第三章线性代数方程组

性质2. 若是Ax = 0的解向量, kR , 则k也
是Ax = 0的解向量.
A = 0 A(k )= k(A )= 0.
综上所述, 若, 都是Ax = 0的解向量, k1, k2R, 则k1 +k2也是Ax = 0的解向量.
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
Ax = 0的解集 V = { Rn | A = 0}
am1x1+am2x2+…+amnxn = 0
零解/平凡解, 非零解/非平凡解
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
一. 齐次线性方程组有非零解的条件(P.92-93)
定理3.1. Asn x = 0有非零解 r(A) < n
推论3.1. 若s < n , 则 Asn x = 0 有非零解
推论3.2. Ann x = 0有非零解 |A| = 0
第三章 线性方程组
1. 线性方程组的概念
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
线性方程组一般形式:
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1 a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 ………………… as1x1+as2x2+…+asnxn = bs
概念: 齐次线性方程组
非齐次线性方程组
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
定理3.2.(P.94) 设ARsn , 秩(A) = r . 若 r < n , 则 Ax = 0 有基础解系, 且任 一基础解系均含有 nr 个解向量.
x1 = c1,r+1xr+1 + c1,r+2xr+2 + … + c1nxn x2 = c2,r+1xr+1 + c2,r+2xr+2 + … + c2nxn ………………………ห้องสมุดไป่ตู้

“回代”解得

xn

bn ann


xk

1 akk
[bk

n
akj x j ]
j k 1

其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1

xi

b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i

2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)

第三章 线性方程组第一章中的克莱姆法则解决了部分线性方程组的求解问题。

当系数矩阵行列式||0A =，或方程组的个数与未知量个数不相等时，克莱姆法则就无法给出解的存在性。

另外即使可用克莱姆法则求解的线性方程组，其计算量也非常大，这一章主要解决一般线性方程组的求解问题。

§1 解的有关概念对于一般线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩， 记()ij m n A a ⨯=，12(,,,)T n X x x x =，12(,,,)T m B b b b =，则线性方程组可写成矩阵形式AX B =。

记(|)A A B =，称为线性方程组的增广矩阵。

如果0X 满足0AX B =，则称0X 为线性方程组AX B =的解；如果对任意X ，AX B =均不成立，称线性方程组AX B =无解。

有解的线性方程组也称为相容的线性方程组，无解的线性方程组称为不相容的线性方程组。

定义1：设有线性方程组11 (I)A X B =和22(II)A X B =，如果(I)的解全是(II)的解，且(II)的解也是(I)的解，则称线性方程组(I)与(II)同解。

如果线性方程组的解能用统一的形式来表示，称该解为线性方程组一般解（或通解）；相对应的具体的解称为特解。

求解线性方程组就是把线性方程组经过同解变换化成容易求解的方程组。

从而写出方程组的解。

§2 线性方程组的解法定义2：下列变换称为方程组的初等变换： 1) 交换两个方程位置； 2) 某一方程的非零k 倍；3) 某一方程的k 倍加到另一方程上。

性质1：方程组的初等变换是同解变换。

按同解的定义验证每经过一次方程组的初等变换均不改变方程组的解即可。

性质2：方程组的初等变换，对应于增广矩阵的初等行变换。

例1 判断下列线性方程组是否有解,若有解,求
出全部解.
x1 3 x 2 3 x 3 2 （） 3 x1 x 2 2 x 3 3 1 4x 2x x 2 2 3 1 x1 x 2 x 3 3 x 4 2 （ ） x1 x 2 x 3 5 x4 4 2 4 x 4 x x 1 1 2 3
（c1 、c 2 为 任 意 常 数 ）
例2 解线性方程组
解：
1 1 3 2 1 2 1 2 1 1 6 3 1 2 3 0 1 0 0 0 1 1 2 0 1 2 3 1 1 1 0 2
x1 x2 x3 1 x1 2 x2 x3 2 3 x1 x2 6 x3 3 2 x 2 x 3x 0 1 2 3
行 有解 B ( A b ) 行 阶 梯 形 矩 阵 行 最 简 形 矩 阵 行
行最简形矩阵非零行（r 行）的第一非零元取为固定未知量，剩余的未知量 取为自由未知量，令为 c1 , c 2 , c n r ，代回行最简形矩阵所表示的方程组 求出固定未知量，从而得到通解）
R ( 1 , 2 , n ) ( ) R ( 1 , 2 , n , )
例7
判 断 能 否 由 余 下 向 量 线 性 表 ？ 若 能 ， 给 出 表 示 式 出 .
T T T T
(1) (1,1,1) , 1 (0,1,1) , 2 (1,1,0) , 3 (1,0,2) ( 2) ( 2,2,0) , 1 ( 1,1,1) , 2 (1,1,2)
x1 1 1 x2 1 0 c1 c2 c11 c2 2 x 0 4 3 0 1 x 4 （c1 、c2为任意常数）

2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
end
LU分解
求A的LU分解（L是下三角矩阵，U是上三角矩阵）
1 1 1 1 3 4 3 4
LU分解
性质1 设向量
, xn ) 且 xk 0 T 则存在唯一的下三角阵 Lk I lk ek ,满足 x ( x1 , x2 ,
T
Lk x ( x1 ,
第三章 线性方程组的直接解法
/*Direct Method for Solving Linear Systems*/
求解 A x b, A R
Cramer法则:
nn
det( A) 0
Di xi D
i 1, 2,
,n
所需乘除法的运算量大约为(n+1)!+n
n=20时，每秒1亿次运算速度的计算机要算30多万年！
Gauss消去法的消元过程算法
for for
j 1: n 1
i j 1: n
2 3 2 n O( n ) 3
mult a(i , j ) a( j, j ); for k j 1 : n a(i , k ) a(i , k ) mult * a( j , k ); end b(i ) b(i ) mult * b( j ); end
方程组可化为下面两个易求解的三角方程组
Ly b Ux y
二、 高斯消去法

第三章 线性方程组第一节 线性方程组与矩阵的行等价一 线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义3.1 多元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.例3.1 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-52452132321321321x x x x x x x x x .解 从上向下消元, 得同解方程组1232332312243x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=310232321x x x .再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31-=x , 52=x , 33=x .解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.证 先证明只进行一次初等变换.首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.二 矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111写作 11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21, 称为线性方程组的矩阵表示. 其中n m ⨯矩阵)(ij a A =称为方程组的系数矩阵, 1⨯n 列矩阵),,,(21'=n x x x x 称为未知数(矩阵), 1⨯m 列矩阵),,,(21'=m b b b b 称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作b Ax =.如果数组n c c c ,,,21 是线性方程组b Ax =的解, 令列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=, 则有矩阵等式A b ξ=. 列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=是方程组的解的矩阵表示.将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵),(b A A =, 称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.(1) 交换A 的两行;(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.定义 3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作B A r−→−. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.(1) 反身性: A A r −→−; (2) 对称性: 如果B A r −→−, 则A B r −→−; (3) 传递性: 如果B A r −→−,C B r −→−, 则C A r −→−. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为B A =. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号B A r −→−. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.例3.2 用行初等变换化简矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A .解 做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−343042201312r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r . 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−3100100208012r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r .最后, 每行除以其首元素, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−310050102/3001r .定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.习题3-11. 写出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.2. 设线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1681355422351312, 写出该线性方程组, 并用消元法求解.3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1）102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; (2) 023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 11343335412232033421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭; (4) 23137120243283023743--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 求t 的值, 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----t 22122351311321的行等价标准形恰有两个非零行.第二节 矩阵的秩一 矩阵的秩的定义定义 3.8 设矩阵n m ij a A ⨯=)(, 从A 中任意选取k 行,k 列(},min{n m k ≤), 位于这些行与列的交叉点上的2k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 例如, 位于矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=312097102431A 的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为133223-=-. 一个n m ⨯矩阵有kn k m C C 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.定义3.9 如果矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不等于零, 而所有1+r 阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作r A =)rank(.如果矩阵的所有1+r 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.约定 对于零矩阵O , 约定0)rank(=O .由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设A 是非零矩阵, 则1)rank(≥A ;(2) 设A 是n m ⨯矩阵, 则},min{)rank(n m A ≤;(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为n A =)rank(. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.例3.3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=064212100321A , 求它的秩.解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, 2)rank(=A . 例3.4 求对角阵),,,diag(21n a a a A =的秩.解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.例3.5 设矩阵A 的秩等于0>r , 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?解 因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.已知r A =)r a n k (, 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则r B =)rank(. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的1-r 行中, 至少有一个1-r 阶子式不等于0. 于是1)rank(-≥r B .仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者1+r .性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则(1) 转置: )rank()rank(A A =';(2) 数乘: 如果0≠k , 则)rank()rank(A kA =.证 只证(2).考虑矩阵A 的一个s 阶子式s D , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于s s D k .已知0≠k , 因此0=s s D k 的充分必要条件为0=s D .设r A =)rank(, 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有1+r 阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, r kA =)rank(.二 行初等变换用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank()rank()A B =.证 设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r A =)r a n k (, 则A 的所有1+r 阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有1+r 阶子式也都等于0.(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个1+r 阶子式或者就是A 的相同位置的1+r 阶子式, 或者是A 的相同位置的1+r 阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个1+r 阶子式D , 则A 有一个1+r 阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个1+r 阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果B 的一个1+r 阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为21kD D +, 其中1D 就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则2D 可以由A 的某个1+r 阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则2D 有两个相同的行. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.总之, )rank()rank(A r B =≤.另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有)rank()rank(B A ≤. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank()rank()A B =.最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证 设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有1+r 阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是r R =)rank(. 根据定理 3.4, 有r A =)rank(.例3.6 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A 的秩. 解 用行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A −→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81440472047201511−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000047201511. 矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, 2)rank(=A .例3.7 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A , 求证: )rank()rank()rank(C B A +=. 证 设矩阵C B ,的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−S O O R r , 其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.习题3-21. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=75211111A ，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. 2. 设n m ⨯矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: m s r B -+≥)rank(. *3. 设A 是n m ⨯矩阵，求证：1)rank(=A 的充分必要条件为: 存在1⨯m 非零矩阵B 与n ⨯1非零矩阵C ，使得BC A =.4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.(1) 123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (2) 321322131345561---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 1010011000011000011001011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (4) 132541413514243273613-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 求t 的值, 使得方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.第三节 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的矩阵表示为0=Ax . 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.齐次线性方程组0=Ax 总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质 3.3 如果列矩阵1ξ与2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的两个特解, 则对于任意的数k h ,, 列矩阵21ξξk h +也是方程组的解.证 将21ξξk h +代入方程组, 得)(21ξξk h A +00021=+=+=ξξkA hA . 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明.例1求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-----=+++0434503223006225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的系数矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=14345321231111162210A . 然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------14345321236221011111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−00000010006221011111r . 继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010006021050101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−00000010006021050101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=--000062054532531x x x x x x x .将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移到方程组的右边, 得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=+=0006254532531x x x x x x x . 任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设),,,,(54321'd d d d d 是方程组的任意的特解, 上面求解时3x 与5x 可以任意取值, 自然包含取值33d x =与55d x =. 由于),,,,(54321'd d d d d 是方程组的解, 必须满足方程组.因此5315d d d +=,53262d d d --=,04=d . 于是, 这个特解可以由上面的方法产生.令h x =3,k x =5, 得到齐次线性方程组的通解k h x 51+=,k h x 622--=,h x =3, 04=x , k x =5, 其中k h ,是任意常数.在通解中令1=h ,0=k , 得到齐次线性方程组的一个特解1(1,2,1,0,0)ξ'=-. 反之, 令0=h ,1=k , 得到另一个特解2(5,6,0,0,1)ξ'=-. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: 12x h k ξξ=+, 其中k h ,是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解1ξ与2ξ， 因此, 称12,ξξ为齐次线性方程组的基础解系.注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.定理 3.5 设A 是n m ⨯矩阵, 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所包含的特解的个数等于)rank(A n -.证 根据推论 3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩)rank(A 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.推论 3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数.证 根据定理 3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 根据推论3.2, 齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为n A =)rank(. 由矩阵的秩的定义, n A =)rank(的充分必要条件为0||≠A .例 3.9 设A 是n 阶方阵, 且n r A <=)rank(, 求证: 存在n 阶方阵B , 满足O AB =, 且r n B -=)rank(.证 考虑齐次线性方程组0=Ax , 根据定理3.5, 它的r n -个特解12,,,n r ξξξ-组成基础解系. 即有0i A ξ=, r n i -=,,2,1 .构造分块n 阶方阵12(,,,,0,,0)n rB ξξξ-=, 即B 的前r n -列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前r n -列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此r n B -=)rank(.另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有12(,,,,0,,0)n r AB A ξξξ-=12(,,,,0,,0)n r A A A O ξξξ-==.习题3-31. 求下列齐次线性方程组的通解.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-03200231321321x x x x x x x x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+--+=-+-+024242052420632543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ; (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ; （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+--=-+-+=+-+-02252022303220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x ax x x x ax 只有零解?4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++004202321321321x x x x x x x x ax 有非零解. 并求其基础解系.5. 设0>n , 求证: n 次多项式至多有n 个两两不同的零点.第四节 非齐次线性方程组的通解解非齐次线性方程组b Ax =的基本问题是:(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;(2) 如果有解, 求出全部解(通解).定义 3.10 将非齐次线性方程组b Ax =中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组0=Ax 称为方程组b Ax =的导出组.性质3.4 设列矩阵1η与2η是线性方程组b Ax =的两个特解, 则它们的差21ηηξ-=是它的导出组0=Ax 的解.证 将21ηηξ-=代入导出组的左边, 得)(21ηηξ-=A A 021=-=-=b b A A ηη.推论 3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.证 首先, 设列矩阵η是方程组b Ax =的特解, 列矩阵ξ是其导出组0=Ax 的特解, 则有b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ,即列矩阵ηξ+是方程组b Ax =的解.其次, 设列矩阵ζ是方程组b Ax =的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ηζξ-=是导出组0=Ax 的解. 移项, 得ξηζ+=, 即方程组b Ax =的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组0=Ax 的解ξ的和.综合两方面, 即得本推论.注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.例 3.10 求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334533237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解 首先写出方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311232462210711111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−→−0000000000002462210711111r . 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000024622101751101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−00000000000024622101751101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++-=---00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数移到右边, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+---=-++=00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的值, 即得非齐次方程组的一个特解)0,0,0,24,17('-=η.根据推论 3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系)0,0,1,2,1(1'-=ξ, )0,1,0,2,1(2'-=ξ,)1,0,0,6,5(2'-=ξ.于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为332211ξξξηk k k x +++=, 其中321,,k k k 是任意常数.例 3.11 解非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334523237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解 这个方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 通过行初等变换, 得到行阶梯形阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000001000002462210711111. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 10=. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.定理 3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论 3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.推论 3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.证 综合定理3.6和推论3.2即可.例 3.12 当b a ,取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x bx x a x x x x x x x x 有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.解 对增广矩阵做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----112323101221001111a b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−1321023101221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−→−01000101001221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----−→−01000101001221011101a b a r 根据定理3.6, 当1,1-≠=b a 时无解.当1,1-==b a 时, 非齐次线性方程组的特解为)0,0,1,1('-=η, 导出组的基础解系为)0,1,2,1(1'-=ξ, )1,0,2,1(2'-=ξ，通解为2211ξξηk k x ++=, 其中21,k k 是任意常数.当1≠a 时有唯一解)0,1,32,2(11'+--+--=b b a a b a η. 例3.13 设A 是n 阶方阵, 且0||≠A . 将A 分块),(C B A =, 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组C Bx =无解.证 线性方程组的增广矩阵就是A , 由0||≠A , 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有1-n 列, 它的秩不大于1-n . 根据定理3.6, 线性方程组C Bx =无解.推论 3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证 充分性. 设0||≠A , 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵),(b A 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有≤=)rank(A n n b A ≤),rank(.根据推论3.5, 方程组有唯一解.必要性. 设方程组b Ax =有唯一解, 根据推论 3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式0||≠A .条件0||≠A 保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘b Ax =, 得b A x 1-=. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 b A x 1-=b A A *||1=, 其中方阵*A 是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得)(||12211n nj j j j b A b A b A A x +++= , n j ,,2,1 =. 根据定理 1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式||A 的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作j D , 又将||A 改写作D , 则上式为D D x jj =, n j ,,2,1 =.这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.习题3-41. 设列矩阵i η(m i ,,,2,1 =)是非齐次线性方程组Ax b =的特解, 数i k (m i ,,,2,1 =)满足121=+++m k k k , 求证: 列矩阵1122m mk k k ηηη+++也是方程组Ax b =的特解.2. 求下列非齐次线性方程组的通解. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+--=-+337713434234313214321431x x x x x x x x x x x x x ; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-22344324314324321x x x x x x x x x x ; (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-=--=++0644352523222321321321321x x x x x x x x x x x x ; (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++----nx x x x x x x x x x x x n n n n n n 122113113221 , 其中1>n .3. 求证: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++2543222432143214321x x x x x x x x x x x x 无解. 4. 求b的值, 使得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-b x x x x x x x x x x x x 432143214321114724212有解, 并求其通解.5. 当d c b a ,,,满足什么条件时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+d x x cx x b x x a x x 42314321有解? 并求其通解.6. 当b a ,取何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b ax x x x x x x x x 32132132132263132有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.*7. 设A 是n 阶方阵, b 是1⨯n 矩阵, 且分块方阵满足)rank(0rank A b b A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛', 求证: 非齐次线性方程组b Ax =有解.第五节 初等方阵与初等变换一 初等方阵定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.三种行初等变换产生三种初等方阵:(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作ij P ;(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作)(k D i ;(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作)(k T ij .三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有ij ij P P =-1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k D k D i i 1)(1, )()(1k T k T ij ij -=-.定理 3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.推论 3.7 任意矩阵A 可以表示成R E E E A s 21=, 其中i E 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.证 对A 做行初等变换, 可得其行等价标准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵i E 左乘矩阵A . 即有R A E E E s =12 . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得R E E E A s 11211---= . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.例3.14 设B A ,都是n m ⨯矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得B PA =.二 矩阵方程矩阵方程B AX =, 其中A 是n 阶可逆阵, B 是m n ⨯矩阵, 而X 是m n ⨯未知矩阵.已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得矩阵方程的解B A X 1-=. 对于可逆阵A , 存在初等方阵i E , 使得E A E E E s =12 . 用同样的初等方阵左乘矩阵方程B AX =, 得EX AX E E E s =12 B E E E X s 12 ==这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程B AX =的解B A X 1-=.例3.15设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012112A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=521234311B , 解矩阵方程B AX =.解 做分块矩阵: 左边部分是A ,右边部分是B . 做行初等变换, 得()=B A |⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----521111234012311112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−311112234012521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−143100872230521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−1431003/1053/80103/813/2001r .于是，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-1433/1053/83/813/21B A X . 如果矩阵方程B AX =中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解E A X 1-=1-=A 就是A 的逆阵. 由此得到计算逆阵的简单方法.例3.16 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆阵. 解 用初等变换法.()=E A |⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100523010012001101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−127200012210001101r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−2/112/71001150102/112/5001r于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/112/71152/112/51A . 如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得到线性方程组B AX =的解B A X 1-=. 而且这种解法正是前面的消元法.性质 3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.证 设A 是p m ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵, r A =)rank(. 先证明r AB ≤)rank(.根据推论 3.7, 有R A E E E s =12 , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得RB AB E E E s =)(12 . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有)rank()rank()rank(A r RB AB =≤=.转置可证明另一部分.例3.17 设A 是可逆阵,则)rank()rank(B AB =.证1 记矩阵AB C =. 由性质 3.5, 有)rank()rank(B C ≤. 用逆阵1-A 左乘AB C =, 得C A B 1-=, 从而有)rank()rank(C B ≤.上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有B E E E AB s 12 =. 再根据定理 3.4, 有)rank()rank(B AB =.三 初等变换与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.(1) 交换A 的两列;(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去,与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.性质 3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;(3) 矩阵的列等价是等价关系;(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得B AQ =.与用行初等变换解矩阵方程B AX =类似, 可以用列初等变换解矩阵方程B XA =.例3.18设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=234311B , 解矩阵方程B XA =.解 做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B变成矩阵方程的解1-=BA X . 如果用→表示列等价, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---234311111012112⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→423131*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→253321301011001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→3/253/8122100010001. 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X . 例 3.19 设分块矩阵),(B A , 求证: )rank()rank(),rank(B A B A +≤.证 设矩阵B A ,的列等价标准形分别为S R ,,则R 与S 分别有)ra nk(A 与)rank(B 个非零列. 从而分块矩阵),(S R 有)rank()rank(B A +个非零列. 另一方面, 如果在矩阵),(B A 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵),(S R . 于是, 有)rank()rank(),rank(),rank(B A S R B A +≤=.。

lts ks 0
这与1,2, . . .,s与线性无关矛盾.

推论1 两个等价的且线性无关的向量组，含有相 同个数的向量。

推论2 等价的向量组有相同的秩。

推论3 向量组(I)的秩为r1，向量组(II)的秩为r2，且
组(I)可由组(II)线性表出，则r1≤r2。
lts ks 0
于是
1 , 2 ,
k1 k2 b1 , b 2 , , s ks
l11 l12 l21 l22 , bt lt1 lt 2
l1s k1 0 l2 s k 2 0
第三章 向量组与线性方程组
§3.1 向量组的线性相关性
2 x1 3 x2 3 x3 5 x1 2 x2 x3 2 7 x2 x3 1
2 3 3 5 1 2 1 2 0 7 1 1

显然第三行是前两行的代数和； 也就是说，第三个方程能由前两 个方程“表示”；
4, (III) 1, 2, 3, 5, 且向量组的秩分别
为R(I)=R(II)=3, R(III)=4. 证明:向量组1, 2, 3, 5-4的秩为4.

证明: 由R(I)=R(II)=3得知向量组(I)线性无关,向
量组(II)线性相关,且4可由1, 2, 3,线性表出,
lm m 0
定理3 设m≤n，则m个n维向量1 ,2 ,
,m 线性无关的充
分必要条件是，其组成的矩阵的秩R(A)=m.即A为列满秩。
证：必要性. 因为Q可逆，必有l1,l2,…,lm不全为零， 这与1,2,…,m线性无关矛盾。 因此，R(A)=m。

B1 1 ~1 1
1
1 2
1
1
1
1 1
2
~ 0 - 1 1 - - 2
0
1-
1 - 2
1
-
2
1 1
~ 0 -1 1-
2
- 2
0
0
2 - - 2
1
-
2
-
3
1 1
0 -1
1-
2
1 -
0
0
1 - 2
1
-
1
2
1 当 1时,
1 1 1 1 B ~ 0 0 0 0
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
-
x2 x2
x3 x3
-
x4 0 3x4 1
.
x1 - x2 - 2x3 3x4 -1 2
解 对增广矩阵B进行初等变换
1 - 1 - 1 1 0 1 - 1 - 1 1 0 B 1 -1 1 - 3 1 ~ 0 0 2 - 4 1
1 - 1 - 2 3 - 1 2 0 0 - 1 2 - 1 2
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2
x2 x3 x4
x2
1 0
0
x4
0 2 1
102 .
0
其中x2 , x4任意.
x1 - x2 a1
例４
证明方
程组
x2 x3
-
x3 x4
a2 a3
x4
-
x5
a4
x5 - x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
0
0 1
-2 2

例4 向量组 α1 , α 2 ,⋯ , α s 中的 任意一个向量 α j ( j = 1, 2,⋯ , s ) 都可 由该向量线性表示， 由该向量线性表示，因为 α j = 0α1 + ⋯+ 1α j + ⋯+ 0αs
例题4 例题 详见教材85页 详见教材 页
（例5 + 例6） ）
定义3.3.2给定向量组 给定向量组 定义
例6
设有线性方程组
x1 + x2 − 2 x3 + 3x4 = 0 2 x + x − 6 x + 4 x = −1 1 2 3 4 3x1 + 2 x2 + ax3 + 7 x4 = −1 x1 − x2 − 6 x3 − x4 = b
讨论当 a , b 为何值时， 为何值时， 方程组有解？（ ？（2 无解？ （1） 方程组有解？（2）无解？ （3）当有解时，试求出其解。 当有解时，试求出其解。
0 = (0, 0,⋯ , 0)
n维向量 α = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 的各分量都取相反数组成的向 维向量 量称为的负向量， 量称为的负向量，记作
−α = (−a1 , −a2 ,⋯ , −an )
α 定义3.2.3 如果 维向量 = (a1 , a2 ,⋯ , an ) 如果n维向量 定义
3、仅含有两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的 、 对应分量成比
定理3.3.1 向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α m 线性相关当且仅当以 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α m ) 定理 为系数矩阵的齐次线性方程组 AX
=0
有非零解。 有非零解。
推论3.3.1向量组 A : α 1 , α 2 , ⋯ , α n 线性相关当且仅当矩阵 A = (α1 , α 2 ,⋯ , α n ) 向量组 推论 的行列式值为零。 的行列式值为零。 定理3.3.2向量组 A : α1 , α2 ,⋯, αm (m ≥ 2) 线性相关的充要条件是向量组A: α1,α2 ,⋯,αm 向量组 定理 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。 中至少有一个向量可由其余向量线性表示。

由此看出,高斯消去法解方程组基本思想是设
法通消常去把方按程照组的先系消数元矩,阵后A回的代主两对个角线步下骤的求元解素线,而性 将方A程x=组b化的为方等法价称的上为三高角斯形（方G程a组us,s然）后消再去通法过。回
代过程便可获得方程组的解。换一种说法就是用矩 阵行的初等变换将原方程组系数矩阵化为上三角形 矩阵,而以上三角形矩阵为系数的方程组的求解比较 简单,可以从最后一个方程开始,依次向前代入求出 未知变量 xn , xn1 , , x1 这种求解上三角方程组的 方法称为回代, 通过一个方程乘或除以某个常数,以 及将两个方程相加减,逐步减少方程中的变元数,最 终将方程组化成上三角方程组,一般将这一过程称为 消元,然后再回代求解。
3.2.2 高斯消去法算法构造 我们知道,线性方程组(3.1)用矩阵形式表示为
a11 a12 a21 a22 an1 an2
a1n
a2n


ann

x1 b1

x
2


b2


xn bn
每个方程只含有一个未知数,从而得出所求的解。
整个过程分为消元和回代两个部分。
（1）消元过程 第1步:将方程①乘上(-2)加到方程 ②上去,将 方程 ①乘上 1 加到方程 ③上去,这样就消去
2
了第2、3个方程的 x1 项,于是就得到等价方程 组
2x1 x2 3x3 1

2
x1

x2
3x3
1

4x2 x3 2

5 2
x2

3 2
x3

13 2

x2 - 3x3 = 1 (2)
-19x2 + 30x3 = -10 (3) 第二次消元： (2) × (-(-19)/1)+(3) 得
2x1 + 6x2 - 4x3 = 4 (1)
x2 - 3x3 = 1 (2)
- 27x3 = 9 (3) b. 回代过程
x3 = 9/(-27) = -1/3， x2 = 1 + 3x3 = 1-1= 0， x1 = (4 + 4x3 + 6x2 )/2= (4+4×(-1/3)+6×0)/2 = 4/3
Xi=Di/D ( i=1, 2 , … , n ) 然而,对于较高阶的情况, 用这种方法求解是不现实的。一
个 n 阶行列式有 n! 项, 每一项又是 n 个数的乘积。就算不计舍
入误差对计算结果的影响 , 对较大的 n , 其运算量之大 [ 不考
虑加减，仅乘除次数就需 (n+1) n! (n-1) +n ] , 也是计算机在一般
一、列主元高斯消去法
列主元消去法的主要思想是：在第k次消元 时，从k列的以下的各个元素中选出绝对值最大 的元素，然后通过行交换将其交换到k行上，再 做第k次消元（同顺序高斯消去法）；回代过程 与顺序高斯消去法完全相同。
用列主元高斯消去法解线性方程组举例
例
0.01x1 + 2x2 - 0.5x3 = - 5
n
xi (bi(i)
ai(ji)xj
)
/
a(i) ii
ji1
（i =n-1,…,2,1）
四、顺序高斯消去法计算量分析
用计算机作四则运算时，加减操作所花的机器时间比乘除操 作少得多, 所以我们仅统计乘除次数。

A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1

x1
= -7
x2 = -1
x3 = 2
—r1—+2r2
1 0
0 1
0 -7 0 -1
0012
行最简形矩阵
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消元法与矩阵的初等行变换
总结:对方程组施行的初等行变换，与未知量无关，只 是对未知量的系数及常数项进行运算. 这些运算相当于 对方程组系数矩阵的增广矩阵进行了一系列仅限于行的 初等变换化为行最简形矩阵.
1 -2 4 3 3 -5 14 12
-1 4 1 5
r2-3r1 —r—3+r1
1 -2 01
4 2
3 3
0258
r3-2r2 1 -2 4 3 —— 0 1 2 3
0012
下页
消元法与矩阵的初等行变换
用消元法解线性方程组的过程，实质上就是对该方程组
的增广矩阵施以初等行变换的过程. 行阶梯形矩阵
，o =
0
bm
0
下页
向量方程
含有m个方程n个未知量的线性方程组
a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2
+ + - =
am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm
……(1)
可用向量形式表示为
x11 + x22 +L + xnn = b,
—r3—-2r2
r2-2r3 —r1-—4r3
x1 -2x2+4x3 = 3
x2+2xx33
= =
3 2
x1 -2x2 = -5

阶梯形线性方程组(B)与原线性方程组(A)同解.
在线性方程组(B)中, 将第三式的x3= -2代入第二个 方程,得x2= 2; 再将x2= 2, x3= -2代入第一个方程,得x1= 1.
所以原方程组的解为: x1=1, x2=2, x3= -2.
■
由阶梯形方程组逐次求得各未知量的过程,称为回代
过程, 线性方程组的这种解法称为高斯消元法.
a1r a1r 1 a2r a2r 1
a1n d1 a2n d2
于是结得论同:解2方. d程r+组1=0: , 则x1 同aˆ1,解r 1x方r 1 程组有aˆ1n x解n , dˆ1
A 00
arr arr 1
arn dr
从x2 而aˆ2原r 1x方r 1程组Aaˆ2Xn x=n b dˆ2
00
00
x1
1
x2
2
x3
2
■
100 1 010 2 001 2
13
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例2. 解线性方程组
x1 3x2 x3 2x4 x5 4 3x1 x2 2x3 5x4 4x5 1 2x1 4x2 x3 3x4 5x5 5 5x1 5x2 3x3 8x4 9x5 6
解: 对方程组的增广矩阵作行初等变换, 化成阶梯形 矩阵, 再化成行最简阶梯形矩阵.
为求解线性方程组(1), 必须解决以下一些问题:
(i) 线性方程组(1)是否有解? (ii) 如果线性方程组(1)有解, 那么它有多少个解? (iii) 当线性方程组有解(1)时, 如何求出它的全部解?
4
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定义 m个方程、 n个未知量 的线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1

线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d

第三章线性方程组主要内容、结构、体系线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一.它不仅是中学里一次方程组讨论的最一般的推广，而且称得上是整个线性代数的一个缩影.学好本章对于学好以后各章起着关键性的作用.对于一般线性方程组，其主要理论问题有：1．有没有解？有解的条件是什么？2．有解时，解的个数是多少？如何求出解？3．解不止一个时，解之间有没有联系？围绕这些问题，本章主要有四部分内容.第一部分内容是§1介绍的消元法，它是中学里“加减消元法”的一般化，是解具体线性方程组的一个最基本和最有效的方法.第二部分内容是介绍讨论一般线性方程组所用的主要工具：n 维向量与矩阵的秩（§2－§4）.首先，§2把向量概念推广到n 维向量，并介绍了它的简单性质.§3详细而深入地讨论了n维向量的线性相关性.这些内容，在本章虽然只是以讨论线性方程组的工具的面目出现的，但其本身极端重要，在线性代数中将随时用到它们.它是本章的重点之一，也是一个难点.在§2，§3讨论的基础上，§4给出矩阵的概念及计算秩的方法.第三部分内容全面回答了线性方程组的理论问题（§5－§6）. §5利用矩阵的秩给出了有解的充要条件及解的个数的结论，同时介绍了基于克兰姆法则的又一个求解方法.§6则研究了线性方程组解的性质与结构.这部分内容是本章的中心内容.第四部分内容（§7）是介绍线性方程组理论的一个应用——给出二元高次方程组的一个一般解法，这对于指导中学数学教学有一定的作用.知识点分类（必会、掌握、了解）理解n维向量组的线性相关性、向量组和矩阵的秩、基础解系等概念及性质，掌握线性方程组有解判别定理，会求齐次线性方程组的基础解系及一般线性方程组的所有解.难点疑点重点是向量组的线性相关性、线性方程组有解判别定理和解的结构，难点是向量组的极大线性无关组和方程组解的结构.主要方法利用定义讨论向量组的线性相关性，两个向量组的等价和向量组极大线性无关组与秩. 利用初等行变换求矩阵的秩.运用线性方程组有解判别定理判别方程组是否有解.求齐次线性方程组的基础解系，齐次线性方程组解的结构和一般线性方程组解的结构.例1．求矩阵24131A=121023636a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的秩.解：用初等行变换将A 化为阶梯阵12102A 003350000a 4-⎛⎫ ⎪→→- ⎪ ⎪+⎝⎭所以当4a =-时，()2R A =， 当4a ≠-时，()3R A =.例2． 判断向量α能否由向量组123,,ααα线性表出，若能，写出它的一个线性组合．其中(2,1,3,4)α=-，123(1,2,3,1),(5,5,12,11),(1,3,6,3)ααα=-=-=-. 解：设112233k k k αααα=++，即有方程组123123123123522531312631134k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪--=-⎪⎨-+-=⎪⎪++=⎩ （1） 对方程组（1）的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵2133113315121512102531031101312630000000011134000000A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以方程组（1）有解．（1）的一般解为21133312331k k k k =+⎧⎨=-+⎩ 令31k =，得（1）的一个解（1,0，1），从而有13ααα=+．例3．已知向量组1(1,4,1,2)α=，2(2,1,3,1)α=--，3(1,5,4,1)α=---，4(3,6,7,0)α=--，（1）试求这个向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）写出每个向量用（1）中求出的极大线性无关组线性表出的表达式.解：以1234,,,αααα为列向量作矩阵，并对矩阵进行初等行变换.1213415613472110A ⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭121309918055100336⎛⎫ ⎪---⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1213011200000000⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭1011011200000000B --⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，也不改变矩阵的秩，由B 看出，秩（B ）＝秩（A ）＝2.B 的前两列是B 的列向量组的一个极大线性无关组.（1）向量组1234,,,αααα的秩为2，且12,αα为这个向量组的一个极大线性无关组（极大线性无关组也可取13,αα或14,αα或23,αα或24,αα或34,αα）.（2）由矩阵B 易得线性表达式111αα=⋅，221αα=⋅，312ααα=-+，4122ααα=-+.例4．求齐次线性方程组1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 的一个基础解系． 解：对齐次线性方程组的系数矩阵A 进行初等行变换：2310771111540754017700000000A ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪→→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭……则原方程组的解为： 13423423775477x x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中43,x x 为自由未知量）令341,x x ==0，得1(27,37,1,0)η=；令340,x x ==1，得2(57,47,0,1)η=．从而原方程的基础解系为：12,ηη，原方程组的一般解为：112212,k k k k R ηη+∈,．例5．求解方程组1224122412240312312x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=-⎩. 解：1222132310.51111011110110112111310024100121211231200121200000r r r r r r r r r A -⋅-+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭可见()()R A R A -=，所以原方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩，（其中42,x x 为自由未知量） 取240x x ==，则 1312x x ==，即得原方程组的一个特解0(12,0,12,0)γ=．下面求导出组的基础解系：导出组与 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩ 同解．取241,x x ==0，得1(1,1,0,0)η=； 取240,x x ==1，得2(1,0,2,1)η=．于是原方程组的通解为： 0112212,()k k k k R γγηη=++∈、．例6．问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ-++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ-=-=----当2,5,8λ=时，0D =，所以由Cramer 法则得方程组有非零解．例7．设线性方程组1234124124232314262x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩()*，(1)试求()*的两个特解；(2)用()*的导出组的基础解系与()*的特解表出()*的全部解. 解 (1)对()*的增广矩阵A 进行初等行变换，111232103142062A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭111230127500000-⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭ 101520127500000--⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭由此，得()*的一般解13423452275x x x x x x =-+-⎧⎨=-+⎩（其中34,x x 为自由未知量）.令340,0x x ==，得一个解为0(2,5,0,0)γ=-， 令341,0x x ==，得一个解为1(3,7,1,0)γ=-.(2) 为求()*的导出组的基础解系，只要把上面得到的A 的最简阶梯阵的最后一列划去，得矩阵101501270000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭这就是()*的导出组的系数矩阵经初等行变换而得的最简阶梯阵，从而可得导出组的一般解：134234527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中34,x x 为自由未知量）.令341,0x x ==，得一个解为1(1,2,1,0)η=-， 令340,1x x ==，得一个解为2(5,7,0,1)η=-，12,ηη即为导出组的基础解系.故()*的全部解为 01122k k γηη++（其中12,k k 为任意常数）.例8．如果向量β可由向量组12,,,r ααα线性表出，证明：表示法唯一的充要条件是12,,,r ααα线性无关.证明：必要性由题设知1122r r k k k βααα=+++ ①用反证法. 设12,,,r ααα线性相关，那么存在一组不全为零的数12,,,r l l l ，使 11220r r l l l ααα+++= ②将①与②相加，得111222()()()r r r k l k l k l βααα=++++++由于12,,,r l l l 不全为零，这样就得到了β的两种不同的表示法，这与题设矛盾，所以12,,,r ααα线性无关.充分性设β有两种表示方法：1122r r k k k βααα=+++ 1122r r l l l βααα=+++ 将两式相减，得111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=由于12,,,r ααα线性无关， 所以11220r r k l k l k l -=-==-=此即1122,,,r r k l k l k l ===，唯一性得证.例9．设向量β可由向量组12,,,s ααα线性表出，但不能由121,,,s ααα-线性表出，证明：（1）s α不能由121,,,s ααα-线性表出；（2）s α能由121,,,,s αααβ-线性表出.证明：（1）反设s α能由121,,,s ααα-线性表出：112211s s s k k k αααα--=+++ ①由题设向量β可由向量组12,,,s ααα线性表出，设为112211s s s s l l l l βαααα--=++++ ②将①代入②，得111222111()()()s s s s s s l l k l l k l l k βααα---=++++++这与β不能由121,,,s ααα-线性表出的题设矛盾， 故得s α不能由121,,,s ααα-线性表出.（2）由于题设β不能由121,,,s ααα-线性表出，故上面的②式中0s l ≠，从而1121211s s s s s ssl l l l l l l αβααα--=----这就是说，s α能由121,,,,s αααβ-线性表出.经典例题分析例10．解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：方程组的系数行列式111112141420231531211D -==-≠---，15111221414223151211D --==-----2284D =-，3426D =-，4142D =所以由Cramer 法则得方程组有唯一解（1，2，3，－1）.例11． ,a b 取什么值时，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x ax x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解？当有解时，求一般解.解 对方程组的增广矩阵A 进行初等行变换，化为最简阶梯阵1111113211301226354331a A b ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭111111012263012263012265a b ⎛⎫ ⎪----- ⎪→⎪ ⎪-----⎝⎭11111100000012263000002a b ⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭1011520122630000002a b ----⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪⎪-⎝⎭由此可见，当且仅当0a =且2b =时，原方程组有解.这时原方程组与方程组13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩同解.其一般解为13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩（其中345,,x x x 为自由未知量）.例12． 对λ的不同取值，讨论线性方程组21233212343123(1)2(1)2(1)2x x x x x x x x x λλλλλλλλλ⎧+++=+⎪+++=+⎨⎪+++=+⎩的解的情况. 解法一23111(2)111(2)111(2)A λλλλλλλλλ⎛++⎫⎪=++ ⎪⎪++⎝⎭223333(1)(2)111(2)111(2)λλλλλλλλλλλλλ⎛⎫++++++ ⎪→++ ⎪ ⎪++⎝⎭(1)当30λ+=即3λ=-时，00021121911227A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭则 ()()R A R A >，从而原方程组无解.(2) 当30λ+≠时，223(1)(2)1113111(2)111(2)A λλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪⎪→++ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭22(1)(2)3111(21)(2)00300(21)(2)3λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪⎪-+→ ⎪+ ⎪⎪--+ ⎪+⎝⎭(i)当0λ=时，原方程组与1230x x x ++=同解.此时，一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(ii) 当0λ≠时，22(1)(2)3111(21)(2)0103001(21)(2)3A λλλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪ ⎪-+→ ⎪+ ⎪ ⎪--+ ⎪+⎝⎭22(2)(2)3100(21)(2)0103001(21)(2)3λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪+ ⎪⎪-+→ ⎪+ ⎪⎪--+ ⎪+⎝⎭结论：(1) 当3λ=-时，原方程组无解.(2) 当0λ=时，原方程组有无穷多解，其一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(3) 当30λ+≠且0λ≠时，原方程组有唯一解，21(2)(2)3x λλλ-+=+，2(21)(2)3x λλλ-+=+，23(21)(2)3x λλλλ--+=+.解法二原方程组的系数矩阵行列式为2111111(3)111A λλλλλ+=+=++(1) 当3λ=-时，原方程组为12312312323(1)29(2)227(3)x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，由(1)(2)(3)++得：021=，所以原方程组无解.(2) 当0λ=时，原方程组为123123123000x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，所以原方程组为齐次线性方程组，其一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(3) 当30λ+≠且0λ≠时，0A ≠，所以原方程组有唯一解，21(2)(2)3x λλλ-+=+，2(21)(2)3x λλλ-+=+，23(21)(2)3x λλλλ--+=+.例13． 证明线性方程组121232111n n n n nx x a x xa x x a x x a ---=⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-=⎪⎩()*有解10ni i a =⇔=∑.证法一 对线性方程组的系数矩阵A 和增广矩阵A 进行初等行变换，得110000011000000110000011100001A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭1100000110000001100000110000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭所以 ()1R A n =-122111000001100000011000001110001n n n a a A a a a --⎛⎫-⎪- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭1221111000001100000011000001100n n ni i a a a a a --=⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 所以线性方程组()*有解()()R A R A ⇔=()1R A n ⇔=-10n i i a =⇔=∑. 证法二：必要性设线性方程组()*有解为012(,,,)n X c c c =，则121232111n n n n nc c a c ca c c a c c a ---=⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有1223111()()()()0nin n n i ac c c c c c c c -==-+-++-+-=∑.充分性如果10ni i a ==∑，则可取11c =，则1n n c a =+，111n n n c a a --=++，，221n c a a =+++，1111ni i c a ==+=∑，即线性方程组()*有解为12(,,,)n c c c .例14． 设A 为(1)n n ⨯+矩阵，()R A n =，i M 是在A 中划去第i 列所得的子式.证明：齐次线性方程组0AX =的解为{}1231(,,,,(1))n n c M MM M c P +--∈.证明：因为()R A n =，所以0AX =的每一个基础解系仅有(1)1n n +-=个非零解，从而0AX =的任一个非零解都构成0AX =的一个基础解系.下面我们证明1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个非零解.令 (1)(1)0n n A B +⨯+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11121121222(1)1(1)21(1)(1)(1)n n n n n n n B B M B B M B B B M +*++++⎛⎫- ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭， 所以 1121(1)(1)0(1)n n n n n M M A M +++⎛⎫- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 121(1)0(1)n n M M A M +⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭， 故1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个解. 因为()R A n =，故至少有一个0i M ≠，故1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个非零解.例15．证明线性方程组,(0)m n n m A X B B ⨯=≠有解当且仅当齐次方程组'0m A X =的每一个解1(,,)m c c 有110m m b c b c ++=，其中1m m b B b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.证明： 必要性 设AX B =有解1(,,)n a a ，则1n a A B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设1(,,)m c c 是'0A X =的任一解，则1111(,,)(,,)mi i m m i n a c b c c B c c A a =⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑111'00m n n c a a A c a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.充分性考察齐次方程组'0m A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()**因为'0m A X =的每一个解1(,,)m c c 满足110m m b c b c ++=， 所以()**式与'0m A X =同解，从而 ''()()(|)A R R A R A R AB B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故线性方程组m n n m A X B ⨯=有解.例16． 设向量组12,,,m ααα ①线性无关，向量1β可由向量组①线性表出，向量2β不能由向量组①线性表出.证明：1212,,,,m l αααββ+线性无关，其中l 是任意数.证明：设有数12,,,,m k k k k 使112212()0m m k k k k l αααββ+++++= ②则必0k =.事实上，若0k ≠，则由上式，2β可由121,,,,m αααβ线性表出，而1β又可由向量组12,,,m ααα线性表出，由此，2β可由向量组12,,,m ααα线性表出，与题设矛盾，故0k =成立.由0k =，②式即为11220m m k k k ααα+++=由于向量组12,,,m ααα 线性无关，所以120m k k k ====，这样得到②式只有12,,,,m k k k k 全为零才成立，这就证明了1212,,,,m l αααββ+线性无关.练习题（基本题，提高题，考研题） 基本题1．使向量组(,0,1)a α=，(0,,2)a β=，(10,3,)a γ=线性无关的a 的值是 .2．设()m n A M P ⨯∈，AX B =，()()R A R A r ==，则当 时AX B =有唯一解，当 时AX B =有无穷多解.3．1,,r αα是某齐次线性方程组的基础解系，1,,r ββ是一组向量，当且仅当 与 等价时，1,,r ββ也是该齐次线性方程组的基础解系.4．n 维向量组1,,s αα线性无关的充要条件是（ ）使10si i i k α==∑.A ．存在不全为零的数1,,s k k ；B ．存在全不为零的数1,,s k k ；C ．不存在全不为零的数1,,s k k ；D ．当且仅当120s k k k ====.5．当（ ）时n 维向量组1,,r αα线性相关. A ．r n <； B ．r n >； C ．r n =； D ．r n ≥. 6．若()R A r =，则（ ）. A ．A 的r 阶子式不全为零；B ．A 的1r +阶子式（如有的话）全为零；C ．A 只有一个不为零的r 阶子式；D ．A 的列向量组的秩为r .7．已知向量(0,1,0,1,0)β=，1(1,1,1,1,1)α=，2(1,2,1,3,1)α=，3(1,1,0,1,0)α=，4(2,2,0,0,0)α=.（1）试求β用1234,,,αααα线性表出的表达式；（2）判断β能否有两种方法用1234,,,αααα线性表出，并叙述理由.8．已知1(1,0,2,0)α=，2(0,1,1,2)α=-，3(1,2,4,4)α=-，4(2,1,4,2)α=-，5(2,1,6,2)α=-.（1）试求这个向量组的一个极大线性无关组与秩； （2）写出每个向量用极大线性无关组线性表出的表达式.9．计算下列矩阵的秩.（1）12001062410111341611971434⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ （2）14025130324129541713-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）141268261042191776341353015205⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（4）1010110001100101⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭10．证明：若123,,ααα线性相关，而234,,ααα线性无关，则 （1）1α可由23,αα线性表出； （2）4α不能由123,,ααα线性表出.11．设向量组12,,,n ααα线性无关，证明：当且仅当n 是奇数时，向量组：122311,,,,n n n αααααααα-++++也线性无关.12．设有1s +个向量：1,,,s ααβ，且12(1)s s βααα=+++>，证明：（1）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s βαβαβα---也线性无关； （2）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s βαβαβα---也线性相关.13．设向量组12,,,m ααα线性相关，且它们都不是零向量，证明：其中至少有两个向量，这两个向量的每一个都可由其余向量线性表出.14．证明：向量组12,,,r ααα线性无关的充要条件是存在向量β可由12,,,r ααα线性表出，但β不能由其中的()s s r <个向量线性表出.15．设向量组12,,,s ααα线性无关，而12,,,,,s αααβγ线性相关.证明：若12,,,,s αααβ与向量组12,,,,s αααγ不等价，则β与γ中有且仅有一个向量可由12,,,s ααα线性表出.提高题1． 设k 1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()3R A =，则k=2．设()n A M P ∈，()R A n =，令r n r B A B -⎛⎫=⎪⎝⎭，求0r B X =的一个基础解系.3．设矩阵m n A P ⨯∈，m p B P ⨯∈，证明矩阵方程AX B =有解当且仅当()(|)R A R A B =.4．设齐次线性方程组0m n n A X ⨯=有非零解，证明存在1(,,)n B b b =使得AX B =无解.5．设有向量组12,,,s ααα，其中10α≠，且每个(2)i i s α≤≤都 不能被121,,,i ααα-线性表出，证明：12,,,s ααα线性无关.6．设有两个向量组：12,,,(2)m m ααα≥；①111222111,,,m m m m m m k k k βααβααβαα---=+=+=+. ② 证明：（1）若向量组①线性无关，则②也线性无关；（2）若0m α≠，且对任意的121,,,m k k k -，向量组②都线性无关，则12,,,m ααα也线性无关.7．设12,,,n ααα是一组n 维向量，证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.8．设12,,,r ααα是r 个互不相同的数，r n <，证明：向量组21111121222221(1,,,,),(1,,,,),(1,,,,)n n n r r r r a a a a a a a a a ααα---=== 线性无关.9．设12,,,n ααα是n 个互不相同的数，令21111121222221(1,,,,),(1,,,,),(1,,,,).n n n n n n n a a a a a a a a a ααα---===证明: 任一n 维向量β都可由12,,,n ααα线性表出，且表法唯一.10．已知向量组12,,,s ααα线性无关，11111221221122221122s s s s s s s ss s a a a a a a a a a βαααβαααβααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ ①证明：12,,,s βββ线性无关的充要条件是1112121222120s s s s ss a a a a a a A a a a =≠.11．设0γ是线性方程组1(1,2,,)nij j i j a x b i s ===∑①的一个解，12,,,t ηηη是①的导出方程组的一个基础解系.令1102200,,,t t γηγγηγγηγ=+=+=+.证明：①的任一解γ，都可表成0011t t u u u γγγγ=+++，其中011t u u u +++=.考研题1．设方程组Ⅰ)0(≠=b b AX 的导出组为Ⅱ，(1)下列命题正确的一个是 ．)(a Ⅰ有惟一解⇒Ⅱ仅有零解．)(b Ⅰ有解⇔Ⅱ有解．)(c Ⅰ有非零解⇒Ⅱ有无穷多解．)(d Ⅱ有非零解⇔Ⅰ有无穷多解．(2) 设0γ是Ⅰ的一个解，t ηηη,,,21 是Ⅱ的一个基础解系，则下列命题错误的一个是 ．)(a t ηγηγηγγ---020100,,,, 是Ⅰ的一组线性无关的解． )(b Ⅰ的每个解都可以表成t t ηηηγ,,2,,210 的线性组合．)(c t ηηηγ++++ 2102是Ⅰ的一个解．)(d Ⅰ的所有解都可以表成t ηγηγηγγ+++020100,,,, 的线性组合．2．当n b b b b a ,,,,,21 取何值(或满足何种关系式)时，n 元线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b X a a b a a bb a a 21 有解？有多少解？3．设12,,,s ααα是s 个线性无关的n 维向量，证明：存在含n个未知量的齐次线性方程组，使12,,,s ααα是它的一个基础解系.4．设1(1,2,,)nij j i j a x b i s ===∑ ①是非齐次的线性方程组（即至少有一个0i b ≠），且系数阵A 的秩为r.证明：若①有解，则它有1n r -+个线性无关的解向量，使①的每个解向量都可由这1n r -+个解向量线性表出.5．证明：若齐次线性方程组1111221112200n n n n nn n a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩ （*）的系数矩阵A 的秩为n-1，且系数行列式|A|的某个元素kl a 的代数余子式0kl A ≠，则12(,,,,,)k k kl kn A A A A 是这个齐次线性方程组的一个基础解系.6．设有线性方程组（Ⅰ）11112211211222221122,,;n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （Ⅱ）11112211211222221122,,;n n n n n n nn n n A x A x A x c A x A x A x c A x A x A x c +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其中ij A 为系数行列式||ij D a =中元素ij a 的代数余子式.证明：方程组（Ⅰ）有唯一解的充要条件是（Ⅱ）有唯一解.7．证明：含有n 个未知量n+1个方程的线性方程组1122,1,2,,1i i in n i a x a x a x b i n +++==+.如果有解，那么行列式111211121112110n n n nn n n n n n n a a a b D a a a b a a a b ++++==.8．证明：如果方程组1(1,2,,)nij j i j a x b i n ===∑的系数矩阵A 与矩阵1112111212n n n nn n n a a a b C a a a b b b b k ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为任意数）的秩相等，则这个方程组有解.。

2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT


a2

M
an

3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。