高考理科历年数学真题及答案

全国高考试卷真题(江苏) 数学理科参考答案1．5【解析】{123}{245}{12345}5AB ==，，，，，，，，，个元素．2．6【解析】平均数为46587666．322|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=．4．7【解析】第一次循环：3,4S I ==；第二次循环：5,7S I ==；第三次循环：7,10S I ==；结束循环，输出7S =． 5．56【解析】从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56．6．－3【解析】由题意得：29,282,5, 3.m n m n m n m n +=-=-⇒==-=- 7．(1,2)【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2)-． 8．3【解析】12tan()tan 7tan tan()321tan()tan 17αβαβαβααβα++-=+-===++-． 922221145+28=4833r r r ππππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⇒10．22(1)2x y 【解析】因为直线210()mx y m m R 恒过点(2,1)，所以当点(2,1)为切点时，半径最大，此时半径2r ，故所求圆的标准方程为22(1)2x y ．11．2011【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)1212n n n n +=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++．122(,),(1)P x y x ≥，因为直线10x y -+=平行于渐近线0x y -=，所以c 的最大值为直线10x y -+=与渐近线0x y -==13．4【解析】当01x ≤时，()ln f x x ，()0g x ，此时方程|()()|1f x g x 即为ln 1x 或ln 1x，故x e 或1xe ，此时1x e符合题意，方程有一个实根． 当12x时，()ln f x x ，22()422g x x x ，方程|()()|1f x g x 即为2ln 21x x 或2ln 21x x ，即2ln 10x x 或2ln 30x x ，令2ln 1y x x ，则120yx x，函数2ln 1y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时0y，所以当12x 时，方程2ln 10x x 无解；令2ln 3yx x ，则120yx x，函数2ln 3y x x 在(1,2)x 上单调递减，且1x 时20y ，2x 时ln 210y ，所以当12x 时，方程2ln 30x x 有一个实根．当2x ≥时，()ln f x x ，2()6g x x ，方程|()()|1f x g x 即为2ln 61x x 或2ln 61x x，即2ln 70x x 或2ln 50x x ，令2y ln 7x x ，则120yx x，函数2y ln 7x x 在[2,)x 上单调递增，且2x 时ln 230y ，3x 时ln320y ，所以当2x ≥时方程2ln 70x x 有1个实根；同理2ln 50x x 在[2,)x 有1个实根．故方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个．14．1(1)(1)(1)(cos,sin cos )(cos ,sin cos )666666k k k k k k k k a a ππππππ++++⋅=+⋅+2(1)21(21)cossincos cos sin cos6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此11103312k k k a a +=⋅==∑ 15．【解析】（1）由余弦定理知，2221C C 2C cos 4922372B =AB+A -AB⋅A ⋅A =+-⨯⨯⨯=，所以BC =（2）由正弦定理知，C sin C sin AB B =A ，所以21sin C sin C 7AB =⋅A==B ．因为C AB <B，所以C 为锐角，则cosC 7===．因此212743sin 2C 2sin C cos C 2=⋅=⨯⨯=． 16．【证明】（1）由题意知，E 为1B C 的中点， 又D 为1AB 的中点，因此D //C E A ．又因为D E ⊄平面11C C AA ，C A ⊂平面11C C AA ， 所以D //E 平面11C C AA ．（2）因为棱柱111C C AB -A B 是直三棱柱， 所以1CC ⊥平面C AB ．因为C A ⊂平面C AB ，所以1C CC A ⊥．又因为C C A ⊥B ，1CC ⊂平面11CC B B ，C B ⊂平面11CC B B ，1C CC C B =，所以C A ⊥平面11CC B B ．又因为1C B ⊂平面11CC B B ，所以1C C B ⊥A ．因为1C CC B =，所以矩形11CC B B 是正方形，因此11C C B ⊥B ． 因为C A ，1C B ⊂平面1C B A ，1CC C A B =，所以1C B ⊥平面1C B A ．又因为1AB ⊂平面1C B A ，所以11C B ⊥AB ．17．【解析】（1）由题意知，点M ，N 的坐标分别为()5,40，()20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400aba b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩．（2）①由（1）知，21000y x =（520x ≤≤），则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得3,02t ⎛⎫A ⎪⎝⎭，230000,t ⎛⎫B ⎪⎝⎭．故()f t ==，[]5,20t ∈． ②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t⨯'=-．令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()20t ∈时，()0g t '>，()g t 是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =， 此时()min f t =答：当t =l的长度最短，最短长度为千米．18．【解析】（1）由题意，得2c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为222x y ．（2）当x AB ⊥轴时，AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则1,2x=C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k k+AB ===+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()22231C 12k k k +P =+． 因为2PC AB=，所以(())222223111212k k kk k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+．19．【解析】：（1）()232f x x ax '=+，令()0f x '=，解得10x =，223ax =-． 当0a =时，因为()230f x x '=>（0x ≠），所以函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a >时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，2,03a x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '<， 所以函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()0,+∞上单调递增，在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，()2,0,3a x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，20,3a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞，2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减．（2）由（1）知，函数()f x 的两个极值为()0f b =，324327a f a b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 有三个零点等价于()32400327a f f b a b ⎛⎫⎛⎫⋅-=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而34027a a b >⎧⎪⎨-<<⎪⎩或304027a b a <⎧⎪⎨<<-⎪⎩．又b c a =-，所以当0a >时，34027a a c -+>或当0a <时，34027a a c -+<．设()3427g a a a c =-+，因为函数()f x 有三个零点时，a 的取值范围恰好是()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则在(),3-∞-上()0g a <，且在331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()0g a >均恒成立，从而()310g c -=-≤，且3102g c ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，因此1c =．此时，()()()3221111f x x ax a x x a x a ⎡⎤=++-=++-+-⎣⎦，因函数有三个零点，则()2110x a x a +-+-=有两个异于1-的不等实根，所以()()22141230a a a a ∆=---=+->，且()()21110a a ---+-≠， 解得()33,31,,22a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．综上1c =． 20．【解析】（1）证明：因为112222n n n na a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列， 则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d a a d +=+． 令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k na a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a+，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++． 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调． 故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．数学Ⅱ（附加题）21．A ．【证明】 因为AC AB =，所以ABD C ∠=∠．又因为C E ∠=∠，所以ABD E ∠=∠， 又BAE ∠为公共角，可知ABD ∆∽AEB ∆．B ．B 【解析】 由已知，得2ααA =-，即1112012x x y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则122x y -=-⎧⎨=⎩，即12x y =-⎧⎨=⎩，所以矩阵1120-⎡⎤A =⎢⎥⎣⎦．从而矩阵A 的特征多项式()()()21fλλλ=+-，所以矩阵A 的另一个特征值为1．C ．【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ，以极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xoy ．圆C的极坐标方程为2cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭，化简，得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=．则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=， 即()()22116x y -++=，所以圆C．D ．【解析】：原不等式可化为3232x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或32332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩．解得5x ≤-或13x ≥-． 综上，原不等式的解集是153x x x 或⎧⎫≤-≥-⎨⎬⎩⎭．22．【解析】 以{},,AB AD AP 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，则各点的坐标为()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ．A（第21——A 题）（1）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD 是平面PAB 的一个法向量，()0,2,0AD =． 因为()1,1,2PC =-，()0,2,2PD =-．设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =，则C 0m ⋅P =，D 0m ⋅P =，即20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩．令1y =，解得1z =，1x =．所以()1,1,1m =是平面PCD 的一个法向量． 从而D 3cos D,D m m mA ⋅A ==A ，所以平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值 （2）因为()1,0,2BP =-，设(),0,2BQ BP λλλ==-（01λ≤≤）， 又()0,1,0CB =-，则(),1,2CQ CB BQ λλ=+=--，又()0,2,2DP =-， 从而cos ,10CQ DP CQ DP CQ DP⋅<>==．设12t λ+=，[]1,3t ∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t <>==-+⎛⎫-+⎪⎝⎭≤．当且仅当95t=，即25λ=时，cos CQ,D P 的最大值为10． 因为cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为BP ==255BQ BP ==． 23．【解析】（1）()613f =．（2）当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有 ()()1122223k k f k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有 ()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立． 综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立．。

高三理科数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数y=\(\frac{1}{x}\)的图象在第一象限内是（）A. 递增函数B. 递减函数C. 先递增后递减D. 先递减后递增2. 已知向量\(\vec{a}=(3,-2)\)，\(\vec{b}=(2,3)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A. -5B. 5C. 13D. -133. 已知双曲线的方程为\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>0，b>0，若该双曲线的渐近线方程为y=±\(\frac{b}{a}\)x，则该双曲线的离心率为（）A. \(\sqrt{2}\)B. \(\sqrt{3}\)C. \(\sqrt{5}\)D. 24. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间(1,2)内有零点，则零点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 35. 已知等比数列{an}的前n项和为S_n，若S_3=7，S_6=28，则S_9的值为（）A. 63B. 77C. 84D. 1266. 已知直线l的方程为y=kx+b，若直线l过点(1,2)且与直线y=-2x 平行，则直线l的方程为（）A. y=-2x+4B. y=-2x+3C. y=2x-1D. y=2x+17. 已知函数f(x)=\(\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)，若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则该函数的值域为（）A. (0,+∞)B. (-∞,+∞)C. [0,+∞)D. R8. 已知抛物线C的方程为y^2=4x，若直线l与抛物线C相切，则直线l的斜率的取值范围为（）A. (-∞,0]B. (0,+∞)C. [0,+∞)D. R9. 已知椭圆E的方程为\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，其中a>b>0，若椭圆E的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，则椭圆E 的短轴长为（）A. \(\sqrt{2}\)B. 1C. 2D. \(\sqrt{3}\)10. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为（）A. \(\frac{7}{20}\)B. \(\frac{7}{15}\)C. \(\frac{7}{12}\)D. \(\frac{7}{10}\)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x)=\(\frac{1}{x}\)，若f(x)在区间[1,2]上的平均值为\(\frac{7}{12}\)，则f(x)在区间[2,3]上的平均值为\(\frac{7}{20}\)。

理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。

2023年青海省理科数学真题及参考答案一、选择题1.设5212ii iz +++=，则=z （）A .i 21-B .i21+C .i -2D .i+22.设集合R U =，集合{}1<=x x M ，{}21<<-=x x N ，则{}=≥2x x （）A .()N M C U ⋃B .MC N U ⋃C .()N M C U ⋂D .NC M U ⋃3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A .24B .26C .28D .304.已知()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则=a （）A .2-B .1-C .1D .25.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}41,22≤+≤y x y x 内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于4π的概率为（）A .81B .61C .41D .216.已知函数()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，直线6π=x 和32π=x 为函数()x f y =的图象的两条对称轴，则=⎪⎭⎫⎝⎛-125πf （）A .23-B .21-C .21D .237.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A .30种B .60种C .120种D .240种8.已知圆锥PO 的底面半径为3，O 为底面圆心，PB P A ，为圆锥的母线，︒=∠120AOB ，若P AB ∆的面积等于439，则该圆锥的体积为（）A .πB .π6C .π3D .π639.已知ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，ABD ∆为等边三角形，若二面角D AB C --为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（）A .51B .52C .53D .5210.已知等差数列{}n a 的公差为32π，集合{}*∈=N n a S n cos ，若{}b a S ,=，则=ab （）A .1-B .21-C .0D .2111.已知B A ,是双曲线1922=-y x 上两点，则可以作为B A ,中点的是（）A .()1,1B .()2,1-C .()3,1D .()4,1-12.已知圆122=+y x O ：，2=OP ，过点P 作直线1l 与圆O 相切于点A ，作直线2l 交圆O 于C B ,两点，BC 中点为D ，则PD P A ⋅的最大值为（）A .221+B .2221+C .21+D .22+二、填空题13.已知点()51，A 在抛物线px y C 22=：上，则A 到C 的准线的距离为.14.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+-≤-739213y x y x y x ，则y x z -=2的最大值为.15.已知{}n a 为等比数列，63542a a a a a =，8109-=a a ，则=7a .16.已知()()xxa a x f ++=1，()1,0∈a ，若()x f 在()∞+，0为增函数，则实数a 的取值范围为.三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i i y x ,()10,2,1 =i ，试验结果如下试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记i i i y x z -=()10,2,1 =i ，记1021,z z z 的样本平均数为z ，样本方差为2s ，（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果1022s z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2=AB ，1=AC .（1）求ABC ∠sin ；（2）若D 为BC 上一点，且︒=∠90BAD ，求ADC ∆的面积.19.如图，在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，2=AB ，22=BC ，6==PC PB ，BC AP BP ,,的中点分别为O E D ,,，DO AD 5=，点F 在AC 上，AO BF ⊥.（1）证明：EF ∥平面ADO ；（2）证明：平面ADO ⊥平面BEF ；（3）求二面角C AO D --的正弦值.20.已知椭圆C ：()012222>>=+b a bx a y 的离心率为35，点()02，-A 在C 上.（1）求C 的方程；（2）过点()3,2-的直线交曲线C 于Q P ,两点，直线AQ AP ,交y 轴于N M ,两点，求证：线段MN 中点为定点.21.已知函数()()1ln 1+⎪⎭⎫⎝⎛+=x a x x f .（1）当1-=a 时，求曲线()x f 在()()1,1f 的切线方程；（2）是否存在实数b a ,使得曲线⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1关于直线b x =对称，若存在，求出b a ,的值；如果不存在，请说明理由；（3）若()x f 在()∞+，0存在极值，求a 的取值范围.（二）选做题【选修4-4】22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤=24sin 2πθπθρ，曲线2C ：⎩⎨⎧==ααsin 2cos 2y x （α为参数，παπ<<2）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线m x y +=既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【选修4-5】23.已知()22-+=x x x f .（1）求不等式()x x f -≤6的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()⎩⎨⎧≤-+≤06y x yx f 所确定的平面区域的面积.参考答案一、选择题123456789101112BADDCDCBCBDA1.解：()i i ii i i i i i i z 21112211212252-=--=+=+-+=+++=，则i z 21+=2.解：由题意可得{}2<=⋃x x N M ，则()=⋃N M C U {}2≥x x .3.解：如图所示，在长方体1111D C B A ABCD -中，2==BC AB ，31=AA ，点K J I H ,,,为所在棱上靠近点1111,,,A D C B 的三等分点，N M L O ,,,为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111D C B A ABCD -去掉长方体11LMHB ONIC -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方体.4.解：∵()1-=ax xe xe xf 是偶函数，则()()=--x f x f ()()[]01111=--=-------axx a x ax x axx e e e x e e x e xe ，又∵x 不恒为0，可得()01=--xa xee ，则()x a x 1-=，∴2=a .5.解：∵区域(){}41,22≤+≤y x y x 表示以()00，O 为圆心，外圆半径2=R ，内圆半径1=r 的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于4π的部分如阴影所示，在第一象限对应的圆心角4π=∠MON ，结合对称性可得所求概率为41242=⨯=ππp .6.解：∵()()ϕω+=x x f sin 在区间⎪⎭⎫⎝⎛326ππ，单调递增，∴26322πππ=-=T ，且0>ω，则π=T ，22==Tπω.当6π=x 时，()x f 取得最小值，则Z k k ∈-=+⋅,2262ππϕπ，则Z k k ∈-=,652ππϕ，不妨取0=k 则()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=652sin πx x f ，则2335sin 125=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf .7.解：有1本相同的读物，共有16C 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有25A 种，根据分布乘法公式则共有⋅16C 12025=A 种.8.解：在AOB ∆中，︒=∠120AOB ，而3==OB OA ，取AC 中点C ，连接PC OC ,，有AB OC ⊥，AB PC ⊥，如图，︒=∠30ABO ，23=OC ，32==BC AB ，由P AB ∆的面积为439得439321=⨯⨯PC ，解得233=PC ，于是6232332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=OC PC PO ，∴圆锥的体积()πππ663313122=⨯⨯=⨯⨯=PO OA V .9.解：取AB 的中点E ，连接DE CE ,，∵ABC ∆为等腰直角三角形，AB 为斜边，则有AB CE ⊥，又ABD ∆为等边三角形，则AB DE ⊥，从而CED ∠为二面角DAB C --的平面角，即︒=∠150CED ，显然E DE CE =⋂，⊂DE CE ,平面CDE ，又⊂AB 平面ABC ，因此平面CDE ⊥平面ABC ，显然平面CDE ∩平面CE ABC =，直线⊂CD 平面CDE ，则直线CD 在平面ABC 内的射影为直线CE ，从而DCE ∠为直线CD 与平面ABC 所成的角，令2=AB ，则1=CE ，3=DE，在CDE ∆中，由余弦定理得：72331231cos 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=CED DE CE DE CE CD ，由正弦定理得CEDCDDCE DE ∠=∠sin sin ，即7237150sin 3sin =︒=∠DCE ，显然DCE ∠是锐角，7257231sin 1cos 22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∠-=∠DCE DCE ，∴直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为53.10.解：依题意，等差数列{}n a 中，()⎪⎭⎫⎝⎛-+=⋅-+=323232111πππa n n a a n ，显然函数==n a y cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3232cos 1ππa n 的周期为3，而*∈N n ，即n a cos 最多有3个不同取值，又{}{}b a Nn a n ,cos =∈*，而在321cos ,cos ,cos a a a 中，321cos cos cos a a a ≠=或321cos cos cos a a a =≠，于是有⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos cos πθθ，即有Z k k ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛++,232ππθθ，解得Z k k ∈-=,3ππθ213cos cos cos 3cos 343cos 3cos 2-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππππk k k k k ab 11.解：由对称性只需考虑()1,1，()2,1，()3,1，()4,1即可，注意到()3,1在渐近线上，()1,1，()2,1在渐近线一侧，()4,1在渐近线的另一侧.下证明()4,1点可以作为AB 的中点.设直线AB 的斜率为k ，显然k 存在.设()41+-=x k y l AB ：，直线与双曲线联立()⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=194122y x x k y ，整理得()()()094429222=------k x k k xk ，只需满足⎩⎨⎧>∆=+0221x x ，∴()29422=--k k k ，解得49=k ，此时满足0>∆.12.解：如图所示，1=OA ，2=OP ，则由题意可知：︒=∠45APO ，由勾股定理可得122=-=OA OP P A ，当点D A ,位于直线PO 异侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则4424ππαπ≤-≤-，∴当442ππα-=-时，PD P A ⋅有最大值1.当点D A ,位于直线PO 同侧时，设40παα≤≤=∠，OPC ，则：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⋅4cos cos 214cos πααπαPD P A αααααααα2sin 2122cos 1cos sin cos sin 22cos 22cos 22++=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++=42sin 2221πα∵40πα≤≤，则2424ππαπ≤+≤，∴当242ππα=+时，PD P A ⋅有最大值为221+.二、填空题13.49；14.8；15.2-；16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21513.解：由题意可得：()1252⨯=p ，则52=p ，∴抛物线的方程为x y 52=，准线方程为45-=x ，点A 到C 的准线的距离为49451=⎪⎭⎫ ⎝⎛--.14.作出可行域如下图所示，∵y x z -=2，∴z x y -=2，联立有⎩⎨⎧=+-=-9213y x y x ，解得⎩⎨⎧==25y x 设()2,5A ，显然平移直线x y 2=使其经过点A 此时截距z -最小，则z 最大，代入得8=z .15.解：设{}n a 的公比为()0≠q q ，则q a q a a a a a a 5263542⋅==，显然0≠n a ，则24q a =，即231q q a =，则11=q a ，∵8109-=a a ，则89181-=⋅q a q a ，则()()3351528-=-==q q，则23-=q ，则25517-==⋅=q q q a a .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,215解析：()()()a a a a x f xx+++='1ln 1ln ，由()x f 在()∞+，0为增函数可知()∞+∈，0x 时，()0≥'x f 恒成立，只需()0min ≥'x f ，而()()()01ln 1ln 22>+++=''a a a a x f xx，∴()()()01ln ln 0≥++='>'a a f x f ，又∵()1,0∈a ，∴⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,215a .三、解答题（一）必做题17.解：（1）∵i i i y x z -=()10,2,1 =i ，∴9536545111=-=-=y x z ；62=z ；83=z ；84-=z ；155=z ；116=z ；197=z ；188=z ；209=z ；1210=z .()()[]1112201819111588691011011021=++++++-+++⨯=++=z z z z ∵()∑=-=1012101i i z z s ，将各对应值代入计算可得612=s （2）由（1）知：11=z ，612=s，∴5122106121061210222=⨯==s ，121112==z ，∴1022s z ≥∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高18.解：（1）根据题意，由余弦定理可得：72112212cos 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯-+=∠⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ∴7=BC 由正弦定理ABC AC A BC ∠=∠sin sin ，即ABC∠=sin 1237，解得1421sin =∠ABC .（2）由三角形面积公式可得430sin 2190sin 21=︒⨯⨯⨯︒⨯⨯⨯=∆∆AD AC AD AB S S ACDABD ，则103120sin 12215151=⎪⎭⎫⎝⎛︒⨯⨯⨯⨯==∆∆ABC ACD S S .19.解：（1）连接OF OE ,，设tAC AF =，则()BC t BA t AF BA BF +-=+=1，BC BA AO 21+-=，AO BF ⊥，则()[]()()0414********=+-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅+-=⋅t t BC t BA t BC BA BC t BA t AO BF 解得21=t ，则F 为AC 的中点，由F O E D ,,,分别为AC BC P A PB ,,,的中点，于是AB OF AB DE AB DE 2121∥，，∥=，即OF DE OF DE =，∥，则四边形ODEF 为平行四边形，DO EF DO EF =，∥，又⊄EF 平面ADO ，⊂DO 平面ADO ，∴EF ∥平面ADO .（2）由（1）可知EF ∥OD ，则266==DO AO ，，得2305==DO AD ，因此215222==+AD AO OD ，则AO OD ⊥，有AO EF ⊥，又BF AO ⊥，F EF BF =⋂，⊂EF BF ,平面BEF ，则有AO ⊥平面BEF ，又⊂AO 平面ADO ，∴平面ADO ⊥平面BEF .（3）过点O 作BF OH ∥交AC 于点H ，设G BE AD =⋂，由BF AO ⊥得AO HO ⊥，且AH FH 31=，又由（2）知，AO OD ⊥，则DOH ∠为二面角C AO D --平面角，∵E D ,分别为P A PB ,的中点，因此G 为P AB ∆的重心，即有,31,31BE GE AD DG ==又AH FH 31=，即有GF DH 23=，622642622215234cos 2⨯⨯-+=⨯⨯-+=∠P A ABD ，解得14=P A ，同理得26=BE ，于是3222==+BF EF BE ，即有EF BE ⊥，则35262631222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=GF ，从而315=GF ，21531523=⨯=DH ，在DOH ∆中，215,262321====DH OD BF OH ，于是22221sin ,22232624154346cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∠-=⨯⨯-+=∠DOH DOH .∴二面角C AO D --的正弦值为22.20.解：（1）由题意可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==352222a c e c b a b ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===523c b a ，∴椭圆的方程为14922=+x y。