等差数列与等比数列知识点复习总结

戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列

知识梳理

1.定义：daann1（d为常数）（2n）；

2．等差数列通项公式：

*11(1)()naanddnadnN ， 首项:1a，公差:d，末项:na

推广： dmnaamn)(． 从而mnaadmn；

3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：2baA或baA2

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa

4．等差数列的前n项和公式：1()2nnnaas1(1)2nnnad211()22dnadn2AnBn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的判定方法

（1）定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

（2）等差中项：数列na是等差数列)2(211-naaannn212nnnaaa．

（3）数列na是等差数列bknan（其中bk,是常数）。

（4）数列na是等差数列2nSAnBn,（其中A、B是常数）。

6．等差数列的证明方法

定义法：若daann1或daann1(常数Nn) na是等差数列．

7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）通常把题中条件转化成只含1a和d的等式！ 戴氏教育簇桥校区 等差数列 授课老师:唐老师

1 等差数列、等比数列的证明

例1．已知数列na满足11a，13232nnaann，

（Ⅰ）求证：数列nan是等比数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

例2．已知数列na满足12a，112nnnaaa，

（Ⅰ）求证：数列1na是等差数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

例3．已知数列na，nS是它的前n项和，且*142nnSanN，11a

（Ⅰ）设*12nnnbaanN，求证：数列nb是等比数列；

（Ⅱ）设2nnnac，求证：数列nc是等差数列；

（Ⅲ）求数列na的通项公式。

2

练习1．已知数列na满足15a，*123nnnaanN，

（Ⅰ）求证：数列3nna是等比数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

2．已知数列na满足11a，1222nnnaan，

（Ⅰ）求证：数列2nna是等差数列；

（Ⅱ）求数列na的通项公式。

3．数列na的前n项和nS，且131nnaS ,（1）证明数列na等比数列；（2）求通项公式.

4.已知数列na的前n项和为nS，11a ，数列nnSa是公差为2的等差数列.

（1）证明2na是等比数列；（2）求通项公式.

5. 已知数列na的前n项和为nS，11a ，正整数n对应的nnSan,,成等差数列.

（1）证明2nSn成等比数列；（2）求nS

求通项公式 3 （一） 给出递推公式求通项公式

类型一、，可利用累加法已知关系式)(1nfaann

例1中在数列na，已知,11a当2n时，有)2(121nnaann，求数列的通项公式.

变式：中在数列na，,11a)2(311naannn，求通项.

类型二、)(1nnfaan•已知关系式，可利用累乘法

1 / 4

等差数列复习

一、等差数列的有关概念：

1、等差数列的判断方法：定义法1(nnaadd为常数）或11(2)nnnnaaaan。

如设{}na是等差数列，求证：以bn=naaan21 *nN为通项公式的数列{}nb为等差数列。

2、等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanmd。

如(1)等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na （答：210n）；

（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d）

3、等差数列的前n和：1()2nnnaaS，1(1)2nnnSnad。

如（1）数列 {}na中，*11(2,)2nnaannN，32na，前n项和152nS，则1a＝ ＿，n＝＿（答：13a，10n）；

2 / 4

（2）已知数列 {}na的前n项和212nSnn，求数列{||}na的前n项和nT（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnNTnnnnN）.

4、等差中项：若,,aAb成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且2abA。

提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为„，2,,,,2adadaadad„（公差为d）；偶数个数成等差，可设为„，3,,,3adadadad,„（公差为2d）

5、等差数列的性质：

（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nnnddSnadnan是关于n的二次函数且常数项为0.

北京金榜起点教育广安校区 VIP一对一周易辉 第2课时 老师:李翱

1 等比数列

1.等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那第这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比.公比通常用字母q表示（0q）.即1nnaqa（0q）

2.等比数列的通项公式111(1)(1)nnaqaaqq.

3.等比数列的常用性质：

(1)等比中项：如果在a与b中间插一个数G，使,,aGb成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项；在等比数列na当中，总有211(n1)nnnaaa；

(1)若*(,,,)mnpqmnpqN，则mnpqaaaa，特别地，若*2(,,)mntmntN，则2mntaaa.

(2)若*,mnN总有mnmnaqa.

(3)若数列,nnab是等比数列，则21,,,,nnnnnnnnacaaaabab等也是等比数列，其中c为非零常数．

(4)数列{}na为等比数列，每隔*()kkN项取出一项23(,,,,)mmkmkmkaaaa仍为等比数列.

(5)若{}na为等比数列，则数列12naaa，122nnnaaa，21223nnnaaa成等比数列.

4.等比数列的判定方法：

(1)定义法：1nnaqa（0q）na是等比数列；

(2)等比中项法：211(n1)nnnaaana是等比数列.

(3)通项公式法:nnacq(,cq均是不为0的常数,*nN) na是等比数列.

(4)前n项和的公式法:1111nnnaasqkqkqq(11akq是不为零的常数,且0,1qq)na是等比数列.

巩回练习

１．在数列na中，已知1lglglg3nnaa．