诱导公式教案详案

普通高中课程标准实验教科书必修4 第一章 第三节.

§1.3 三角函数的诱导公式（第一课时）

授课人：胡永刚 授课对象：高一学生

【教材分析】

本节课位于数学必修4 第一章 第三节——三角函数的诱导公式。本节主要学习三角函数的诱导公式，并利用公式进行运算。诱导公式是三角函数运算的重要工具。从知识网络结构上看，三角函数的诱导公式是单位圆上任意角的三角函数的延续和拓展，也是三角函数运算的基础。在研究和解决各种三角问题时，诱导公式都有其广泛应用。其中，诱导公式的推导过程包含有诸多数学思想。对于进一步探究三角函数的其他性质有很大帮助。

【教学目标】

㈠ 知识与技能

① 从π±α，-α，π/2-α的图像出发，直观地认识三角函数的一些性质。

② 从三角函数定义出发，完成对公式二～四的推导。

③ 利用公式二～四运算一些简单或复杂的三角函数

㈡ 过程与方法

通过观察π±α，-α，π/2-α的终边与任意角α的终边的对称关系，形成对三角函数性质的直观认识，再通过单位圆上任意角的三角函数定义，导出所有诱导公式。从图形到数学语言，将″数″与″形″进行有机结合，得出三角函数的诱导公式的推导。能让学生更快﹑更好地掌握诱导公式。

㈢ 情感态度与价值观

学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从未知到已知，从感性到理性的探究过程，体验数学公式的推导过程。培养了学生善于观察，勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。

【教学重难点】

教学重点：诱导公式的推导以及诱导公式的应用

教学难点：诱导公式的推导和化归思想的应用。诱导公式的推导既是难点又是重点，因为它体现了较强的数形结合思想的应用，同时，化归思想在诱导公式的应用中复杂多变，这也增加了学习难度。

【教法学法】

教法：启发探究、问题推动

基于学生认知水平，学生就图像的对称性的发现并不感到困难，但困难在于怎样利用三角函数定义和对称性去推导一个个诱导公式，并用精确的数学语言描述出来，这里就需要老师以问题形式推动，引导学生积极动脑，主动参与知识的探究活动。

学法：观察—→思考—→讨论—→推导—→应用。

学生通过观察直观的图像，思考图像中包含的联系，并讨论怎样将其联系起来，然后进行推导，最后应用公式。

【教学准备】

准备彩色粉笔和几何画板。老师借助它们在黑板上演示图像，让学生观察这些角的终边与任意角α的终边的对称关系。直观、便捷地演示了图像，提高了课堂效率。

【教学过程】

(Ⅰ） 回顾上节所学，提出疑问（5min）

上节课我们主要学习了三个内容：

①利用单位圆定义任意角的三角函数; 设α为任意角，α的终边与单位圆的交点为P（x,y）

称y为α的正弦，记为sinα；x为α的余弦，记为cosα；y/x为α的正切，记tanα

②利用此定义我们学会了怎样去求一个简单的三角函数，也学会了怎样判断三角函数的符号。

④ 利用定义和图像，我们又得到了一个重要的诱导公式：终边相同的同一三角函数的值相同。即，公式一:

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

其中k∈Z

从中可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α每绕原点O一周函数值将重复出现。此外，利用此公式可以把任意角的三角函数转化为0～2π的三角函数。

但是，如果遇上以下这一个例题：

例 1 化简sin(3π+α)，其中 0

解：sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=sin(π+α)

但这样显然没有化简完，已知的工具不够，那怎么办？

这个问题转变为：如何将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？

【设计意图】 我们复习前面所学知识是为了更好地，更深刻地掌握已学的知识。温故知新，我们发现了问题，围绕这个问题，利用已掌握的知识，有利于我们又一次展开探索，去寻找更多的三角函数性质或诱导公式。同时也起到引发同学思考，带动学习积极性。

(Ⅱ）引入课题，步步探索，逐个推导

我们针对上述问题，我们进入这节课的主题：三角函数的诱导公式

再给出其他三角函数诱导公式之前我们先进行一项探究活动：

第一步，老师给出这些角: π±α，-α

老师与同学一起画图观察π±α，-α的终边与任意角α的终边有什么样的对称关系，同时思考怎样将这些角的三角函数与α的三角函数联系起来。

观察下图

我们不难发现：

⑴ π+α的终边与任意角α的终边关于原点对称。

π-α的终边与任意角α的终边关于y轴对称。 ⑵ -α的终边与任意角α的终边关于x轴对称。

第二步，思考：如何将这些角的三角函数与α的三角函数联系起来？

利用利用三角函数定义和已知的对称性来解决。

我们分别对π±α，-α，π/2-α进行研究和讨论

⒈ 对π+α

设P(x,y),由于OP与OQ关于原点对称。那么，Q（-x,-y）

由此可得：sinα=y cosα=x tanα=y/x

Sin(π+α)=-y cos(π+α)=-x tan(π+α)=y/x

整理后可得：公式二、

Sin(π+α)=-y

cos(π+α)=-x

tan(π+α)=y/x

⒉ 对-α

设P(x,y),由于OP与OQ关x轴对称。那么，Q（x,-y）

由此可得：sinα=y cosα=x tanα=y/x

Sin(-α)=-y cos(-α)=x tan(-α)=-y/x

整理后可得：公式三、

Sin(-α)=-y

cos(-α)=x

tan(-α)=-y/x

对于公式四同学们自己去推导，这里只给出公式

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

第三步，总结概括公式一～四，并分析其作用。 2kπ＋α，π±α，-α的三角函数的值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

同时这里还有一个口诀帮助学生记忆“奇变偶不变，符号看象限”

注意！此口诀要学完整个诱导公式后才完整。关于此口诀要到下节课我们再来具体认识该口诀，有兴趣的同学可以课后自己看完下节去推敲。

【设计意图】步步引入，使学生能够跟上老师的脚步，同时始终保持注意力。经过这个探究活动，学生能够自己推导诱导公式，并能较好地掌握诱导公式。再给出口诀之后，更能引发学生继续学习的思绪。

（Ⅲ） 课堂练习，巩固提高

例2、求sin(11π/3)

解：原式=sin(4π-π/3)=sin(-π/3)=-sin(π/3)=

23

例3、求cos（5π/4）

解：原式= cos（π+π/4）=- cos（π/4）=22

一般地解决以上问题或更复杂的，可按以下步骤进行：

任意负角的三角函数------------→任意正角的三角函数-----------→0～2π的三角函数

公式三或一 公式一

-----------→锐角的三角函数

公式二或四

**注意，按照此步骤我们已解决上课第一个问题。按照此步骤我们可以将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，以简便运算。

★ 课堂自主练习

【设计意图】通过老师的习题知道与归纳，能让学生明白我们学了诱导公式是为了干什么，

怎样去更快更准确地做题。同时让学生自主练习可以让新学到的知识得以掌握，并学到了一些技巧。这使学生对学习有一个明确的方向。

（Ⅳ）课堂小节，学习反思

问题：这节课们主要学了哪些？你还有什么不懂的地方？

本节课主要学了①诱导公式的推导以及诱导公式应用。

②掌握了怎样将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤。

【设计意图】重复强调重点，使学生能更好地复习，而且能让学生有针对性地练习。还有能让老师明白学生掌握程度和学生的疑惑。

（Ⅴ）课后作业

必做题：P27、习题1、（2），（3）；习题2、（2），（4）；习题3、（2）；习题6、(1),(5)

选做题：P28、习题7、(2)

【设计意图】课后作业分必做题和选做题，能服务不同档次的学生，使学生能充分把握自己的实力。同时，可以提高学生的解决难题的能力。

§1.3 三角函数的诱导公式

公式一: 公式二: 概括一～四

sin（2kπ＋α）＝sinα Sin(π+α)=-y 2kπ＋α，π±α，-α的三角函数的值，等于

cos（2kπ＋α）＝cosα cos(π+α)=-x α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时的

tan（2kπ＋α）＝tanα tan(π+α)=y/x 原函数值的符号。

其中k∈Z 公式三 :

例 1 化简sin(3π+α)，其中 0

解：sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=sin(π+α) cos(-α)=x

问题: 如何将任意角的三角函数转化为锐角三角函数？ tan(-α)=-y/x

公式四:

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

对π+α 对-α 对π－α