1.2函数及其表示
§1.2.1函数的概念
【教学目的】
1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；
2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；
3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；
4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】
在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入
〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？
〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值 对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。
〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？
问题2：y =x 与y =x
x 2
是同一函数吗？
〖投影〗观察对应：
〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？
二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射
〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A}
注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。
映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.
如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解
(1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:
(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系
函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.
映射B A f →:
函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等
函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像
对函数的定义域中每一个x ,值域中都有
唯一确定的值与之对应
对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应
函数是特殊的映射,映射是函数的推广.
〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。
（2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}⊆B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B
（3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记)(x f
〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：
1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R
2、反比例函数)(x f =
x
k
(k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0}
3、二次函数)(x f =ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a
b a
c 442
-｝；
当a ＜0时，｛y |y ≤a
b
ac 442
-｝。
（三）函数的值：关于函数值)(a f 例析：若)(x f =x 2＋3x ＋1，求)2(f 。 解：)2(f =22＋3×2＋1=11
〖注意〗（1）在y =)(x f 中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样； （2）)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；
（3）)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数，)(a f 是)(x f 的一个特殊值。 （四）区间的概念
〖投影〗设a 、b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：
（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ,b ]； （2）满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ,b ）；
（3）满足不等式a ≤x ＜b 或者a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a 、
],(b a ；
（4）实数集R 可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的
实数x 的集合可以分别表示为[a ,＋∞)，（a ,＋∞），（－∞,b ]，（－∞,b ）。
〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中
不等式两端的两个实数可以相等，如a ≤x ≤a 。 三、实例提升
〖例析〗例1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：
其中能表示为M 到N 的函数关系的有 ② ③ 。
〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M 到N 的函数关系。 〖例析〗例2、求下列函数的定义域： ①21)(-=
x x f ； ②)(x f =23+x ； ③)(x f =1+x ＋x
-21
〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y =)(x f ，而没有指明它的定
义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合。 解：①∵x －2=0，即x =2时，分式2
1
-x 无意义， 而x ≠2时，分式
2
1
-x 有意义 ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}。
②∵3x ＋2<0，即x ＜32
-
时，根式23+x 无意义 而3x ＋2≥0，即x ≥3
2
-时，根式23+x 才有意义
∴这个函数的定义域是{x |x ≥3
2
-}。
