数列求和1

《数列求和复习》教学设计

开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春

一、学情分析：

学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。

二、教法设计：

本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。

在教学过程中采取如下方法：

（1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性；

（2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

三、教学设计：

1、教材的地位与作用：

对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。

2、教学重点、难点：

教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。

教学难点：解题过程中方法的正确选择。

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数列求和

作者：赵攀峰

来源：《数学金刊·高中版》2011年第11期

数列求和是数列的重要部分，也是高考的重点与难点之一．数列求和的基本思想是根据通项特点，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的变形，采用并项、裂项等方法．

数列求和的重点：错位相减法与裂项相消法

数列求和的难点：数列的求和需要一定的技巧，要求有较高的构造能力与运算能力，在处理数列不等式的时候，能进行合理有效的放缩．

1． 数列求和的基本思路：注意观察数列的特点和规律，分析数列通项公式的结构，运用转化、化归的方法解题．

2． 数列求和的基本策略：（1）数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比数列求和；（2）利用错位相减法求和时，若公比是参数（字母），则应对参数加以讨论；（3）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差或系数之积与原通项公式相等．

在数列｛an｝中，若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值，且a7=2，a9=3，a98=4，则此数列｛an｝的前100项的和S100=________．

思索 由an+an+1+an+2为定值，得出数列为周期数列，再求和．

破解 由an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3，所以an=an+3，所以数列｛an｝是以3为周期的周期数列，a1=a7=2，a2=a98=4，a3=a9=3，所以an+an+1+an+2=9，S100=33×9+a1=299．

已知正项数列｛an｝满足对一切n∈N?鄢，有a+a+…+a=S，其中Sn=a1+a2+…+an． 龙源期刊网

近几年的高考试卷中，我们分析到，数列求和综合考查了函数方程、化归转化、数学归纳、分类讨论等　多种数学思想方法，以至于数列求和成为高考的热点内容．数列求和试题命题原则立足于课本，高于课本，　具有较强的综合性．常见的数列求和的方法有（等比和等差数列的求和）公式法、错位相减法、倒序相加法、　分组求和法、裂项相消法、数学归纳法．　

本节内容，一方面要求理解并　掌握各种数列求和的方法，另一方　面要求通过分析数列的通项，能快　速选择适当的方法进行数列求和．　重点：掌握由数列通项公式求数　列的前ｎ项和的方法．　难点：利用裂项相消法、错位相　减法求数列的前ｎ项和．　１．公式法　（１）等差数列｛ａｎ｝的求和公式：　＝　ｄ＝Ａ　ｎ２＋　（２）等比数列｛ａｎ｝的求和公式：　ｆＦ／，ａｌ　ｑ　１，　｛　ｌ　晗字　母时一定要讨论）．　（３）∑ｎ　＝１ｋ－ｉ＋２＋３　．＋　；　（４）　ｋＺ＝１　＋２　＋３　＋．．　２＝　！　±！　±　２．　６　’　（５）　ｋ３＝１　＋２　＋３　＋．．　３＝　３０　『ｎ（ｎ＋１）］　ｌ—　—ｊ。　２．错位相减法　已知等差数列｛　｝和等比数列　｛ｂ　｝，求数列｛　｝的前ｎ项和常用此　法．设等差数列｛　｝的公差为ｄ，等比　数列｛ｂ　｝的公比为ｇ．　当ｑ＝ｌ时，Ｓｎ＝口１ｂｌ＋ａｋ２＋ｃ　３＋…＋　ａｎ一１ｂ　一１＋　＝ｂｌ（ａ１十ｏａ＋…＋　）＝　ｂ　ｌ（０１＋ｃ　）ｎ　——　当ｑ≠Ｉ时，Ｓｎ＝　！　＝　！！　１—－ｑ　ｄｂ２（１－ｑ　）　（１＿ｑ）　３．裂项相消法　首先往往把数列的通项拆成两　项之差，然后将前ｎ项求和，许多项　正、负相消．剩下首尾若干项．裂项相　消法需要一定的技巧，重点和难点　都在于对通项的分拆，常见拆项公　式有：　㈩　＝　等＝　一　１　１　１　（ｎ＋ｋ）－ｎ　１　；　。　ｉ。　ｆ　１　１＼　１　ｎ一　Ｊ；ａｎ　．！　±　２二！　±墨２　Ｃ－Ｂ　（Ａｎ＋Ｂ）（Ａｎ＋Ｃ）　（　１一　１Ａｎ　）；　＼　柏　Ａｎ＋Ｃ　１　Ｃ一廖　（２）　１　１（ｎ＋２）－ｎ　面　）（，抖２）２面　）（，抖２）　１　ｆ　１　ｌ　２【ｎ（ｎ＋１）　（ｎ＋１）（ｎ＋２）　（３）　：——　一：俯一　、／　＋佩　、／ｉ：　（４）　＝面　１／　１　１　＼　Ｉ——，————～１・　２＼２ｎ一１　２ｎ＋ｌ／’　㈣　＝　一　；　㈣　。吉＝　等‘　一　一　．　２ｎ—ｎ．２ｎ－１（ｎ＋１）２ｎ’　（７）　ｓｉｎ　ｌ￣　ＣＯＳ凡　ＣＯＳ【ｎ十ｌ　Ｊ—　ｔａｎｎ。．　＝ｔａｎ（ｎ＋１）。一　４．分组求和法　有一类数列　既不是等差数列，　也不是等比数列。若将这类数列适　当拆开，可分为几个等差、等比数列　或常见的数列．然后将“前ｎ项的和”　中的“同类项”先合并在一起，分别　求和，再将其合并即可，这就是分组　求和法．　５．倒序相加法　这是推导等差数列的前ｎ项和　

平均数、等差数列例题精讲

一、公式汇总

1、等差数列与求和公式

通项公式：aan1=+(n-1)d

衍生公式：))aadaaaa1nn1n1=-(n-1)d=(-(n-1)n=(-d+1

求和公式：aan1nS=(+)n2

其中：an表示第n项，a1表示首项，n是项数，d是公差，nS是前n项和。

2、平均数公式

平均数=总数总份数

总数=平均数总份数

总份数=总数平均数

二、例题讲解

1、已知等差数列3，7，11，…，207，这个等差数列第13项是_____，这个数列共有_____项.

2、在100到300之间，所有个位数字是4的倍数的自然数之和是多少？

3、求所有除以5余2的两位数的和是多少？

4、在42与68之间插入4个数，使得这6个数成等差数列，这六个数之和是多少？

5、一个大阶梯教室有10排座位，后一排比前一排多2个位置，最有一排是40个座位。请问这个阶梯教室共（ ）座位。

6、刘明从甲地去乙地办事，他去的时候每分钟走60米，20分钟到乙地，然后按原路返回，每分钟走50米。问刘明从往返一次平均每分钟走（ ）米。

三、考点分析

1、等差数列：求和考的比较频繁，是重点，要善于应用；同时通项与公差也可能会考。

2、平均数：平均数首要是把握公式，重点是要会注意补差思想与比例关系，可以简化计算。