高考数学一轮复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 理

第4讲　平面向量“奔驰定理”

定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·PA＋S△PAC·PB＋S△PAB·PC＝0.

由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．这个定理对于

利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决

定性的基石作用．

例　(1)已知点A，B，C，P在同一平面内，PQ＝PA，QR＝QB，RP＝RC，则S△ABC∶S△PBC等于( )

A．14∶3B．19∶4C．24∶5D．29∶6

答案　B

解析　由QR＝QB，得PR－PQ＝(PB－PQ)，

整理得PR＝PB＋PQ＝PB＋PA，

由RP＝RC，得RP＝(PC－PR)，

整理得PR＝－PC，∴－PC＝PB＋PA，

整理得4PA＋6PB＋9PC＝0，∴S△ABC∶S△PBC＝(4＋6＋9)∶4＝19∶4.(2)已知点P，Q在△ABC内，PA＋2PB＋3PC＝2QA＋3QB＋5QC＝0，则等于( )

A.B.C.D.答案　A

解析　根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3，S△QBC∶S△QAC∶S△QAB＝2∶3∶5，∴S△PAB＝S△QAB＝S△ABC，∴PQ∥AB，

又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC，∴＝－＝

.

1(3)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，PC＝AC，QC＝nBC，则n的

值为________．

答案　

解析　因为O是重心，所以OA＋OB＋OC＝0，即OA＝－OB－OC，PC＝AC⇒OC－OP＝(OC－OA)⇒OP＝OA＋OC＝

－OB－OC，QC＝nBC⇒OC－OQ＝n(OC－OB)

⇒OQ＝nOB＋(1－n)OC，

因为P，O，Q三点共线，所以OP∥OQ，

所以－(1－n)＝－n，解得n＝.

“奔驰定理”与三角形“四心”：

已知点O在△ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为△ABC的重心，则OA＋OB＋OC＝0.

(2)若O为△ABC的外心，则sin2A·OA＋sin2B·OB＋sin2C·OC＝0.

高考数学一轮复习之三角函数与平面向量

1.三角函数作为一种重要的基本初等函数，是中学数学的重要内容，也是高考命题的热点之一。近几年对三角函数的要求基本未作调整，主要考察三角函数的定义、图象与性质以及同角三角函数的基本关系式、诱导公式、和角与倍角公式等。高考对三角函数与三角恒等变换内容的考察，一是设置一道或两道客观题，考察三角函数求值、三角函数图象与性质或三角恒等变换等外容；二是设置一道解答题，考察三角函数的性质、三角函数的恒等变换或三角函数的实践运用，普通出如今前两个解答题的位置。无论是客观题还是解答题，从难度来说均属于中高档标题，所占分值在20分左右，约占总分值的13.3%。

2.平面向量是衔接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一。高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识停止片面的考察，其分值约为10分，约占总分的7%。近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考察向量的概念、性质及其几何意义；二是考察向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等效果中的运用。

1.2021年高考试题预测

(1)剖析近几年高考对三角函数与三角恒等变换局部的命题特点及开展趋向，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考察的中心内容，经过图象求解析式、经过解析式研讨函数性质是罕见题型。

②解三角函数标题的进程普通是经过三角恒等变换化简三角函数式，再研讨其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asinx＋bcosx的常考内容。

③经过实践背景考察同窗们的数学建模才干和数学应意图识。

苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？高考专题突破二 高考中的三角函数与平面向量问题试题 理 北师大版

1．(2016·全国甲卷)若将函数y＝2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图像的对称轴为( )

A．x＝kπ2－π6(k∈Z) B．x＝kπ2＋π6(k∈Z)

C．x＝kπ2－π12(k∈Z) D．x＝kπ2＋π12(k∈Z)

答案 B

解析 由题意将函数y＝2sin 2x的图像向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin2x＋π6，由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)得函数的对称轴为x＝kπ2＋π6(k∈Z)，故选B.

2．在△ABC中，AC·cos A＝3BC·cos B，且cos C＝55，则A等于( )

A．30° B．45°

C．60° D．120°

答案 B

解析 由题意及正弦定理得sin Bcos A＝3sin Acos B，

∴tan B＝3tan A，∴0°＜A<90°，0°

又cos C＝55，

故sin C＝255，∴tan C＝2，而A＋B＋C＝180°，

∴tan(A＋B)＝－tan C＝－2，即tan A＋tan B1－tan Atan B＝－2，

将tan B＝3tan A代入，得4tan

A1－3tan2A＝－2，

∴tan A＝1或tan A＝－13，而0°＜A＜90°，

则A＝45°，故选B.

3．在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则PA2＋PB2PC2等于( )

A．2 B．4

C．5 D．10 苏子愀然，正襟危坐，而问客曰：“何为其然也？”客曰：“‘月明星稀，乌鹊南飞。’此非曹孟德之诗乎？西望夏口，东望武昌，山川相缪，郁乎苍苍，此非孟德之困于周郎者乎？方其破荆州，下江陵，顺流而东也，舳舻千里，旌旗蔽空，酾酒临江，横槊赋诗，固一世之雄也，而今安在哉？答案 D

1 三角变换、平面向量、函数、解三角形问题等综合问题

高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视在知识的交汇处考察，对三角形问题的考察重点在于三角变换、向量、函数等的综合，它们之间互相联系、互相交叉，不仅考察三角变换，同时深化了向量的运算，体现了向量的工具作用，试题综合性较高，所以要求学生有综合处理问题的能力，纵观最近几年高考，试题难度不大，但是如果某一知识点掌握不到位，必会影响到整个解题过程 ，本文从以下几个方面阐述解题思路，以达到抛砖引玉的目的.

1. 向量与三角形问题的结合

向量具有“双重身份”，既可以像数一样满足“满足运算性质”进行代数形式的运算，，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换，同时向量加、减法的几何运算遵循三角形法则和平行四边形法则，这为向量和三角形问题的结合，提供了很好的几何背景.

1.1 向量与三角形谈“心”

内心（三角形内切圆圆心）：三角形三条内角平分线的交点；

外心（三角形外接圆的圆心）：三角形各边中垂线的交点；

垂心：三角形各边上高的交点；

重心：三角形各边中线的交点，

用向量形式可表示为如下形式：

若P是ABC内的一点，(),0()0ABACAPABACBABCBPttBABC，P是ABC的内心；

若DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点,且

DPPBDPPCEPPCEPPAP是ABC的外心；

若0GAGBGC,则G是ABC的重心；

若P是面ABC内的一点，且PAPBPAPCPCPB，则P是ABC的垂心.

例1.已知ABC外接圆的圆心为O，且320OAOBOC，则AOC ．

思路分析：本题主要考查两个向量数量积的概念，考查两个向量夹角公式的应用，考查特殊角的三角函数值．由于三角形的边长不固定，所以不妨假设外接圆的半径为1，也可以假设为r，这个数会在后面运算过 2 程中约掉．三个向量的和为零向量，先将一个移动到另一边，然后两边平方，利用向量运算公式，即可化简出关于AOC余弦值的表达式，由此求得角的大小．