第107课--三点共线问题

共线定理公式
共线定理，亦称三点共线定理，是初中数学中的一个重要定理，
是关于三点是否共线的性质的判定条件之一。

本文将详细介绍共线定
理的公式、示例以及实际应用，帮助读者更好地理解和应用该定理。

公式：
三点A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)共线的条件是：S(ABC) = 0，即三角形ABC的面积为0。

其中，S(ABC)可以通过以下公式计算：S(ABC) = 1/2 * |x1(y2-
y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|
示例：
想要判断三点A(2,3)，B(4,6)，C(6,9)是否共线，可以按照以下
步骤进行计算：
1. 根据上述公式，计算出S(ABC) = 1/2 * |2(6-9) + 4(9-3) +
6(3-6)|
2. 化简得S(ABC) = 0，因此A、B、C三点共线。

实际应用：
共线定理的应用十分广泛，特别是在地理、工程等领域中。

例如，在勘测测量中，需要确定三个测站是否在同一直线上，在道路、桥梁
等工程施工中，需要确定支撑点或者桥梁的位置是否合理，都可以使用共线定理来进行判断。

此外，共线定理还可以用于对于二次函数图像的性质进行判断。

关于 y = ax^2+bx+c 的二次函数图像，若存在三个不同的横坐标x1，x2，x3，使得它们对应的纵坐标y1，y2，y3 满足共线条件，那么该函数对应的图像一定经过共线点，即可作为判断二次函数是否有零点等的依据。

总之，共线定理是数学中一个基本而重要的定理，我们可以通过公式的运用和示例的理解，将其应用到实际问题中，并帮助我们更好地解决问题，提高我们对于问题解决的能力。

MC 第三讲点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理 的应用。

1.点共线的证明点共线的通常证明方法是：通过邻补角关系证明三点共线：证明两点的连线 必过第三点；证明三点组成的三角形面积为零等。

力（心4）点共线可转化为三点 共线。

例1如图，设线段初的中点为G BFCG 。

乂作平行四边形67彻, 以M 和 伪为对角线作平行四边形力应D CGKE.求证：H. G &三点共线。

证连必；DG. HB 。

山题意，AD£EC£KG,知 平行四边形，于是恥％。

同 四边形肋弘是平行四边形， 互相平分。

而。

是曲中点， 故久G 〃三点共线。

例2如图所示，菱形個⑦中，ZJ=120° , ©0为△/!庞外接圆，〃为其上一 点，连接必交曲于£ 劝交3延长线于斤 求证：A E,尸三点共线。

CF _ CFMA ~CA~~CD乂因为AAMOBAC.所以△ AMC^^EAC.得MC AC AD证如图，连月G DF 、DE 。

因为弭在©0上， 则 Z&炉60° 二ZABUZACB, 有△如ezum 得四边形AKGD 是 样可证AK 邑HB 。

其对角线月S KH 线段胡过C 点，BF, P ，肋与 虑的延长线交于点III Q 作该圆的两条切线他和0；切点分 别为£ F 。

求证：P, E, F 三点共线。

证 如图。

连接尸@并在〃上取一点必使得B, C, 尸四点共圆，连QA 欣设厅与圆的另一交点为F ,并作％丄 PF,垂足为G 。

易如QE 二 QM ・ QKQC ・ QB ①APMOAABOAPDQ.从而G D, 0, %四点共圆，于是PM ・PgPC ・PD ②由①，②得PM ・ P3Q\I ・ PgPC ・ PD^QC ・ QB 、 艮卩PgQC • Q 陕PC ・PD.易知 PD ・ PUPE' ・ PF, 乂 QF 二QC ・ QB 、有PE'・ PHQF 二PD ・ PC+QC ・ AB=P©,即欣'・P &P Q-Q F 。

三点共线公式范文三点共线指的是三个点所构成的直线，任意两点与第三点连线，都在同一直线上。

三点共线的判定方法和公式有以下几种。

1.行列式法：设三个点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，我们要判断A、B、C 三点是否共线，可以计算向量AB、向量AC的叉乘，即：x1y11x2y21，=0x3y31如果计算的结果等于0，说明三点共线；如果计算结果不等于0，说明三点不共线。

2.斜率法：如果三个点A、B、C在同一直线上，则连线AB、BC的斜率相等。

根据两点之间连线的斜率公式：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)我们可以计算出两个斜率：k1=(y2-y1)/(x2-x1)，k2=(y3-y2)/(x3-x2)，如果k1=k2，说明三点共线；如果k1≠k2，说明三点不共线。

需要注意的是，当x2=x1时，斜率不存在，此时我们需要特别判断y2=y1是否成立。

同理，当x3=x2时，斜率不存在，此时我们需要特别判断y3=y2是否成立。

如果两个特殊情况成立，即三个点共线。

3.面积法：设三个点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，如果三个点共线，则△ABC的面积为0。

根据面积公式：△ABC=，1/2*(x1*(y2-y3)+x2*(y3-y1)+x3*(y1-y2))如果计算的面积等于0，说明三点共线；如果面积不等于0，说明三点不共线。

这三种方法可以判断三个点是否共线，其中行列式法的判断最为直观和准确，而斜率法和面积法则更加简单易懂。

接下来，我们用更多的字数来详细解释三点共线的原理和应用。

三点共线是解析几何中的基本概念，对于几何问题的研究起到了重要作用。

在平面直角坐标系中，每个点可以由其横坐标和纵坐标表示，也就是由(x,y)决定。

如果三个点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)在同一直线上，我们可以用其中一点到另外两个点的斜率来判定。

斜率定义为两点间纵坐标之差与横坐标之差的比值。

3点共线的条件共线是指三个或更多个点位于同一直线上。

在几何学中，我们可以通过以下三个条件来判断三个点是否共线：一、三点共线的基本条件是斜率相等或者两点之间的斜率相等。

对于三个不同的点A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）和C（x₃, y₃），如果斜率AB =斜率BC则可以得出结论A、B和C共线。

换句话说，如果两个线段的斜率相等，则它们与第三个点的连线也必然在同一条直线上。

二、叉积为零也是三点共线的一个重要条件。

设有三个不同的点A （x₁, y₁）、B（x₂, y₂）和C（x₃, y₃），我们可以计算以A和B为向量的叉积（AB × BC）。

如果叉积为零，则表示A、B和C三点共线。

叉积的计算公式为：(x₂ - x₁) * (y₃ - y₁) - (x₃ - x₁) * (y₂ - y₁)如果该计算结果等于零，则可以得出结论A、B和C共线。

三、三点共线的另一种判定方法是使用面积比较法。

设有三个不同的点A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）和C（x₃, y₃），我们可以计算以A、B和C为顶点的三角形的面积。

如果该三角形的面积为零，则表示A、B和C三点共线。

面积计算公式为：0.5 * abs((x₁ * y₂ + x₂ * y₃ + x₃ * y₁) -(y₁ * x₂ + y₂ * x₃ + y₃ * x₁))如果该计算结果等于零，则可以得出结论A、B和C共线。

这三个判定条件其实是等价的，即如果一个条件成立，则另外两个条件也必然成立。

因此，只需要满足其中一个条件即可判断三个点是否共线。

对于三点共线的直观理解，我们可以想象一个长串的项链。

无论我们选取其中的任意三个珠子，它们肯定是在同一条线上的。

同样地，当我们观察地球上的三个城市，无论这三座城市的位置如何，它们肯定也是共线的。

三点共线在几何学中具有重要的应用。

在平面几何中，共线的三个点可以定义一条直线。

这在勾股定理、二次函数图像的描绘以及直线和曲线的相交问题等等中起到了基础性的作用。

三点共线斜率关系
摘要：
1.引言：三点共线斜率关系的概念
2.三点共线斜率关系的推导
3.三点共线斜率关系的应用
4.结论：三点共线斜率关系的重要性
正文：
【引言】
在几何学中，三点共线是指三个点在同一个直线上。

而斜率是用来描述直线倾斜程度的物理量。

那么，三点共线与斜率之间存在怎样的关系呢？接下来，我们将探讨这个问题。

【三点共线斜率关系的推导】
假设三个点A、B、C的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）和（x3，
y3）。

如果这三个点共线，那么线段AB和线段AC的斜率相等，即：k_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1)
k_AC = (y3 - y1) / (x3 - x1)
由此可得：
(y2 - y1) / (x2 - x1) = (y3 - y1) / (x3 - x1)
整理得：
y2 * (x3 - x1) - y1 * (x2 - x1) = y3 * (x2 - x1) - y1 * (x3 - x1)
【三点共线斜率关系的应用】
1.判断三点是否共线：通过计算三个线段的斜率，判断它们是否相等。

如果相等，则三点共线；否则，三点不共线。

2.求解直线方程：已知三点共线且知道其中两点的坐标，可以利用三点共线斜率关系求解第三个点的坐标。

然后，根据两点式求解直线方程。

【结论】
三点共线斜率关系在几何学中具有重要意义。

它不仅可以帮助我们判断三点是否共线，还可以求解直线方程。

掌握这个关系对于解决几何问题具有很大的实用价值。

解析几何三点共线
三点共线，数学中的一种术语，属几何类问题，指的是三点在同一条直线上。

可以设三点为A、B、C ，利用向量证明：λAB=AC （其中λ为非零实数）。

简述
三点共线的意思：三点在同一条直线上。

证明方法
方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 .代入第三点坐标看是否满足该解析式（直线与方程）.
方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）.
方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线.
方法四:用梅涅劳斯定理.
方法五：利用几何中的公理“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”.可知：如果三点同属于两个相交的平面则三点共线[3]。

方法六：运用公（定）理“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（垂直）”.其实就是同一法.
方法七：证明其夹角为180°.
方法八：设A B C ，证明△ABC面积为0.
方法九：帕普斯定理.
方法十：利用坐标证明。

即证明x1y2=x2y1.
方法十一：位似图形性质.
方法十二：向量法，即向量PB=λ向量PA+μ向量PC，且λ+μ=1，则ABC三点共线
方法十三：张角定理。

三点共线定理证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠三点共线定理的证明过程，这可有意思啦！
咱先想象一下，有三个点，就好像三个小伙伴站在那儿。

要证明它们共线，就像是要证明这三个小伙伴站成了一排。

那怎么证明呢？咱可以用向量的方法呀！向量就像是给这三个点装上了小翅膀，能带着我们找到答案呢。

比如说，咱有 A、B、C 这三个点。

那咱就先求出向量 AB 和向量AC 呗。

如果这两个向量之间存在某种特殊的关系，那不就能说明它们在同一条线上啦！
这就好比，你有两根绳子，你得看看它们是不是朝着一个方向直直地伸出去。

如果是，那它们不就共线了嘛！
咱还可以用斜率的方法呢！每个点都有自己的斜率，就好像每个人都有自己独特的性格一样。

要是 A 点到 B 点的斜率和 B 点到 C 点的斜率一样，那它们不就是在同一条线上“奔跑”嘛！
这就好像三个人走路，如果前两个人走的方向和后两个人走的方向一样，那肯定就是一路人呀，不就在一条线上了嘛！
还有一种方法呢，就是通过线段的长度关系。

要是 AB 加 BC 正好等于 AC，那这三个点不就是紧紧挨着在一条线上嘛！
你想想，这就跟拼积木一样，三块积木要是能严丝合缝地拼在一起，那它们肯定是在一条直线上呀！
哎呀，证明三点共线定理的方法是不是很有趣呀！咱通过各种巧妙
的办法，就像侦探破案一样，一点点找到线索，最终证明这三个点是
不是共线。

所以呀，数学并不枯燥，这里面充满了乐趣和惊喜呢！只要我们用
心去探索，就会发现好多好玩的东西。

就像三点共线定理，看似简单，里面却藏着这么多奥秘呢！大家是不是对数学又多了一份喜爱呢？哈哈！。

三点共线的证明方法
1.向量法证明：设三个点A、B、C的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先求出向量AB和向量AC，然后计算这两个向量的叉积。

如
果叉积为0，则说明三个向量共线，即三个点共线。

2.斜率法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先计算直线AB的斜率k1，再计算直线AC的斜率k2、如果
k1等于k2，则说明两条直线重合或平行，即三个点共线。

3.距离法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先计算点A到线段BC的距离d1，再计算点B到线段AC的距
离d2，最后计算点C到线段AB的距离d3、如果d1=d2=d3=0，则说明三
个点共线。

4.合成三角形法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

可以将三角形ABC分别看作向量AB和向量AC的合成。

如果这两个向量的合成向量与向量BC重合，则说明三个点共线。

5.面积法证明：设A、B、C三个点的坐标分别为(Ax,Ay)，(Bx,By)，(Cx,Cy)。

首先计算以A、B、C为顶点的三角形ABC的面积S1，再计算以A、B、C为顶点的三角形OBC的面积S2，其中O为坐标原点。

如果S1=S2，则说明点A在直线BC上，即三个点共线。

以上是五种常见的三点共线的证明方法。

不同的方法可以根据具体的
题目情况选择使用，有时也可以结合使用多种方法来证明。

高考数学复习---《三点共线问题》规律方法与典型例题讲解【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例1、（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b −=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的2F 的直线与E 相交于,A B 两点.当AB x ⊥轴时，||AB =(1)求E 的方程.(2)若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由. 【解析】（1）根据对称性，不妨设()2,0F c 到直线0bx ay +=bcb c== 令x c =，则22221c y a b−=，解得2by a =±，所以当AB x ⊥轴时，22||b AB a ==a =故E 的方程为22122x y −=.（2）设()()1122,,,A x y B x y .当直线AB 的斜率不为0时，设直线AB 的方程为2x my =+， 联立方程组221222x y x my ⎧−=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()221420m y my −++=， 由()22Δ81>010m m ⎧=+⎪⎨−≠⎪⎩，得1m ≠±，则12122242,11m y y y y m m +=−=−−设(1,)N t ，因为,,B M N 三点共线，所以221322y t x =−−，整理得2223y t x =−−. 因为()()()1221221212211222223212023232323y x y y my y my y y y y y t y x x x x −+++++−=+====−−−−，所以1101AN y tk x −==−，即直线AN 的斜率为定值0. 当直线AB 的斜率为0时，A ，B ，M ，N 都在x 轴上， 则直线AN 的斜率为定值. 综上所述，直线AN 的斜率为定值0.例2、（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，右焦点为F（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F三点共线的充要条件是||MN 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距cc e a ==，所以a = 又2221b a c =−=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y −=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x −+=，所以121234x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b −+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++−=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k −+=−⋅=++，所以MN== 化简得()22310k −=，所以1k =±，所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =−⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =−所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例3、（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C ，离心率O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线. 【解析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =，由题意可得2210c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪−=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A −、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y −=，直线CD 的斜率为001CD y k x −=，则直线CD 的方程为0011y y x x −=+， 令0y =，可得001x x y =−，即点00,01x P y ⎛⎫⎪−⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x −=， 直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++， 将()0041y x x −=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x −+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫−−+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k −==−− 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQy x y x y y y y k x x y x x x y y −+−+===−+−−−−−20000200002214242BC x y y y k y x y y −+==−=−−， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.。

向量中三点共线常用结论向量是数学中的重要概念，在几何学、物理学、力学等学科中都有广泛的应用。

当三个点的向量共线时，有一些常用的结论可以帮助我们更好地理解和应用向量的概念。

首先，我们来谈谈共线的定义。

当三个点的向量可以通过放缩得到相等的向量时，它们就是共线的。

也就是说，三个点的向量可以表示为k倍于另一个向量的形式，其中k为一个实数。

在三维空间中，我们可以将共线的三个点的向量表示为OA = a，OB = b，OC = c。

其中，O为坐标原点，A、B、C为三个点。

常用的共线判定方法有两种，即向量共线定理和点共线定理。

首先是向量共线定理。

如果三个向量a，b和c共线，那么存在一个实数k，使得c = ka + (1-k)b。

我们可以将这个公式理解为，c可以由a和b经过一定的比例缩放得到。

其次是点共线定理。

如果三个点A、B、C共线，那么它们的向量OA、OB和OC是共线的。

反之亦成立，即如果OA、OB和OC共线，那么点A、B、C也是共线的。

这个定理可以帮助我们在实际问题中通过向量的共线性判断点的共线性。

在实际应用中，我们常常会遇到一些与共线性相关的问题。

例如，在几何学中，我们希望判断三个点是否在一条直线上，可以通过计算它们的向量是否共线来得出结论。

如果计算出的向量共线，则可以判断三个点是共线的；反之，如果向量不共线，则可以判断三个点不共线。

另一个应用是在物理学中，我们常常用向量来描述力的作用。

如果有多个力作用在同一个物体上，我们可以通过判断这些力的向量是否共线来判断它们是否可以合成为一个力。

如果力的向量共线，则可以将它们合成为一个力；反之，如果力的向量不共线，则无法合成为一个力。

在解决问题时，我们可以运用这些常用的共线结论。

首先，我们可以通过计算向量是否共线来确定点的共线性。

其次，我们可以通过判断向量的共线性来确定力的合成。

最后，我们还可以利用共线性来解决其他几何学、物理学和力学等问题。

总之，向量的共线性是数学中的一个重要概念，有着广泛的应用。