诱导公式教案

课 题：1.2.3三角函数的诱导公式（一）

1．教学目标

知识与技能

（1）掌握三角函数诱导公式二～四的推导方法，体验数学知识的“发现”过程；

（2）掌握三角函数诱导公式二～四的应用，能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明；

（3）培养学生借助图形直观进行观察、感知、探究、发现的能力，进一步理解掌握数形结合思想方法，通过诱导公式的证明，培养学生逻辑思维能力及运算能力。

过程与方法

（1） 借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题（任意角的三角函数值与 ， ， 的三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从三角函数定义得出相应的关系式）；

（2） 体会未知到已知、复杂到简单的转化过程。

情感态度与价值观

通过本节的学习，让学生感受数学探索的成功感，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。

2．教学重点：用联系的观点，发现、证明及运用诱导公式，体会数形结合思想、化归思想在解决数学问题中的指导作用。

教学难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现终边分别与的终边关于原点、x轴、y轴对称的角与之间的数量关系，并提出研究方法。

3．教学方法与教学手段：引导合作探究式教学并结合多媒体教学

4．教学过程：

（一）复习引入：

1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；

2．画出一组特殊角的图象（体会特殊到一般的思想）

（二）新课讲解：

问题1：360?k角与的正弦,余弦,正切值有什么关系

公式一: sin)360sin(k cos)360cos(k

tan)360tan(k（其中Zk）

诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。

问题2：你能探索与三角函数之间的关系吗？

这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值与角的正弦值是一对相反数．这是因为若设的终边与单位圆交于点P( x，y)，则角终边的反向延长线，即180º+角的终边与单位圆的交点必为P´(-x，-y)（如图4-5-1）．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，

sin(180º+)=-y, 所以 :sin(180º+)=-sin

公式二：

-sinsin(） -coscos(） tantan(）

问题3．公式二中的角α一定是锐角吗？

问题4．角α与-α、角α与π-α三角函数值有什么关系？能否证明？

公式三：sinsin(） -coscos(） tantan(）

公式四：-sinsin(） coscos(） tantan(）

（渗透函数奇偶性）

（公式二、三、四的获得主要借助于单位圆及正弦函数、余弦函数的定义．根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质．事实上，点P´与点P关于原点对称，点P´与点P关于x轴对称．直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性．）

公式一: sin)360sin(k 公式二：-sinsin(）

cos)360cos(k -coscos(）

tan)360tan(k（其中Zk） tantan(）

公式三：sinsin(） 公式四：-sinsin(）

-coscos(） coscos(）

tantan(） tantan(）

口诀 “函数名不变，符号看象限”

这里的“同名三角函数值”是指等号两边的三角函数名称相同；“把看成锐角”是指原本是任意角，这里只是把它视为锐角处理；“前面加上一个……符号”是指的同名函数值未必就是最后结果，前面还应添上一个符号（正号或负号，主要是负号，正号可省略），而这个符号是把任意角视为锐角情况下的原角原函数的符号．应注意讲清这句话中每一词语的含义，特别要讲清为什么要把任意角α看成锐角．（揭示公式之间内在联系，体会化归思想）

（三）例题分析

例1判断下列函数的奇偶性：

()1cos()1cos()fxxxfx()1cosfxx（1）

解：因为函数的定义域是R，且

所以 是偶函数。

例2．化简求值

小结：

利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数一般可按下面步骤进行:

任意负角的三角函数利用公式一或四转化成任意正角的三角函数再用公式一转化成0到2π角的三角函数再用公式二或三转化成锐角三角函数

（四）课堂练习：

求sin(1665)的值

答案：（1）： 22

（五）尝试小结

（1） 通过本节学习，你能总结诱导公式的推导思路吗?

（2）本节主要用到几种数学思想？哪里体现了数学的对称美？

（3）回忆诱导公式

（六）课后作业:

1.完成课本第21页练习

2.习题1.2组 13、14

(七)板书设计

教学设计说明： ()sin()(sin)(sin)()gxxxxxxxgx()fx()singxxx（2）

解：因为函数的定义域是R，且

所以 是奇函数。 ()gx课题

探索 公式 例题 7sin611cos4tan(1560)0000cos(180)sin(360).sin(180)cos(180)3.化简：

“数学教学过程是学生在教师的指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程。”这就是说；教会学生科学的思维，应该是数学教学的重要目的之一，即《课程标准》所强调的，数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。数学教学应力求充分暴露学生的思维过程，然后根据反馈信息，有的放矢进行教学。数学教学不应该是结果教学，而应该是“过程”教学。即要把知识形成、发展过程展现给学生。具体地说，就是要把知识的获取过程，结论的探索过程，问题的深化过程，分析、解决问题的艰难曲折过程展现出来。简言之，就是要把数学家在解决问题时的思维轨迹展现出来。因此在设计本课时我从特殊角入手，让本节课研究的问题具体化明确化，接着让学生在解决问题中各显神通，充分显现学生的思维过程，通过协作交流达到知识的形成，从而使学生在过程中体会成功的喜悦感。

一位哲学家曾说过；“即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还能使他获得受用终生的东西。”这里，“受用终生的东西”理当指思想方法。所以在我们的高中数学教学中，用科学方法论指导教学，就是要注意揭示隐含在教材中的数学思想方法，揭示与探索数学知识之间的联系，有意识地把思维过程与解决问题的方法，结合数学教材中的具体内容，深入浅出地教给学生，本设计在公式的探索中充分利用数形结合、类比、归纳等思想方法潜移默化地让学生获得科学方法的有益启示。

“诱导公式”这个课题的内容明显平淡，是并不怎样难于处理的教材．如何使这平淡的内容，充分挖掘它的思想方法的内涵，这正是一个数学教师需要刻意追求的目标．本设计遵循前述思维培养的理论依据，力求体现数学家在解决问题时一种常见的思维轨迹：提出问题

研究解决问题的方向 明确化与具体化 化为已经解决过的问题 解决问题 找出规律性的内容 能否一般化．

美国著名数学家Ｐ·Ｒ·Ｈａｌｍｏｓ（保罗·哈尔莫斯）曾指出：“解决问题最困难的部分之一，是提出正确的问题。”这说明了提出问题的重要性。本设计“问题的提出”着眼于：对于一个任意角的三角函数值，α终边在何处时，问题已经解决，而α终边在何处时还没有被解决？如何解决？从而来激发学生一种对解决问题跃跃欲试的强烈欲望。

当一个问题得到解决时，这个问题是否还有推广的作用，是否具有一般性的功能，这也是数学家的一种重要思维活动。在诱导公式中，α从推导时只需要是锐角已足够，到后来却发现可推广到任意角α都适用，这个收获大大提高了公式的应用价值。使学生从中领略到数学的某种奇妙。从锐角到任意角这一改进，是认识规律的一次飞跃。

平淡的内容，往往有丰富的内涵，用平淡的教法“一带而过”实在是很可惜的,也是不可取的。可以说，如何贯彻新课程的理念,让每堂课都能在“发展学生良好的科学素质”上做些文章，关键在于：要我们去思考、挖掘、精心设计！