反比例函数的概念

反比例函数（基础）

【学习目标】

1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．

2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．

3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．

【要点梳理】

要点一、反比例函数的定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xyk，或表示为kyx，其中k是不等于零的常数.

一般地，形如kyx (k为常数，0k)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数，定义域是不等于零的一切实数.

要点诠释：（1）在kyx中，自变量x是分式kx的分母，当0x时，分式kx无意义，所以自变量x的取值范围是，函数y的取值范围是0y.故函数图象与x轴、y轴无交点；

（2）kyx ()可以写成()的形式，自变量x的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.

（3）kyx ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k，从而得到反比例函数的解析式.

要点二、确定反比例函数的关系式

确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数kyx中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对xy、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.

用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：

（1）设所求的反比例函数为：kyx (0k)；

（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；

（3）解方程求出待定系数k的值；

（4）把求得的k值代回所设的函数关系式kyx 中.

要点三、反比例函数的图象和性质

1、 反比例函数的图象特征：

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.

专题复习：反比例函数

一、 热身练习

1、如图，函数y＝k（x＋k）与xky在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）

2、如右图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数221kkyx的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为（ ）

A．1 B．－3 C．4 D．1或－3

3、如右图，是反比例函数1=kyx和2=kyx（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值是_________.

4、已知反比例函数xy2，下列结论正确．．的是 ①．y随x的增大而增大 ②．图象必经过点(-1,2) ③．图象在第二、四象限内 ④．若x＞1，则02y

5、过反比例函数y=xk(k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 .

6、已知函数ymmxmm()21222是一次函数，它的图象与反比例函数ykx的图象交于一点，交点的横坐标是13，则此反比例函数的解析式是

7、对于反比例函数4yx，当函数值y≥－2时，自变量x的取值范围是___________

8、如图，反比例函数y1=k1x和正比例函数y2=k2x 的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是

9、如图，在直角坐标系中,直线xy6与双曲线xxy(4>0)的图象相交于点A,B,设点A的坐标为(1,1yx),那么长为1x，宽为1y的矩形面积和周长为 ．

小结： （方法、存在的问题等）

反比例函数的图象和性质

一、 知识清单梳理

知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 关键点拨与对应举例

1.反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．

（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：

①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)

例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．

2.反比例函数的图象和性质 k的符号 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.

失分点警示

（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. k>0

图象经过第一、三象限

（x、y同号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.

k<0

图象经过第二、四象限

（x、y异号） 每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.

3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线；

（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；

（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 例：若(a，b)在反比例函数kyx的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")

4.待定系数法 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.

知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合

5.系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.

让我们一起领略反比例函数的神奇

一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟

1.为何正比例函数的比例系数是比xyk，而反比例函数的比例系数却不是比xyk？

2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至

多探究一下k的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究

通法”，并非专门深入研究反比例函数.

3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开

多元方程、分式方程、高次方程.

4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来

了解数学本质！做到居高临下、解有依据！

5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积

比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.

二、一道曾经困惑我多时的中考题

某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，AOBRtΔ的顶点B(，)，双曲线xky经过

点C、D，当以B、C、D为顶点的三角形与AOBΔ的相似时，则k .

1.常规性解法：

通过设元，例如设C(m，m)，则D(，m)，再根据条件列方程：

(1)利用CDBC、CDBC、CDBD或CDBD列方程；

(2)利用)(DCCDyyxx列方程；

(3)利用“一线三等角”模型、和DDCCyxyx列方程.

实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具

备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题

(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：

过点C作yCP轴于P，连接PA，直线CD分别交

坐标轴于点M、N.

则有①PA∥CD；

②ANPC，ADPM；