试论弗赖登塔尔的数学素养观及对数学课堂教学的启示

弗赖登塔尔的HPM思想及其教学启示蒲淑萍;汪晓勤【摘要】汉斯·弗赖登塔尔是荷兰杰出的数学家和数学教育家.其＂再创造＂理论中的HPM思想包括：以历史发生原理为指导进行＂再创造＂,＂有指导的再创造＂中的HPM思想,基于数学现实的再创造中的HPM思想,＂学习过程＂的再创造中的HPM思想.弗赖登塔尔的HPM思想对数学教学的启示有：数学史是调适教师数学观念与教学行为的重要基础,教师培训是从知识到理念提升中小学教师对HPM 认识的大好契机,再创造思想为提升数学史的使用层次提供理论支撑.%Hans. Freudenthal, an outstanding Dutch mathematician and mathematics educator, and also the most prestigious authority of mathematics education in the world, was the leader mathematics educator in the later half of the 20th century. The HPM thought dominating his whole basic thoughts, such as Reinvention Thought, is very valuable to the mathematics instruction theory and practice. We excavated and reorganized his HPM thought to provide some enlightenment about mathematical teaching.【期刊名称】《数学教育学报》【年(卷),期】2011(020)006【总页数】5页(P20-24)【关键词】汉斯·弗赖登塔尔;再创造;HPM思想;教学启示【作者】蒲淑萍;汪晓勤【作者单位】华东师范大学数学系,上海200241;淄博师范高等专科学校,山东淄博255100;华东师范大学数学系,上海200241【正文语种】中文【中图分类】G4201 问题提出自1972年在英国埃克塞特举办的第二届国际数学教育大会（ICME-2，United Kingdom, Exeter, 1972）上，美国的P. S. Jones和英国的L. Rogers组织成立数学史与数学教学关系国际研究小组（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，简称 HPM）以来，数学史与数学教育关系这一学术研究领域在各个国家和地区蓬勃发展起来，基于HPM思想的教学理论与实践研究[1～2]都取得了令人瞩目的进展与成就．然而阳光并未普照到世界的所有角落，HPM 在我国中小学的实际情况并不十分乐观．很多中小学教师与管理人员还存在着对HPM领域的认识不足或误区．研究者曾就中小学数学教学中运用数学史的情况进行了访谈调查，发现为数不少的教师及教学管理人员仍存在诸如“我们主要关注升学率，数学史的运用可能会影响教学进度．”“数学史没有时间用．”“数学史的知识我们（指教师）都知道得很少，怎么用？”“数学史也就是讲讲故事、看看图片，激发一下兴趣而已吧！”“用数学史？大概得等到上公开课的时候吧？”“数学史确实对教学有促进作用，但我们用得很少，几乎不用”等看法．相比于Constantinos Tzanakis, Abraham Arcavi 等人调查获得的结果[3]竟没有太多的改观．而对于运用“再创造”的思想与方法将概念、公式等的历史发展等通过重构方式运用于教学的做法，更是使不少对HPM领域缺乏足够认识的人难以理解、接受．比如，有些人认为“看不到”历史素材，如年代、人物、史实等，就不能算作运用历史．可以看到，他们不仅对数学史用于数学教学的认识肤浅、甚至存在误区，而且对利用发生教学法、通过“再创造”的方法重构历史于教学的做法更是缺乏正确认识．如此等等的信息，使研究者认识到深入宣传HPM思想、推行利用历史发生原理进行教学设计、让数学史走进常态课堂的迫切性．数学史怎样进入中小学数学课堂，已是理论演绎和实践反思双向互动中生成的迫切课题．发掘数学教育大师的HPM思想，反思其对教学的启示，可获得最为直接、并最具有借鉴意义的做法．今天对20世纪下半叶的国际数学教育权威汉斯·弗赖登塔尔的HPM思想进行挖掘整理，以期对广大数学教育工作者深入、正确认识HPM领域并积极进行理论研究与教学实践尽绵薄之力．2 汉斯·弗赖登塔尔简介汉斯·弗赖登塔尔（H. Freudenthal，1905—1990）是荷兰数学家、数学教育家，是国际上最富盛名的数学教育权威，被誉为 20世纪下半叶数学教育领域的带头人[4]．弗赖登塔尔1905年出生于荷兰，1930年获得柏林大学博士学位．1951年起为荷兰皇家科学院院士，1971年至1976年任荷兰数学教育研究所所长．早年从事纯粹数学研究，在李群和拓扑学方面多有建树．20世纪50年代围绕“新数”运动的争论使弗赖登塔尔名声大振．他对国际数学教育委员会研究课题的建议（研究课题应是明确的、具体的．例如，几何教学中采用初等的直观方法的必要性；心理学在数学教学早期阶段的作用；几何教学的重要性；逻辑学与数学教学[4]．），得到了广泛而热烈的赞同与响应．1967年，弗赖登塔尔当选国际数学教育委员会主席．在他的手中实现了令数学界、数学教育界瞩目，至今仍影响深远的两件事：其一，单独举行 ICME（International Congress of Mathematics Education）．打破了过去国际数学教育委员会会议作为数学家大会（ICM）的一个分组的状况．从此，ICME独立举行，国际数学教育委员会（ICMI）成为一个促进数学教育研究的国际机构，四年一度的ICME成为各国数学教育工作者交流研究成果的最好机会；其二，弗赖登塔尔在1968年创办了《数学教育研究》（Educational Studies in Mathematics）．现在，《数学教育研究》与ICME的联系更加紧密，它已成为国际上最有影响的数学教育刊物．弗赖登塔尔1950年代后开始关注数学教育，他的一系列数学教育著作，影响遍及全球．主要有《作为教育任务的数学》（Mathematics as an Educational Task，1973），《播种和除草》（Weeding and Sowing，1978），《数学结构的教学法现象学》（Didactical Phenomenology of Mathematical Structures，1983）．其中第一本是最基本的，阐述了他对数学和数学教育的各种基本观点，后两本则是第一本的发挥与发展．1987年冬，82岁高龄的弗翁应华东师范大学陈昌平、唐瑞芬、张奠宙等先生的邀请访华．1994年，他在中国的讲稿以Revisting Mathematics Education—China Lectures为名出版，中译本书名《数学教育再探：在中国的讲学》[5]，于1999年由上海教育出版社刊行．他的中国之行，对中国的数学教育影响深远．时至今日，包括中小学数学教师在内的广大数学教育工作者对其“现实的数学”、“数学化”、“再创造”等教学思想都有所了解．弗赖登塔尔认为数学的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思组织起来，不断地进行横向的或纵向的系统化．因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者是他提到的“数学化”．没有一种数学思想，以它被发现时的那个样子发表出来，一个问题被解决以后，相应地发展成一种形式化的技巧，结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽[6]．如何打破这种“教学法颠倒”的现象？这句为数学教育界耳熟能详的话语为挖掘整理其HPM思想指明了道路，研究者认为“再创造”思想就是其HPM思想的最好体现．3 弗赖登塔尔的HPM思想与“再创造”考虑到“数学是不同的．而为什么不同，理由之一就是历史．人类学习的历史过程能被个别的学生以某种方式重复一遍吗”[5]，对比“启发式”（heuristic）与“发生方式”（genetic method）的不同，弗赖登塔尔提出了“再创造”的思想．对于“再创造”，他的解释是：“‘创造’既包含了内容也包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织．创造，照这里的理解，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的‘再’．”[5]弗赖登塔尔认为无论概念、公理定理或数学语言与数学符号的形式体系，以及包括各种算法在内的、需要按照特定步骤解决的问题，都应使用再创造的方法，反对生吞活剥地进行灌输．对其“再创造”理论中的HPM思想进行层次划分与归类．大致概括为如下几个方面．3.1 以历史发生原理为指导进行“再创造”历史发生原理（Historical-genetic-principle）是指导进行“再创造”的主要理论依据．该原理可以上溯到18世纪孔德（A. Comte，1798—1857）时代，19世纪，人们将德国生物学家海克尔（E. Haeckel，1843—1919）所提出的生物发生学定律——“个体发育史重蹈种族发展史”运用于教育中，重新得出“个体知识的发生遵循人类知识发生的过程”，历史发生原理因此而形成[7]．1980年8月10日至16日，在美国加州大学伯克利分校举行的第四届国际数学教育会议上，弗赖登塔尔作了题为《数学教育的主要问题》[8]的报告．在报告中，关于历史发生原理弗赖登塔尔指出：“数学史乃是一个不断进步的系统化的学习过程．儿童无需重蹈人类的历史，但他们也不可能从前人止步的地方开始．从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史．”“再创造”是弗赖登塔尔关于数学教学的基本思想，是数学学习的基本方法，也是判断教法好坏的基本准则．他认为存在两种数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学．完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程．弗赖登塔尔认为有效的学习要求每个学习者回溯所学学科历史演进的主要步骤．弗赖登塔尔反复强调：数学学习的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他认为这是一种最自然、最有效的学习方法．说它最自然，是因为生物学上的“个体发展过程是群体发展过程的重现”这条原理在数学上也是成立的，即：数学发展的历程也应在个人身上重现，这才符合人的认识规律．但是弗赖登塔尔提倡的“再创造”并非要求数学教学完全重现数学的发展历程，而是指应该使学生体会到：如果当时的人有幸具备了现在有了的知识，他们是怎样把这些知识创造出来的[9]．对于“再创造”，弗赖登塔尔采用苏格拉底（Socrates）给门诺（Meno）的奴隶授课的宗旨，即“设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现那些结果的；或者设想一个学生的学习过程得到指导时，他是应该怎样发现它的”，“目的就在于找出学生怎样才能把他要学的知识‘再创造’出来”[9]．弗赖登塔尔推崇的“苏格拉底方法”正是这样的一种方法，狭义地说，苏格拉底所做的就是在教学中再创造或再发现所教的东西．针对具体的教学，弗赖登塔尔认为的“再创造”究竟应该怎样实施呢？3.2 “有指导的再创造”中的HPM思想如何在教学中实施“再创造”？弗赖登塔尔认为：“力求用发生的方法来教概念，并不意味着必须完全按照知识的发展顺序，甚至连走过的弯路与死胡同都不加删除地教．而是设想那时如果教师已经知道了现在所知道的东西，应该如何去发现，就像看得见的人可以告诉盲人如何去创造与发现．”对于“再创造”的具体方法之一：苏格拉底方法，他的态度是：“我们不必全盘否定苏格拉底，但也不必全盘继承．我们保留他的通过再发现来学习，但这个‘再’并非指学生的前世，而是指人类的历史，也就是重复人类祖先发现他们所掌握的知识时的发展情况，我们不妨称之为再创造．”[9]至于为何采用“有指导的再创造”的做法，他的回答是：“历史告诉我们数学是怎样创造的．我曾经问过这样一个问题，学生是否需要重复人类的学习过程？当然不应该，自古以来，历史正是通过避免走盲目的道路，通过缩短大量弯曲小道，通过历史自己重新组织的道路系统来修正自己．”因此，在教育中“新一代继续他们祖先所形成的知识，但他们并不是跨到他们老一辈所达到的水平．他们被置于更低的水平，在此基础上重新开始人类的学习过程，教育者承担了帮助他们的任务，但不是通过规定，而是通过允许他们应该学到的数学”[5]．这就要求进行“有指导的再创造”，教育者，具体来说是教师承担了这项任务．“有指导的再创造”其中形容词“有指导的”是就“学习过程的教学环境”而言的，为使教师理解他的意思，他进一步指出：“指导再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡．”在具体操作中“学生可以创造一些对他来说是新的，而对指导者是熟知的东西”[5]．对于如何实施“指导”，弗赖登塔尔通过一个问题序列详细展示：① 往哪里指导？② 在哪里指导？③ 怎样指导？④ 算法化；⑤ 再创造几何．对于问题的回答涉及很多知识，但无一例外都是从其概念的来源，即历史形成与发展说起，进而涉及其它．例如，针对“在哪里指导”的回答之一是“指数增长的知识”．对此，他说：“将增长的概念数学化，在数学历史上已成为一个更近代的特征……如果允许再创造历史的话，重点一定从作为对数逆运算的指数转到作为一个增长函数的指数．其实复合利率作为离散的指数增长的一个例子早就形成了，将它引导到连续增量是一个历史的产物而不是进来才出现的……它应是再创造指数（以及紧随的对数）函数的一个来源和一个导引．”他甚至提到“在一个更形式的水平上，在加法与乘法之间由指数和对数函数作为中介的同构，是构建再创造的一个产物”[5]．其后提到“历史上另一个必须通过再创造加以修正的例子是正弦（和其它测角函数）”中也提到三角形不是唯一的再创造正弦的来源，它们更应该在函数的水平上被再创造．因此，再创造中的“有指导”不仅要揭示知识的来源与现实生活的关系，更要兼顾知识之间的联系与相互依存关系．再如“算法化”，他认为其重要性在于“算法的掌握对于个体的进程与人类在历史上的进程是同等重要的”，其作用在于“算法是展示数学的窗口，那就是展示现成的数学”．为纠正人们认为数学“就是一篮子算法”的印象，弗赖登塔尔的措施就是再创造算法以及算法化．“再创造算法可能是一个乏味而又费时的活动，它的深奥策略有必要让教师、教科书作者、教育开发者和研究人员相信，最终结果的价值与付出的劳动和花费的时间是相称的”．对于算法学习，弗赖登塔尔认为“学习的一个极端是没有意识地教的学习；另一个极端是直截了当地强加的学习”．对于新的算法，大多数人失败的原因在于“不能把新算法的发生过程与通过精简和合理化已获得的尝试的发生过程等同起来”，而对于学生则是因为“过去有时他们被要求做的智力上的跳跃，超越了他们智力的能力”．对此，弗赖登塔尔认为虽然学生不能跟踪人类认识的发展，但对于“规则的错误应用与模式的错误转换，可能会提供一些迹象．在普通常识的任何发展阶段，学习者对于发展过程的付出有多大，也许意义非常重大”[5]．上述对于再创造算法及算法化的重要性，以及学习过程中容易出现问题的阐述，提醒教师遵循历史发生原理、尊重学生的认知发展过程设计算法教学是极其重要的．3.3 基于数学现实的再创造中的HPM思想数学教学必须做到“源于现实、寓于现实、用于现实”．他认为“有指导的再创造”问题之一“往哪里指导”的实质性目标“现实”，也即“通过他的指导展开在他面前的学生自己的现实”．进一步地，弗赖登塔尔认为“数学化是将现实数学化．而一旦数学化在教学上转变到再创造，有待数学化的现实就成为学生的现实，成为引导学生进入其中的现实．同时，数学化也就成为学生自己的活动”．因此，所谓“数学现实”是指数学教师的任务之一是去了解学生的数学现实，并由此出发组织数学教学．弗赖登塔尔认为数学化应从“原始的现实开始”，而非接近数学的现实．比如，用相同被加数的加法再创造乘法的例子就是一个很好的说明[5]．为实现数学化，数学现实中的范例作用不容忽视．尽管古巴比伦的楔形文字介绍怎样求解一次、二次方程或二元一次方程组的解法，但是都是具体数值的例子，用它们很难教会学生解方程的一般方法．因此，弗赖登塔尔认为教师应对这些材料进行再创造．再如“变量”，“在数学的历史上很早就有了对变量的需要（对于不确定的和变化的对象），那里也需要给各个变量取名称，巴比伦数学家用文字表示变量，如‘长度’和‘宽度’．希腊人用字母表示；但是在字母表中没有足够的字母来满足潜在的无限个变量名称的需要．借助全部正整数的无限性用下标区分变量是数学历史上一个比较晚的创造，而字母作为下标更是最近的事，下标的下标更是如此”，对于借助这种思想设计变量表示的教学的“再创造”，他进一步地指出：“我反复强调历史可能是一个很好的参谋，它告诫我们人们习惯性的事情远非想象的那样简单．历史可能会告诫我们要防止让学生在目前现成的水平上进行学习．在教学中也是如此，使用字母来表示变量应适应某种需要，研究人员与教师应该创设一个使学生感到迫切需要用字母来表示变量的情境，从而激发学生再创造的兴趣，他们应该把用字母表示变量这种策略变的越来越精炼．”[5]事实证明，教学实践中，具备这样一种“再创造”思想的教师，其教学确实取得了极大的成功[10～11]．教学中还有大量的内容可以基于学生的数学现实用“对历史进行再创造”的方法进行．此外，弗赖登塔尔还提倡在“应用”中学习数学，他说：“历史意味着寻根，那么纯数学的历史是一颗被剥夺了其强壮的根的树．数学教学也没什么两样．”所谓数学化的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程．要实现数学化，“再创造”教学还应注意“留给学生去再创造自然界或和社会中的一些问题情境”，此处的应用不是学完数学后应用，而是指学习过程对数学现实的应用．3.4 “学习过程”的再创造中的HPM思想弗赖登塔尔将“学习过程”作为一个教学原理，其中也贯穿着弗赖登塔尔“再创造”的思想．之所以将数学学习的过程，当作一个教学原理，原因大致有二．其一，弗赖登塔尔认为，区别于将学习过程当作研究的工具与对象，作为教学原理的学习过程更值得研究；其次，他认为“教学论本身是与过程密切相关的”[5]．弗赖登塔尔本人对学习过程也是非常重视的，他经常提到：应该认为，与其说让学生学数学，不如说让学生学习数学化；与其说让学生学习公理系统，不如说让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，不如说让学生学习形式化．他认为数学化的过程可以分为5个层次：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段、严谨阶段．并不要求每一个学生一次完成所有阶段，而应该符合学生的年龄特征．对于学习过程中的水平结构，他提到他和范希尔夫妇的合作以及他们对于学习水平的层次划分：学习过程是由各种水平来构造的．较低水平的活动，也就是通过在这个水平上可用的方法组织的活动，成为较高水平上分析的一个对象；较低水平的可操作的内容成为下一个水平的学科内容．学生学习通过数学的方法来组织，学习把他自发的活动数学化，或使他更适合于通过这种方法来学习[5]．对此他常举的一个例子是皮亚诺（Peano）自然数公理中的数学归纳法．按照数学归纳法的历史发展过程，弗赖登塔尔认为学习数学归纳法的正确途径是：向学生提出一些必须使用数学归纳法才能解决的问题，如证明1+3+5+…+…(2n-1)=n2，再如弗赖登塔尔经常提的“边与对角线数”等类似问题．迫使他们直观地去使用这个方法（如，使用“形数”问题直观求解），从而发现这个方法．在学生发现了和懂得了这个方法以后，再去帮助他用抽象的形式把它叙述出来．然后学生需要在对某些简单的内容进行过公理化的工作后，才能实现从数学归纳法到皮亚诺公理系的更大飞跃．他反对那种将思维过程颠倒过来，把结果作为出发点，推导出其它东西的“教学法的颠倒”的做法．他认为这种颠倒掩盖了创造的思维过程，若不进行再创造，学生很难真正理解，灵活应用则更是难以达到．对此，弗赖登塔尔说：“历史的路也是个人的路，都是从直观的、无反思的活动开始的，好像从完全归纳法的偶然实践到皮亚诺的自然数公理体系的系统阐述……这里学习水平的各种水平鲜明地显现出来．”[5]4 教学启示弗赖登塔尔说“历史不是一顶旧帽子”，《作为教育任务的数学》一书的译者给它的注解是“作者意思是我们应当以历史为鉴，而不是将历史视作一顶旧帽子，一扔了之”[9]．回到在文章开头提到的访谈中出现的问题，能从弗赖登塔尔的HPM思想受到哪些启发、得到怎样的教益呢？首先把教师对于数学史知识的认识不足或误区大致归结为几个层次：（1）运用数学史浪费时间，影响升学率，不利于学生成绩的提高的“数学史无用论”的“认识误区”层面；（2）教师缺乏将HPM思想运用于课堂的数学史知识，材料“无米之炊”的层次；（3）教师即使有数学史知识却没有正确利用数学史知识的意识与行动，理念“无米之炊”的层次；（4）能够将数学史料用于教学设计，但运用水平停留在“附加式”这种较低水平的使用层面，对于较高层次的、以“再创造”思想为指导的将数学史料进行重构运用于教学的做法，缺乏正确认识．对于以上认识不足甚或误区，都能从弗赖登塔尔的HPM思想中受到启发，找寻到解决问题与症结的方法与途径．4.1 数学史是调适教师数学观念与教学行为的重要基础对于教师是否需要数学史知识的问题，以及怎样在教学中使用数学史知识，弗赖登塔尔在文章[12]“should a mathematics teacher know something of the history of mathematics?”中给出了明确的答复．与之相佐的，著名数学史家M·克赖因（Morris Kline，1908—1992）也指出“历史顺序是教学的指南”[13]．匈牙利著名数学家和数学教育家波利亚（G.Polya，1887—1985）则指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识做出更好的判断．”[14]教学实践中，可以看到，教师所具有的数学观念在很大程度上决定了他以什么样的方式从事数学教学活动．而教师在课堂教学中起着重要的价值引领作用．只有具备数学史知识的教师才能做到在数学的具体源头和抽象形式之间架构起通往学生理解的桥梁，而一个缺乏数学史知识的教师看到的只是一堆形式的符号与逻辑关系，很难做到从概念的历史发生、发展的角度促成学生的理解，无法使学生透过数学史的独特视角把握思维历程．因此，数学史素养是每位数学教师必备的素养之一．4.2 教师培训是从知识到理念提升中小学教师对 HPM 认识的大好契机关于教师培训的目的与意义，弗赖登塔尔有所涉及[9]．要利用数学史，积极开展HPM视角的教学设计与实践，首先要求教师自身具备数学史知识与进行HPM研究的意识．目前我国正在实施从国家到地方开展中小学教师培训计划．这一计划正是对中小学教师、管理人员加强数学史知识学习，培养、培训使用数学史知识进行。

(4)适当引导学生，激发学生的再创造
主张“再创造”应该是数学教育的一个
教学法原则，它应该贯串于数学教育整个体
系之中。实现这个方式的前提，就是要把数
学教育作为一个活动过程来加以分析，在这
整个活动过程中，学生应该始终处于一种积 极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到 创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。
弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心
是数学过程再现。
学生“再创造”学习数学的过程实际上
就是一个“做数学”的过程。
教师的任务是引导和帮助学生去进行这
种再创造的工作。
伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个 活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各 种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉 来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。
2. 吸烟有害健康吗？
独立性检验
(3) 什么是“再创造”？
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或已 完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。 完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它 完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们 的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数 学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又 生动有趣的活动过程。
这对教师提出了更高的要求，不仅对有
关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计
与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，
具备高度的应变能力，随机应变，及时处理
学生可能提出的各种问题，以保证将学生引
上“再创造”的道路上去，让学生的数学活 动更为主动、有效。

第二方面是他关于学习方法的看法。弗赖登
塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是 实行“再创造”，也就是由学生本人把要学 的东西自己去发现或创造出来；教师的任务 是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作， 而不是把现成的知识灌输给学生。他认为这 是一种最自然的、最有效的学习方法。数学 是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳 中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数 学，也就是在创造数学中学习数学。弗赖登 塔尔指出，搞数学研究的人就是用再创造的 方法去阅读别人的论文的。

弗赖登塔尔数学教育思想在“情境——问题”教学中的应用探索1、引言汉斯•弗赖登塔尔（Hans·Freudentha1905-1990）是荷兰著名数学家、数学教育家，21世纪国际数学教育权威，曾为国际数学教育作出极大贡献。

鉴于他在数学教育方面的巨大贡献，人们把他和伟大的几何学家F·克莱因相提并论，认为对于数学教育，在20世纪上半叶是F.克莱因做出了不朽的功绩；在下半叶则是弗赖登塔尔做出了卓越的成就。

本文将在简要介绍其思想的基础上，展开对其思想在数学“情境——问题”教学中应用的一些探讨。

2、弗赖登塔尔数学教育思想简述弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学本质、今日数学特征、数学教育的用处、目的和任务的特殊认识而产生的。

在他看来,数学教育具有以下特征[4] P166情境问题是教学的平台；数学化是数学教育的目标；学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分；“互动”是主要的学习方式；学科交织是数学教育内容的呈现方式。

这些特征可概括为------数学现实,数学化,再创造,具体如下:2.1 数学现实（Realistic mathematics）弗赖登塔尔认为：“数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实”[1]。

数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结，是由于现实世界的实际需要而形成，是“现实的数学”。

他强调数学应该属于所有人，必须将数学教给所有人，而每个人都有自己的“数学现实”，即“每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学知识。

”[3]P201其中既含有客观世界的现实情况,也包含个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。

为此数学教育应以这些不同的数学现实为基础构建课程体系,并通过这些课程不断地扩展每个人的“数学现实”,使每个人在数学上都获得最大的发展。

２.２数学化（Mathematization）弗赖登塔尔认为：数学化就是数学地组织现实世界的过程。

数学教育的目的和用途
学习数学有什么用?
在学校学习的数学知识对今后工作能用多少? 进行数学教育，效果是否有想象的那么大?
弗赖登塔尔数学教育观的基本思想
弗赖登塔尔的数学教育思想的核心是三个教学原则:
数学现实 数学化 再创造
数学现实 数学现实是指:
人们利用数学概念和数学方法对客观事物认识的总体，
有客观世界的现实情况，也包含受教育者使用自己 的数学能力观察这些客观事物所获得的认识.
把学生的数学学习重点由结果扩展到数学活 动的整个过程。 这一模式的教学观，进一步强调了数学应用 的价值，使得“‘应用’成为数学的第一要义”， 这些都是弗赖登塔尔数学教育思想的精髓。
过去的教学大纲在确定培养目标时，总是 过多地强调运算能力、逻辑推理能力、形象 思维能力，而新的课程标准则着眼于“培养 生的创造性思维和创造意识”
荷兰数学课程体系:将现实基础与逻辑思维相结合.
弗赖登塔尔现实数学教育的观点： 现成的数学结构和结果是不能直接用于课堂的.
学生应该通过自己的认识活动重新构建起这些数学 结构，各类学生所应该拥有的数学现实是: 日常生活所需要的数学； 不同技术或者说是不同职业所需要的数学； 进一步学习及从事高水平研究所需要的数学。
即改变了过去“简单的把数学等同于数学知识汇集的传统观 点，而主要的把数学看成人类的一种创造性活动”。
《课标(2011)》与《课标(实验稿)2003》相比， 课标(实验稿)》强调数学活动、学生探究 《课标(2011)》呈现出“学生探究与教师讲授相融合”的回 归倾向.如“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索." 合作交流等都是学习数学的重要方式; 教师应注重启发式和因材施教… 处理好讲授和学生自主学习的关系.
使数学教育面向全体学生，

1.弗赖登塔尔教育思想综述。

弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的．在他看来“数学是系统化了的常识．这些常识是可靠的，不像某些物理现象会把人引入歧途”[2]而常识并不等于数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织⋯⋯如此不断地螺旋上升，以至于无穷。

”[2]这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象，亦即数学的发展过程具有层次性。

在此认识的基础上，他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”的教学论原理．进一步发展为：“学一个活动的最好方法是做” 尽管他很谦虚地说：“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别，只是重点从教转向学，从教师转向学生活动。

”而这些转变正是教育应该做而没有做到的，是对教学活动最本质的认识的改变，是对传统的教学方法、教学模式的批评．他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他说“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题” 他指出：“这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学” 他指出，不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动，在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少。

以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性．那么，什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指出：学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。

数学学习不是一个被动接受的过程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，他指出：“教数学活动不是教数学活动的结果，而是教数学学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要．”他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。

伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一 个活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生 的各种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依 赖听觉来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸 及动作。 弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学 一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的 是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到 学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。 就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩 教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实 地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳 的。
提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是
基于以上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角 度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下 三点： (1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人
硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，
一般来说还可以保持较长久的记忆。 (2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学 习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。 (3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们
数学教育的任务就在于，随着学生们所接触
的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不
同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生 所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予 以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有 的“数学现实”的程度并扩充其范围。 数学教学的本质就是培养学生从已有的“数 学现实”发展到更高层次的“数学现实” 。

这对教师提出了更高的要求，不仅对有 关题材事先尽可能作周密的设计与安排，更 重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度 的应变能力，随机应变，及时处理学生可能 提出的各种问题，以保证将学生引上“再创 造”的道路上去，让学生的数学活动更为主 动、有效。
弗赖登塔尔的数学教育理论

弗赖登塔尔数学教育思想对幼儿园数学教育改革的启示作者：林培淼来源：《幼儿教育·教育科学版》2010年第05期【摘要】弗赖登塔尔的数学教育思想集中体现在现实数学、数学化和再创造三个方面。

弗赖登塔尔的数学教育思想启示我们,幼儿园的数学教育要立足于幼儿的数学现实,重视幼儿的数学化过程,追求幼儿的再创造能力。

【关键词】现实数学;数学化;再创造【中图分类号】G612 【文献标识码】A 【文章编号】1004-4604(2010)05-0014-0420世纪后期,我国幼儿园实施数学教育的主要途径是计算课,强调的是计算训练与结果的唯一准确性。

自从2001年实施《幼儿园教育指导纲要(试行)》以来,我国对幼儿园数学教育进行了改革,取消了以计算训练为主的数学教育,出现了以培养幼儿数学兴趣为取向的数学游戏活动,教师也认识到培养幼儿良好思维的重要性,但脱离幼儿生活实际的数学教育仍然普遍存在。

随着改革的不断深入,幼儿园数学教育更加需要科学合理的数学教育思想来指导。

笔者认为,学习与借鉴弗赖登塔尔的数学教育思想对推进我国幼儿园数学教育改革具有重要的现实意义。

一、弗赖登塔尔数学教育思想的基本内容汉斯·弗赖登塔尔(Hans Freudenthal,1905-1990)是国际著名数学家、数学教育家。

在长期的数学研究和数学教育实践中,弗赖登塔尔用数学家和数学教师的眼光审视数学教育问题,抽象概括出了他独有的系统见解。

可以说他已经摆脱了教育学(或心理学)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式,形成了一套适合儿童心理发展、符合教育规律、经得起实践检验、具有自己独特风格的“现实数学教育思想”体系。

他的数学教育思想主要体现在以下三个方面。

1.“现实数学”的数学教育思想数学教育必须“源于现实,寓于现实,用于现实”。

〔1〕这是弗赖登塔尔“现实数学”教育思想的基本出发点。

每一个人都有自己的数学现实,即每个人接触到的客观世界中的数学规律以及有关这些数学规律的知识结构。

弗赖登塔尔!再创造"理论对小学数学教学的启示邓海英!#喻 平"$!#湖南第一师范学院#$!%"%&%"#南京师范大学数学科学学院#"!%%$'&摘 要'引导学生在数学活动中学习#基于数学现实#对学习材料进行数学化加工#从而实现!再创造"#这是弗赖登塔尔!再创造"理论的框架(将这一理论应用于小学数学教学#首先#要用儿童的眼光看待现实情境#发现儿童眼中的数学现实#并且搭建!脚手架"#帮助儿童构建数学现实%其次#要组织现实材料#帮助学生获得操作性经验#并且简化复杂情境#帮助学生抓住问题的本质%再次#要指导学生将现实问题加工为局部的数学问题#将局部的数学问题加工为结构化的数学问题(关键词'弗赖登塔尔%再创造%数学现实%数学化%小学数学荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔#早期从事拓扑学和李代数$一种重要的非结合代数&方面的研究#取得了卓越成就%后期把精力放到数学教育领域#出版了大量著作#成为国际数学教育委员会$()*(&第八任主席#倡议召开国际数学教育大会$()*+&#极大地推动了数学教育研究(他在代表作)作为教育任务的数学*一书中提出了!再创造"理论#在数学教育界产生了巨大的影响(即使在课程改革持续推进+教育理念不断翻新的当下#!再创造"理论仍具有现代意义#对以发展学生核心素养为目标的数学教学仍具有实在的指导价值(一+弗赖登塔尔!再创造"理论概述$一&!再创造"理论的几个核心概念!数学现实"!数学化"!再创造"是!再创造"理论的核心概念(本文系湖南省社会科学成果评审委员会项目!小学生情境问题解决能力培养研究"$编号',-."!/0)%&"&的阶段性研究成果#也系喻平教授团队的!数学学习心理学研究及其教学启示"$小学&系列文章之九(!数学现实"是指数学课程内容应该与现实有密切的联系#并且能够在实际中得到应用(数学的整体结构应当存在于现实中#只有密切联系现实的数学才能充满着各种关系#才能与现实结合并且得到应用( 儿童总是处于某种现实的情境中#有些情境承载着重要的数学信息#这些情境中的数学信息就是儿童面对的!数学现实"之一(!数学化"是指学生应该学习将非数学内容或不完整的数学内容组织成一个合乎数学的精确性要求的结构( 例如#将空间完形为图形#是空间的数学化%整理平行四边形的性质#使之形成推理联系#以得出平行四边形的定义#是平行四边形概念领域的数学化(数学化有两种形式(一是横向数学化'将实际问题转化为数学问题#即发现实际问题中的数学成分#并对这些成分做形式化处理#把生活世界引向符号世界(二是纵向数学化'在数学范畴内对已经形式化了的问题做进一步抽象化处理#是更深层次的数学化#从符号到概念#影响到复杂的数学处理过程(!再创造"是指由学生本人把要学习的东西发现或创造出来(教师的任务是引导和帮助学生进行!再创造"的工作#而不是把现成的知识灌输给学生(弗赖登塔尔认为#学生已经具备某些潜在的能力#从发展这种潜能出发#数学教育不能从完美的现成结果开始#不能将各种规则+定理等远离现实生活的抽象内容硬性地灌输给学生#而应创造合适的条件$通常是提供一些情境或现象的材料&#逐步让学生在实践的过程中通过自己的发现学习数学#获取知识#使学生头脑中已有的非正规的数学知识与思维上升+发展为科学的理论(生物学上有一条原理'个体发展过程是群体发展过程的重现(这条原理在数学学习上也是成立的'学生具有发现数学知识$!再创造"&的能力#数学发展的历程也可以在学生身上重现($二&!再创造"的基本理论体系弗赖登塔尔对数学教育有一些独特的见解#可以概括为下面几个观点'其一#不应当教现成的数学#而应当教活动的数学(!将数学作为一种现成的产品来教#留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用#其实就是做问题(这不可能包括真正的数学#留作问题的只是一种模仿的数学,,面对现成的数学#学生唯一能做的事就是复制(" 这个观点是对传统数学教学形态的一种反叛#意图将先学后做的思维方式颠倒过来#在活动的过程中引入知识#在数学化的过程中建构知识(这个观点与斯托利亚尔的观点是一致的#把数学教学视为活动的教学(这个观点奠定了弗赖登塔尔的教学认识论基础(其二#教学活动是让学生!做数学"的过程(弗赖登塔尔认为#教学的最好方法是让学生做(这就为!活动的数学"规约了活动的方式(!做"既包括动手#也包括动脑(动手做的本质是借助于身体去认知#动脑做的本质则是思维实验(显然#这一思想与杜威的!做中学"一脉相承(杜威认为#在理想的教学过程中#教师应当鼓励儿童在活动中#开动大脑#运用观察和推测+实验和分析+比较和判断#使他们的手足耳目和头脑等身体器官成为智慧的源泉(其三#教学活动应当让学生经历数学化的过程(数学化是对!活动的数学"在内容方面的圈定(数学产生于现实#每个学生都有不同的数学现实(学生需要对现实进行数学化#将非数学的内容数学化#将不完整的数学内容组弗赖登塔尔#作为教育任务的数学-*.#陈昌平#唐瑞芬#等编译#上海'上海教育出版社#!11&'!""# !"2#!%1(约翰/杜威#民主主义与教育-*.#王承绪#译#北京'人民教育出版社#"%%!'"&(织成一个合乎数学的精确性要求的结构(而数学化的核心步骤是用数学方法把实际材料组织起来#组织材料本身就是一项数学活动(这里要强调的是#数学化有两个要点(一是数学化的结果应当是结构化的知识体系(例如#平行四边形的每一个性质都是数学陈述#但是这些陈述的整体本身只是一个大杂烩#只有用逻辑关系建立结构#它才成为数学#而这个过程就是数学化(二是数学化有进阶的特征(数学化首先是对数学现实进行加工形成局部的数学材料#这是低层次的数学化过程%然后是对局部的教学材料进行整体组织形成结构化的数学#这是高层次的数学化过程(其四#数学活动的一个目标是!再创造"(弗赖登塔尔认为#普通的儿童也有能力!再创造"出他在将来的日常生活中所需要的数学#可以创造内容#也可以创造形式(学习过程必须含有直接创造的层面#即从学生的观点上来看是创造#是主观上觉得的创造#而不是客观意义上的创造(比如#学生可以根据自身的数学现实创造个性化的"324&的计算过程#而不能说学生创造了"324&这个算式的计算原理(所以#学生可以创造数学化而不是数学#创造抽象化而不是抽象#创造算法化而不是算法#创造语言描述而不是语言(通过!再创造"#可以促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法(通过!再创造"来学习#能够获得发现的乐趣#引起学习的兴趣#并激发学习的动力%通过自身活动得到的知识与能力比由旁人!硬塞"来的#要理解得透彻+掌握得充分#同时也更善于被应用#还可以较长久地被记住(将上面的观点组合起来#可以看到#弗赖登塔尔事实上给出了一个数学教学程式$如图!所示&(首先#从现实中选择与学习内容相关的材料#通过学生的数学活动将这些材料加工成不完整的数学$局部的数学&#这是低层次的数学化过程%其次#通过学生的数学活动将局部的数学加工为结构化的数学#这是高层次的数学化过程%最后#将建构的知识用于解决问题(这就是!再创造"的学习过程#它不是将现成的数学直接传递给学生#而是通过揭示知识的发生发展过程#让学生经历数学化#本质是学生自我建构知识(图%二+对小学数学教学的启示!再创造"理论以数学现实作为起点#需要学生对现实情境进行数学化#从中辨认问题+提出问题#进而建立一个数学模型($一&如何甄别数学现实!#用儿童的眼光看待现实情境#发现儿童眼中的数学现实教学直接指向的是学生思维世界的开启#任何教学都要首先激发个体的思维参与到特定教学情境包容着的知识世界#以此使得个体身心参与到其生活世界的建构中( 马克斯/范梅南也提出#要关注儿童的独特性+情境的独特性以及个人生活的独特性#避免过分关注儿童的共同特征(数学家们常常只关注数学本身#关注逻辑$演绎&和结构$体系&#并不关注现实材料对儿童学习的作用和影响(大量实践和研究表明#学习材料若不对儿童的胃口#就很难引发他们的学习兴趣(教师要有意识地从儿童的角度看待现实世界#揣摩儿童眼中独特的数学现实(简单地说#要能判断哪些现实情境在儿童眼中是合刘铁芳#位涛#从思维激活到理智兴趣培育'启发的教学意蕴及其实现-5.#国家教育行政学院学报# "%!6$!!&'671&(理的+熟悉的+贴近生活的+新颖有趣的(例如#教学!数据统计"时#可以让学生统计某一年内自己家里每个月的电费#从而既能和父母共同研学#又能知道节约用电#增强环保意识%还可以让学生统计一个星期内自己家里的饮食情况#包括吃水果+蔬菜+零食等的情况#培养健康饮食的意识和习惯等(再如#在工程问题+行程问题等应用题的教学中#教师可以试着改造陈旧的问题情境#利用科技发展等元素融入爱国主义教育#发挥情境的教育意义#从而既能教授数学方法#又可赋能课程思政#践行立德树人(下面再举一个更为详细具体的例子'教学人教版小学数学三年级上册)吨的认识*一课时#教师先让学生思考'一袋大米重!%%千克#!%袋大米重多少千克0学生列式计算#得到结果为!%%%千克(教师揭示' !%%%千克是一个很重的质量#数学上规定用!吨来表示!%%%千克#即!吨4!%%%千克(然后提问'!吨里面有几个!千克0吨和千克之间的进率是多少0学生回答后#教师组织活动#让学生体验!吨有多重($!&教师让学生以小组为单位#每个人都用力提一提$力气小的学生可以两个人一起提&事先准备好的一袋重!%千克的豆子#感受!%千克有多重#并汇报自己的感受(然后#让学生推算多少袋这样的豆子重!吨(当推算出来是!%%袋时#学生会感叹'!哇1!吨这么重呀1"$"&教师让学生两人一组#互相说一说课前测出的自己的体重是多少千克#再互相背一背#感受!名同学有多重(然后#让学生推算'三年级学生的体重差不多是"&千克#如果一名学生的体重是"&千克#那么#!%名这样重的学生大约重多少千克0$%名这样重的学生呢0从而进一步感受!吨有多重($2&有了一袋豆子的重量+一名同学的体重作为参考#教师让学生结合生活经验说一说生活中什么东西大约重!吨(然后#用课件出示各种例子'两头牛大约重!吨#一般电梯的载重量是!吨,,$$&教师让学生汇报课前了解的自己家上个月或某几个月的用水量(然后#让学生想象'如果把!吨水装在一个正方体的水箱里#这个正方体该有多大0接着#出示一个棱长是!米的正方体#指出'在这个正方体里装满水#水的质量就是!吨(由此#让学生感受!吨水到底有多少(以上设计#让学生先感受身边物体的质量#再以此为基础加到大单位的质量#增强体验感#紧紧抓住儿童的生活经验#用儿童的眼光提取现实中的数学("#搭建!脚手架"#帮助儿童构建数学现实每个儿童都有自己的数学现实#但往往又不完善+不严密#甚至还存在错误的认识#影响学习效果(教师站在儿童的角度置身于学习过程#搭建!脚手架"#是帮助学生构造数学现实+发展数学现实的良好途径(下面通过一组测试数据说明学生在计算错误中反映出来的!现实误差"(测试试题如下'每年的7月!日 7月2%日#富士山对公众开放#在这段时间里#大约有1%%%名游客去富士山爬山#平均每天大约有 名游客(有效被试总人数为6%%人#答对的有'$%人#占总人数的6%8%没有作答和答错的共!'%人#占总人数的"%8(错误解答情况如下页表!所示(邓海英#严卿#魏亚楠#数学情境问题解决错误分析与评价-5.#数学教育学报#"%"!$!&''!'7(表% 测试题目错误解答情况序号错误答案错误算法推测错误原因推测!"7%%%%2%91%%%4"7%%%%不理解!平均"的含义#乘除混淆""6%%%%2%91%%%4"6%%%%不理解!平均"的含义#乘法口诀掌握不到位2"!%%%%2%91%%%4"!%%%%不理解!平均"的含义#乘法口诀记错$"7%%%2%91%%%4"7%%%不理解题意#计算能力薄弱&1%%%1%%%不认真审题#以为每天的游客数就是1%%%'!%%%%1%%%!%%%%不理解题意#以为每天都有1%%%人#大约之后为!%%%%人72%%%1%%%:2%42%%%运算能力不够扎实62%1%%%:2%42%对除法运算不熟悉12!%1%%%:$2%;!&2!%以为从7月!日到7月2%日只有"1天!%2"!1%%%:$2%;"&2"!用一个月2%天减去7月!日与7月2%日两天!!2$$!%%%%:"12$$把人数1%%%约等于!%%%%#把天数算错为"1!"$&%%1%%%:"4$&%%把7月!日到7月2%日看成7月!日和7月2%日!2261%%%:"$%26把天数当成!月头到7月底的总天数#且算错!$26!32%37426将题目中出现的数随便相加!&2662'%3$2%;"&4266以为一年是2'%天#再用一个月2%天减去7月!日和7月2%日两天#然后相加!'61"!1%%%;"1461"!不理解题意#直接用游客数减去天数#且算错!7"%%1%%%:$73!3732%&4"%%毫无意义地把7月!日到7月2%日中的几个数字相加!6'1%%%:-$7973!&92%.4'对7月!日与7月2%日所包含的数字做毫无根据的运算!121%%%:-$7973!&92%.:"42$7973!&92%是对7月!日与7月2%日所包含的数字做毫无根据的运算#"表示7月!日与7月2%日两天"%$#12$1%%%:$!32%37&:"$:"$#12$"$表示一天有"$小时#"表示7月!日与7月2%日两天从表中可以看到#四年级学生对1%%%:2%42%%的应用竟然会有这么多错误的想法和算法(除了一些纯粹由于计算能力弱+口诀记错+把用除法求平均数看成用乘法求总数等造成的错误之外#其余大部分错误都存在比较共同的原因#那就是'1%%%:2%42%%这个计算题放在了现实情境中#学生的数学现实不够支撑起对这个情境的理解#要么用错了1%%%人#要么算错了2%天#要么完全不知道怎么用数学式子来表达题意#只是将数字毫无根据地加减乘除(因此#学生犯这些错误可以认为是因为他们不理解算式与情境的关系#不能对1%%%:2%42%%这个算式!讲故事"#不能由!故事"想到算式#也不会质疑不合常情的!故事结尾"222如对"6%%%%这样的大数+$#12$这样的小数#尤其是$#12$表示人数#竟然没有觉得有什么不妥#也没有反思+改正(学生数学现实的水平又成了教师要面对的!数学现实"(教师要把算式与情境的关系讲好#给学生讲清楚题目中每句话+每个字描述的真实现象#搭好!脚手架"'!富士山是日本有名的旅游胜地(因为山顶常年寒冷#所以#一年中最热的7月份$山顶平均气温也才'度左右&旅游的人比较多(7月!日27月2%日这2%天里#共有1%%%名游客去了富士山#那么#这2%天里#平均每天大约有多少名游客呢0是多大的一个数呢0"把总人数1%%%+总天数2%+要计算平均数这些条件陈述清楚#将问题置入真实情境中#就是在搭建!脚手架"($二&如何实现!数学化"!#组织现实材料#帮助儿童获得操作性经验!1世纪英国著名博物学家+生物学家+教育家赫胥黎认为'!数学训练几乎是纯演绎的(数学家从少量简单的命题出发#这些命题的证明如此明显#可以不证自明#其余的工作就是从这些简单的命题来进行巧妙的演绎("!数学是一种根本不懂得观察+实验+归纳与因果关系的研究("这是常见的对数学的偏见和误解(同时期#英国数学家西尔维斯特对赫胥黎的观点做了批判(他认为#数学研究要不断观察和比较#它的主要武器之一是归纳#它经常求助于实际的试验与比较#同时它还对想象力与创造力进行最好的训练( 弗赖登塔尔主张#儿童在数学学习中可以对非数学化的现实材料用数学方法来组织#通过整理+观察+比较+试验+提炼+归纳进行数学化(例如#学生通过观察学具#将空间表示成图形#这是对空间的数学化%用折一折+拼一拼的方法发现三角形的内角和为!6%<#这也是经历了数学化的过程%通过操作+讨论+联系+类比+记录#整理平行四边形的性质#使之形成推理关系#再归纳得出平行四边形的一个定义#这是平行四边形概念领域的数学化(几何学习有数学化的优势'有具体可操作的现实材料#学生易于获得操作性经验#在具体操作中体验数学化过程#逐渐发展抽象+归纳的能力#提高数学水平("#简化复杂情境#帮助儿童抓住问题的本质一些数学问题看上去似乎是现实情境里的问题#但是被编题者加工了#让解题者好像掉进了一个复杂的漩涡里(来看下面两个问题'$!&顾客在书店里买一本书#书价!%元#他付了一张"%元的钞票(书商无零钱可找#请隔壁的鞋匠帮忙(鞋匠给他一双修好的鞋#可收修鞋费!'元(此外#鞋匠原来欠书商"元(结果#书商从鞋匠那儿拿到了'元#加上自己的$元#总共找给顾客!%元(下午#鞋匠告诉书商#"%元钞票是假的(问'书商欠鞋匠多少钱0自己损失多少钱0 $"&甲乙两人相距7%%米#相向而行#速度分别是!#&米 秒和"米 秒(一条小狗在甲+乙之间匀速地来回跑动直到甲乙两人相遇#速度是"%米 秒(当甲乙两人相遇时#小狗共跑了多少米0弗赖登塔尔#作为教育任务的数学-*.#陈昌平#唐瑞芬#等编译#上海'上海教育出版社#!11&'!"!(问题!给出的现实情境比较杂乱#学生读下来往往觉得没有头绪#只看到多个人不断地给或收钱物%而问题"#学生读下来则满脑都是来回奔跑的小狗和越走越近把小狗夹在中间的两人#直至最后小狗没空隙奔跑#两人面对面站着#在这一过程中#小狗跑动的轨迹非常复杂#可以分为多段直线#而且无法计算出每一段的长度(这两个题目的!高明"之处就是把数学条件隐藏在了有多个行为主体参与的动态的现实情境中(要求的问题看上去都很简单+朴实#但是#方法被纷繁复杂的现实情境遮住了(攻克这种问题的武器就是!简化"(去掉所有枝节#抓住问题本质#解决的方法+需要的条件也就浮出水面了(问题!的简化思路和方法如下'题中人员关系混杂#那就从!裁员"开始#确定!主角"和!配角"(以书商为标准#!进项"为加#!出项"为减#假钞为%$没有价值&(先看他与鞋匠的交易'出"%元假钞#价值为%%进一双修好的鞋#价值为!'元%进'元%之前出过"元$鞋匠原来欠他"元&(!'3';"4"%#意味着他得鞋匠"%元#即他欠鞋匠"%元(再看他与顾客的交易'进"%元假钞#价值为%%出一本书#价值为!%元%出!%元$找钱&(;!%;!%4;"%#意味着他给顾客"%元#即顾客欠他"%元(他欠鞋匠的要还#还完之后不得不失%顾客欠他的不会还了#所以他损失"%元(问题"的简化思路和方法如下'路程4速度9时间#小狗奔跑的时间就是甲乙两人相遇所花的时间(此题只是做了一个巧妙的转嫁'看似复杂的现实情境#其实对应着非常简洁的数学公式($三&如何实现!再创造"弗赖登塔尔指出'!将数学作为一种活动来解释和分析#建立在这一基础上的教学方法#我称之为3再创造4方法(" 这是要让学生参与活动#在活动中经历对学习材料的数学化处理过程#从而获得知识(数学化的两种形态222将现实材料加工为局部$不完整&的数学+将局部$不完整&的数学改造为结构化的数学#都应当在指导学生!再创造"的教学中有所体现(下面以!平均数"概念教学为例来说明(首先#将现实问题加工为局部的数学问题222教师出示问题'在学校!题王争霸赛"中#=+0两队选手的得分情况如表"所示$答对!题得!分&#请问'哪一队水平高0表( 两队选手答题得分情况)队选手!号"号2号$号得分72!%6 *队选手&号'号7号2得分11'2对这个问题#学生会想到#分别求两队的总分#然后比较(但是又会发现#两队的人数不同#将总分进行比较存在不公平性#因此不能说明哪个队的水平高(于是#用旧知识解决新问题已经无能为力(这是一个数学化的过程'把一个现实问题抽象成一个数学问题(但是对学生而言#这个数学问题又是一个局部的数学问题(其次#将局部的数学问题加工为结构化的数学问题222师 在人数一样的情况下#用每个队的总分作比较#便知道哪个队的水平高(但是两队的人数不同#该如何判断哪个队的弗赖登塔尔#作为教育任务的数学-*.#陈昌平#唐瑞芬#等编译#上海'上海教育出版社#!11&'!!!(水平高呢0$学生思考(&师 我们先不比=+0两队的水平高低#而把=队和0队的分数制成条形统计图( $出示图"&大家发现了什么0图(生 方块有多有少#每队各个选手水平高低不一(师 确实#各个选手水平高低不一#哪个能代表本队的水平呢0生 可以把多的方块移到少的方块上去#最后变成一样多(生 =队全部移成7#0队全部移成6(师 $出示图2&现在知道=+0两队哪一队水平高了吗0图+生 0队(师 没错(这个一样多的得分#就是各个选手得分的平均数(平均数可以代表一组数#而且它排除了这组数的总个数因素($稍停&!移多补少"的方法直观#但是需要作图(一般地#平均数4总数:份数(这个算法使用起来很方便(同学们可以用它来算一下=队$个人的平均分和0队2个人的平均分吗0$学生计算(&师 结果一样吗0生 一样(师 利用这个方法#我们班上次期末考试的数学平均成绩怎么算0生 把我们全班同学的数学成绩加起来#然后除以全班总人数($教师总结#对平均数概念做进一步说明(&这个过程就是将局部的数学问题加工为结构化的数学问题'用总数不能解决问题#就引入平均数的概念(而且#结构化的过程是不断进阶的'在今后的学习中#会出现用平均数不能解决的问题#于是又会形成局部的数学#需要引入中位数+众数等概念#再使其结构化(除了数量关系的学习#在空间形式的学习中#也存在这两种层次的!加工"(比如#由单位正方形的面积推出长方形的面积公式#这是较低层次的!加工"%系统地回忆长方形+平行四边形+三角形+梯形面积公式的推导方法#形成如图$所示的思维导图#这是较高层次的!加工"#由此还可以大胆猜测圆的面积与长方形面积之间的关系$如图&所示&#得到圆的面积公式的推导方法(图,图"。

问题 ３ 能写出等比数列的通项公式吗?
教学目的:老师引导学生类比等差数列得出等比数列的
通项公式ꎬ并用数学符号表示通项公式ꎮ 体验从特殊到一般
的数学思想ꎬ通过探究活动发现规律ꎬ培养学生解决问题的
探索能力和创造能力ꎮ
运用弗赖登塔尔数学教育理论于数学课堂教学时ꎬ教师
应精心设计教学过程ꎬ创设问题情境ꎬ让学生在自主探究、合
社ꎬ２００４.
[２] 王芬玲ꎬ樊明智.弗赖登塔尔的数学教育理论及其应用
研究[ Ｊ] .科技信息ꎬ２０１２(２２) :２０.
[３] 邓喜才ꎬ夏顺友ꎬ陈治友ꎬ欧阳建新. 弗赖登塔尔的数学
教育理论与有效解题教学[ Ｊ] . 贵阳学院学报( 自然科
学版) ꎬ２０１５ꎬ１０(０３) :６９－７１.
[４] 重走“ 再创造” 之路[ Ｊ] .小学数学教师ꎬ２０１６(０６) :３１.
作商讨中实现对数学的理解和应用ꎬ教学过程中强调让学生
“ 再创造” 的学习数学ꎮ
３.弗赖登塔尔数学教育理论对教学的启示
弗赖登塔尔数学教育思想要求数学课程必需对学生现
在与未来的生活有意义ꎬ关注学生个性的发展ꎬ为学生提供
适合于所从事专业的必需技能ꎮ 要培养学生的数学素养就
要转变教学方式ꎬ将数学与社会生活、生产实践相联系ꎬ强调
用数学方法的过程就是数学化ꎮ 由于每个人的数学现实不
同ꎬ数学教学的本质是培养并发展数学现实ꎬ所以数学化的
过程是有从浅到深的不同层次、逐渐发展的ꎮ 数学化的过程
就是学习者从一个具有实际背景的问题出发ꎬ最后得出一个
抽象数学概念的教育全过程ꎬ学生对数学的“ 再发现” 就是数
学化ꎮ
１.３ 再创造
弗赖登塔尔认为“ 做数学” 的过程等同于学生再创造学

弗赖登塔尔的再创造理论对数学思想教学应用的几点思考摘要：本文以基本不等式教学为例，从课堂实际出发，运用弗赖登塔尔的再创造理论，讨论并分析了数学思想教学的应用价值。

关键词：数学思想应用不等式一、问题的提出教学实践中，有多位高三学生提出以下问题：当x>0时，由于1+x2≥2x，当且仅当1=x2即x=1时，等号成立，此时2x=2，所以得到函数y=1+x2（x>0）的最小值为2，又因为此二次函数的值域是（1，+∞），并无最小值，前后出现了矛盾，这是为什么？笔者十分惊讶高三学生提出这个问题。

高三学生已经学习过使用基本不等式求最值，为什么还存在这些问题？笔者以为，学生的“学”中存在的问题首先应该在教师的“教”中反思：教师只是把“基本不等式的应用”作为知识和技能进行了详细的讲授，让学生掌握使用基本不等式解决简单问题的最值，而用基本不等式为什么能求函数最值？事实证明，这些有关基本不等式应用背后的思想本质，学生自己无法自觉地理解知识所蕴含的数学思想，教师要从课堂教学实际出发,运用弗赖登塔尔的再创造理论，可在数学课堂教学上凸显数学思想的应用价值。

二、数学思想应用价值实例——以基本不等式应用为例１.以“最值概念”为出发点，呈现化归思想。

数学概念是提示数学知识的核心本质内容，在应用基本不等式求最值时，运用等价化归思想,以最值概念为出发点,能处理相应的问题。

弗赖登塔尔的“再创造”理论中的HPM思想包括：以历史发生原理为指导进行“再创造”，基于数学现实有指导的“再创造”。

这个理论告诉我们：学生数学学习的本质,就是让学生学会用数学的方法观察世界, 分析研究具体现象并加以组织整理,以发现规律的过程，学习数学最好的方法就是“再创造”，学生将要学的知识自己去发现创造出来,亲自参与知识的产生与发展过程,亲尝“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”（doing mathematics）的过程。

“做数学”是学生理解数学的重要条件。

参考资料弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者．在他担任国际数学教育委员会( ICMI ) 主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME —1) ，并创办了《Educa — tional Studies in Mathematics 》杂志，现任ICMI 主席( 巴黎十一大学校长) 加亨(Kahane) 教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献．”作为一位数学家，弗赖登塔尔30 年代就享有盛誉，从50 年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点．他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”( 或“心理学”) 加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处．弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法．弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识．这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习．因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西．根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”原则．数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结．根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的．数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”．另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系．因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构．弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人．这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西．可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的．为此，弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”．如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害．70 年代“新数学”运动的失败就是个明证．如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解．根据英国的Cockcmft 报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平．第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的．第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分．第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容．数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求．数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题．为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构．这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”．从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”．大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert 空间的算，子、拓扑学以及纤维丛等等．数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关．弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力．【返回参考资料列表】。

弗赖登塔尔的数学教育思想——“数学现实”原则荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者．在他担任国际数学教育委员会( ICMI ) 主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME —1) ，并创办了《Educa —tional Studies in Mathematics 》杂志，现任ICMI 主席( 巴黎十一大学校长) 加亨(Kahane) 教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein 做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freudenthal 做出了巨大的贡献．”作为一位数学家，弗赖登塔尔30 年代就享有盛誉，从50 年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点．他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”( 或“心理学”) 加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处．弗赖登塔尔回顾了数学发展的历史，研究了数学的特性，特别是数学的严密演绎理论对经验的指导作用，理性与观察的结合关系，为了使人们更透彻、更合乎逻辑地分析自然，从而促使在极端理论与极端实际的数学现象之间，实现一个连续的过渡，他努力探索着数学教育的途径、内容与方法．弗赖登塔尔认为，人类历史必然是一个前进的历史，只有突破了、对传统、对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性；科学是一种活动，科学不是教出来的，也不是学出来的，科学是靠研究出来的；因而学校的教学必须由被动地学转为主动地获得，学生应该成为教师的合作者，通过自身的实践活动来主动获取知识．这样，教育的任务，首先就应当为青年创造机会，让他们充满信心，在自身活动的过程中，继承传统，学习科学，获得知识；另一方面，由于社会在不断前进，人们就必须不断学习．因此，教育中更重要的一个问题，并不是教的内容；而是如何掌握与操纵这些内容，换句话说，要让学生学会掌握方法，那是更根本的东西．根据这些考虑，弗氏从数学教育的特点出发，提出了“数学现实”原则．数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实；这是弗赖登塔尔的基本出发点，也是我们历来提倡的基本思想；确实，数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结．根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的．数学教育如果脱离了那些丰富多采而又错综复杂的背景材料，就将成为“无源之水，无本之木”．另一方面，弗氏也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系．因此，数学教育又应该给予学生数学的整个体系——充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构．弗氏的另一个基本主张是：数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人．这是很重要的，在我国这一想法还未能被普遍接受，实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西．可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活，并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的．为此，弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”．如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害．70 年代“新数学”运动的失败就是个明证．如何理解“现实”？不同的社会需要是否就是“现实”？将“现实”等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解．根据英国的Cockcmft 报告，他们在进行了比较广泛的调查、分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平．第一种是日常生活的需要，从个人消费、家庭开支到国家建设，处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的．第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要，从工程技术人员、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内，从事各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分．第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，包括范围很大，差别也很大，未来的科学家、企业家、管理学家等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容．数学教育应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求．数学教育应为不同的人提供不同的数学修养，从而为每个人培养适合于他所从事的不同专业所必需的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题．为此，弗赖登塔尔的一个基本结论是：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构．这就是说，每个人都有自己的一套“数学现实”．从这个意义上说，所谓“现实”不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是“现实”的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的“数学现实”．大多数人的数学现实世界可能只限于数和简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉某些简单的函数与比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含Hilbert 空间的算子、拓扑学以及纤维丛等等．数学教育的任务就在于，随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围．通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律．一些具体的例子如下：通过公共汽车上下车人数的变化引入整数的加减法，并找出运算规律；借助学生上学乘汽车、骑自行车或步行等多种交通工具以及途中出现的各种情况，介绍各种类型的图象表示、解析表示，进一步可介绍变化率以及斜率等概念及有关性质；还可以从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则；以及根据血压的变化介绍一般周期函数的概念，再进到更有规律的正弦函数及其性质；或者从物质的生长率引进指数函数概念，从而导出对数函数等．由于人们对数学需求不尽相同，各人在不同阶段又有特定的数学现实，弗赖登塔尔认为，在现实背景材料的使用上有下述三种不同的水平：第一级是在实际问题中直接包含着有关的数学运算，只要通过简单的变换或过渡，就可以从实际问题求得相应的数学问题．在这里，具体的现实问题起着核心作用．第二级是提出了某个现实问题，希望学生能够找出与之有关的数学，加以组织，建立结构，从而解决问题．这里需要运用数学作为工具来组织现实问题并予以解决，因而具体的实际问题是起着实质性的作用．第三级则是指出某个数学概念或是描述了某个数学过程的特征，由此引进新的数学概念或是构造新的数学模型，在这儿所提供的现实背景材料已经从通常的具体客观世界中抽象出来．综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴．首先，弗氏所说的“数学现实”，是客观现实与人的数学认识的统一体，并非先有了一个”理论”，然后去联系一下“实际”，也不是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事．所谓“数学现实”乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括学生个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识．我们习惯于把课本上的知识笼统称为“理论”，而把“实际”狭隘地理解为“生产实际”，其实是不妥当的．其次，弗氏认为“每个人都有自己的数学现实”，这十分重要，这也许和我们常说的“从学生实际出发”差不多，数学教育当然要根据学生的“数学现实”来进行．学生的“实际”知识有多少? 学生的“数学水平”有多高? 学生的“日常生活常识”有多广? 这些都是教师面对的“现实”，如果我们简单地将“课本上定理”和“应用题”联系起来，那样的教学未免太狭隘．例如，在荷兰教材中，讲函数概念并不从映射出发，用双射、单射把学生弄得晕头转向，而是化许多时间用于制作图表、画函数图象，用距离(s) 与时间(t) 的关系图表示一个学生走路、等车、乘车、半路回家等等日常生活实际，每个学生都可根据自己上学的情形来画草图，定函数．再次，弗氏主张客观现实材料和数学知识的现实彼此溶为一体，你中有我，我中有你，密切不可分；我们的传统观念是以理论知识的逻辑展开为唯一线索，有些地方“联系”一下“实际”，这种联系往往是“节外生枝”式的，不被重视，顶多搞成一条“美丽的尾巴”，核心还是“理论”第一，这当然和考试制度有关，但也不能不说和教育思想的陈旧有关．弗氏的“数学现实”原则，主张把客观现实和知识体系溶为一体，教学过程应该经历从现实背景中抽象出数学知识的全过程，着眼于能力。

弗赖登塔尔数学教育思想评述摘要：弗赖登塔尔的数学教育思想主要体现在对数学的认识和对数学教育的认识上。

他认为数学教育的目的应该是与时俱进的，并应针对学生的能力来确定；数学教学应遵循创造原则、数学化原则和严谨性原则。

关键词：弗赖登塔尔；数学教育思想；评述一、弗赖登塔尔对数学的认识弗赖登塔尔强调：“数学起源于实用，它在今天比以往任何时候都更有用！但其实，这样说还不够，我们应该说：倘若无用，数学就不存在了。

”从其著作的论述中我们可以看到，任何数学理论的产生都有其应用需求，这些“应用需求”对数学的发展起了推动作用。

弗赖登塔尔强调：数学与现实生活的联系，其实也就要求数学教学从学生熟悉的数学情景和感兴趣的事物出发，从而更好地学习和理解数学，并要求学生能够做到学以致用，利用数学来解决实际中的问题。

1.数学的表达。

弗赖登塔尔在讨论现代数学的特征的时候首先指出它的现代化特征是：“数学表达的再创造和形式化的活动。

”其实数学是离不开形式化的，数学更多时候表达的是一种思想，具有含义隐性、高度概括的特点，因此需要这种含义精确、高度抽象、简洁的符号化表达。

2.数学概念的构造。

弗赖登塔尔指出，数学概念的构造是从典型的通过“外延性抽象”到实现“公理化抽象”。

现代数学越来越趋近于公理化，因为公理化抽象对事物的性质进行分析和分类，能给出更高的清晰度和更深入的理解。

3.数学与古典学科之间的界限。

弗赖登塔尔认为：“现代数学的特点之一是它与诸古典学科之间的界限模糊。

”首先现代数学提取了古典学科中的公理化方法，然后将其渗透到整个数学中；其次是数学也融入于别的学科之中，其中包括一些看起来与数学无关的领域也体现了一些数学思想。

二、弗赖登塔尔对数学教育的认识弗赖登塔尔围绕数学教育的目的进行了研究和探讨，他认为数学教育的目的应该是与时俱进的，而且应该针对学生的能力来确定。

他特别研究了以下几个方面。

1.应用。

弗赖登塔尔认为：“应当在数学与现实的接触点之间寻找联系。

弗赖登塔尔的数学教育思想荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔是国际上知名的数学教育方面的权威学者。

在他担任国际数学教育委员会(1CMl)主席期间，召开了第一届国际数学教育大会(ICME—1)，并创办了《Educa —tional Studies in Mathematics》杂志，现任ICMI主席(巴黎十一大学校长)加亨(Kahane)教授曾评价说“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶Hans Freu denthal做出了巨大的贡献。

”作为一位数学家，弗赖登塔尔30年代就享有盛誉，从50年代起就逐渐转向数学教育的研究，形成了他自己的独到的观点。

他的数学教育理论与思想，完全是从数学教育的实际出发，用数学家和数学教师的眼光审视一切，可以说已经摆脱了“教育学”，(或“心理学”)加数学例子这种“传统的”数学教育研究模式，抽象概括成他独有的系统见解，这也许是他最重要的贡献，也正是我们特别需要借鉴之处。

第一节关于现代数学特性的论述数学教育的研究不能离开它的对象——数学的特有规律，进入20世纪以来，数学发展的突飞猛进，迫使当代社会的数学教育必须充分考虑到现代数学的特点。

为此，弗赖登塔尔从数学发展的历史出发，深入研究了数学的悠久传统，以及现代数学形成的背景，提出了现代数学的转折点，是否应该以现代实数理论的诞生和约当(Jordan)的置换群的产生作为标志；或者是另一种看法，那是以著名的布尔巴基(Bourbaki)理论的出现，作为一个新时期的开端。

基于这一分析，弗赖登塔尔认为现代数学的特性，可以归结为以下几个方面：1．数学表示的再创造与形式化活动。

如果认真分析一下近几十年来数学的变化，就会发现变的主要是它的外表形式，而不是它的内容实质。

这是一个自然演变的过程，在数学的各个领域内，逐斩渗透与发展了各种新知识与新词汇，最终汇成一个新潮流——形式化，这是组织现代数学的重要方法之一，也是现代数学的标志之一。

爱 国热 情 、 搏 精 神 ． 拼
数 学 课程 只是 片 段 地 介 绍 数 学 知 识 ， 学 史 则 町提 供 数 整 个 数 学 课程 的概 貌 ， 数 学 课 程 的 内容 、 学 思 想 的 主 十 使 数
很 多 人 认 为 数 学 是 一 门 枯 燥 无 味 的学 科 ， 或 许 是 因 这 为 教材 的生 硬 ， 学 的僵 化． 如 果 在 数 学 教 学 中渗 透 数 学 教 但
史 内容 ， 能 让 数 学 生 动 活 泼 起 来 ， 发 学 生 的 学 习 兴 趣 ． 则 激
更好 地 提 高 学 习数 学 史 的 兴 趣． 学 是一 个基 础 学 科 ， 物 数 与 理 、 学等 其 他 学 科都 可 以相 互 促进 ． 化
动 空 间 ， 学 生 主 动 去 创 造 ， 发 现 ， 和 目前 新 课 程 所 倡 让 去 这 导 的课 堂 教 学 模 式 有着 相 似 之 处 ． 此 ， 必 要 让 教 师坚 定 因 有 这样 的信 念 ： 学 能 够 通 过 教 师 给 学 生 适 当 的 问 题 情 境 和 数 相关 的辅 助 而 让 学 生创 造 它 ．
陈 昌平 ， 瑞 芬 等 译 ． 海 ： 唐 上 上海 教 育 出版 社 ，９ ５， （ ） １９ ｌ ３ ．
２ 加 大 数学 课 堂 教 学 改 革 ．
弗 赖 登 塔 尔 的数 学 教 育 思 想 的 主 旨在 于 数 学 课 堂 教 学 改 革 ， 在批 评 教 师 授课 中使 刚 “ 谓 的创 造 法 、 话 法 ”的 他 所 谈
坦 、 尔伯特 、 素、 ・ 依曼等文 化名人 都是数学 文 明 希 罗 冯 诺 的缔 造 者． 学 和 文学 的思 考 方 法 往 往 是 相 通 的 ， 学 里 有 数 数

弗赖登塔尔数学教育思想下的教学设想作者：张荣延来源：《课程教育研究·学法教法研究》2018年第19期一、弗赖登塔尔的数学教育思想我国的基础教育正逐步由应试教育向素质教育全面推进，由此带来了教育观念、教育思想等方面的转变。

荷兰数学家弗莱登塔尔认为数学教育的主要特征是：“现实、数学化、再创造”，并指出：数学教育应是现实数学的教育；数学教育的目标应是学会“数学化”；“再创造”的核心是数学过程的再现。

他的这些数学教育思想对我国数学素质教育有一定的启示。

二、基于数学教育思想对“平面向量基本定理”的认识（一）对情境的认识。

弗赖登塔尔的数学化理论告诉我们，学生数学概念的习得应架构在他们已知的周围世界里，数学教育就是要联系生活的现实，学生的现实，教师的现实，要引导学生从现实世界的问题着手。

因此，教材上的实例对于学生而言，不容易直观地体验与感受到定理的意义，基于此，在教学设计中从情景问题、与实际生活相联系的问题出发，重新优化整合，构造与学生生活密切相关的数学现实，从而发展学生的数学现实。

（二）对平面向量基本定理的认识。

教材首先引导学生作图研究同一平面内两个不共线的向量与任意向量的关系，通过向量线性运算的性质得出结论，最后呈现出平面向量基本定理的概念。

从学生来看，平面向量基本定理的学习已经超过学生关于平面向量的认知水平和接受能力，成为学生学习过程中难以理解和掌握的内容。

从教学来看，定理中的一些逻辑词汇，如“任意”“有且只有”“不唯一”等，难以传授，这就使其教学常采用定理的表述—解释—证明—应用模式，这样的讲义方式似乎与概念学习的“数学化”过程不相符，不利于学生概念的形成，还有可能会造成理解的偏离。

本节课从情景问题出发，从现实数学的视角引入新课，引导学生在力的分解与向量的分解之间建立联系，引出两个具体的问题，通过师生互动、讨论和分析得到猜想，进而通过作图分解、论证、多媒体演示等方式验证猜想中的任意性、存在性，得到定理的雏形。

学课程与教学。
51
｜
名 据，数学划分为横向数学化和纵向数学化。 横向
家 数学化指对客观世界进行数学化，它把生活世界
与 符号化，其一般步骤为：现实情境—抽象建模—
名 一般化—形式化。 今天新授课倡导的教学模式就
著 是遵循这四个阶段进行的。 纵向数学化是指横向
】
数学化后，将数学问题转化为抽象的数学概念与
去尾烧中段的结果， 是学生学得快但忘得更快。
弗赖登塔尔批评道：这是一种“违反教学法的颠
倒”。 也就是说，数学教学绝不能仅仅是灌输现成
的数学结果，而是要引导学生自己去发现和得出
这些结果。 许多大家持同样观点，美国心理学家
戴维斯就认为：在数学学习中，学生进行数学工
作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才有
除知识外，学生在“数学化”活动中将缄默地 收获到包含数学史、数学审美标准、元认知监控、 反思调节等多元成果，这些内容不仅有益于加深 学生对数学价值的认识，更有益于增强学生的内 部学习动机，增强用数学的意识与能力，这绝不 是只向学生灌输成品数学所能达到的效果。
二、“数学现实”思想的内涵及其现实意义
新课程倡导引入新课时，要从学生的生活经 验与已有的数学知识处抛锚创设情境， 这种观 点，早在半个世纪前的弗翁教育论著中已一再涉 及。 弗翁强调，教学“应该从数学与它所依附的学 生亲身体验 的现实之间 去 寻 找 联 系 ”， 并 指 出 ，
何为“数学化”？ 弗翁指出：“笼统地讲，人们 在观察现实世界时，运用数学方法研究各种具体 现象，并加以整理和组织的过程，我称之为数学 化。 ”[2]同时他 强调 数学化 的对 象分为 两类，一 类 是现实客观事物，另一类是数学本身。 以此为依
2014·02A