勾股定理的逆定理教案

17．2勾股定理的逆定理

课题 17．2勾股定理的逆定理（1）

目

标

知识与技能目标 1．掌握直角三角形的判别条件．

2．熟记一些勾股数．

3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．

过程与方法目标 1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，•培养学生数形结合的思想．

2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．

情感与态度目标 1． 通过介绍相关历史资料，激发学生解决问题的愿望．

2．通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神．

教学重 点 探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的相关概念及关系．

教学难 点 归纳、猜想出命题2的结论．

教

学

过

程

一、创设问题情境，引入新课

（1）总结直角三角形有哪些性质．

（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？

设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否能够判断一个三角形为直角三角形，提升学生发现反思问题的水平．

师生行为： 学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．

二、合作交流，解读探究

（一）问题：据说古埃及人用以下列图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，•其中一个角便是直角．

这个问题意味着，假设围成的三角形的三边分别为3、4、5，•有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．

画画看，假设三角形的三边分别为2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，•“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm，

教

学

过

程

•再试一试．

设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“假设三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作水平和寻求解决数学问题的一般方法．

师生行为：让学生在小组内共同合作，协手完成此活动．

练习：下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c．

5，12，13；7，24，25；8，15，17．

（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？

（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，•它们都是直角三角形吗？

设计意图：通过让学生按已知数据作出三角形，并测量三角形三个内角的度数来进一步获得一个三角形是直角三角形的相关边的条件．

师生行为：学生进一步以小组为单位，按给出的三组数作出三角形，从而更加坚信前面猜想出的结论．

（二） 问题：命题1 假设直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．

命题2 假设三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形．

它们的题设和结论各有何关系？

设计意图：理解什么样的两个命题是互逆命题，明白什么是原命题，什么是逆命题？你前面遇到过有互逆命题吗？

师生行为：学生阅读课本，并回忆前面学过的一些命题．

练习：以以下各组线段为边长，能构成三角形的是_______（填序号），能构成直角三角形的是______．

①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，24

（三）问题：命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的准确性，命题2准确吗？如何证明呢？

△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，假设△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？

我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°（如以下列图）把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

设计意图：由特殊猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否准确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，•还能够提升学生的逻辑推理水平．

练习：1．假设三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，•这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

2．说出以下命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？

（1）两条直线平行，内错角相等．

（2）假设两个实数相等，那么它们的绝对值相等．

（3）全等三角形的对应角相等．

（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

三、巩固提升

【例1】一个零件的形状如以下列图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC󰀂都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？

解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．

在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．

所以这个零件符合要求．

【例2】（1）判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形．

解：因为a2+b2=100+64=164≠c2．

即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形。

请问：上述解法对吗？为什么？

（2）已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm．

求证：AB=AC． （1）解：上述解法是不对的．因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2，

评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，•而应先判断哪一条边有可能作为斜边．•往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和．

（2）证明：根据题意，画出图形，AB=13cm，BC=10cm．

AD是BC边上的中线→BD=CD=5cm，在△ABD中AD=12cm，BD=5cm，AB=13cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169．所以AB2=AD2+BD2．则∠ADB=90°．∠ADC=180°-∠ADB=180°-90󰀂°=90°．

在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132．

所以AC=AB=13cm．

四、课时小结

你对本节的内容有哪些理解？掌握勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．

五、课堂跟踪反馈

1．小红要求△ABC的最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm．则可知最长边上的高是（ ）

A．48cm B．4．8cm C．0.48cm D．5cm

2．满足以下条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A．b2=c2-a2 B．a：b：c=3：4：5

C．∠C=∠A-∠B D．∠A：∠B：∠C=12：13：15

3．在以下长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）

A．5，6，7 B．1，4，9 C．5，12，13 D．5，11，12

4．若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2，则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ）

A．42 B．52 C．7 D．52或7

5．假设△ABC的三边分别为m2-1，2m，m2+1（m>1）那么（ ）

A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1

B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m

C．△ABC是直角三角形，但斜边长需由n的大小确定

D．由△ABC不是直角三角形

6．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC的形状．

7．阅读以下解题过程中：已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4，试判定△ABC的形状．

解：∵a2c2-b2c2=a4-b4 ①

∴c2（a2-b2）=（a2+b2）（a2-b2）②

∴c2=a2+b2 ③

∴△ABC是直角三角形．

问：上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：_______，错误的原因为________；此题准确的结论是________．

板书设计