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高中数学选修（ 2-1 ）空间向量与立体几何测试题
一、选择题
1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量
的终点构成的图形是（）
Ａ．一个圆Ｂ．一个点Ｃ．半圆Ｄ．平行四边形
答案：Ａ
uuuur
2 ．在长方体 ABCD A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达中错误的一个是（）
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuuur
Ａ． AA1A1 B1A1 D1Ｂ． AB DD 1D1C1
uuur uuuur uuuuur1uuuur uuuur uuuur
Ｃ． AD CC1D1C1Ｄ．( AB1CD1 )AC1 1
2
答案：Ｂ
3 ．若 a， b， c 为任意向量，m R ，下列等式不一定成立的是（）
Ａ． (a b) c a (b c)
Ｂ． (a b)·c a·c b·c
Ｃ． m(a b)ma mb
Ｄ． (a·b·)c a·(b·c)
答案：Ｄ
uuur uuur uuur
4 ．若三点 A，B， C 共线，P为空间任意一点，且 PA PB PC ，则的值为（）
Ａ． 1Ｂ．1Ｃ．1
Ｄ． 2 2
答案：Ｂ
5 ．设 a( x，4，3)， b(3，2， z) ，且a∥b，则 xz 等于（）
Ａ． 4Ｂ． 9Ｃ． 9Ｄ．
64
9
答案：Ｂ
uuur uuur uuur
6 ．已知非零向量e1， e2不共线，如果AB e1 e2，AC 2e28e2，AD3e1 3e2，则四点A， B， C， D （）
Ａ．一定共圆
Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心
Ｃ．一定共面
Ｄ．肯定不共面
答案：Ｃ
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7 ．如图 1，空间四边形ABCD 的四条边及对
角线长都是 a ，点 E，F， G 分别是 AB， AD，CD
的中点，则 a 2等于（）
uuur uuur Ａ． 2BA·AC
uuur uuur Ｃ． 2FG·CA 答案：Ｂ
uuur uuur Ｂ． 2AD·BD
uuur uuur Ｄ． 2EF·CB
8 ．若 a e1e2 e3， b e1e2e3， c e1 e2e3， d e1 2e23e3，且 d xa yb zc ，则 x，y，z的值分别为
（）
51515151
Ａ．，， 1Ｂ．，， 1Ｃ．，， 1Ｄ．，，22222222
答案：Ａ
9 ．若向量 a(1，，2) 与 b(2， 12)，的夹角的余弦值为8 ，则
（）9
Ａ． 2Ｂ．2Ｃ． 2 或2
Ｄ． 2 或2 5555
答案：Ｃ
10．已知ABCD为平行四边形，且 A(413)，，， B(2， 51)，，C (3，7， 5) ，则顶点D的坐标为（）7，，1Ｂ．(2，4，1)Ｃ．( 2141)，，Ｄ．(513，， 3)
Ａ．
2
答案：Ｄ
11．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中，O为 AC， BD 的交点，则 C1O 与 A1 D 所成角的（）
Ａ． 60°Ｂ． 90°
3
Ｄ． arccos
3Ｃ． arccos
6
3
答案：Ｄ
12．给出下列命题：
①已知 a b ，则a·(b c) c·(b a )b·c ；
uuur uuuur uuur
，，不构成空间的一个基底，那么 A， B， M， N 共面；
② A， B， M， N 为空间四点，若 BA BM BN
③已知 a b ，则a，b与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若 a， b 共线，则 a， b 所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（）
Ａ． 1Ｂ． 2Ｃ． 3Ｄ． 4
答案：Ｃ
二、填空题
13．已知 a(315)，，， b(12，， 3) ，向量 c 与 z 轴垂直，且满足 c·a9， c·b 4 ，则 c．
.
答案：
22， 21，
5
5
uuur
1 uuur
2 uuur
uuur
14．已知 A ， B ，C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点， 若由向量 OP
OA
OB
OC 确
5
3
定的点 P 与 A ，B ， C 共面，那么 ．
答案：
2
15
15．已知线段 AB 面 ， BC ，CD BC ， DF 面 于点 F ，
DCF
30°，且 D ， A
在平面
的同侧，若 AB
BC CD 2 ，则 AD 的长为
．
答案： 2 2
16．在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， B 1C 和 C 1 D 与底面所成的角分别为 60°和 45°，则异面直 线 B 1C 和 C 1D 所成角的余弦值为 ．
答案：
6
4
三、解答题
17．设 a 1 2i
j
k ， a 2
i 3 j 2k ， a 3 2i j 3k ， a 4
3i 2 j 5k ，试问是否存在实 数 ， ， ，使 a 4 a 1
a 2 a 3 成立？如果存在，求出 ， ， ；如果不存在，请写出
证明．
答案：解：假设 a 4 a 1
a 2
a 3 成立．
∵ a 1 (2， 11)，，a 2 (13，， 2)， a 3 ( 21，， 3)，a 4 (3，2，5) ，
∴ (2
2 ，3
，2
3 ) (3，2，5) ．
， ，
2
2
3
∴
3
，解得
，
2
1
2
3
， ．
5 3
所以存在
2，
1， v
3 使得 a
4 2a 1 a 2 3a 3 ．
理由即为解答过程．
18．如图 2，正三棱柱
ABC A 1B 1C 1 的底面边长为 a ，侧棱长为 2a ，求 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1
所成的角．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
， ，， ，， ，
3
a 2 a ．
， ，
2
2
由于 n (
1，0，0) 是面 ABB 1 A 1 的法向量，
