数列的求和

知识篇　知识结构与拓展　高＝数学　（】１　７年Ｉｆ｝月　数列的求和　■江西肖丰城中学　吴爱龙　编者的话：基本知识和旗本　数学的核心，同学们一一定要高度　学们通过阅读，能从中感悟知识　展．把握高考命题特点与趋势。　一．考纲要求　学握等　数列、等比数列的前”项和公式。　二．知识梳理与拓展　１．数列的前，　项和。　数列的前”项ｆ¨通常用ｓ　表爪．　意义　足指Ｓ　一“ｌ　“！卜…十一“…　数列的前，　项和ｌ足…个０川述｝甜．　ｊ　特指的　义。必须碍　解好■点：①指的足千ｕ。　ｌ『１ｉ小足，　项之私｛或圳的运算。（　指的　能足　”个项之和．不能多・项或少・坝。　指的　址丽Ｉ１项之和．ｍ　址粜”个项的ｆｆ１．Ｊ１　从　・项丌始，～项／ｆ　少地』Ｊｌ】至第，　小　足从　一项开始．　址从某项　始的连续，　项之和．尽臀　址数列的前　ｚ项干¨．　Ｉ　ｕ土可以　ｆ　ｊ坊　求表，Ｊｊ．Ｉ－匕＆ｌ】ｔ　“　＿卜…　“．　口Ｊ’以　，】　为ｓ　Ｓ　；Ｌｉ土』１Ｊ‘以刖求干¨符　∑米　示．｝　为ｃ　｝ｃ。　＋…．＿（　－－∑　。∑　自，Ｊ”“　”足ｆ　＆项．　代表厂“，ｃ　．…．ｃ　一Ｉ　的ｆ卜一项．　∑下，Ｊ一的“　一３”址指ｊＫ　ｆｌＩｔｌ，Ｊ从　疆“　开始卡¨　Ｉ．∑卜方的“一｛　指的足　ＪＪ』］争第”卜２项　…终ＩＬ　这个符　消晰　简捷，　高等数学ｒｌ１还ｎ丁以Ｉ　梭参　ｊ　运锋：　在栩等数　：研究办　．常川∑＆永衢　Ｊ　车１Ｉ，『』口－＝＝ｆｆＪ　ｌｊｆ；．、１３（、的　边分｝ｊｌＪ　“、　、（’，　ｌＪ！ＩＪ　ｊ　Ｊ．ｑ长　以太，Ｊ　乃∑ｃ　．即∑　一“十　十　、　如果数列从　一顺　｛：始・顺小少地加ｌ　．　无穷．这个　被称作址几　数列的所　项和，常　为ｓ：ｆ　叮数列郁仃　什　，　项　币１Ｉ．划未必有所　之干ｕ　Ｊ　比数列的　公比　满姓ｊ　ｑ：　、　Ｉ¨．ｑ／－０　ｌｉ，Ｊ，ｊ　昕仃项之　“Ｉ　和为ｓ。。“　十“　＋　＋…一　。　２．已知　…求【』ｌ　。　Ｉ数列的　Ｉ　和１　Ｓ　求数列的通项　ｆＳ　．”一１．　ｃ　ＩＩ，Ｊ．我仃Ｊ＝ｆｆ父系』　“　一《‘　ｌＳ　一Ｓ　Ｉ．Ｉ１　２。　３．等差数列的前，，项和。　知数列　｝＇工Ｊ　差数列．公差为ｃ，。则　Ｊ　Ｉｆ，ｉ，　项和为ｓ，　或ｓ　一，　＋　（＿　，一　１　。　…一　＿＿—一（　一７“”———■　—一　。　Ｉ　述第一个公』Ｉ＝¨丁南倒序相』Ｊ』１法推导。　Ｊｅ　它衷爪¨氐边Ｋ为　，下底边长为　，　尚（　数）为”的梯彤『ｆＩｆ积公式；ｆｎｊ后两个公　』　眦Ｕ址将陔梯肜割或补．变成一个　行四边　Ｊ｝＝三的Ｉ＾Ｉ移！，　ｔｊ一个　角形的丽移｛　．　ｔ，之ｆＩＩ或变成一个、　ｆ　四边彤的　卡５ｌ　Ｉ１（１　与　个　形的Ｉｎ　Ｊ　｛　，之　ｒ　特别　地．　１　ｃ，一０时，　前，？项和Ｓ　一，Ⅲ　４．等比数列的前，　项和。　矢ｎ数列　｝为等比数列．公比为ｔ　，则　常数州既址　差数列．　是等比数列．小论从　等　等比们瞍斤郧仃Ｓ，．一ｍ　：。　Ｉ　述公　『１丁…错似相减法推　，也可以　ＪＩ　Ｊ　ｌｆｉ　ＪＬ＿币　疗法捕！僻　‘法１：Ｓ，　一＜　【　｛ｑ（“】＿１“】ｑ＋…＋　（ｆ　）一“ｉ＋ｑＳ　；一“｝＋ｑ（Ｓ　“，　）一“ｌ＋　，（　）　二、２．ｑ≠ｌ。　所以　一　１　ＩＩ，　亦符合　，　，Ｊ　２：设　比数列｛　｝的公比ｒ，／－１，则　！　一　一一　，所以：　“¨　“　ｊ　“Ｉ

　要学知　“　，１　“１　１　１二　“　＋“　＋…＋“ｌ　Ｓ　ｄ　２－－６Ｚ］＝＝ｑ　ｌ，所以Ｓ　一“　＠ｑＳ一　，下同，略。　这是古希腊欧几里得《几何原本》第９；　介绍的一种证法，稍作改进后有：　方法３：冈为ｑ一暑一　ａ　３一・一　（１　ｎ，　２，ｑ≠ｌ，ｍ比例性质得：　ｑ一　二　二二二　一　，所以　ｑ—　干　干　＿一’朋以　Ｓ，　一“　＋ｑＳ　ｌ，下同，略。　方法４：（累加法）设等比数列｛　｝的公　比ｑ≠ｌ，贝Ｕ“　一“１　ｑ，ａ　３。圳“ｚｑ，…，“　＋１一“　ｑ，　放“２　“ｌ一（ｑ—１）“１，ｒ』３一＆２一（ｑ一１）ａ　２，　…，“　｛１一“　一（ｑ一１）　，累加得　｝】　“１＝＝＝　（ｑ一１）Ｓ　，所以Ｓ　一　方法５：（裂项相消法）设公比ｑ≠１，则“　“Ｉ　“ｌ　ｑ　“ｌ　ｑ　“ｌ　ｑ　一　丁二　一＿＿　一丁　’…　，所以ｓ　一　１　一ｑ　１　ｑ…一　。　一　“　［（　ｑ）＋（　）＋．－・　．，　、］　十Ｉ一——一Ｊ　＼１　ｑ　１～ｑ／Ｊ　５．等差（比）数列前”项和的主要性质。　（】）ｌ六Ｉ为等差数列前　项和Ｓ　一　ｄ　ｎ　ｚ卜　（“　ｄ）”，所以、。　≠０时，Ｓ　是关下ｎ的　没有常数项的二次鬲数，且　一　十　（“　～　）足关于”的一次　数。　（２）等差数列巾，当“　＞０，　＜０时，若　“　＞０，ａ…＜０，则Ｓ　最大；当“１＜０，　＞０　时，若“　（Ｏ，“…＞０，则Ｓ　最小。　（３）等差（比）数列中，非零数列Ｓ　，Ｓ　Ｓ　，Ｓ　一Ｓ。　，…仍成等差（比）数列。　６．数列求和的几种常见方法。　数列求和的常用方法有：倒序相加法、错　位相减法、裂项相消法、公式法、分组求和法、　奇偶数讨论法等。　三，典例解析与患评　侧，若有两个等差数列｛　｝、｛ｂ　｝满　一ｃｚ１＋ａ　２＋Ⅱ３＋…＋“　７订＋２　ｎＩ　足　瓦　－干　一　’　。　解法１：设Ｓ　一“ｌ＋ｎ　２＋…＋“　一忌（７ｎ　＋　２ｎ），Ｔ　一６ｌ＋ｂ　２＋…＋ｂ　一是（ｎ　＋３ｎ），　贝ｕ善一　鲁　一　皇　！　：±兰　二　！　兰：±兰　一一６５　忌［５　＋３×５一（４。＋３×４）］　１２。　点评：对此解法应注意两点：（１）等差数　列前ｎ项和ｓ　是关于”的没有常数项的二　次函数，因此若设Ｓ　一是（７ｎ＋２），Ｔ　一　是（＂＋３），则是不合理的；（２）已知数列的前”　项和ｓ　，求数列的通项ｎ　时，有关系式“　一　ｆＳｌ，”一１，　｛　ＩＳ　一Ｓ　ｌ，”≥２。　解法２－　ａ　５一　一　丰　一　９・（ｎｌ＋“　）　９（ｂｌ＋６　）　Ｓ　６５　Ｔ。　１２。　Ｚ　点评：对此解法也应注意两点：（１）等差　数列的性质的灵活运用；（２）等差数列求和公　式的逆用。　一般地，等差数列｛ａ　）、｛ｂ，，）的通项之比　与前　项和之比为ｔ　ｉ　ｎ一一　。更一般地，笔　，）　』２　１　者曾在《中学数学月刊》２００３年第１２期巾得　ｆ｝Ｊ结论：若已知等差数列｛“　｝、｛ｂ　｝，其前”　项和ｓ　、Ｔ　之比为　Ｓ一　厂（ｎ），对ｍ，ｚ∈Ｎ　，　≤ｚ，则≠　一　ｃ　ｚ＋　）。　１到２　求和：ｌ×２＋２×３＋…＋　（　＋　１）。　解法１：１×２＋２×３＋…＋”（　＋１）一　（１＋２＋…＋”）＋（１　＋２　＋…－＋－＂　）　＋１）（”＋２）。　．ｎ（ｎ＋１）（２”＋１）　１　，　十———　—一一　”　”　点评：此法是分组求和与公式法求和的　完美组合。常用的几个公式　

—　（，ｚ＋１）（２ｎ＋１）　．　厂，ｚ（，ｚ＋１）］　解法１：当ｚ—ｏ时．ｓ一１一当　．．．＿１　Ｈ寸．　，　，　Ｉ　Ｌ　１“一　ｓ一１一＿Ｉ　２一＿Ｉ　３＋…＋扎一　。　（∑ｉ）。应记牢。　２　解法２：因为愚　是＋　：：：÷是　愚＋　愚＋　Ｓ当＝　ｌ≠＋－。２且ｘ－Ｋ　３≠ｘ　２１￣－时．．，．有Ｈｎ：　。。　２　一了　愚　愚‘忌＋　’，走一　，２，。，…所以：　二式相减得：（１一ｌｚ）ｓ一１＋　＋　＋　．．　１…３一÷×ｏ…２）　＋　～　Ｉ－．２．＂ｎ　（÷…３×４一　１　Ｘ１Ｘ　２Ｘ　３）＋…＋　。　卜　［　１　ｎ＋¨（，Ｊ＋２）一　１　一１）　”＋１）］一　综上知，ｓ一＜ｌ　，ｚ一　，　专　－Ｈ１）（　＋２　｛　一　，　ｚ≠。，　。　点评：上述方法用的是裂项相消法，裂项　点评：上述解法是分类讨论思想与化归　（拆项）相消法是数列求和的常用方＂１－之一。　思想的完美组合，解题时极易漏掉　一０与　裂项是手段，相消是目的。因此，寻找合理的　一１时情形的讨论。错位相减法，“错位”是　彻槭　锇～＇　＿２‘　差　一项裂成了两项，但由于无法相互抵消其中　为采用错动位置的书写方法是为了将字母ｚ　的项，所以这种裂项是失败的。对几种常见　的指数对齐，对整齐后再减才会少出错误。　的裂项应熟记。此外，相消时规律性很强，既　话虽如此，但很多同学具体运用此法时仍会　然是成对地“裂”，又是成双地“消”，所以必定　出错，很难对上正确答案，因此我们平时应多　是成套地“留”。　加　’Ｉ练。网络上流行一种死记结论的待定系　解法３：学了组合，也可用组合数性质来　数法，但笔者不推荐使用这种方法。　解。因为　（”＋１）：：：２ｃ：＋　，又ｃ　一ｃ　＋　解法２：仅考虑　≠Ｏ，１时情形。设厂（，　）　Ｃ　，所以１×２＋２×３＋…＋ｎ（”＋１）一　一ｚ＋－ｚ　＋　。＋…＋　一　一　１——　２　ｃｃ　２１Ｉ　ｒ、２３＋…＋　＋　）一２ｃ　＋ｚ一÷ｎ（”＋　‘　，贝ｕ：　（”＋２　Ｓ—ｆ，（ｚ）一ｌ－Ｋ２ｚ＋３　＋…＋，ｚｚ　ｎ～　点评：此解法将数列求和问题转化为组　（１一－ｚ）Ｅ１一（　＋１）－ｚ　］＋ｚ—ｚ…　合数求和并利用组合数性质的问题来解，可　一　（１～ｚ）ｚ　一　觚一般地，我们有２．３…・　…・・忌１　一　１。（一ｚ解　．４…．．（是ｄ－１）＋…＋＂（　＋１）（”ｄ－２）…　点评：这里对已知等式两边求导，体现了　１　整体处理思想，当然也可以对所求和式通过　（ｎ￣－ｋ～　一　”＋　”＋　…・‘　求积分的办法求得。有时可能需要多次求导　（ｎ＋ｋ）（”，ｋ∈Ｎ　，ｋ≥２）。　或求积分。　侧　求和Ｓ一１＋２　＋３ａ－ｚ＋…＋　（责任编辑　徐利杰　】。　

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