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《概率论与数理统计》第02章习题解答

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1 第二章 随即变量及其分布

1、设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机的选人来验血，直至发现血型是A型的人为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。

解：110.40.41,2,kPYkk

2、解：用1231,2,3),,iAiiAAA表示第个阀门开(,且相互独立，()0.8(1,2,3)iPAi

12312323{0}()()[()()()()]PXPAAAPAPAPAPAPA

072.0)2.02.02.02.0(2.0

2123123{1}[()]0.8(0.20.20.04)0.2(0.8)PXPAAAAAA

416.0

3123{2}()(0.8)0.512PXPAAA

3、据信有20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查12个美国人，以X表示15人无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险是相互独立的），问X服从什么分布，写出X 的分布律，并求下列情况下无任何健康保险的概率

（1）恰有3人；（2）至少有两人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。

解：~15,0.2XB

1515(0.2)(0.8)kkkPXkC k=0,1,2,……,15

（1）3312153(0.2)(0.8)0.2501PXC

（2）0015114151521(0.2)(0.8)0.2(0.8)0.8329PXCC

（3）11142213331215151513(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)0.6129PXCCC

（4）51515051(0.2)(0.8)0.0611kkkkPXC

4、解：用X表示5个元件中正常工作的元件个数

33244555(3)(0.9)(0.1)(0.9)0.1(0.9)0.9914PXCC

5、某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以致产品成为次品，设次品率为p = 0.001，现取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。

解：设X表示8000件产品中的次品数，则~(8000,0.001)XB

由于n很大，np很小，8np利用)8(近似地～X，所以3134.0!87608kkkeXP 2 6、解：（1）~(10)X

0487.09513.01!1011511515010kkkeXPXP

（2）∵ ~()X

!01010210eXPXP

210XP

21e 7.02ln

0.710(0.7)211110.84420.1558!kkePXPXk

或2ln2121!12ln21110122lneXPXPXP

7、解：（1） )2(~X 1353.0!02}0{202eeXP

（2）设Y表示一分钟内，5个讯息员中未接到讯息的人数，则2~(5,)YBe

42425{4}()(1)0.00145PYCee

（3） 255002{}()!kkkePXkk

8、一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解，他常结束他讲解在下课铃响后一分钟以内，以X表示响铃至结束讲解的时间，设X的概率密度为

201()0kxxfx其它

（1）确定k；（2）求13PX；（3）求1142PX；（4）求23PX

解：（1）由1123001()33kkfxdxkxdxx 3k

（2）1113233300113327PXfxdxxdxx 3 （3）1112232211144411117()34286464PXfxdxxdxx

（4）11232223332819()3132727PXfxdxxdxx

9、解：方程有实根04522XXtt，即 0)45(4)2(2XX

得41XX或，所以有实根的概率为

1102204(4)(1)410.0030.0030.937PXXPXPXxdxxdx

10、解：：（1）22111120020020000{1}()10.005100xxxPXfxdxedxee

（2）22252200200200525252{52}()0100xxxPXfxdxedxee

（3）222620020200{26}{2620}0.25158{20}PXePXXPXe

11、设实验室的温度X（以C计）为随机变量，其概率密度为

21(4)1290xxfy其它

（1）某种化学反应在温度X > 1时才能反应，求在实验室中这种化学反应发生的概率；

（2）在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生是相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求Y的分布律；

（3）求2,2PYPY。

解：（1）2223111141884151()(4)()992792792727PXfxdxxdxxx

（2）5~(10,)27YB，10105220,1,2,,102727kkkPYkCk

（3）228105222()()0.29982727PYC

2010119101052252221011()()()()0.577827272727PYPYPYCC

12、（1）设随机变量Y的概率密度为 4 0.2100.2010yfyCyy其它

试确定常数C，求分布函数()Fy，并求00.5PY，0.50.1PYY

（2）设随机变量X的概率密度为

1812()8240yfxxy其它

求分布函数()Fy，13PX，13PXX

解：（1）由011010.20.2fydydyCydy

012100.2(0.2)0.422CCyyy 1.2C

其它0102.12.0012.0yyyyf

120101001010.2100.20.210()()0.60.20.2010.20.21.201110.21.21yyyYydtyydtyyyFyftdtyyydyydyyyydyy200.50.500.20.20.50.6(0.5)0.20.25PYFF

774.01.06.01.02.02.011.011.02FYP

55.05.06.05.02.02.015.015.02FYP

0.5,0.10.50.550.50.10.71060.10.10.774PYYPYPYYPYPY

（2）41428812081002200xxdttdtxdtxdttfxFxxx4142162081002xxxxxx

917133116816PXFF 5 16933FXP

9716916733131XPXPXXP

13、解：111,nnjYiXP

0,iYiXP njiji，,2,1,,

当n=3时，（X，Y）联合分布律为

Y

X 1 2 3

1 0 1/6 1/6

2 1/6 0 1/6

3 1/6 1/6 0

14、设有一加油站有两套用来加油的设备设备A是加油站工作人员操作的，设备B是顾客自己操作的，A，B均装有两根加油软管，随机取一时刻，A，B正在使用软管数分别为X，Y。X，Y的联合分布律为

Y

X 0 1 2

0 0.10 0.08 0.06

1 0.04 0.20 0.14

2 0.02 0.06 0.30

（1）求{1,1}{1,1}PXYPXY，

（2）至少有一根软管在使用的概率；

（3）{}{2}PXYPXY，

解：（1）2.0}1,1{YXP，{1,1}{0,0}{0,1}{1,0}{1,1}0.100.080.040.200.42PXYPXYPXYPXYPXY

（2）设C = {至少有一根软管在使用}

(){(1)(1)}1{0,0}10.100.90PCPXYPXY

（3）{}{0,0}{1,1}{2,2}PXYPXYPXYPXY

0.100.200.300.60

{2}{0,2}{1,1}{2,0}0.060.200.020.28PXYPXYPXYPXY

15、设随机变量（X，Y）的概率密度为 6 240,0(,)0xyCexyfxy其它

是确定常数C；并求2PX；1PXYPXY；

解：242400001(,)()88xyxyCCfxydxdyCedxdyee，8C

24244200022,8()xyxyxPXfxydxdydxedyeee

00xyx 2400,8xxyxyPXYfxydxdydxedy

2462000(2)(22)xyxxxeedxeedx

62012()33xxee

0101xyx 11(24)0011(,)8xxyxyPXYfxydxdydxedy

111242240002()(22)xxyxxeedxeedx

1224220()(1)xxeee

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概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

概率论与数理统计课程第二章练习题及解答

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）

1、连续型随机变量X的概率密度函数)(xf也一定是连续函数 （×）

2、随机变量X是定义在样本空间S上的实值单值函数 （√）

3、取值是有限个或可列无限多个的随机变量为离散随机变量 （√）

4、离散型随机变量X的分布律就是X的取值和X取值的概率 （√）

5、随机变量X的分布函数()Fx表示随机变量X取值不超过x的累积概率（√）

6、一个随机变量，如果它不是离散型的那一定是连续型的 （×）

7、我们将随机变量分成离散型和连续型两类 （×）

8、若()()()()PABCPAPBPC成立，则,,ABC相互独立 （×）

9、若,,ABC相互独立，则必有()()()()PABCPAPBPC （√）

二、单选题

1、设123,,XXX是随机变量，且22123~(0,1),~(0,2),~(5,3),XNXNXN

{22)(1,2,3)iiPPXi，则（ A ）

A．123PPP B. 213PPP C. 321PPP D. 132PPP

2、设随机变量~(0,1)XN，其分布函数为()x，则随机变量min{,0}YX的分布函数()Fy为（ D ）

A、1,0()(),0yFyyy B、1,0()(),0yFyyy

C、0,0()(),0yFyyy D、0,0()(),0yFyyy

3、设随机变量X的密度函数为()x，且()()xx，()Fx是X的分布函数，则对任意实数a，有（ B ）

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

1

第二章练习题（答案）

一、单项选择题

1．已知连续型随机变量X的分布函数为

xxbkxxxF,10,0,0)( 则常数k和b分别为 （ A ）

（A）0,1bk （B）1,0bk （C）0,21bk （D）21,0bk．

2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 （ A ）

A. f（x）={𝐱𝐚𝐞−𝐱𝟐𝟐𝐚,𝐱≥0𝟏, 𝐱<𝟎 (a＞0); B. f（x）={𝟏𝟐𝐜𝐨𝐬𝐱, 𝟎< 𝐱<𝜋𝟎, 其他

C. f（x）={𝐜𝐨𝐬𝐱, −𝜋𝟐< 𝐱<𝜋𝟐𝟎, 其他 D. f（x）={𝐬𝐢𝐧𝐱, −𝜋𝟐< 𝐱<𝜋𝟐𝟎, 其他

3.若函数()fx是某随机变量X的概率密度函数，则一定成立的是 （ C ）

A. ()fx的定义域是[0,1] B. ()fx的值域为[0,1]

C. ()fx非负 D. ()fx在(,)内连续

4. 设)1,1(~NX，密度函数为)(xf，则有（ C ）

A.00XPXP B. )()(xfxf

C. 11XPXP D. )(1)(xFxF

5. 设随机变量16,~NX，25,~NY，记41XPp，52YPp，则正确的是 （ A ）.

（A）对任意，均有21pp （B）对任意，均有21pp

（C）对任意，均有21pp （D）只对的个别值有21pp

概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第4章

概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第4章

1 概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第四章

4－1 解：()10.2520.430.240.150.052.3EX=?????

4－2 解： 由22()()[()]DXEXEX=-得

E(X) E(X2) D(X)

X1 50 2501 1

X2 50 2502 2

∵ D(X1)

4－3 解：

X 0 1 2 3

P 0.75 0.2045 0.0409

0.0045

E(X)=0.3003，E(X2)=0.4086，D(X)=0.3184，[D(X)]1/2=0.5643。

4－4 解：

*()11()[()][()()]0()()()XEXEXEEXEXEXEXDXDXDX轾-犏==-=-=犏犏臌

2*2222()11()()[()]()[()]()1()()()XEXDXEXEXEXEEXEXDXDXDXDX***轾-犏=-===-==犏犏臌

4－5 解：

1212211222210220022()()012()()11sin1112sin(1cos)21()()[()]2xEXxfxdxdxxxxEXxfxdxdxdxxxxttdxtdxDXEXEXppppppp+

-?+

-?===-===--==-==-=蝌蝌

蝌 2 4－6 解：

{}2220200001()()021()[()](0)22222xxxxxxxEXxfxdxxedxDXEXEXxedxxedxxexedxxeedx+? --?

+? ---

+? +? ----==?=-=-?=-+=-+=蝌蝌蝌；

4－7 解：令 1apa=+，则 111pa=-+，1pap=-；

10001111()()(1)(1)11(1)()(1)(1)111(1)1(1)11kkkkkkkkkkkaEXkPXkkkppppkpaadddpppppppppdpdpdppddppppdppdppゥゥ-====ゥ==骣÷ç===??=-÷ç÷ç桫++骣骣÷÷çç=-=-=- ÷çç÷÷çç÷-桫桫骣骣鼢珑=--?-珑÷珑÷--桫桫邋邋邋21(1)(1)1pppapp?-?=÷÷--

概率论与数理统计答案概率论答案chapter02

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1 概率论与数理统计答案

概率论答案chapter02

第二章 随机变量及其分布 1．考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保后一年内因意外死亡，则公司赔付２０万元，若投保人因其他原因死亡，则公司赔付５万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用．若投保人在一年内因意外死亡的概率为０．０００２，因其他原因死亡的概率为０．００１０，求公司赔付金额的分布律． 解 设赔付金额为X（以万元计），由条件知X取值为２０，５，０，且已知P｛X＝２０｝＝０．０００２，P｛X＝５｝＝０．００１０，故P｛X＝０｝＝１－P｛X＝２０｝－P｛X＝５｝＝０．９９８８，即有分布律 X２０ ５ ０ 2．（１）一袋中装有５只球，编号为１，２，３，４，５．在

2 袋中同时取３只，以X表示取出的３只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律． （２）将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律．解 （１）从１～５五个正整数中随机取３个，以X表示３个数中的最大值．X的可能值为３，４，５．在五个数中任取３个共有 ５３ ＝１０种取法． ｛X＝３｝表示取出的３个数以３为最大值，其余两个数是１，２，仅有这一种情况，故P｛X＝３｝＝１ ５３＝１ ．３２ ５３４２ ３．５３ ．P｛X＝５｝也可由１－｛X＝４｝表示取出的３个数以４为最大值，其余两个数可在１，２，３中任取２个 ，共有 ３２ 种取法 ，故P｛X＝４｝＝ ＝ ｛X＝５｝表示取出的３个数以５为最大值，其余两个数

3 可在１，２，３，４中任取２个，共有 ４２ 种取法 ，故P｛X＝５｝＝ ＝ P｛X＝３｝－P｛X＝４｝得到． X的分布律为 Xpk ３４５ 28概率论与数理统计习题全解指南 （２）解法（i） 以Y１，Y２分别记第一次、第二次投掷时骰子出现的点数，样 本空间为 S＝｛（y１，y２）y１＝１，２，…，６；y２＝１，２，…，６｝， 共有６×６＝３６个样本点． ２，３，４，５，６这６个数，当且仅当以下X＝min｛Y１，Y２｝所有可能取的值为１， 三种情况之一发生时事件X＝k（k＝１，２，３，４，５，６）发生： （i）Y１＝k且Y２＝k＋１，k＋２，…，６（共有６－k个点）；（ii）Y２＝k且Y１＝k＋１，k＋２，…，６（共有