(完整word版)2019年高考文科数学小题狂做(4)

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1 •答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上•2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试 卷上无效.3 •考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.21.已知集合 A 1,0,1,2，B xx 1，则 A B () A. 1,0,1 B. 0,1C. 1,1D. 0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】由题意得，B x 1 x 1，则A B 1,0,1 .故选A . 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2.若 z(1 i) 2i ，则 z ( )A. 1 i B.1+iC. 1 iD. 1+i【答案】D【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养•采取运算法则法，利用方程思想解题.【详解】z2i 1 i2i(1 i) (1 i)(1 i)3•两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）1111A. -B.C. -D.-6 4 3 2【答案】D【解析】【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种1数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是•故选D.2【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养•采取等同法，利用等价转化的思想解题.4•《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著•某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.8【答案】C【解析】【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70,则其与该校学生人数之比为70+100=0.7 .故选C.【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养.采取去重法，利用转化与化归思想解题.5•函数f（x） 2sinx sin2x在0,2 的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B解析】【分析】令f (x) 0，得Sin x 0或cosx 1，再根据x的取值范围可求得零点.【详解】由f(x) 2sinx sin2x 2sinx 2sin xcosx 2sin x(1 cosx) 0，得sinx 0或cosx 1 ,Qx 0,2 , x 0 或2 . f (x)在0,2 零点个数是3..故选B.【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．7.已知曲线y ae x xlnx在点1,ae处的切线方程为y 2x b，则( )A. a e,b 1B. a e,b 1C. a e 1,b 1D. a e 1,b 1【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b．详解】详解：y/ ae x ln x 1,k y |x i ae 1 21a e将(1,1)代入y 2x b 得2 b 1,b 1，故选D .【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误•求导 要慢”计算要准，是解答此类问题的基本要求.8•如图，点N 为正方形ABCD 的中心， ECD 为正三角形，平面 ECD 平面ABCD ,M 是线段ED 的中【解析】 分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.连BF , Q 平面CDE 平面ABCD •占 八、则（ )A .B MEN ，且直线BM , EN 是相交直线B. BM EN ，且直线BM , EN 是相交直线C .B MEN ，且直线BM ,EN 是异面直线D.BM EN ，且直线BM , EN 是异面直线【答案】 B【详解】v BDE , N 为BD 中点M 为DE 中点, 于0，连接ON ，过M 作MF 0D 于F .BM , EN 共面相交，选项C , D 为错•作EO CDEO CD,EO 平面MFB 与 EON 均为 设正方形边长为 2,易知ABCD , MF 平面 ABCE ,EN 2 ,MF于，BF 显2BMBM EN，故选B .【解析】 【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果 1【详解】x 1. S 0, S 0 1, x —0.01?不成立21 1 S 0 1, x 0.01?不成立24 M1110.0078125 0.01?成立S 0 1 -L~6 ,x2261281 1输出S 11 1 尹1 2 1万，故选D •272261 12【点睛】循环运算，何时满足精确度成为关键，加大了运算量，输出前项数需准确，此为易错点.2 210.已知F 是双曲线C :― 仏 1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，4 5若 OP =OF,贝UVOPF的B22 2 2【答案】D /福攵菲/面积为（）A 3 c 5 厂7A. —B. —C.—2 2 2D.92【答案】B 【解析】分析】取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题.x y ・ D,2xy-9 ；命题11.记不等式组表示的平面区域为 D , 命题 p: (x, y)2x yq ： (x, y) D,2x y,12 .给出了四个命题：① p q •，② p q :③pq ； @ p q，这四个命题中，所有真命题的编号是( )A.①③B.①②C.②③D.③④【答案】A【解析】【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题y 2xx 2(2, 4),直线 2xy 9与直线【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由c,得,即Ax y 6 y 42x y 12均过区域D ，则p 真q 假，有 p 假q 真，所以①③真②④假•故选A •【点睛】本题考点为线性规划和命题的真假，侧重不等式的判断， 有一定难度•不能准确画出平面区域导致不等式误判，根据直线的 斜率和截距判断直线的位置，通过直线方程的联立求出它们的交 点，可采用特殊值判断命题的真假.12.设f X 是定义域为R 的偶函数，且在 o,单调递减，则()设 P x o , y，因为 OP = OF 再结合双曲线方程可解出y o ，再利用三角形面积公式可求出结果 【详解】设点 2P X o ,y °，则生 42詈 1①•又OPOF - 4 5 3,2 2x o y o 9②•由①②得5y o1 12OF gyo2 3-5 •故选B •3 2g即§， SOPF【点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养•采f log3 -，故选 C •4【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力.、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量 a (2,2),b( 8,6)，则 cos a,2【答案】 —10【解析】【分析】 根据向量夹角公式可求出结果A.1f log s 4B. C. f log sD. f logs；【答案】C 【解析】 【分析】 由已知函数为偶函数, 22空，转化为同一个单调区间上，再比较大小.【详解】Q f x 是R 的偶函数,1log3：f log 3 4 •log 3 4 120 2又f x 在（0，+s ）单调递减，f log 34【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目难度偏易•不能正确使用平面向量坐标的运算致误,平面向量的夹角公式是破解问题的关键.【答案】100 【解析】【分析】【点睛】本题考点为等差数列的求和，为基础题目，难度不大•不能构造等数列首项和公差的方程组致使 求解不通，应设出等差数列的公差，为列方程组创造条件，从而求解数列的和.2 215.设％ F 2为椭圆C ： —+^ 1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限•若厶MFE 为等腰三角形,36 20贝U M 的坐标为 ___________ . 【答案】3,-、15 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出 MF 1、MF 2，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标• 【详解】2 2 2 2 2由已知可得 a 36, b 36 , c a b 16,c 4 ,MF 1 F 1F 22c 8QMF 1MF22a 12, MF 2 4.设点M 1 的坐标为 冷，y ° X 00,y ° 0，则 S ^MF 1F 2 一2F 1F2y 。

2019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,22.若(1i)2i z +=，则z = A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A ．16B ．14C ．13D ．124.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.85.函数()2sin sin2f x x x =-在0，2π]的零点个数为 A ．2B ．3C ．4D ．56.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 27.已知曲线e ln xy a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．a=e ，b =-1B ．a=e ，b =1C ．a=e -1，b =1D ．a=e -1，1b =-8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM 、EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的为0.01，则输出的值等于A.4122-B. 5122-C. 6122-D. 7122-10.已知F 是双曲线C ：22145x y -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为A ．32B ．52 C ．72 D ．9211.记不等式组6,20x y x y +⎧⎨-≥⎩…表示的平面区域为D .命题:(,),2p x y D x y ∃∈+…；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+….下面给出了四个命题①p q ∨②p q ⌝∨③p q ∧⌝④p q ⌝∧⌝这四个命题中，所有真命题的编号是 A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④12.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-） B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314） D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝ln|x | C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D.4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，xx －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵x x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴x x －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎨⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎨⎧λ＝x －3y 3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，2 B ．⎣⎡⎭⎫－22，2C.⎣⎡⎭⎫－62，2D ．⎣⎡⎭⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎡⎦⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎨⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3，∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312πC.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎦⎤－∞，138 D ．⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎡⎭⎫9，283上是增函数，∴当t＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝⎛⎭⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax ≥2(a＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋ax≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。

2019届河南省高考模拟试题精编(四)文科数学(考试用时：120分钟试卷满分：150分)注意事项：1．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

2．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A＝{0,1}，B＝{x|(x＋2)(x－1)＜0，x∈Z}，则A∪B＝() A．{－2，－1,0,1}B．{－1,0,1}C．{0,1}D．{0}2．设i是虚数单位，若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．3 3．函数f(x)＝sin x·(4cos2x－1)的最小正周期是()A.π3 B.2π3C．π D．2π4．在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一枚硬币一次，设命题p是“甲抛的硬币正面向上”，q是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为()A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q5．若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2B.2π3C.π6D.5π66．2016年11月18日13时59分，神舟十一号飞船返回舱在内蒙古中部预定区域成功着陆．神舟十一号载人飞行，是我国迄今为止时间最长的一次载人航天飞行，在轨33天飞行中，航天员景海鹏、陈冬参与的实验和试验多达38项．“跑台束缚系统”是未来空间站长期飞行的关键锻炼设备，本次任务是国产跑台首次在太空验证．如图所示是“跑台束缚系统”中某机械部件的三视图(单位：cm)，则此机械部件的表面积为( )A ．(7＋2)π cm 2B ．(7＋22)π cm 2C ．(7＋32)π cm 2D ．(7＋42)π cm 27．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋π4，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π6，k ∈Z 8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i (i ＝1,2，…，15)分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为( )A ．6B ．7C ．8D ．910．在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为( )A.12B.13C.24D.2311．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，直线y ＝33(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( )A. 2B. 3C ．23＋1D.3＋112．把平面图形M 上的所有点在一个平面上的射影构成的图形M ′称为图形M 在这个平面上的射影．如图，在长方体ABCD -EFGH 中，AB ＝5，AD ＝4，AE ＝3.则△EBD 在平面EBC 上的射影的面积是( )A ．234 B.252 C ．10D ．30 第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取6个班进行调查，若抽到的编号之和为87，则抽到的最小编号为________．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为________．15．已知三棱锥A -BCD 中，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝2，BC ＝1，CD ＝3，则该三棱锥的外接球的体积为________．16．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (小时)的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．)(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的公比q ＞1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n＝2na n，求数列{b n}的前n项和T n.18．(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求四棱锥S-ABCD的高．19．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种：方案a，从装有1个红球、2个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案b，从装有2个红球、1个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金10元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额满100元，可根据方案a抽奖一次；满150元，可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案a抽奖三次或方案b抽奖两次或方案a，b各抽奖一次)．已知顾客A在该商场购买商品的金额为250元．(1)若顾客A只选择根据方案a进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；(2)若顾客A采用每种抽奖方式的可能性都相等，求其最有可能获得的奖金数(0元除外)．20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－3 4.(1)求椭圆C的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ→的取值范围． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2x －4)e x ＋a (x ＋2)2(x ＞0，a ∈R ，e 是自然对数的底数)．(1)若f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数，求实数a 的取值范围；(2)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，证明：函数f (x )有最小值，并求函数f (x )的最小值的取值范围．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos αy ＝1＋sin α(α为参数，π≤α≤2π)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22t . (1)求C 2的直角坐标方程；(2)当C 1与C 2有两个公共点时，求实数t 的取值范围． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.高考文科数学模拟试题精编(四)班级：_____________姓名：___________得分：______________请在答题区域内答题19.(本小题满分12分)高考文科数学模拟试题精编(四)1．解析：选B.∵集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}＝{－1,0}，∴A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.2．解析：选D.由a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －(3＋i)＝a －3－i 为纯虚数得a －3＝0，即a ＝3.3．解析：选B.∵f (x )＝sin x [2(1＋cos 2x )－1]＝2sin x cos 2x ＋sin x ＝sin 3x ＋sin(－x )＋sin x ＝sin 3x .∴最小正周期T ＝2π3.故选B. 4．解析：选A.綈p ，表示“甲抛的硬币正面向下”，綈q 表示“乙抛的硬币正面向下”．则(綈p )∨(綈q )表示“至少有一人抛的硬币是正面向下”．故选A5．解析：选C.通解：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0，即a·a －a·b ＝|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝|a |2|a |·|b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角为π6，选C.优解：因为a ⊥(a －b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a －b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C.6．解析：选A.依题意得，该机械部件是一个圆柱(该圆柱的底面半径为1、高为3)挖去一个圆锥(该圆锥的底面半径为1、高为1)后所剩余的部分，因此该机械部件的表面积等于2π×1×3＋π×12＋π×1×12＋12＝(7＋2)π cm 2.7．解析：选A.由图象知，A ＝2，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，所以ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，因为函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，所以2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ，所以2×π12＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，因为|φ|＜π2所以令k ＝0得φ＝π3，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，把函数f (x )图象上的所有点向右平移π6个单位长度后，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin 2x 的图象，由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π(k ∈Z)，所以函数g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z)，故选A.8．解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．解析：选D.由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9.10．解析：选C.若直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交，则圆心到直线的距离d ＝|3k |1＋k2＜1，解得－24＜k ＜24，故在区间[－1，1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x ＋3)与圆x 2＋y 2＝1相交的概率为P ＝222＝24，选C.11．解析：选D.∵直线y ＝33(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF2F1＝60°，∴∠F2PF1＝90°，即F1P⊥F2P.∴|PF2|＝12|F1F2|＝c，|PF1|＝|F1F2|sin 60°＝3c，由双曲线的定义得2a＝|PF1|－|PF2|＝3c－c，∴双曲线C的离心率e＝c a ＝23－1＝3＋1，选D.12.解析：选A.连接HC，过D作DM⊥HC，连接ME，MB，因为BC⊥平面HCD，又DM⊂平面HCD，所以BC⊥DM，因为BC∩HC＝C，所以DM⊥平面HCBE，即D在平面HCBE内的射影为M，所以△EBD在平面HCBE内的射影为△EBM，在长方体中，HC∥BE，所以△MBE的面积等于△CBE的面积，所以△EBD在平面EBC上的射影的面积为12×52＋32×4＝234，故选A.13．解析：该系统抽样的抽取间隔为306＝5，设抽到的最小编号为x，则x＋(5＋x)＋(10＋x)＋(15＋x)＋(20＋x)＋(25＋x)＝87，所以x＝2.答案：214．解析：由正弦定理bsin B＝csin C⇒sin B＝b sin Cc＝12，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B＝π6，所以A＝7π12，所以S＝12bc sin A＝12×2×22sin7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.答案：3＋115．解析：因为BC＝1，CD＝3，BC⊥CD，所以BD＝2，又AB＝AD＝2，所以AB ⊥AD ，所以三棱锥A -BCD 的外接球的球心为BD 的中点，半径为1，所以三棱锥A -BCD 的外接球的体积为4π3.答案：4π316．解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝50.9＝0.915，∴P ＝P 0e －kt ＝P 0(0.915)t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝(0.915)t，解得t ＝10，即需要花费10小时．答案：1017．解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2，(2分)又q ＞1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(6分)(2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，(7分)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1 ②.(9分) ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，(11分) －T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.(12分)18．解：(1)如图，取AB 的中点E ，连接DE ，DB ，则四边形BCDE 为矩形，∴DE ＝CB ＝2，∴AD ＝BD ＝ 5.(2分)∵侧面SAB 为等边三角形，AB ＝2，∴SA ＝SB ＝AB ＝2.又SD ＝1，∴SA 2＋SD 2＝AD 2，SB 2＋SD 2＝BD 2，(4分)∴∠DSA ＝∠DSB ＝90°，即SD ⊥SA ，SD ⊥SB ，且SA ∩SD ＝S ，∴SD ⊥平面SAB .(6分)(2)设四棱锥S -ABCD 的高为h ，则h 也是三棱锥S -ABD 的高． 由(1)，知SD ⊥平面SAB .由V S -ABD ＝V D -SAB ，得13S △ABD ·h ＝13S △SAB ·SD ， ∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD.(10分)又S △ABD ＝12AB ·DE ＝12×2×2＝2，S △SAB ＝34AB 2＝34×22＝3，SD ＝1，∴h ＝S △SAB ·SD S △ABD＝3×12＝32.故四棱锥S -ABCD 的高为32.(12分) 19．解：(1)记甲袋中红球是r ，白球分别为w 1，w 2.由题意得顾客A 可从甲袋中先后摸出2个球，其所有等可能出现的结果为(r ，r )，(r ，w 1)，(r ，w 2)，(w 1，r )，(w 1，w 1)，(w 1，w 2)，(w 2，r )，(w 2，w 1)，(w 2，w 2)，共9种．(2分)其中结果(r ，w 1)，(r ，w 2)，(w 1，r )，(w 2，r )可获奖金15元，所以顾客A所获奖金为15元的概率为49.(4分)(2)由题意得顾客A可以根据方案a抽奖两次或根据方案a，b各抽奖一次．(5分)由(1)知顾客A根据方案a抽奖两次所获奖金及其概率如表1：表1(7分)记乙袋中红球分别是R1，R2，白球是W，则顾客A根据方案a，b各抽奖一次的所有等可能出现的结果为(r，R1)，(r，R2)，(r，W)，(w1，R1)，(w1，R2)，(w1，W)，(w2，R1)，(w2，R2)，(w2，W)，共9种．(8分)其中结果(r，R1)，(r，R2)可获奖金25元，结果(r，W)可获奖金15元，(w1，R1)，(w1，R2)，(w2，R1)，(w2，R2)可获奖金10元，其余可获奖金0元，所以顾客A根据方案a，b各抽奖一次所获奖金及其概率如表2：表2(10分)由表1，表2可知顾客A最有可能获得的奖金数为15元．(12分)20．解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4,0)，B(4,0)，设直线TA的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4.(2分)由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·yx －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(4分)(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.(6分)从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3.(8分) 所以－20＜OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.(10分)当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝(0，－23)·(0，23)＋(0，－23－2)·(0,23－2)＝－(23)2－[(23)2－22]＝－20.综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－20，－523.(12分) 21．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥－(x －1)e xx ＋2恒成立，记g (x )＝－(x －1)e x x ＋2，则g ′(x )＝－x e x (x ＋2)－(x －1)e x (x ＋2)2＝－(x 2＋x ＋1)e x(x ＋2)2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12.(6分)(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，(8分)又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时，f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t ＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝－(t －1)e tt ＋2，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t ∈(0,1)．(10分)记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．(12分)22．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0.(4分)(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧，(5分)如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t＝2＋2(舍去)，(7分)当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，(9分)由图可知，当曲线C 2与直线C 1有两个公共点时，实数t 的取值范围是(2－2，1]．(10分)23．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2.(2分)当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0； 当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(5分)(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14.(8分)令g (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.(10分)。