析】首先根据矩形的特点，可以得到S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN，最终得到S矩形EBNP= S矩形MPFD ,即可得S△PEB=S△PFD，从而得到阴影的面积．【详解】作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PFC=S△PCN∴S矩形EBNP= S矩形MPFD ,又∵S△PBE=12S矩形EBNP，S△PFD=12S矩形MPFD，∴S△DFP=S△PBE=12×2×8=8，∴S阴=8+8=16，故选C．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD．二、填空题13．36°或37°【解析】分析：先过E作EG∥AB根据平行线的性质可得∠AEF=∠BA E+∠DFE再设∠CEF=x则∠AEC=2x根据6°＜∠BAE＜15°即可得到6°＜3x-60°＜15°解得22°＜解析：36°或37°．【解析】分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x ＜25°，进而得到∠C的度数．详解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x-60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，故答案为：36°或37°．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．14．【解析】【分析】利用规定的运算方法分别算得a1a2a3a4…找出运算结果的循环规律利用规律解决问题【详解】∵a1=4a2=a3=a4=…数列以4−三个数依次不断循环∵2019÷3=673∴a2019 解析：34. 【解析】【分析】 利用规定的运算方法，分别算得a 1，a 2，a 3，a 4…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题.【详解】∵a 1=4a 2=11111143a ==---， a 3=211311413a ⎛⎫ ⎪⎝=⎭=---， a 4=31143114a ==--， …数列以4,−1334，三个数依次不断循环， ∵2019÷3=673， ∴a 2019=a 3=34， 故答案为：34. 【点睛】此题考查规律型：数字的变化类，倒数，解题关键在于掌握运算法则找到规律.15．2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程通过解关于m 的方程求得m 的值即可【详解】∵关于x 的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0∴m2﹣2m=解析：2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m 的方程，通过解关于m 的方程求得m 的值即可．【详解】∵关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，∴m 2﹣2m=0且m≠0，解得，m=2，故答案是：2．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解的定义．解答该题时需注意二次项系数a≠0这一条件．16．【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q过C作CM⊥x轴于M过E作EF⊥x 轴于F设D点的坐标为（ab）求出CE的坐标代入函数解析式求出a再根据勾股定理求出b即可请求出答案【详解】如图过D作DQ⊥x轴于Q解析：25【解析】【分析】过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），求出C、E的坐标，代入函数解析式，求出a，再根据勾股定理求出b，即可请求出答案．【详解】如图，过D作DQ⊥x轴于Q，过C作CM⊥x轴于M，过E作EF⊥x轴于F，设D点的坐标为（a，b），则C点的坐标为（a+3，b），∵E为AC的中点，∴EF=12CM=12b，AF=12AM=12OQ=12a，E点的坐标为（3+12a，12b），把D、E的坐标代入y=kx得：k=ab=（3+12a）12b，解得：a=2，在Rt△DQO中，由勾股定理得：a2+b2=32，即22+b2=9，解得：5∴5故答案为5【点睛】本题考查了勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质等，得出关于a、b的方程是解此题的关键．17．2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12可得；同理EC=2BE即EC=可得又等量代换可知S△ADF－S△BEF=2解析：2【解析】由D是AC的中点且S△ABC=12，可得1112622ABD ABCS S∆∆==⨯=；同理EC=2BE即EC=13BC，可得11243ABES∆=⨯=，又,ABE ABF BEF ABD ABF ADFS S S S S S∆∆∆∆∆∆-=-=等量代换可知S△ADF－S△BEF=218．②③【解析】分析：根据随机事件发生的频率与概率的关系进行分析解答即可详解：（1）由表中的数据可知当实验种子数量为100时两种种子的发芽率虽然都是96但结合后续实验数据可知此时的发芽率并不稳定故不能确解析：②③【解析】分析：根据随机事件发生的“频率”与“概率”的关系进行分析解答即可.详解：（1）由表中的数据可知，当实验种子数量为100时，两种种子的发芽率虽然都是96%，但结合后续实验数据可知，此时的发芽率并不稳定，故不能确定两种种子发芽的概率就是96%，所以①中的说法不合理；（2）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，故可以估计A种种子发芽的概率是98%，所以②中的说法是合理的；（3）由表中数据可知，随着实验次数的增加，A种种子发芽的频率逐渐稳定在98%左右，而B种种子发芽的频率稳定在97%左右，故可以估计在相同条件下，A种种子发芽率大于B种种子发芽率，所以③中的说法是合理的.故答案为：②③.点睛：理解“随机事件发生的频率与概率之间的关系”是正确解答本题的关键. 19．110°或70°【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角解析：110°或70°．【解析】试题分析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．20．【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解【详解】②﹣①得③将③代入①得∴故答案为：【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法本题属于基础题比较简单解析：15x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【详解】627x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ②﹣①得1x =③将③代入①得5y =∴15x y =⎧⎨=⎩故答案为：15x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．三、解答题21．（1）6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【解析】分析：（1）找出当x=6时，y 1、y 2的值，二者作差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y 1、y 2关于x 的函数关系式，二者作差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y 1﹣y 2的值，设4月份的销售量为t 万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t 的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：（1）当x=6时，y 1=3，y 2=1，∵y 1﹣y 2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y 1=mx+n ，y 2=a （x ﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y 1=mx+n ，3563m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：237m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y1=﹣23x+7；将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，4=a（3﹣6）2+1，解得：a=13，∴y2=13（x﹣6）2+1=13x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣23x+7﹣（13x2﹣4x+13）=﹣13x2+103x﹣6=﹣13（x﹣5）2+73．∵﹣13＜0，∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣13x2+103x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+73（t+2）=22，解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．22．银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．【解析】试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．试题解析：解：设银杏树的单价为x元，则玉兰树的单价为1.5x元，根据题意得：1200090001501.5x x+=解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的解，∴1.5x=180．答：银杏树的单价为120元，则玉兰树的单价为180元．23．（1）y=﹣14x2+32x+4；（2）△ABC是直角三角形．理由见解析；（3）点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣0）、（3，0）、（0）．（4）当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【解析】【分析】（1）由点A、C的坐标利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）令二次函数解析式中y=0，求出点B的坐标，再由两点间的距离公式求出线段AB、AC、BC的长度，由三者满足AB2+AC2=BC2即可得出△ABC为直角三角形；（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0）（-2<n<8），通过分割图形法求面积，再根据相似三角形面积间的关系以及三角形的面积公式即可得出S△AMN关于n的二次函数关系式，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴=，∵MN∥AC∴=，∴=，∵OA=4，BC=10，BN=n+2∴MD=（n+2），∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=BN•OA﹣BN•MD=（n+2）×4﹣×（n+2）2=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握二次函数的知识点是本题解题的关键. 24．见解析【解析】【分析】首先由AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD，再由条件AB=CE，AC=CD可证出△BAC和△ECD全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED.【详解】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD，∵在△BAC和△ECD中，AB=EC，∠BAC=∠ECD ，AC=CD，∴△BAC≌△ECD（SAS）.∴CB=ED.【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.25．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)10π．【解析】【分析】(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；(3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长．【详解】解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)如图，△A1B1C1为所作；(3)如图，△A2B2C2为所作，OC2213+10，点C旋转至C29010π⋅⋅10π．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．。

杨浦区2019学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2019.12（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．把抛物线2x y =向左平移1个单位后得到的抛物线是A ．21y x =+（）；B ．21y x =-（）；C ．21y x =+；D ．21y x =-.2．在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =2，3cos 4A =，那么AB 的长是 A ．52；B ．83；C ．103； D3．已知a 、b 和c 都是非零向量，下列结论中不能判定//a b 的是A ．////a c b c ，；B ．12a c =，2bc =；C ．2a b =；D ．a b =.4．如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A 、B ，如果线段AB 与网格线的其中两个交点为M 、N ，那么AM ∶MN ∶NB 的值是 A ．3∶5∶4； B ．3∶6∶5； C ．1∶3∶2；D ．1∶4∶2.5．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上 水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是236042y x x x =-+≤≤（），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是 A ．1米； B ．2米； C ．5米； D ．6米．6．如图，在正方形ABCD 中，△ABP 是等边三角形，AP 、BP 的延长线分别交边CD 于点E 、F ，联结AC 、CP ，AC 与BF 相交于点H ，下列结论中错误的是 A ．AE ＝2DE ；B ．△CFP ∽△APH ；C ．△CFP ∽△APC ；D ．CP 2＝PH •PB ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果cot αα= ▲ 度．8．如果抛物线231y x x m =-+-+经过原点，那么m = ▲ ． 9ADBCEP F H第6题图第4题图10．已知点11A x y （，）、22B x y （，）为抛物线22y x =-（）上的两点，如果122x x <<，那么1y ▲ 2y ． （填“>”、“<”或“=”）11．在比例尺为1：8 000 000地图上测得甲、乙两地间的图上距离为4厘米，那么甲、乙两地间的实际距离为 ▲ 千米．12．已知点P 是线段AB 上的一点，且2BP AP=⋅ 13．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作MN ∥BC 分别交边AB 、AC 于点M、N ，那么AMNABCS S ∆∆14．如图，某小区门口的栏杆从水平位置AB 绕固定点O 旋转到位置DC ，已知栏杆AB 的长为3.5米，OA 的长为3米，点C 到AB 的距离为0.3米，支柱OE 的高为0.6米，那么栏杆端点D 离地面的距离为▲ 米． 15．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的坡角为31°，AB 的长为12米，那么大厅两层之间BC 的高度为 ▲ 米．（结果保留一位小数）【参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.867，tan31°＝0.601】 16．如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AB =3，BC =2，4tan 3A =，那么CD = ▲ ．17．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC= ▲ 度．18．在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）抛物线y ＝ax 2+bx +c 中，函数值y 与自变量x 之间的部分对应关系如下表：（1）求该抛物线的表达式；（2）如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点M （2，4）的位置，那么其平移的方法是 ▲ .ABC第15题图31°第16题图第14题图20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =12，CD =7，点E 在边AD 上，23DE AE =，过点E 作EF //AB 交边BC 于点F .（1）求线段EF 的长；（2）设AB a =，AD b =，联结AF ，请用向量a 、b 表示向量AF ．21. （本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90º，3sin 5B =，延长边BA 至点D ，使AD =AC ，联结CD . （1）求∠D 的正切值；（2）取边AC 的中点E ，联结BE 并延长交边CD 于点F ，求CFFD的值．22．（本题满分10分）某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D 处用测角仪测得楼顶M 的仰角为30︒，再沿DF 方向前行40米到达点E 处，在点E 处测得楼顶M 的仰角为45︒，已知测角仪的高AD 为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF 的高．（结果精确到0.1m 1.414≈ 1.732≈ 2.449） 23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，已知在ABC △中，AD 是ABC △的中线，DAC B ∠=∠，点E 在边AD 上，CE CD =.（1）求证：AC BDAB AD =； （2）求证：22AC AE AD =⋅.第21题图ABCD第20题图第23题图A CDE30º 45º 第22题图A B C DFEM24．（本题满分12分，每小题各4分）已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx mx =-+(0)m ≠与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），且AB=6．（1）求这条抛物线的对称轴及表达式；（2）在y 轴上取点E 02（，），点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果=10OEFB S 四边形， 求点F 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）已知在菱形ABCD 中，AB=4，120BAD ∠=︒，点P 是直线AB 上任意一点，联结PC ，在∠PCD 内部作射线CQ 与对角线BD 交于点Q （与B 、D 不重合），且∠PCQ=30︒． （1）如图，当点P 在边AB 上时，如果3BP =，求线段PC 的长；（2）当点P 在射线BA 上时，设BP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）联结PQ ，直线PQ 与直线BC 交于点E ，如果△QCE 与△BCP 相似，求线段BP 的长．第24题图 A BC DPQ第25题图备用图A BCD杨浦区2019学年度第一学期初三数学期末质量调研试卷答案2019.12一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．8．1； 9．0（，-1）；10．320； 1213 14．2.4； 15．6.2； 16．145； 18．、4（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）∵二次函数2y ax bx c =++图像过点10（-，）、 (01)-，和(14)-，， ∴01 4.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，， ··········································································· （3分） ∴121.a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，，∴二次函数解析式为221y x x =---. ·································· （3分） （2）平移的方法是先向右平移3个单位再向上平移4个单位或先向上平移4个单位再向右平移3个单位. ······················· （4分）20．解：（1）过D 作DH //BC 交AB 于H ，交EF 于G .∵DH //BC ，AB //DC ，∴四边形DHBC 是平行四边形. ································· （1分） ∴BH =CD ，∵CD=7，∴BH =7.······························································ （1分） 同理GF =7. ······················································································· （1分） 又AB=12，∴AH =5. ············································································ （1分） ∵EF //AB ， ∴EG DEAH DA=. ···································································· （1分） ∵23DE AE =，∴25DE DA =. ∴255EG =，2EG =，∴9EF =. ·························································· （1分） （2）3345a b →→+ ··················································································· （4分）21. 解：（1）过C 作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ABC 中，∵3sin =5B ，∴3=5AC AB . ·········································· （1分） ∴设AC =3k ，AB =5k ，则BC =4k . ∵1122ABC S AC BC AB CH ∆=⋅=⋅，∴125AC BC CH k AB ⋅==. ··············· （1分） ∴9=5AH k . ················································································ （1分）∵AD=AC ，∴DH =924355k k k +=. ················································· （1分）在Rt △CDH 中，1215tan =2425kCH CDH DH k ∠==. ··································· （1分） （2）过点A 作AH//CD 交BE 于点H.∵AH//CD ，∴AH AECF EC =. ···································································· （1分） ∵点E 为边AC 的中点，∴AE CE =.∴AH CF =. ···································· （1分） ∵AH//CD ，∴AH ABDF BD=. ···································································· （1分） ∵AB =5k ，BD =3k ，∴58AB BD =.∴58AH DF =. ·············································· （1分） ∴58CF DF =. ······················································································· （1分） 22．解：由题意可知∠MCA =90°，∠MAC =30°，∠MBC =45°，AB =40，CF =1.5.设MC =x 米，则在Rt △MBC 中，由 tan MCMBC BC ∠=得BC =x . ················· （2分）又Rt △ACM 中，由cot ACMAC MC∠=得AC=. ···································· （2分）∴40x -=. ············································································· （2分）∴x=20+. ··············································································· （1分） ∴MF =MC+CF=56.1≈米. ····················································· （2分） 答：此楼MF 的高度是56.1米. ······························································ （1分）23．证明：（1）∵CD =CE ，∴∠CED =∠CDA . ········································ （1分） ∴∠AEC =∠BDA . ······························································· （1分） 又∵∠DAC =∠B ，∴△ACE ∽△BAD. ········································ （1分）∴AC CEAB AD=. ····································································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴BD CD =. ········································ （1分）∵CD =CE ，∴BD CE =.∴AC BDAB AD=. ······································· （1分） （2）∵∠DAC =∠B ，又∠ACD =∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA. ······················· （1分）∴AC CD BC AC=，∴2AC CD CB =?. ················································· （1分） ∵AD 是ABC △的中线，∴2BC CD =，∴222AC CD =. ·················· （1分）∵△ACE ∽△BAD ，∴CE AEAD BD=. ················································ （1分） 又∵CD =CE=BD ，∴2CD AD AE =?. ············································ （1分） ∴22AC AD AE =?. ································································ （1分）24．解：（1）抛物线对称轴212mx m-=-=... ................................................................. （1分） ∵AB =6，∴抛物线与x 轴的交点A 为(20)，-，B (40)，.................................................. （1分） ∴4440m m ++=（或16840m m -+=）.. ................................................................ （1分）∴12m =-.∴抛物线的表达式为2142y x x =-++. ..................................................... （1分）（2）设点F 21(4)2x x x ，-++. ...................................................................................... （1分） ∵点E 02-（，），点B 4（，0），∴OE = 2，OB = 4. ∵=+10OEF OBF OEFB S S S ∆∆=四边形， ∴211124(4)10222x x x ⨯⨯+⨯⨯-++=.. .................... （1分）∴12x =或，∴点F 912（，）、24（，）.. ............................................................................... （2分）（3）∵=+10OBE BEF OEFB S S S ∆∆=四边形，又1142422OBE S OB OE ∆=⋅=⨯⨯=，∴6BEF S ∆=.过F 作FH BE ⊥，垂足为点H .∵162BEF S BE FH ∆=⋅=，又BE =FH =............................... （1分）又BF ==BH =∴在Rt BFH ∆中，tan ∠EBF=3584FH BH ==.................................................................. （1分）设直线PF 与y 轴的交点为M ，则∠PMO=∠EBF ，过F 作FG x ⊥轴，垂足为点G.∵FG//y 轴，∴∠PMO=∠PFG . ∴tan ∠PFG=tan ∠EBF ................................................ （1分）∴tan ∠PFG=34PG FG =.又FG =4，∴PG =3.∴点P 的坐标10（-，）. .......................................................................................................... （1分）25．解：（1）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H.在Rt BPH ∆中，∵BP =3，∠ABC =60°，∴32BH PH ==，................................. （2分）在Rt PCH ∆中，35422CH PC =-==，................................... （1分） （2）过P 作PH BC ⊥，垂足为点H. 在Rt BPH ∆中，12BH x PH ==，. ∴在Rt PCH ∆中，142CH x PC =-， ............ （1分） 设PC 与对角线BD 交于点G .∵AB//CD ，∴4BP PG BG xCD GC GD ===.∴BG CG ==. ···················································· （1分） ∵∠ABD =∠PCQ ，又∠PGC =∠QGC ，∴△PBG ∽△QCG .∴PB BG CQ CG =，∴x y . ···················································· （1分）∴y =08x ≤<）. ······················································ （2分）（3）i ）当点P 在射线BA 上，点E 在边BC 的延长线时.∵BD 是菱形ABCD 的对角线，∴∠PBQ =∠QBC=1302ABC ∠=︒.∵△PBG ∽△QCG ，∴PG BGQG CG=，又∠PGQ =∠BGC ，∴△PGQ ∽△BGC . ∴∠QPG =∠QBC 30=︒， 又∠PBQ =∠PCQ 30=︒，∴60CQE QPC QCP ∠=∠+∠=︒. ∴ 60CQE PBC ∠=∠=︒. ···································································· （1分） ∵PCB E ∠>∠，∴ PCB QCE ∠=∠.又180PCB QCE PCQ ∠+∠+∠=︒，∠PCQ 30=︒，∴ 75PCB QCE ∠=∠=︒. 过C 作CN BP ⊥，垂足为点N ，∴在Rt CBN ∆中，2BN CN ==，∴在Rt PCN ∆中，PN CN ==∴2BP = . ................................................................................................................. （2分） ii ）当点P 在边AB 的延长线上，点E 在边BC上时，同理可得2BP = . ...... （3分）。

九年级数学模拟试卷本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分130分．注意事项：1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、准考证号是否与本人的相符合．2．答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．3．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．一、选择题（本大题共10题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上相应的答案涂黑．） 1．－2的倒数是（▲）A ．－12B ．12C ．±2D ．2 2．函数y ＝x －2中自变量x 的取值范围是（▲）A ．x ＞2B ．x ≥2C ．x ≤2D ．x ≠2 3．cos 60°的值是（▲）A ．12B ．22C ．32D ．14．下列地方银行的标志中，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是 （▲）5．已知某圆锥的底面半径为3 cm ，母线长5 cm ，则它的侧面展开图的面积为（▲）A ．30 cm 2B ．15 cm 2C ．30π cm 2D ．15π cm 2 6．六多边形的外角和为（▲）A ．180°B ．720°C ．360°D ．1080°7．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是（▲） A ．主视图的面积为4 B ．左视图的面积为4A ．D ．B ．C ．C ．俯视图的面积为3D ．三种视图的面积都是48．某区新教师招聘中，九位评委独立给出分数，得到一列数．若去掉一个最高分和一个最低分，得到一列新数，那么这两列数的相关统计量中，一定相等的是 （▲） A ．方差B ．众数C ．中位数D ．平均数9．如图，在平面直角坐标系中，点B 在第一象限，BA ⊥x 轴于点A ，反比例函数y=（x ＞0）的图象与线段AB 相交于点C ，且C 是线段AB 的中点，若△OAB 的面积为3，则k 的值为 （▲）A ．13 B ．1 C ．2 D ．310．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是 （▲）A ．16B ．15C ．12D ．11二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共计16分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11．分解因式：x y 2―x ＝ ▲ ．12．去年无锡GDP (国民生产总值)总量实现约916 000 000 000元，该数据用科学记数法表示为 ▲ 元．13．分式方程 4x ＝ 2x ＋1 的解是 ▲ ．14．命题“内错角相等”的逆命题．．．是 ▲ 命题．（填“真”或“假”） 15．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在AB 的延长线上，PC 切半圆O 于点C ，连接AC ．若∠CPA =20°，（第9题）FDEGAB（第10题）（第7题）则∠A 的度数为 ▲ °．16．如图，点G 是△ABC 的重心，AG 的延长线交BC 于点D ，过点G 作GE ∥BC 交AC 于点E ，如果BC ＝12，那么线段GE 的长为 ▲ ．17．如图，在△ABC 中，CA =3， CB =4，AB = 5，点D 是BC 的中点，将△ABC 沿着直线EF 折叠，使点A 与点D 重合，折痕交AB 于点E ，交AC 于点F ，那么sin ∠BED 的值为 ▲ ．18．在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =4．如图，将直角顶点B 放在原点，点A 放在y 轴正半轴上，当点B 在x 轴上向右移动时，点A 也随之在y 轴上向下移动，当点A 到达原点时，点B 停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为 ▲ ．三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分8分）计算：（1）9－ (－3)2＋(－0.2)0； （2）(x ―3)2―(x ＋2)(x ―2)．20.（本题8分）解不等式组与方程：（第16题）ABCDE G（第17题）（第15题）（1）解不等式组⎩⎨⎧3x ＋1＜2(x ＋2)，－x 3≤5x 3＋2. （2）解方程x 2－6x ＋1＝021．（本题满分6分）如图，BD 为□ABCD 的对角线，AE ∥CF ，点E 、F 在BD 上．求证：BE ＝DF ．22．（本题满分8分） 《歌手—当打之年》是湖南卫视最受欢迎的娱乐节目，奇袭挑战赛在每周五晚准时进行，7名主打歌手进行比赛的同时还要接受1名奇袭歌手挑战．近期即将进行终极奇袭战，奇袭歌手艾热将挑战徐佳莹（女）、米希亚（女）、萧敬腾、华晨宇、周深、声入人心男团、旅行团乐队．（1）当主持人询问艾热准备奇袭哪位歌手时，艾热透露“希望和男性嗓音去比试”，那周深被奇袭的概率是 ▲ ；（2）7名主打歌手比赛的上场顺序是通过抽签方式进行，若已经知道前4位歌手的上场顺序，还有华晨宇、米希亚、周深不知道，那么华晨宇和周深两位是相邻出场的概率是多少．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）23．（本题满分6分）无锡有丰富的旅游产品．一天某校九年级（1）班的同学就部分旅游产品的喜爱情况随机抽取了的2%来锡游客进行问卷调查，要求游客在列举的旅游产品中选出最喜爱的产品，且只能选一项，以下是同学们整理的不完整的统计图：ABCDEF根据以上信息完成下列问题： （1）请将条形统计图补充完整．（2）在扇形统计图中，A 部分所占的圆心角是 ▲ 度．（3）根据调查结果估计这天在所有的游客中最喜爱惠山泥人的约有多少人．24．（本题满分8分）如图，△AOB 中，A （-8，0），B （0，332），AC 平分∠OAB ，交y 轴于点C ，点P 是x 轴上一点，⊙P 经过点A 、C ，与x 轴交于点D ，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，EC 的延长线交x 轴于点F ．（1）求证：EF 为⊙P 的切线；（2）求⊙P 的半径．25．（本题满分8分）如图，已知△ABC ，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．（1）作菱形AMNP ，使点M ，N 、P 在边AB 、BC 、CA 上； （2）当∠A =60°，AB =8，AC =6时，求菱形AMNP 的面积．26．（本题满分10分）全民健身的今天，散步运动是大众喜欢的活动项目。

2020年上海市静安区初三一模数学试卷一、选择题1、已知a =b =ab 的值为（ ）A. B.C.x y -D.x y +2、已知点P 在线段AB 上，且:2:3AP PB =，那么:AB PB 为（ ）A.3:2B.3:5C.5:2D.5:33、在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，//DE BC ，:4:5AD DB =，下列结论中正确的是（ ）A.45DE BC = B.94BC DE = C.45AE AC = D.54EC AC = 4、在Rt ABC 中90C ∠=，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别是,,a b c ，如果3a b =，那么A ∠的余切值为（ ）A.13B.3 5、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设OA a =，OB b =，下列式子中正确的是（ ）A.DC a b =+B.DC a b =-C.DC a b =-+D.DC a b =--6、如果将抛物线22y x =-平移，使平移后的抛物线与抛物线289y x x =-+重合，那么它平移的过程可以是（ ） A.向右平移4个单位，向上平移11个单位 B.向左平移4个单位，向上平移11个单位C.向左平移4个单位，向上平移5个单位D.向右平移4个单位，向下平移5个单位二、填空题7、因式分解：25x x -= .8、已知()f x =()3f = .9、方程1112x x -=+的根是 . 10、已知：34x y =，且4y ≠，那么34x y -=- . 11、在ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，6AD =，那么AG = . 12、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么两个三角形的面积比是 .13、如图，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD 底部C 的俯角为60，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 米。

（结果保留根号）14、某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为x （0x >），六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解析式是 . 15、矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为513，那么该矩形的面积为 .16、已知二次函数2228y a x a x a =++（a 是常数，0a ≠），当自变量x 分别取6-，4-时，对应的函数值分别为1y 、2y ，那么1y 、2y 的大小关系是：1y 2y （填“>”、“<”、“=”）.17、平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”.在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AD =，9BC =，点E F 分别在边AB 、CD 上，且EF 是梯形ABCD 的“比例中线”，那么DFFC= . 18、如图，有一菱形纸片ABCD ，60A ∠=，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 .三、解答题19、先化简，再求值：2222244x y x y x y x xy y --÷+++，其中sin 45x =，cos 60y =.20、如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=，20AC =，3sin 5A =，CD AB ⊥，垂足为D . （1）求BD 的长；（2）设AC a =，BC b =，用a 、b 表示AD21、已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y x bx =++（b 为常数）的对称轴是直线1x =. （1）求该抛物线的表达式；（2）点()8,A m 在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为'A ，求点'A 的坐标. （3）选取适当的数据填入下表，并在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线.22、如图，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22方向上. （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到0.01米）（2）如果轮船M 沿着南偏东30的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸？请说明理由.（sin 220.375≈，cos 220.927≈，tan 220.404≈ 1.732≈.）23、如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，2OD OB OE =⋅.（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC BD =，AE AF AD BF ⋅=⋅，求证：ABEACD .24、在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图像经过点()0,3A -、()1,0B 、()3,0C ，联结AB 、AC . （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABDBCDSS=，求tan DBC ∠的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分BAE ∠时，求点E 的坐标.25、已知，如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，2AB BE DC =⋅，:3:1DE EC =，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G .（1）找出图中与ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分ADC ∠时，求:DG DF 的值；（3）如图，当90BAC ∠=，且DF AE ⊥时，求:DG DF 的值.参考答案1-6、CDBACD7、()5x x - 8 9、3x = 10、3411、412、16:25 13、 14、()22001y x =+ 15、240 16、> 17、23 18、1719、原式2x yx y+=+=20、（1）9；（2）16162525AD a b =-； 21、（1）221y x x =-+；（2）()'6,49A -；（3）略 22、（1）167.79m ；（2）能 23、略24、（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）72,3⎛⎫- ⎪⎝⎭25、（1）ACD EBA EAD ；（2（3）24+。

同学们注意：2019 学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷（满分150 分，考试时间100 分钟）（2020.1）1. 本试卷含三个大题，共25 题；没有特殊说明，几何问题均视为在同一个平面内研究问题.2. 答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1. 下列选项中的两个图形一定相似的是························（▲）（A ）两个等腰三角形；（B ）两个矩形；（C）两个菱形；（D）两个正五边形.2. 在Rt△ABC 中， C 90 ，AB 10 ，AC 8 . 下列四个选项，不正确的是（▲）（A ）sin A 4；（B ）cosA54；（C）tan A53；（D）cot A4．4 33. 如果A（ 2 ，n ），B（2 ，n ），C（4，n 12 ）这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数的解析式可能是····························（▲）（A ）y 2x ；（B ）y 2 ；（C）yxx 2 ；（D ）y x2 .4. 如图1，在平行四边形ABCD 中，设AB a ，AD b ，点O 是对角线AC 与BD 的交点，那么向量OC 可以表示为······························（▲）（A ）1a21b ；（B）1a2 21b ；（C）21a1b ；（D）2 21a1b .2 25. 三角形的重心是································（▲）（A ）三角形三边的高所在直线的交点；（B ）三角形的三条中线的交点；（C）三角形的三条内角平分线的交点；（D）三角形三边中垂线的交点．6. 下列四个选项中的表述，正确的是·························（▲）（A ）经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；D C （B）经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；O（C）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线； A图1B （D）经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线.二、填空题：（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7. 如果2a 3b ，那么a▲．b8. 如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9 倍，那么扩大后的三角形的面积为原三角形面积的▲倍.9. 在某一时刻测得一根高为 1.8 m 的竹竿的影长为0.9 m，如果同时同地测得一栋楼的影长为27m，那么这栋楼的高度为▲m．10. 在△ABC 中，D、E 分别是边AB、AC 上的点，如果AD=2，DB=1 ，AE=4，EC=2，那么值为▲ ．DE的BC11. 抛物线y 1(x21)2的顶点坐标为▲．12. 如果抛物线y x2bx 的对称轴为y 轴，那么实数 b 的值为▲．13. 将抛物线y x2 4 x 5 向右平移 2 个单位后，所得抛物线的表达式为▲．14. 已知抛物线y x 2 2 x c 经过点A( 1, y1) 和B(1, y2) ，那么y1▲y2（从“”或“”或“”选择）.15. 如图2，有一斜坡AB ，坡顶 B 离地面的高度BC 为30 m，斜坡的坡度i坡的水平距离AC 的长为▲m.1: 2.5 ，那么该斜16. 如果正多边形的边数是n（n 3），它的中心角是，那么关于n 的函数解析式为▲.17. 如图3，⊙O 的半径长为 5 cm，△ABC 内接于⊙O，圆心O 在△ABC 的内部.如果AB AC ，BC 8cm，那么△ABC 的面积为▲cm 2 ．18. 在△ ABC 中，ACB 90 ，AB 10 ，cosA 3（如图4），把△ ABC 绕着点 C 按照顺时5针的方向旋转，将A、B 的对应点分别记为点 A 、B . 如果 A B 恰好经过点A，那么点 A 与点A'的距离为▲. BABA图2OC B C C A图3 图4三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）19.（本题满分10 分）计算： 2 cos30 tan 45 2sin 30 cot 30 .20. （本题满分10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分）已知不等臂跷跷板AB 长为 3 米．跷跷板AB 的支撑点O 到地面的点H 的距离OH 0.6 米. 当跷跷板AB 的一个端点 A 碰到地面时（如图5-1），AB 与直线AH 的夹角OAH 的度数为30 .（1）当AB 的另一个端点 B 碰到地面时（如图5-2），跷跷板AB 与直线BH 的夹角ABH 的正弦值是多少？（2）当AB 的另一个端点 B 碰到地面时（如图5-2），点A 到直线BH 的距离是多少米？BAO OAH图5-1BH图5-221.（本题满分10 分）如图6，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，⊙O 的半径长为r cm ，弧AB 的长．度．为l1cm ，弧CD 的长．度．为l 2cm（温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）.当l1l2时，求证：AB CD .A BODC图 622.（本题满分10 分）如图7，海中有一个小岛 A ，该岛的四周10 海里的范围内有暗礁.有一货轮在海面上由西向东航行.到达B 处时，该货轮位于小岛南偏西60 的方向上，再往东行驶20 海里后到达小岛的南偏西30 的方向上的 C 处.如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明.图723．（本题满分12 分，第（1）小题 4 分，第 2 小题8 分）已知：如图8，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，ABE C .（1）求证：BE 2ADE BC ；.D E（2）当BE 平分ABC 时，求证：BDBE 24．（本题满分12 分，每小题 4 分）AE .ABB C图8在平面直角坐标系xOy 中，将点P1( a，b a) 定义为点P(a，b) 的“ 关联点” .已知：点A(x，y) 在函数y x 2的图像上（如图9 所示），点 A 的“关联点”是点A1 .（1）请在图9 的基础上画出函数y x 2 2 的图像，简要说明画图方法；（2）如果点A1在函数y x2 2 的图像上，求点A1的坐标；（3）将点P2 (a, b na) 称为点P(a，b) 的“ 待定关联点”（其中，n 0 ）.如果点A( x，y) 的“ 待定关联点” A2在函数y x 2n 的图像上，试用含n的代数式表示点A2的坐标.图9 25. （本题满分14 分，其中第（1）小题4 分，第（2）、（3）小题各 5 分）已知：点P 在△ABC 内，且满足APB APC （如图10），APB BAC 180 .（1）求证：△PAB∽△PCA；A（2）如果APB 120 ，ABC 90 ，求PC 的值；PB（3）如果BAC 45 ，且△ABC 是等腰三角形，试求tan PBC 的值. PB C图102019 学年第一学期嘉定区九年级期终学业质量调研测试数学试卷阅卷参考答案（考试时间 100 分钟，总分 150 分）（ 2020.1）一、选择题 （本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. D ； 2. A ； 3. D ； 4. A ； 5. B ； 6. C .二、填空题： （本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7. 3；8. 81；9. 54 ； 10. 22 ；11. ( 31,0) ；12. 0 ； 13. y x 2 1 ；14.；15. 75； 16.360 n（不要求写出函数的定义域）； 17. 32 ；18.三、解答题（ 本大题共 7 题，满分 58 分） 19. （ 本题满分 10 分）36 .5解： 2cos30 tan 45 2sin 30 cot 30= 2 × 3 2 11 2× 23 ·······························8 分= 3 1 13 0 . ································1+1 分20. （本小题满分 10 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分） 证明：在 Rt △ AOH 中，∵ AHO 90 ，AOH 30 ， OH 0.6 ，∴ AO 2OH 2 0.6 1.2 ( m). ································2 分∴ OB AB OA 3 1.2 1.8 ( m)·····························2 分在Rt △ BOH 中，∵ BHO 90 ， OH0.6 ， OB 1.8 ，∴ sin ABHOH OB0.6 1.8 1 ··········································································· 2分3（ 2）过点 A 向直线 BH 作垂线，垂足为 M ································································1分 AO在Rt △ABM 中，∵ AMB 90 ， sin ABM 1， AB 3 ，31M BH 图 6-2 ∴ AMAB sin ABM3× 1 3··································2分答： ABH 的正弦值为1 ，点 A 到直线 BH 的距离是 1米. ············································· 1分3-21. （本题满分10 分）解：设AOB m ，CODmr n ，··································1分nr由题意，得l1180 ，l 2180································2分∵l1l 2 ，∴mr=180nr.·······································1 分180∴m n ，即AOB COD . ····································2分∵OA 、OB 、OC 、OD 都是⊙O 的半径，∴OA OB OC OD .··············1 分∵OA OC , AOB COD , OB OD ，∴△ AOB≌△COD . ·············································2分∴ AB CD . ·················································1分22. （本题满分10 分）解：过点 A 作直线BC 的垂线，垂足为 D （如图7 所示）····················1分由题意，得BAD 60 ，CAD 30 . ····························1分∴BAC BAD CAD 30 ·········································································1分又∵ B 90 BAD 90 60 30 ，∴ B BAC . ··················1分∴ AC BC .··············································1分∵BC 20，∴ AC BC 20 （海里）····························1分3在Rt△ACD 中，AD AC cos CAD 20210 3 （海里）·············2分由题意知：以海岛 A 为圆心，半径长为10 海里范围内有暗礁.这里，AD10 3 10 ，所以，如果货轮继续向东航行，没有触礁的危险. ······················2分AD ED B C图7 图823. （本题满分12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题8 分）证明：（1）∵DE ∥ BC ，∴BED CBE ···························································1分又∵ABEDE BE ∴BE BC C ，∴△BDE ∽△ CBE. ····························1分.············································1分∴ BE2DE BC . ·········································1分（2）∵DE ∥BC ，∴AED C .又ABE C ，∴AED ABE . ··········1分又∵EAD BAE ，∴△ADE ∽△ABE . ··························1分AE AD∴AB AE. ···········································1分2∵ DE ∥ BC ，∴ ADBDAE ， 即 AD CEAEBD.························1 分 CEAEBD ∴AB CE. ···········································1 分∵ BE 平分 ABC ，∴ ABECBE ，又∵ ABE C ，∴ CBE C . ···1 分∴ BE CE . ············································1 分 ∴BD BEAE.············································1 分 AB24．（ 本题满分 12 分，每小题 4 分）解：（ 1） 图像基本正确（开口方向、对称轴、顶点、大致光滑）············2 分将图 9 中的抛物线 y x 2 向下平移 2 个单位长，可得抛物线y x 2 2 ·······2 分备注：如果使用“列表、描点、连线”的方式叙述，需要呈现列表使用的表格.（ 2）由题意，得点 A( x, y) 的“关联点”为 A 1( x , y x ) ····················1 分由点 A( x, y) 在抛物线 yx 2 上，可得 A(x, x 2 ) ， A 1( x, x 2 x) ······························ 1 分又∵ A 1 (x , y x ) 在抛物线 yx 22 上，∴ x 2xx22 ··················1 分解得 x 2 .将 x 2 代入 A 1( x, x 2 x) ，得 A 1 (2,2) ·····················1 分（ 3）点A( x, y) 的“待定关联点”为 A ( x, x 2 nx) ， ·······················1 分∵ A 2 ( x, x 2 nx) 在抛物线 yx 2 n 的图像上，∴ x 2 nx x 2 n . ···········1 分∴ n nx 0 , n(1 x) 0 .又∵ n 0 ，∴ x 1 . ·······················1 分当 x 1 时， x 2nx 1 n ，故可得 A 2 (1，1 n ) .·······················1 分25．（ 本题满分 14 分，第（ 1）小题 4 分，第（ 2）、（ 3）小题各 5 分）证明： （ 1） ∵ ABPBAP APB 180 ， APB BAC 180 ， ··········1 分 ∴ ABP BAP APB APB BAC . ·························1 分即ABPBAPAPBAPBBAPCAP .∴ ABP CAP . ··········································1 分又∵ APBAPC ，∴ △PAB ∽ △ PCA .·····························1 分 （ 2） 如图 10-1，∵ APB BAC 180 ， APB 120 ，∴ 1BAC 60 . ········1 分 在△ ABC 中，∵ ABC 90 ， BAC 60 ，∴ ABAC . ·············1 分 2又∵ △PAB ∽ △PCA ，∴ PB PA PA PC AB 1 AC 2. ··························1 分PB PB PA ∴ PC PA PC 1 ，即 PC4 PB 4 . ································2 分AA A A图10-2 C B（3）∵BAC 45 ，APB BAC 180 ，APB APC ，∴APB APC 135 .∴BPC 360 APB APC 360 135 135 90 .················1分∵ △PCA∽△PAB，∴PAPB PC AC PC，∴PA AB PBPC PAPA PB(AC) 2 .AB①如图10-2 ，当△ABC 是等腰三角形，且AB AC 时，tan PBC PCPB(AC)2 1 .AB·····················································1分②如图10-3，当△ABC 是等腰三角形，且AB BC 时，ACB BAC 45 ,ABC 90 ，易得ACAB 2 ，∴tan PBCPCPB(AC) 2AB2 ··························2分③如图10-4 ，当△ABC 是等腰三角形，且AC BC 时，ABC BAC 45 ，ACB 90 ，易得ACAB 2，∴2tan PBCPC(AC)2PB AB1.··························1 分2备注：写出tan PBC 2 ，tan PBC 1这两个答案之中的一个，即可得到 2 分；两个2全部写出，得 3 分.。

2020年上海市长宁（金山）区初三一模数学试卷2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 下列函数中是二次函数的是（ ） A. 22y x = B. 22(3)y x x =+- C. 221y x x =+- D. (1)y x x =-2. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点(2,3)A ，那么OA 与x 轴正半轴的夹角α的余切值是（ ）A. 32B. 23C. 31313D. 21313 3. 将抛物线2(1)3y x =+-向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ）A. 2(1)3y x =--B. 2(3)3y x =+-C. 2(1)1y x =+-D. 2(1)5y x =+-4. 下列命题正确的是（ ）A. 如果||||a b =，那么a b =B. 如果a 、b 都是单位向量，那么a b =C. 如果a kb =（0k ≠），那么a ∥bD. 如果0m =或0a =，那么0ma =5. 已知在矩形ABCD 中，5AB =，对角线13AC =，C 的半径长为12，下列说法正确的是（ ）A. C 与直线AB 相交B. C 与直线AD 相切C. 点A 在C 上D. 点D 在C 内6. 如果点D 、E 、F 分别在△ABC 的边AB 、BC 、AC 上，联结DE 、EF ，且DE ∥AC ，那么下列说法错误的是（ ）A. 如果EF ∥AB ，那么::AF AC BD AB =B. 如果::AD AB CF AC =，那么EF ∥ABC. 如果△EFC ∽△BAC ，那么EF ∥ABD. 如果EF ∥AB ，那么△EFC ∽△BDE二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 计算：2(2)3()a b a b -++=8. 如果32x x y =-，那么x y的值等于 9. 已知点P 在线段AB 上，且满足2BP AB AP =⋅，则BP AB的值等于10. 已知抛物线2(1)y a x =+的开口向上，则a 的取值范围是 11. 抛物线221y x =-在y 轴左侧的部分是 （填“上升”或“下降”）12. 如果一条抛物线经过点(2,5)A ，(3,5)B -，那么它的对称轴是直线13. 如图，传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度1:2.4i =，那么物体所经过的路程AB 为 米14. 如图，AC 与BE 交于点D ，90A E ∠=∠=︒，若点D 是线段AC 的中点，且10AB AC ==，则BE 的长等于15. 如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，点G 是重心，4AC =，1tan 3ABG ∠=，则 BG 的长是16. 已知相交两圆的半径长分别为8与15，圆心距为17，则这两圆的公共弦长为17. 如果直线l 把△ABC 分割后的两个部分面积相等，且周长也相等，那么就把直线l 叫做△ABC 的“完美分割线”，已知在△ABC 中，AB AC =，△ABC 的一条“完美分割线”为直线l ，且直线l 平行于BC ，若2AB =，则BC 的长等于18. 如图，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将△ABP 绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：22sin30tan 60cot 45cos60cos30sin 45︒⋅︒-︒+︒︒-︒.20. 如图，在梯形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，AD ∥EF ∥BC ，EF 与BD 交于点G ，5AD =，10BC =，23AE EB =. （1）求EF 的长； （2）设AB a =，BC b =，那么DB = ，FC = ；（用向量a 、b 表示）.21. 如图，已知AB 是O 的弦，点C 在O 上，且AC BC =，联结AO 、CO ，并延长CO 交弦AB 于点D ，43AB =，6CD =.（1）求OAB ∠的大小；（2）若点E 在O 上，BE ∥AO ，求BE 的长.22. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线O A B C ---表示支架，支架的一部分O A B --是固定的，另一部分BC 是可旋转的，线段CD 表示投影仪探头，OM 表示水平桌面，AO OM ⊥，垂足为点O ，且7AO cm =，160BAO ∠=︒，BC ∥OM ，8CD cm =.将图2中的BC 绕点B 向下旋转45°，使得BCD 落在BC D ''的位置（如图3所示），此时C D OM ''⊥，AD '∥OM ，16AD cm '=，求点B 到水平桌面OM 的距离.【参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，cot700.36︒≈，精确到1cm 】23. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅.（1）求证：AFD AEC ∠=∠；（2）若EG ∥CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213y x mx n =++经过点(6,1)B 、(5,0)C ， 且与y 轴交于点A .（1）求抛物线的表达式及点A 的坐标；（2）点P 是y 轴右侧抛物线上的一点，过点P 作PQ OA ⊥，交线段OA 的延长线于点Q ，如果45PAB ∠=︒，求证：△PQA ∽△ACB ；（3）若点F 是线段AB （不包括端点）上的一点，且点F 关于AC 的对称点F '恰好在上述抛物线上，求FF '的长.25. 如图，已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，点P 、Q 分别在边AC 、射线CB 上，且AP CQ =，过点P 作PM AB ⊥，垂足为点M ，联结PQ ，以PM 、PQ 为邻边作平行四边形PQNM ，设AP x =，平行四边形PQNM 的面积为y .（1）当平行四边形PQNM 为矩形时，求的PQM ∠正切值；（2）当点N 在△ABC 内，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当过点P 且平行于BC 的直线经过平行四边形PQNM 一边中点时，直接写出x 的值.参考答案一. 选择题1. D2. B3. A4. C5. D6. C一. 填空题7. 5a b - 8. 3 9.10. 1a >-11. 下降 12. 12x =- 13. 13 14.15.16. 2401717. 4 18. 三. 解答题19. 1+.20.（1）7EF =；（2）12DB a b =-，33510FC a b =+. 21.（1）30OAB ∠=︒；（2）4BE =.22. 45cm .23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）218533y x x =-+，(0,5)A ；（2）证明略；（3）FF '=. 25.（1）9tan 25PQM ∠=；（2）23962525y x x =-+（2407x <<）；（3）20043x =或40059.。

2020年初三数学一模试卷、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 . —3的绝对值是1A.—-3x2.函数中y=三自变量％的取值范围是7.已知a —b = 2，贝U a2—b2—4b的值为C . 6D . 88.下列判断错误的是A .对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己A.最高分B.方差C.中位数 D .平均数C .对角线相等的四边形是矩形D .对角线互相平分的四边形是平行四边形B. x <24 .下列运算正确的是A . 2a2+ a2= 3 a4B . (—2a2)3= 8a5 6C . a3+a2= aD . (a —b)2= a2—b2B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形A. x >2是中心对称图形的是C.k9 .如图，平面直角坐标系中， A (- 8 , 0), B (- 8 , 4), C (0, 4)，反比例函数 y = 一的图象分别X与线段AB , BC 交于点D , E ,连接DE .若点B 关于DE 的对称点恰好在 OA 上，则k = A . - 20B . - 16C . - 12D . - 810 .如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 0是它的外心，过点 0任意作一条直线分别交 AB , BC 于 点D , E .将ABDE 沿直线DE 折叠，得到△ BDE ，若B'D , B'E 分别交AC 于点F , G ,连接OF , 0G , 则下列判断错误的是 B.A B FG 的周长是一个定值11 . 16的平方根是 ____________12 .某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为表示应为 ___________ .13 .若 3m = 5 , 3n = 8，贝H 32m + n = _________________14 .用一个圆心角为120 °，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ___________________ . 15 .如图，四边形 ABCD 内接于O O , OC //AD ，/DAB = 60 °,A DC = 106 °,^UQCB = __________________ 16 .如图，A ABC 中，/C = 90 °,AC = 3, AB = 5 , D 为BC 边的中点，以 AD 上一点O 为圆心的 O 和AB , BC 均相切，则O O 的半径为A . △ADF 也/CGEC •四边形FOEC 的面积是一个定值D •四边形OGB 'F 的面积是一个定值(第6题图①)、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)12400，将12400用科学记数法17.如图，二次函数y= (x+ 2)1 2+ m的图象与y轴交于点C,与x轴的一个交点为A (- 1, 0)，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称•已知一次函数y= kx + b的图象经过A, B两点，根据图象，则满足不等式(x + 2)2+ m <kx + b的x的取值范围是______________ .18 .如图，正方形ABCD和Rt△AEF, AB = 5 , AE= AF= 4，连接BF, DE.若△AEF绕点A旋转，当/ABF 最大时，S ZADE = ____________1求证：AB = DF;2若AB = BD,求证：四边形ABDF是菱形.三、解答题(共84分)19 .(本题满分8分)1(1 )计算：(n—3)°+ 2sin45 °-一81 - 2x v 3(2)解不等式组：x + 1v 2320 .(本题满分8分)解方程:(1) x2- 8x + 1 = 0(2)3x-221 .(本题满分8分)如图, □ABCD中，E为AD的中点，直线BE, CD相交于点F.连接AF, BD.22 .(本题满分8分)某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学 生的测试成绩进行统计(根据成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90 <x <100 ;B 组：80 <x v 90 ;C 组：70 <x v 80 ;D 组：60 V 70 ;E 组：x V 60 )，通过对测试成绩的分析, 得到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题:(1 )抽取的学生共有 _________ ，请将两幅统计图补充完整; (2 )抽取的测试成绩的中位数落在 __________ 内;(3 )本次测试成绩在 80分以上(含80分)为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人?23 .（本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和 A , B , C 三把不同的钥匙•其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙 不能打开这两把锁•随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率.（请用“画树状图”或 “列表”等方法给出分析过程）B C调查测试成绩扇形统计图调查测试成绩条形统计图（分）24.（本题满分8分）如图，△ ABC中，O O经过A, B两点，且交AC于点D，连接BD，/DBC = /BAC .（1）证明BC与O O相切；25.（本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用.（1 ）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p》1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围.26.(本题满分8分)如图，线段0B放置在正方形网格中，现请你分别在图1，图2，图3添画(工具只能用直尺)射线OA，使tan ZAOB的值分别为1，2，3.27 .(本题满分10分)已知，二次函数y = ax2+ 2ax —3a (a> 0)图象的顶点为C,与x轴交于A, B两点(点A在点B的左侧)，点C, B关于过点A的直线I对称，直线l与y轴交于D .(1 )求A, B两点坐标及直线I的解析式；(2)求二次函数解析式；EF(3)在第三象限抛物线上有一个动点E,连接OE交直线I于点F,求OF的最大值.28 .(本题满分10 分)如图，矩形ABCD , AB = 2 , BC = 10 ,点E 为AD 上一点，且AE = AB ,点F 从点E 出发，向终点D 运动，速度为1 cm/s ，以BF 为斜边在BF 上方作等腰 Rt 壬FG ,以BG , BF 为邻边作CBFHG ，连接AG •设点F 的运动时间为t 秒,(1)试说明：△ ABG S /EBF ;(2)当点H 落在直线CD 上时，求t 的值;(3)点F 从E 运动到D 的过程中，直接写出 HC 的最小值.图1图29 .如图，平面直角坐标系中， A (- 8 , 0), B (- 8 , 4), C (0, 4),反比例函数y =鱼的图象分别与线段AB，BC交于点D，E,连接DE •若点B关于DE的对称点恰好在OA上，贝U k =( )形相似和对称，可求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值.【解答】解：过点E作EG丄OA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F,连接DF、EF、BF,如图所示:则ABDE^zFDE,•••BD = FD, BE= FE,Z DFE=Z DBE= 90A . - 20 B. - 16 C.- 12 D . - 8【分析】根据A (- 8 , 0), B (- 8 , 4 ), C (0 , 4),可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示出点D的纵坐标和点E的横坐标，由三角易证△ADF S £FE•丄厂•丽五，•••AF ： EG = BD : BE ,••A (- 8 , 0), B (- 8 , 4), C (0 , 4), .•.AB = 0C = EG = 4 , OA = BC = 8 , •••D 、E 在反比例函数y =上的图象上，x•••E 出，4)、D (- 8，上)4 8•••OG = EC = , AD =-—,48•••BD = 4+二,BE = 8+-84•••AF =丄二二在Rt A ADF 中，由勾股定理： AD 2+AF 2 = DF 2 即：（-丄）2+2 2=（ 4+丄）2解得：k =- 12 故选：C .10 •如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直线分别交 AB , BC 于点D ,巳将厶BDE 沿直线DE 折叠，得到△ B'DE ,若B'D , B'E 分别交AC 于点F , G ,连接OF , OG , 则下列判断错误的是（* *” ----- —*甘 E 〜A .△ADF 也zCGEB .△B'FG的周长是一个定值C •四边形FOEC的面积是一个定值D •四边形OGB'F的面积是一个定值【分析】A、根据等边三角形ABC的内心的性质可知：AO平分/BAC,根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分Z DFG，由外角的性质可证明/ DOF = 60。

上海市嘉定区2020届初三一模数学试卷2020.01一. 选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）1. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）A. 两个等腰三角形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个正五边形2. 在Rt ABC V 中，90C ︒∠=，10AB =，8AC =，下列四个选项，不正确的是（ ） A. 4sin 5A = B. 4cos 5A = C. 3tan 4A = D. 4cot 3A = 3. 如果(2,)A n -，(2,)B n ，(4,12)C n +这三个点都在同一个函数的图像上，那么这个函数 的解析式可能是（ ）A. 2y x =B. 2y x =-C. 2y x =-D. 2y x = 4. 如图，在平行四边形ABCD 中，设AB a =uu u r r ，AD b =uuu r r ，那么向量OC uuu r 可以表示为（ ）A. 1122a b +r rB. 1122a b -r r C. 1122a b -+r r D. 1122a b --r r 5. 三角形的重心是（ ）A. 三角形三边的高所在直线的交点B. 三角形的三条中线的交点C. 三角形的三条内角平分线的交点D. 三角形三边的垂直平分线的交点6. 下列四个选项中的表述，一定正确的是（ ）A. 经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线B. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线C. 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线D. 经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线二. 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）7. 如果23a b =，那么a b= 8. 如果将一个三角形保持形状不变但周长扩大为原三角形周长的9倍，那么扩大后的三角 形的面积为原三角形面积的 倍9. 在某一时刻测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为0.9m ，如果同时同地测得一栋楼的影长 为27m ，那么这栋楼的高度为 m10. 在ABC V 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，如果2AD =，1DB =，4AE =，2EC =，那么DE BC的值为 11. 抛物线21(1)2y x =+的顶点坐标为 12. 如果抛物线2y x bx =-+的对称轴为y 轴，那么实数b 的值为 13. 将抛物线245y x x =++向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为14. 已知抛物线22y x x c =-+经过点1(1,)A y -和2(1,)B y ，那么1y 2y（填“>”、“<”或“=”）15. 如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的坡度1:2.5i =，那么 该斜坡的水平距离AC 的长为 m16. 如果正多边形的边数是n (3)n ≥，它的中心角是α︒，那么α关于n 的函数解析式为17. 如图，O e 的半径长为5cm ，ABC V 内接于O e ，圆心O 在ABC V 的内部，如果 AB AC =，8BC =cm ，那么ABC V 的面积为 cm 218. 在ABC V 中，90ACB ︒∠=，10AB =，3cos 5A =，把ABC V 绕着点C 按照顺时针 的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '，如果A B ''恰好经过点A ，那么点A 与点A '的距离为三. 解答题（本大题共7题，共10+10+10+10+12+12+14=78分）19. 计算：2cos30tan 452sin30cot30︒︒︒︒+--.20. 已知不等臂跷跷板AB 长为3米，跷跷板AB 的支撑点O 到地面上的点H 的距离 OH =0.6米，当跷跷板AB 的一个端点A 碰到地面时，AB 与地面上的直线AH 的夹角 ∠OAH 的度数为30°.（1）当AB 的另一个端点B 碰到地面时，跷跷板AB 与直线BH 的夹角∠ABH 的正弦 值是多少？（2）当AB 的另一个端点B 碰到地面时，点A 到直线BH 的距离是多少米？21. 如图，在O e 中，AB 、CD 是两条弦，O e 的半径长为rcm ，弧AB 的长度为1l cm ，弧 CD 的长度为2l cm （温馨提醒：弧的度数相等，弧的长度相等，弧相等，有联系也有区别）. 当12l l =时，求证：AB CD =.22. 如图，海中有一个小岛A ，该岛的四周10海里的范围内有暗礁，有一货轮在海面上由西向东航行，到达B 处时，该货轮位于小岛南偏西60°的方向上，再往东行驶20海里后到达小岛的南偏西30°的方向上的C 处，如果货轮继续向东航行，是否会有触礁的危险？请通过计算说明.23. 如图，在ABC V 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，ABE C ∠=∠.（1）求证：2BE DE BC =⋅；（2）当BE 平分∠ABC 时，求证：BD AE BE AB =.24. 在平面直角坐标系xOy 中，将点1(,)P a b a -定义为点(,)P a b 的“关联点”. 已知点 (,)A x y 在函数2y x =的图像上，将点A 的“关联点”记为点1A .（1）请在如图基础上画出函数22y x =-的图像，简要说明画图方法；（2）如果点1A 在函数22y x =-的图像上，求点1A 的坐标；（3）将点2(,)P a b na -称为点(,)P a b 的“待定关联点”（其中0n ≠），如果点(,)A x y 的 “待定关联点”2A 在函数2y x n =-的图像上，试用含n 的代数式表示点2A 的坐标.25. 已知：点P 在ABC V 内，且满足APB APC ∠=∠，180APB BAC ︒∠+∠=.（1）求证：PAB V 与PCA V 相似；（2）如果120APB ︒∠=，90ABC ︒∠=，求PC PB的值； （3）当45BAC ︒∠=，ABC V 为等腰三角形时，求tan PBC ∠的值.参考答案一. 选择题1. D2. A3. D4. A5. B6. C二. 填空题 7. 328. 81 9. 54 10. 23 11. (1,0)- 12. 0b = 13. 21y x =+14. 12y y > 15. 75 16. 360n 17. 3218. 365三. 解答题19. 0.20.（1）13；（2）1.21. 略.22. 10AH =>，不会触礁.23.（1）证明略；（2）证明略.24.（1）略；（2）(2,2)；（3）1x =，2(1,1)A n -.25.（1）略；（2）4；（3）1或2或12.。

普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．已知35x y =，那么下列等式中，不一定正确的是（ ▲ ） （A ）5=3x y ； （B ）+8x y =； （C ）+85x y y =； （D ）35x x y y +=+． 2．下列二次函数中，如果函数图像的对称轴是y 轴，那么这个函数是（ ▲ ）（A ）22y x x =+； （B ）221y x x =++； （C ）22y x =+； （D ）2(1)y x =-． 3．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1sin 3A =，那么下列说法中正确的是（ ▲ ） （A ）1cos 3B =； （B ）1cot 3A =； （C）tan A =； （D）cot B = 4．下列说法中，正确的是（ ▲ ）（A ）如果，a 是非零向量，那么0ka =； （B ）如果e 是单位向量，那么1e =； （C ）如果b a =，那么b a =或b a =-；（D ）已知非零向量a ，如果向量5b a =-，那么a ∥b ．0k =5．如果二次函数()2y x m n =-+的图像如图1所示，那么一次函数y mx n =+的图像经过（ ▲ ） （A ）第一、二、三象限； （B ）第一、三、四象限； （C ）第一、二、四象限； （D ）第二、三、四象限．6．如图2，在Rt △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为点D ，如果32ADC CDB C C =△△，9AD =，那么BC 的长是（ ▲ ）（A ）4； （B ）6； （C） （D）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：12()()2a b a b →→→→+--= ▲ ． 8．抛物线2(2)y a x =-在对称轴左侧的部分是上升的，那么a 的取值范围是 ▲ ． 9．已知函数2()321f x x x =--，如果2x =，那么()f x = ▲ ．10．如果抛物线22y ax ax c =++与x 轴的一个交点的坐标是(1,0)，那么与x 轴的另一个交点的坐标是 ▲ ．11．将二次函数222y x x =-+的图像向下平移m (0)m >个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m 的值等于 ▲ ．12．已知在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，1cot 3B =，2BC =，那么AC = ▲ ．13．如图3，△ABC 的中线AD 、CE 交于点G ，点F 在边AC 上，GF //BC ，那么GFBC的值是 ▲ ．14．如图4，在△ABC 与△AED 中，AB BCAE ED=，要使△ABC 与△AED 相似，还需添加 一个条件，这个条件可以是 ▲ ．（只需填一个条件）ABC 图 3ABCDEG F图2AD CB图5ABCD 图4ABCEDO图115． 如图5，在Rt △中，90C ∠=︒，AD 是三角形的角平分线，如果AB =AC =那么点D 到直线AB 的距离等于 ▲ ．16．如图6，斜坡AB 长为100米，坡角30ABC ∠=︒，现因“改小坡度”工程的需要，将斜坡AB 改造成坡度1:5i =的斜坡BD （、、C 三点在地面的同一条垂线上），那么由点到点下降了 ▲ 米．（结果保留根号）17．如图7，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，AO CO =，CD BD ⊥，如果3CD =，5BC =，那么AB = ▲ ．18．如图8，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，5sin 13B =，点P 为边BC 上一点，3PC =， 将△ABC 绕点P 旋转得到△A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C ''//AB ，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G '的长等于 ▲ ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：222sin 60cos60tan 604cos45︒-︒︒-︒．20.（本题满分10分）如图9，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，EF //AB ，:1:3AD AB =．（1）当5DE =时，求FC 的长；（2）设AD a =，CF b =，那么FE = ▲ ，EA = ▲ （用向量a 、b 表示）．ABC A D A DABDE F图9图8ABC图7ADC BOAD B图6C如图10，在△ABC 中，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，PA AB ⊥，垂足为点A ，DP BC ⊥，垂足为点P ，AP BPPD CD=． （1）求证：APD C ∠=∠；（2）如果3AB =，2DC =，求AP 的长．22．（本题满分10分）函数m y x =与函数xy k=（m 、k 为不等于零的常数）的图像有一个公共点()3,2A k -，其中正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，求这两个函数的解析式．23．（本题满分12分）已知：如图11，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AOD BOC S S =△△． （1）求证：OACOOB DO =； （2）设△OAB 的面积为S ，k ABCD=，求证：2(1)ABCD S k S =+四边形．CDBAO图11图10CDBAP在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线28()3y ax a x c =+++(0)a ≠经过点A ()3,2--，与y 轴交于点B ()0,2-，抛物线的顶点为点C ，对称轴与x 轴交于点D ．（1）求抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）点E 是x 轴正半轴上的一点，如果AED BCD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点P 是位于y 轴左侧抛物线上的一点，如果△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形，求点P 的坐标．xOy 图12O11如图13，在梯形ABCD 中，AD //BC ，90C ∠=︒，2AD =，5BC =，3DC =，点E 在边BC 上，tan 3AEC ∠=．点M 是射线DC 上一个动点（不与点D 、C 重合），联结BM 交射线AE 于点N ，设DM x =，AN y =． （1）求BE 的长；（2）当动点M 在线段DC 上时，试求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当动点M 运动时，直线BM 与直线AE 的夹角等于45︒，请直接写出这时线段DM 的长．备用图ABCD ENM图13AB CDE普陀区2019学年度第一学期初三质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(B)； 2．(C)； 3．(A)； 4．(D)； 5．(B)； 6．(C)．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式212⨯-= ··································································· （4分）31-=······················································································· （3分）3=+ ······················································································ （3分）20．解：（1）∵DE //BC ，EF //AB ，∴DE BF =． ··················································································· （1分） ∵5DE =，∴5BF =． ······································································ （1分） ∵DE //BC ，∴AD DEAB BC =． ·················································································· （1分） ∵13AD AB =，∴513BC =． ···································································· （1分） 解得 15BC =， ················································································ （1分）7． 2a b →→+； 8． 2a <； 9． 7； 10．30-(,) ；11．1； 12．6；13． 13；14．B E ∠=∠（AB ACAE AD=等）； 15．2 ； 16．50- 17．154； 18．2013．10FC =． ························································································ （1分） （2）FE =2a -，EA =12a b -+． ······················································· （2分+2分）21．解：（1）∵PA AB ⊥，DP PC ⊥，∴90BAP CPD ∠=∠=︒． ··································································· （1分） 在Rt △ABP 与Rt △PCD 中，AP BPPD CD=， ∴Rt △ABP ∽Rt △PCD ． ·································································· （1分） ∴APB PDC ∠=∠． ··········································································· （1分） ∵DPB APB APD ∠=∠+∠，DPB PDC C ∠=∠+∠，得APD C ∠=∠． ··············································································· （2分） （2）∵Rt △ABP ∽Rt △PCD ． ∴B C ∠=∠．∴AB AC =． ··················································································· （1分） ∵3AB =，2DC =，∴1AD =． ························································· （1分） ∵APD C ∠=∠，PAD CAP ∠=∠，∴△APD ∽△ACP ． ········································································ （1分） ∴AD APAP AC=． ················································································ （1分）得AP ···················································································· （1分）22．解：由点A ()3,2k -在函数xy k=的图像上，可得 32k k-=．················································································ （1分） 整理，得2230k k --=． ·································································· （1分） 解得 13k =，21k =-． ····································································· （2分） ∵正比例函数y 的值随x 的值增大而减小，∴1k =-． ······················································································· （2分） 得 y x =-，点A ()3,3-． ································································· （2分）由点A ()3,3-在函数my x=的图像上，可得 9m =-． ·················································································· （1分） ∴9y x=-． ····················································································· （1分） 两个函数的解析式分别为y x =-，9y x=-．23．证明：（1）过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H . ···················································· （1分）∵S △AOD =AH DO ⋅⋅21, S △AOB =AH OB ⋅⋅21, ∴OB DO AH OB AHDO S S AOBAOD =⋅⋅⋅⋅=∆∆2121.····························································· （2分） 同理，BOC AOB S COS OA∆∆=． ········································································· （1分） ∵AOD BOC S S =△△，∴DO COOB OA=．··············································································· （1分）（2）∵OACOOB DO =，AOB COD ∠=∠， ∴△OCD ∽△OAB ． ····································································· （1分） ∴CD DO COk AB BO AO===． ·································································· （1分） 22k AB CD S S OAB OCD =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆． ·································································· （1分） ∵△OAB 的面积为S ，∴S k S OCD ⋅=∆2. ············································ （1分） 又∵k OBDOS S OAB AOD ==∆∆，∴S k S AOD ⋅=∆． ············································ （1分） 同理，S k S BOC ⋅=∆. ······································································ （1分） ∴AOB BOC COD DOA ABCD S S S S S =+++△△△△四边形S k S k S k S ⋅+⋅+⋅+=2 S k k ⋅++=)12(2S k 2)1(+=． ································································ （1分）24．解：（1）由抛物线28()3y ax a x c =+++经过点A ()3,2--和点B ()0,2-，得2,893() 2.3c a a c =-⎧⎪⎨-++=-⎪⎩ 解得4,32.a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ··············································· （2分） ∴抛物线的表达式是24423y x x =+-．············································· （1分） 点C 的坐标是3(,5)2--． ··································································· （1分）（2）联结AB 交CD 于点F ，过点A 作AH OD ⊥，H 为垂足．∵A ()3,2--，B ()0,2-，∴3AB =． 由对称性可得 32BF =． ····································································· （1分） ∵5CD =，∴3CF =．在Rt △BCF 中，1tan 2BF BCF CF ∠==．················································· （1分） 在Rt △AEH 中，tan AHAEH EH∠=，∵AED BCD ∠=∠， ∴12AH EH =．∴4EH =．···································································· （1分） ∵3OH =，∴1OE =．∴点E 的坐标是()1,0． ······································································ （1分） （3）∵△PAE 是以AE 为直角边的直角三角形， ∴90PAE ∠=︒或90PEA ∠=︒．设点P 点的坐标为24(,42)3m m m +-．①当90PAE ∠=︒时，点P 只能在AE 的下方． 过点P 作PG AH ⊥，G 为垂足．∴3PG m =+，2443AG m m =--．∵GAE AHE AEH ∠=∠+∠，GAE PAE PAG ∠=∠+∠，∴PAG AEH ∠=∠．∴tan tan PAG AEH ∠=∠． ∴PG AH AG EH =．∴2314243m m m +=--．··················································· （1分） 解得3m =-，32m =-． ∵3m =-不合题意舍去，∴32m =-． ∴点P 的坐标是3(,5)2--． ······························································· （1分） ②当90PEA ∠=︒时．同理可得点P的坐标是． ··································· （2分）25．解：（1）过点A 作AH BC ⊥，H 为垂足．∵AH BC ⊥，∴90AHE ∠=︒．∵90C ∠=︒，∴AHE C ∠=∠．∴AH //DC ．∵AD //BC ，3DC =∴3AH DC ==． ·······························································（1分） 同理可得2HC AD ==． ····························································································（1分） 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，tan 3AEH ∠=，∴3AH HE=． ∴1EH =． ················································································································（1分） ∵5BC =，∴2BE =． ·····························································································（1分）（2）延长BM 、AD 交于点G ． ·············································································（1分） ∵DG //BC ，∴DG DM BC MC=． 由DM x =，3DC =，5BC =， 得53DG x x =-，解得53x DG x=-．···········································································（1分） ∴633x AG x+=-． ·········································································································（1分） ∵AG //BC ，∴AN AG BN BE =． 在Rt △AEH 中，90AHE ∠=︒，1EH =，3AH =，可得AE =． ··········································································································（1分）。

2020年初三数学一模试卷、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30 分)1. —3的绝对值是1B . —3C. 32.函数中y = 自变量x的取值范围是2 —Xk9.如图，平面直角坐标系中， A (—8, 0), B (—8, 4), C (0, 4)，反比例函数y= x的图象分别与线段AB, BC交于点D, E,连接DE .若点B关于DE的对称点恰好在OA上，贝U k=A . —20B . —16C . —12D . —810 .如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB, BC于点D , E .将厶BDE沿直线DE折叠，得到△ B DE,若B'D, B E分别交AC于点F , G,连接OF , OG , 则下列判断错误的是D . x> 24.下列运算正确的是22^4 2 3 (6)A . 2a + a = 3aB . (—2a ) = 8a2 2 2D . (a—b) = a —5.某校有25名同学参加某比赛，预赛成绩各不相同，取前13名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这25名同学成绩的A.最高分 B .方差C.中位数 D .平均数A . 2&下列判断错误的是A .对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形C .对角线相等的四边形是矩形C . 6D . 8B .对角线互相垂直平分的四边形是菱形D .对角线互相平分的四边形是平行四边形A . △ ADF CGEC .四边形FOEC的面积是一个定值B. △ B E G的周长是一个定值D.四边形OGB E的面积是一个定值A . x>2B . x<26.下列图形中，主视图为①的是B . 417. 如图，二次函数y = （x + 2）2+ m 的图象与y 轴交于点C ,与x 轴的一个交点为 A （- 1, 0）,点B 在抛物线上，且与点 C 关于抛物线的对称轴对称•已知一次函数y = kx + b 的图象经过A , B 两点，根据图象，则满足不等式（x + 2）2+ m < kx + b 的x 的取值范围是 __________ .18. 如图，正方形 ABCD 和Rt △ AEF , AB = 5, AE = AF = 4,连接BF , DE .若厶AEF 绕点A 旋转，当/ABF 最大时，S ^ADE = ____________三、解答题（共84分） 19. （本题满分8分）（第6题图①）、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16 分） 11. ______________________ 16的平方根是 .12. 某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走步数为12400,将12400用科学记数法表示应为 __________ . 13.若 3m= 5, 3n= 8，则 32m+n = ____________________14. 用一个圆心角为120°半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ____________________ . 15. 如图，四边形 ABCD 内接于O O , OC // AD ，/ DAB = 60° / ADC = 106° 则/ OCB = _____________ 16. 如图，△ ABC 中，/ C = 90°, AC = 3, AB = 5, D 为BC 边的中点，以AD 上一点 O 为圆心的 O 和AB ,BC 均相切，则O O 的半径为B'21. (本题满分8分)如图，口ABCD 中，E 为AD 的中点，直线 BE , CD 相交于点F .连接AF , BD . (1) 求证：AB = DF ;(2) 若AB = BD ，求证：四边形 ABDF 是菱形.22. (本题满分8分)某校为了深入学习社会主义核心价值观，对本校学生进行了一次相关知识的测试，随机抽取了部分学 生的测试成绩进行统计(根据成绩分为A ,B ,C ,D ,E 五个组，x 表示测试成绩，A 组：90W x < 100;B 组：80W x v 90;C 组：70W x v 80;D 组：60< x v 70;E 组：x v 60),通过对测试成绩的分析，得 到如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：(1 )抽取的学生共有 _________ 人，请将两幅统计图补充完整； (2 )抽取的测试成绩的中位数落在 ___________ 组内；(3)本次测试成绩在 80分以上(含80分)为优秀，若该校初三学生共有1200人，请估计该校初三测试成绩为优秀的学生有多少人?c 1 — 1(1)计算:n 3)°+ 2sin45°—-820.(本题满分8分)解方程：2(1) x — 8x + 1 = 01 — 2x v 3(2)解不等式组：X±J v 23(2)3 1—xx — 2—2—调查测试成绩扇形统计图调查测试成绩条形统计图23. （本题满分8分）有甲，乙两把不同的锁和A, B, C三把不同的钥匙.其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出两把钥匙开这两把锁，求恰好能都打开的概率.（请用“画树状图”或“列表”等方法给出分析过程）24. （本题满分8分）如图，△ ABC中，O O经过A, B两点，且交AC于点D，连接BD，/ DBC = Z BAC .（1）证明BC与O O相切；25. （本题满分8分）某水果商店以12.5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.8元/千克（运输费用按照进货质量计算），假设不计其他费用.（1 ）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？（2）在销售过程中，商店发现每天水果的销售量y （千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？（3）该商店决定每销售1千克水果就捐赠p元利润（p> 1）给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于每千克22元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出p的取值范围.26. （本题满分8分） 如图，线段0B 放置在正方形网格中， 现请你分别在图 1图2,图3添画（工具只能用直尺）射线OA , 使tan / AOB 的值分别为1, 2, 3.27. （本题满分10分）已知，二次函数 y = ax 2 + 2ax — 3a （a > 0）图象的顶点为 C ,与x 轴交于A , B 两点（点A 在点B 的左 侧），点C , B 关于过点A 的直线I 对称，直线I 与y 轴交于D . （1 ）求A , B 两点坐标及直线I 的解析式； （2） 求二次函数解析式；（3） 在第三象限抛物线上有一个动点 E ,连接OE 交直线I 于点F ，求OF 的最大值.j o [II 1 j :丨\B图1【=：0\ iy |ll Al ■■■ J J 1IB ■ ■Ii I \...i图228. (本题满分10 分)如图，矩形ABCD , AB= 2, BC = 10，点E为AD上一点，且AE = AB，点F从点E出发，向终点 D 运动，速度为1 cm/s,以BF为斜边在BF上方作等腰Rt△ BFG，以BG，BF为邻边作口BFHG，连接AG .设点F的运动时间为t秒,(1) 试说明：△ ABGEBF ;(2) 当点H落在直线CD上时，求t的值；(3) 点F从E运动到D的过程中，直接写出HC的最小值.1-图1图2C ( 0, 4),可得矩形的长和宽，易知点D 的横坐标，E 的纵 k 的代数式表示出点 D 的纵坐标和点E 的横坐标，由三角形相似和对称，可求出 AF 的长，然后把问题转化到三角形 A DF 中，由勾股定理建立方程求出k 的值.【解答】 解：过点E 作EG 丄0A ,垂足为G ,设点B 关于DE 的对称点为F ，连接DF 、EF 、BF ，如图 所示:则厶 BDEFDE ,••• BD = FD , BE = FE ，/ DFE = Z DBE = 90°易证△ ADF GFE• AF DF•丽冠，AF : EG = BD : BE ,A (- 8, C),B (-8, 4), C ( 0, 4),AB = OC = EG= =4 , OA =BC = 8 ,D 、E 在反 比例函数y = 上■的图象上， E 哼 ,4) 、D(-8 ,A) s 'OG = EC = k ,AD =- _ k_T8BD = 4+— BE = 8+—s44屮BD 「81 DF AF•三.•-AF = ,9.如图，平面直角坐标系中， A (- 8, 0), B (- 8, 4), C (0, 4),反比例函数y 亠的图象分别与线 B 关于DE 的对称点恰好在0A 上，则k =()B . - 16C .— 12D .- 8【分析】根据A (- 8, 0), B (- 8, 4), 坐标，由反比例函数的关系式，可用含有 A . - 20E ,连接DE .若点2 2 2在Rt △ ADF 中，由勾股定理： AD +AF = DF 即：（-丄）2+22=（ 4+二）2 解得：k =- 12 故选：C .10.如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O 任意作一条直线分别交 AB , BC 于点 D ，E -将厶BDE 沿直线DE 折叠，得到△ B ' DE ，若B ' D , B ' E 分别交AC 于点F , G ,连接OF , OG ,则下列判断错误的是（）A . △ ADF CGEB . △ B ' FG 的周长是一个定值C .四边形FOEC 的面积是一个定值D .四边形OGB'F 的面积是一个定值【分析】A 、根据等边三角形 ABC 的内心的性质可知：AO 平分/ BAC ，根据角平分线的定理和逆定理得：FO 平分/ DFG ，由外角的性质可证明/ DOF = 60°,同理可得/ EOG = 60°,/ FOG = 60°=/DOF = / EOG ，可证明厶 DOF ◎△ GOF ◎△ GOE ,^ OAD ◎△ OCG , △ OAF ◎△ OCE ，可得 AD = CG , AF = CE ，从而得厶 ADF ◎△ CGE ;B 、 根据△ DOF 也厶 GOFGOE ，得 DF = GF = GE ,所以△ ADFB'GFCGE ，可得结论；C 、 根据S 四边形FOEC = S ^OCF + S ^ OCE ,依次换成面积相等的三角形，可得结论为： S A A OC =丄二，.「一（定 值），可作判断；变化，从而四边形 OGB'F 的面积也变化，可作判断. 【解答】解：A 、连接OA 、OC ,•••点0是等边三角形 ABC 的内心， ••• A0 平分/ BAC ,=（4+二）8D 、方法同 C ，将 S 四边形 OGB'F = S\OAC - S A OF G ，根据 S A OFG?FG?OH , FG 变化，故△ OFG 的面积•••点0到AB、AC的距离相等，由折叠得：DO平分/ BDB',•••点0到AB、DB'的距离相等，•••点0到DB'、AC的距离相等，• F0 平分/ DFG ,/ DF0 = Z 0FG = — (/ FAD + Z ADF ),2由折叠得：Z BDE = Z 0DF =_ (Z DAF+Z AFD ),•Z 0FD + Z 0DF =—(Z FAD + Z ADF+Z DAF+Z AFD )= 120°,2•Z D0F = 60°,同理可得Z EOG = 60 ° ,•Z F0G = 60°=Z D0F = Z E0G ,•••△ D0F 也厶G0F ◎△ G0E ,• 0D = 0G , 0E= 0F,Z 0GF = Z 0DF = Z 0DB , Z 0FG =Z 0EG = Z 0EB,•△ 0AD◎△ 0CG , △ 0AF◎△ 0CE ,• AD = CG , AF = CE ,•△ ADF ◎△ CGE ,故选项A正确；B、•••△ D0F 也厶G0FG0E ,• DF = GF = GE ,•△ ADF ◎△ B'GF◎△ CGE ,• B'G = AD ,•△ B'FG 的周长=FG + B'F+B'G = FG +AF +CG = AC (定值)，故选项B正确；故选项C正确;D、S 四边形OGB'F = S A OFG+S A B'GF = S A OFD+S A ADF= S 四边形OFAD = S\OAD+S A OAF= S A OCG+S A OAF=S A OAC-SC 、S 四边形 FOEC =也OCF &OCE ’ S GF +S A OAF= S A A 。

2020年上海市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. 4√6B. √18C. √32 D. √122.用换元法解方程x2−12x −4xx2−12=3时，设x2−12x=y，则原方程可化为()A. y−1y −3=0 B. y−4y−3=0 C. y−1y+3=0 D. y−4y+3=03.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 以上都可以4.若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k的值是()A. 2B. 3C. 6D. 15.下列命题中，正确的是()A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角为90°的四边形是平行四边形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形6.下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2a2⋅3ab=______．8.已知函数f(x)=1x−2，那么f(0)=______．9.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，则k的值可以是____.(写出一个值即可)．10.若关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．11.从0～9这些自然数中，任取一个，是4的倍数的概率是______ ．12. 如果将抛物线y =3(x +1)2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______．13. 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为________名．14. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD =2米的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一直线上，如果测得BD =20米，FD =4米，EF =1.8米，则树的高度为__________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗=______．16. 波波和爸爸两人以相同路线从家出发，步行前往公园．图中OA 、BC 分别表示爸爸和波波所走的路程y(米)与爸爸步行的时间x(分)的函数图象，已知爸爸从家步行到公园所花的时间比波波的2倍还多10分钟．则在步行过程中，他们父子俩相距的最远路程是______ 米．17. 如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，AB =6，AC =4，CD 是△ABC 的中线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点B′是点B 的对应点，点E 是线段CD 上的点，如果∠CAE =∠BAB′，那么CE 的长是______．18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r 的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 化简：(12)−2−|2√2−3|+3√18；20. 解不等式组{2x ≤x +4x+33−x <−1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB =AD ，BD 平分∠ABC ，若CD =3，BD =2√6，sin∠DBC =√33，求对角线AC 的长．22.某旅游商店8月份营业额为15万元，9月份下降了20%.受“十一”黄金周以及经济利好因素的影响，10月份、11月份营业额均比上一个月有所增长，10月份增长率是11月份增长率的1.5倍，已知该旅游商店11月份营业额为24万元．(1)问：9月份的营业额是多少万元？(2)求10月份营业额的增长率．23.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)求证：EB2=EF⋅EG；(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，AE：EC=1：3，求BG的长．24.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的2，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．3【答案与解析】1.答案：D解析：此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．解：A．4√6与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C.√32=√62与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确；故选D．2.答案：B解析：【试题剖析】【试题解析】解：∵设x2−12x=y，∴x2−12x −4xx2−12=3，可转化为：y−4y=3，即y−4y−3=0．故选：B．直接利用已知将原式用y替换得出答案．此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．3.答案：A解析：此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：根据统计图的特点可知：空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是扇形统计图；故选A．4.答案：C解析：本题主要考查的是反比例函数的图象，求反比例函数的解析式的有关知识．把点(2,3)代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．，解：由题意得3=k2解得k=6．故选C．5.答案：D解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、有一个角是90°的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选D．利于平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法，难度不大．6.答案：A解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．解：A、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项正确；B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；C、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误．故选：A．7.答案：6a3b解析：解：2a2⋅3ab=6a3b，故答案为：6a3b.根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，计算可得．本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．8.答案：−12解析：本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．将x=0代入f(x)=1x−2求解即可．解：∵函数f(x)=1x−2，∴f(0)=10−2=−12，故答案为：−12．9.答案：2(答案不唯一)解析：本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．根据正比例函数的性质可得k>0，写一个符合条件的数即可．解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，∴k>0∴k的值可以是2．故答案为2．10.答案：98解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根可得△=(−3)2−4×2k=0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=(−3)2−4×2k=0，∴9−8k=0，∴k=9．8故答案为9．811.答案：310解析：解：∵从0−9这10个自然数中任取一个数，每个数被取到的机会相同，即这10个结果出现的机会相同，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，∴P(是4的倍数)=3．10．故答案为：310首先得出从0−9有10个自然数，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，进而得出概率．此题主要考查了概率公式，正确理解列举法求概率应用的条件，是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.答案：y=3(x+3)2+1解析：解：抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，把点(−1,0)向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点(−3,1)，所以所得到的抛物线的表达式为y=3(x+3)2+1．故答案为y=3(x+3)2+1．先得到抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，再根据题意把点(−1,0)向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点(−3,1)，则可根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：150解析：本题考查用样本估计总体．用全校学生乘以样本中体重超标学生占的比例，即可求解．=150(名)解：2000×15200故答案为150．14.答案：3米解析：本题考查相似三角形的应用，属于中档题．过E作EH⊥AB于H，交CD于G，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G；则：CG=CD−EF=0.2米，EG=FD=4米，EH=BF=BD+DF=24米；可得CG//AH ，可知：△CEG∽△AEH ，则有：CG AH =EG EH ，即：0.2AH =424，解得：AH =1.2米；∴AB =AH +BH =AH +EF =3米，故答案为3米．15.答案：−13a ⃗ −12b ⃗解析：本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∵DE =DC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ， ∵DE//AB ，∴EF ：AF =DE ：AB =1：2，∴EF =13AE ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −12b ⃗ ， 故答案为−13a ⃗ −12b ⃗ ． 16.答案：1200解析：解：波波所花的时间为(50−10)÷2=20(分钟)，爸爸的速度为3000÷50=60(米/分钟)，波波的速度为3000÷20=150(米/分钟)．根据题意得：线段OA的解析式为y=60x(0≤x≤50)；线段BC的解析式为y=150(x−10)=150x−1500(10≤x≤30)．当x=10时，60x−(150x−1500)=600；当x=30时，150x−1500−60x=1200．∵1200>600，∴他们父子俩相距的最远路程是1200米．故答案为：1200．根据父子所需时间之间的关系可算出波波所花的时间，由速度=路程÷时间即可分别算出父亲及波波的速度，再根据路程=速度×时间即可找出线段OA、BC的函数解析式，代入x=10及x=30求出y 值，比较后即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据路程=速度×时间找出线段OA、BC的函数解析式是解题的关键．17.答案：165解析：解：如图，∵△CDB′是由△CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CB′D，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD =DB =DB′=3，∴∠AB′B =90°，∵∠ACE =∠ABB′，∠CAE =∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC =∠AB′B =90°，在Rt △ADC 中，∵AC =4，AD =3，∴CD =√AC 2+AD 2=5， ∵12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ， ∴AE =AC⋅ADCD =125，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．故答案为165． 先证明∠AB′B =90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC =90°，利用面积法求出AE ，再利用勾股定理求出EC 即可．本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．18.答案：√10−√5<r <√10+√5解析：解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC =90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG ⊥AF ，则点G 是AF 的中点，∴GF =12AF =2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG=12AE=1，∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5，故答案为：√10−√5<r<√10+√5．连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF=12AF=2，OG=12AE=1，继而求得OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，最后根据两圆的位置关系可得答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．19.答案：解：原式=4−(3−2√2)+3√2，=4−3+2√2+√22，=1+52√2．解析：这是一道考查实数的运算的题目，解题关键在于根据负整数指数幂和绝对值以及去分母，将原式进行化简，再进行合并．20.答案：解：解不等式2x≤x+4，得：x≤4，解不等式x+33−x<−1，得：x>3，则不等式组的解集为3<x≤4．解析：求得每一个不等式的解集，再进一步求得公共部分即可．此题考查一元一次不等式组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”．21.答案：解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，如图，则∠E=90°，∵sin∠DBC=√3，BD=2√6，3∴DE=2√2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，同理AD//BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，∴OC=√BC2−BO2=√3，∴AC=2√3．解析：本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形有关知识，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2√2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，根据勾股定理得到结论．22.答案：解：(1)9月份的营业额=15×(1−20%)=12(万元)；(2)设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，, x2=−2(不合题意，舍去)，解得：x1=13=0.5．∴10月份的增长率为1.5×13答：10月份的增长率为50%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．(1)用8月份的营业额×(1+增长率)计算九月份的营业额即可；(2)设设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，解方程即可．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，又AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)；(2)∵AB//CG，∴∠ABG=∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED=EB，∠ABG=∠ADE，∴∠EGD=∠ADE，∵∠FED=∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFED，所以ED2=EF⋅EG；∴EB2=EF⋅EG；(3)∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA=OC=2，OB=2√3，∵AE ：EC =1：3，∴AE =OE =1．∴BE =√(2√3)2+1=√13．∵AD//BC ，∴AE EC =EF BE =13， ∴EF =13BE =√133． 由(2)得EB 2=EF ⋅EG ，∴EG =√13)2√133=3√13， ∴BG =BE +EG =4√13．解析：【试题解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定性质菱形的性质．线段间的转化是解题的关键．(1)用SAS 证明即可；(2)先证明△EDF∽△EGD ，得到ED 2=EF ⋅EG ，代换ED =EB 即可；(3)根据已知先求出BE 和EF 值，再根据EB 2=EF ⋅EG 求出EG 值，最后用BG =BE +EG 计算即可．24.答案：解：(1)由题意得：{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，∴x 1=−1，x 2=3，即B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b′，∴{b′=33k +b′=0， 解得：{k =−1b′=3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，设P(a,3−a)，则D(a,−a 2+2a +3)，∴PD =(−a 2+2a +3)−(3−a)=−a 2+3a ，∴S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12PD ⋅3 =32(−a 2+3a) =−32(a −32)2+278， ∴当a =32时，△BDC 的面积最大，此时P(32,32)；(3)由(1)，y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0≤n ≤4，取CM 的中点Q(m 2,32)，∵∠MNC =90°，∴NQ =12CM ，∴4NQ 2=CM 2，∵NQ 2=(1−m 2)2+(n −32)2， ∴4[(1−m 2)2+(n −32)2]=m 2+9，整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54，∵0≤n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5．解析：(1)由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；(2)首先令−x 2+2x +3=0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y =kx +b′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P(a,3−a)，即可得D(a,−a 2+2a +3)，即可求得PD 的长，由S △BDC =S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC =−32(a −32)2+278，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时点P 的坐标；(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值得到最小值和最大值．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大． 25.答案：(1)证明见解析；(2)4；(3)AC =√2BC ．解析：(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB 得CE CB =DE AB ，据此求得CE 的长，依据AE =AC −CE =AB −CE 可得答案；(3)由BD =CD 知S △CDE =S △BDE ，证△OBF∽△ABE 得，据此知S △ABE =4S △OBF ，结合S ▵CDE S ▵OBF =23知S △ABE =6S △CDE ，S △CAB =8S △CDE ，由△CDE∽△CAB 知，据此得出CDCA =2√2，结合BD =CD ，AB =AC 知BC AB =√2，从而得出答案．【详解】(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD ，BD =CD ，∴BD ⌢=ED ⌢，∴OD ⊥BE ；(2)∵∠AEB =90°，∴∠BEC =90°，∵BD =CD ，∴BC =2DE =2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴，∴S△ABE=4S△OBF，∵S▵CDES▵OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴，∴CDCA =2√2，∵BD=CD，AB=AC，∴BCAB =√2，即AC=√2BC．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．。

2020年天津市河西区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.计算(−2)−(−2)的结果等于()A. −4B. 0C. 4D. 12.sin45°的值是()A. 12B. √22C. √32D. √33.下列四个图形中，是轴对称图形的有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.笔架山公园占地面积为1490000平方米，用科学记数法可表示为()A. 0.149×108B. 0.149×107C. 1.49×106D. 1.49×1075.如图是一个由4个相同正方体组成的立体图形，它的左视图是()A. B. C. D.6.化简2xx2−9+13−x的结果是()A. 1x−3B. 1x+3C. 13−xD. 3x+3x2−97.数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，则a的值是()A. 3B. 4.5C. 6D. 188.下列各选项中因式分解正确的是()A. x2−1=(x−1)2B. a3−2a2+a=a2(a−2)C. −2y2+4y=−2y(y+2)D. m2n−2mn+n=n(m−1)29.反比例函数y=k−1x的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可为()A. −1B. 0C. 1D. 210.将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A(3,−1)的对应点A′的坐标是()A. (6,1)B. (0,1)C. (0,−3)D. (6,−3)11.甲乙两人同时加工一批零件，已知甲每小时比乙多加工5个零件，甲加工100个零件与乙加工80个零件所用的时间相等，设乙每小时加工x个零件，根据题意，所列方程正确的是()A. 100x =80x−5B. 100x+5=80xC. 100x−5=80xD. 100x+5=80x−512.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1,n)，且与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，则下列结论：①4a−2b+c>0；②3a+b>0；③b2=4a(c−n)；④一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个互异实根．其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13.若√x+1x式子有意义，则实数的取值范围是______ ．14.计算(a+3)(a−4)的结果等于______．15.在“Wisℎyou success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为___________．16.已知函数y=−x+m与y=mx−4的图象的交点在x轴的负半轴上，那么m的值为______．17.已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AD、CD上的点，若AE=4cm，CF=3cm，且OE⊥OF，则EF的长为______cm．18.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=4cm，∠CAB=60°，P是BC⌢上的一个动点，连结AP，过C点作CD⊥AP于D，连结BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是_______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）19.解不等式组：{5x+2>3(x−1)①12x−1≤7−32x②并把解集在数轴上表示出来．20.中考体育测试前，某校为了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本校部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将结果绘成了下面两幅不完整的统计图：请据图中的信息，解答下列问题：(1)写出扇形图中a=________％，并补全条形图；(2)在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是________、________；(3)求被抽测的初三学生测试引体向上的个数在7个以下的平均数(不含7个)．21.如图，AB是⊙O的直径，AB=10，C、D是⊙O上的点，∠CDB=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于E，则OE等于多少？22.如图，为测量某建筑物BC及上面旗杆AB的高度，小明在距建筑物BC底部12m的点F处，由点E观测到旗杆AB顶端A的仰角为52°，底端B的仰角为45°，已知小明的观测点E与地面的高度EF为1.6m．(1)求建筑物BC的高度；(2)求旗杆AB的高度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin52°=0.79，cos52°=0.62，tan52°=1.28)23.某学校本学期在某体育用品超市购买了甲、乙两种型号的羽毛球拍，图中y1表示购买的甲种羽毛球拍所需花费与购买数量x(对)之间的函数图象，y2表示购买的乙种羽毛球拍所需花费与购买数量x(对)之间的函数图象．(1)直接写出y1、y2的函数关系式；(2)如果学校购买的甲、乙两种羽毛球拍共100对，要求购买的甲种羽毛球拍的数量不多于购买的乙种羽毛球数量的3倍，且购买的乙种羽毛球拍数量不多于30个.试设计出最省钱的购买方案，并求出购买甲、乙两种羽毛球拍的总花费为多少元？24.取一张长方形纸片ABCD(如图①)，AB=8，BC=a．(1)当a=16时，按下列步骤操作①将图①纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，再打开纸片，如图②．②再折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，如图③③连接AG，BG．请证明△ABG是等边三角形．(2)小明认为当a<8时，折不出边长为8的等边三角形．你认为他的说法正确吗？若不正确请通过计算说明，a满足什么条件时能折出一个边长为8的等边三角形？(3)当a足够大时，请你利用折纸，折出一个面积最大的等边三角形，并写出折法．25.已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A(1,0)，C(−3,0)，(1)如图1，已知顶点坐标D为(−1,4)或B点(0,3)，选择适当方法求抛物线的解析式；(2)如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M的坐标；(3)如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P(m,0)(−3<m<−1)，与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．【答案与解析】1.答案：B解析：解：原式=−2+2=0，故选：B．原式利用减法法则变形，计算即可求出值．此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．2.答案：B解析：解：sin45°=√2．2故选：B．将特殊角的三角函数值代入求解．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．3.答案：C解析：本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解．解：第一个，第二个，第四个都是轴对称图形；第三个不是．故选C．4.答案：C解析：解：将1490000用科学记数法表示为：1.49×106．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5.答案：D解析：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故选：D．6.答案：B解析：本题主要考查分式的加减，根据分式加减法法则可先通分，再将分子分母分别分解因式进行约分，化为最简分式即可求解．解：原式=2xx2−9−1x−3=2x(x+3)(x−3)−x+3(x+3)(x−3)=2x−x−3(x+3)(x−3)=x−3(x+3)(x−3)=1x+3．故选B．7.答案：C解析：解：∵数轴上点A，B，M表示的数分别是a，2a，9，点M为线段AB的中点，∴9−a=2a−9，解得：a=6，故选：C．根据题意列方程即可得到结论．本题考查了两点间的距离、线段中点等知识．8.答案：D解析：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用公式法以及提取公因式法分解因式，进而判断即可．解：A.x2−1=(x+1)(x−1)，故此选项错误；B.a3−2a2+a=a(a2−2a+1)=a(a−1)2，故此选项错误；C.−2y2+4y=−2y(y−2)，故此选项错误；D.m2n−2mn+n=n(m2−2m+1)=n(m−1)2，故此选项正确．故选D．9.答案：D解析：解：∵y=k−1的图象在每个象限内，y随x的增大而减小，x∴k−1>0，k>1．故选：D．根据反比例函数的图象和性质，k−1>0，则k>1．中k的取值．本题考查了反比例函数的性质，应注意y=kx10.答案：B解析：此题主要考查了坐标与图形的变化--平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．根据点的平移规律可得A′的坐标是(3−3,−1+2)，再计算即可．解：∵点A(3,−1)，∴先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，可得对应点A′的坐标是(3−3,−1+2)，即(0,1)，故选B．11.答案：B解析：解：设乙每小时加工x个零件，所列方程为：100x+5=80x．故选B．要求的未知量是工作效率，有工作总量，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲加工100个零件与乙加工80个零件所用时间相同”；等量关系为：甲加工100个零件的时间=乙加工80个零件的时间．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．12.答案：B解析：本题主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系．利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间，则当x=−2时，y<0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到4ac−b24a=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n−1有2个公共点，于是可对④进行判断．解：①∵抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(−2,0)和(−1,0)之间．∴当x=−2时，y<0，即4a−2b+c<0，所以①不符合题意；②∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，即b=−2a，∴3a+b=3a−2a=a<0，所以②不符合题意；③∵抛物线的顶点坐标为(1,n)，∴4ac−b24a=n，∴b2=4ac−4an=4a(c−n)，所以③符合题意；④∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n−1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n−1有两个不相等的实数根，所以④符合题意．故选：B．13.答案：x≥−1且x≠0解析：解：∵√x+1x式子有意义，∴x+1≥0，x≠0，解得：x≥−1且x≠0．故答案为：x≥−1且x≠0．直接利用二次根式有意义的条件得出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．14.答案：a2−a−12解析：解：(a+3)(a−4)=a2−4a+3a−12=a2−a−12，故答案为：a2−a−12．根据多项式与多项式的乘法解答即可．此题考查多项式与多项式的乘法，关键是根据多项式与多项式的乘法的法则计算．15.答案：27解析：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn，让“s”的个数除以总字母数即为所求的概率．解：“Wisℎyou success”中共14个字母，其中共4个“s”，任意取出一个字母，有14种情况可能出现，取到字母“s”的可能性有4种，故其概率是414=27．故答案为27． 16.答案：−2解析：先根据两函数的图象有交点联立两函数的解析式，把m 当做已知表示出x 、y 的值，再根据两函数的交点在x 轴的负半轴上，x <0，y =0求出m 的值即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及x 轴负半轴上点的坐标，比较简单，解答此题的关键是根据题意列出方程组，把m 当做已知表示出x 、y 的值．解：由题意得{y =−x +m y =mx −4，解得{x = m+4m+1y = m 2−4 m+1， ∵两函数图象的交点在x 轴的负半轴上，∴x <0，y =0，∴m =−2．故答案为：−2． 17.答案：5解析：解：连接EF ，∵OD =OC ，∵OE ⊥OF∴∠EOD +∠FOD =90°∵正方形ABCD∴∠COF +∠DOF =90°∴∠EOD =∠FOC而∠ODE =∠OCF =45°∴△OFC≌△OED ，∴OE =OF ，CF =DE =3cm ，则AE =DF =4，根据勾股定理得到EF =√CF 2+AE 2=5cm ．故答案为5．连接EF ，根据条件可以证明△OED≌△OFC ，则OE =OF ，CF =DE =3Ccm ，则AE =DF =4，根据勾股定理得到EF =√CE 2+CF 2=√32+42=5cm ．根据已知条件以及正方形的性质求证出两个全等三角形是解决本题的关键．18.答案：(√13−1)cm解析：本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点D 的运动轨迹是以AC 为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．以AC 为直径作圆O′，连接BO′、BC.在点P移动的过程中，点D 在以AC 为直径的圆上运动，当O′、D 、B 共线时，BD 的值最小，最小值为O′B −O′D ，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．解：如图，以AC 为直径作圆O′，连接BO′、BC ．∵CD ⊥AP ，∴∠ADC =90°，∴在点P 移动的过程中，点D 在以AC 为直径的圆上运动，∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，在Rt △ABC 中，∵AB =4cm ，∠CAB =60°，∴BC =AB ⋅sin60°=2√3，AC =AB ⋅cos60°=2cm ． 在Rt △BCO′中，BO′=√BC 2+O′C 2=√12+1=√13，∵O′D +BD ≥O′B ，∴当O′、D 、B 共线时，BD 的值最小，最小值为O′B −O′D =√13−1，故答案为(√13−1)cm ．19.答案：解：{5x +2>3(x −1) ①12x −1⩽7−32x ② 由①得，x >−2.5，由②得，x ≤4，故不等式组的解集为：−2.5<x≤4，在数轴上表示为：．解析：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．20.答案：解：(1)25；(2)5个；5个；(3)20×3+30×4+60×5+50×620+30+60+50=4.875(个)，答：被抽测的初三学生测试引体向上的个数在7个以下的平均数为4.875．解析：本题为统计题，考查众数与中位数的意义．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数．也考查了条形统计图、扇形统计图与用样本估计总体．(1)用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；(2)根据众数与中位数的定义求解即可；(3)根据平均数的公式进行计算，即可解答．解：(1)扇形统计图中a=1−30%−15%−10%−20%=25%，设引体向上6个的学生有x人，由题意得：x 25％=2010％，解得：x=50，条形统计图补充如下：故答案为25；(2)由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为(5+5)÷2=5，故答案为5个；5个；(3)见答案．21.答案：解：连接OC．∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°．∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°，∴∠CEO=30°，∴OE=2OC=AB=10．解析：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、含30°直角三角形的性质，证得△OCE为含30°的直角三角形是解题的关键．连接OC，由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求得∠COB=60°，然后由切线的性质可证明∠OCE=90°，根据三角形的内角和是180°可求得∠CEO=30°，依据含30°直角三角形的性质可知OE=2OC．22.答案：解：(1)过点E作ED⊥AC于点D，则四边形DCFE为矩形．∴∠ADE=90°，CD=EF=1.6，ED=FC=12．在Rt△BED中，∵DE=12，∠BED=45°，∴BD=ED⋅tan∠BED=12×tan45°=12．∴BC=BD+CD=12+1.6=13.6(m)．答：建筑物BC的高度为13.6m；(2)在Rt△AED中，∵DE=12，∠AED=52°，∴AD=ED⋅tan∠AED=12×tan52°=15.36．∴AB=AD−BD=15.36−12=3.36≈3.4(m)．答：旗杆AB的高度约为3.4m．解析：此题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题，先得到等腰直角三角形，再根据三角函数求解．(1)先过点E作ED⊥BC于D，由视线点E与旗杆AB的底端B的仰角为45°得BD=ED=FC=12，DC=EF=1.6，从而求出BC；(2)由已知由视线点E与旗杆AB的顶端A的仰角52°可求出AD，则AB=AD−BD．23.答案：解：(1)y1=20x；y2=40x；(2)设购买乙种羽毛球拍n对，则购买的甲种羽毛球拍为(100−n)个，依题意，得：100−n≤3n，解这个不等式得：n≥25，又∵n≤30，∴25≤n≤30，设购买甲、乙两种羽毛球拍总花费为y(元)，则依题意，得y=y1+y2=20(100−n)+40n=20n+2000，∵20>0，y随n的增大而增大，∴当n=25时，y最小=100−n=100−25=75．y=20×25+2000=2500，最小答：购买75个甲种羽毛球拍、25个乙种羽毛球拍花费最少；最少的花费为2500元．解析：本题考查了一次函数的应用，找到题中的等量关系是解题关键．(1)根据图象中给出的点的坐标，写出两个正比例函数的解析式；(2)设购买乙种羽毛球拍n对，根据“购买的甲种羽毛球拍的数量不多于购买的乙种羽毛球数量的3倍”列不等式，根据“购买的乙种羽毛球拍数量不多于30个”列不等式，解得n的取值范围，设购买甲、乙两种羽毛球拍总花费为y(元)，列出y关于n的解析式，根据一次函数的性质得到最小值．24.答案：解：(1)证明：∵折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，∴AB=BG，∵将长方形ABCD沿EF折叠，较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，∴EF⊥AB，AE=BE，∴AG=BG，∴AB=BG=AG，∴△ABG是等边三角形；(2)如图③，过点G作GM⊥BC于M，∴四边形BEGM是长方形，∴EG=BM，由(1)知，EG是等边三角形ABG的高，∵AB=8，∴BG=8，BE=4，根据勾股定理得，EG=√BG2−BE2=4√3，∴BM=4√3<8，∴当a<8时，折不出边长为8的等边三角形的说法是错误的，即：a≥4√3时能折出一个边长为8的等边三角形；(3)如图②，①将图①纸片对折，使较长的两边BC，AD重合，折痕为EF，再打开纸片，②再折叠，使点A落在EF上的点G处，折痕为BH，③将△BGH沿着BG折叠，得到△BGM，则△BHM是等边三角形．解析：(1)由折叠的性质和垂直平分线的性质即可得出结论；(2)先判断出BM=EG，再利用勾股定理求出EG，即可得出结论；(3)根据折叠的性质即可得出结论．此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，长方形的判定，勾股定理，掌握折叠的性质是解本题的关键．25.答案：解：(1)由抛物线的顶点D的坐标(−1,4)可设其解析式为y=a(x+1)2+4，将点C(−3,0)代入，得：4a+4=0，解得a=−1，则抛物线解析式为y=−(x+1)2+4=−x2−2x+3；(2)连接BC，交DH于点M，此时△ABM的周长最小，当y=0时，−(x+1)2+4=0，解得x=−3或x=1，则A(1,0)，C(−3,0)，当x=0时，y=3，则B(0,3)，设直线BC的解析式为y=kx+b，将B(0,3)，C(−3,0)代入得{b =3−3k +b =0， 解得：{k =1b =3， ∴直线BC 解析式为y =x +3，当x =−1时，y =−1+3=2，所以点M 坐标为(−1,2)；(3)由题意知E(m,−m 2−2m +3)，F(m,m +3)，则EF =EP −FP =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m =−(m +32)2+94，∴当m =−32时，线段EF 最长．解析：(1)根据顶点D 坐标设其顶点式，再将点C(2)连接BC ，交DH 于点M ，使△ABM 周长最小，即AM +BM 最小，先求出BC 直线解析式，再令x =−1，求得M(−1,2)；(3)由题意得出E(m,−m 2−2m +3)，F(m,m +3)，据此可知EF =EP −FP =−m 2−2m +3−(m +3)，再根据二次函数的性质可得答案．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，轴对称的最短路径问题及二次函数的性质的运用．。