偏微分方程数值解题目

第十章 偏微分方程数值解法

偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝

大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。

§1 差分方法的基本概念

1.1 几类偏微分方程的定解问题

椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson）方程

),(2222yxfyuxuu

特别地，当0),(yxf时，即为拉普拉斯（Laplace）方程，又称

为调和方程

02222yuxuu

Poisson方程的第一边值问题为

),(),(),(),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuyx

其中为以为边界的有界区域，为分段光滑曲线，

称为定解区域，),(yxf，),(yx分别为，上的已知连续函数。

第二类和第三类边界条件可统一表示为

),(),(yxuuyxn

其中n为边界的外法线方向。当0时为第二类边界条件，

0时为第三类边界条件。

抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程

220(0)uuaatx

方程可以有两种不同类型的定解问题：

初值问题

xxxuxtxuatu)()0,(,0022

初边值问题

221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0uuatTxltxuxxxlutgtultgttT

其中)(x，)(1tg，)(2tg为已知函数，且满足连接条件 )0()(),0()0(21glg

一、 实验目的

1、 了解并掌握不同差分格式的稳定性；

2、 能够掌握比较不同差分格式数值效应的能力。

二、 实验问题

取a=1,2,4, h=0.1, 0.08,用以下几种差分格式求解对流方程

01,0(0,)()0,0txuauxuxfxx

得t=4时数值结果。用图示说明算法的稳定性和间断点附近的计算效果，并进行相应的数值分析。

迎风格式(upwind):

111()nnnnjjjjuuauu

Lax-friedrichs 格式：

1111111()()22nnnnnjjjjjuuuauu

Lax-wendroff 格式：

122111111()(2)22nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu

修正迎风格式:

11(1)nnnjjpjpududu

这里p=[ a],d= a-[ a],/0.8h.为网格比，记号[x]表示不超过x的最大整数。

三、 实验原理

首先取[10,10]x，[0,4]t。按照h=0.1, 0.08划分网格。

再由各种差分格式通过已知的第1层网格点数值可以求出第2层网格点的数值。以此类推，通过逐层的信息最终求得在第4层网格点数值结果。

注意：这里x，t的取值范围应当包含间断点。同时，在所需求的第4层也应当包含间断点。这点要求可以通过初始估算得出。

四、 实验过程

根据要求将网格中x划分为200格，t划分为50格。首先通过matlab构造一个大的零矩阵。然后分别利用差分格式代入并作图。

1、 取a=1

迎风格式(upwind):

Lax-friedrichs 格式：

Lax-wendroff 格式：

修正迎风格式：

2、 取a=2

几何形式的偏微分方程解

偏微分方程是数学中的重要分支之一，其研究对象是包含多个自变量的函数，常常出现在物理、化学等自然科学领域的模型中。而几何形式的偏微分方程则更加专注于研究某一特定几何形状下的方程解，如球体、环面等。

在深入探究几何形式的偏微分方程解之前，先来回顾一下什么是偏微分方程。偏微分方程通常由包含多个自变量的函数与其各自的偏导数组成。它们根据方程中出现的不同运算符可以分成不同类型，比如常见的波动方程、扩散方程、泊松方程等。

对于偏微分方程的研究，我们通常需要利用数学工具来求取其解析解或数值解。解析解指的是基于数学方法得出的方程解答案，数值解则根据数值方法得出，二者均具有重要意义。而几何形式的偏微分方程，特别地集中于寻找某一特定几何结构下的解析解，如平面、球体、圆锥等。

先举一个较为简单的例子来说明。假设我们有一个圆环面，其半径为$r_1$和$r_2$，面积为$S$，在该圆环面内部有一源项$G$，我们需要求解圆环面上的泊松方程： $$\Delta u+G=0$$

其中$\Delta$表示拉普拉斯算子，对于二维环面有如下表达式：

$$ \Delta f =

\frac{1}{r_1^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta_1^2}+\frac{1}{r_2^2}\frac{\partial^2f}{\partial\theta_2^2} $$

这里的变量$\theta_1$和$\theta_2$分别代表环面上两个方向的走向，而偏微分方程解$u$则需要满足边界条件。求解圆环面上的泊松方程是一个典型的几何形式的偏微分方程问题。

为了得到泊松方程的解析解，我们可以使用展开法。该方法的思想是将解按照固定项数进行展开，然后代入已知边界条件求取系数解。通常我们会先选择基于圆环面的特殊函数空间来构建展开式，在该空间内解可近似表示为五角函数、贝塞尔函数等。不同的函数可以适用不同的情况，对不同的问题进行解析求解。

偏微分方程的数值解法

上机习题七

题目：

求解边值问题：

22sincoscossin,0,10,10,,.xyuexyxyxyGuxyG，，

取步长1/64,1/128,hk 作五点差分格式。用Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代和SOR迭代，（取opt ）求解差分方程，以前后两次重合到小数点后四位的迭代值作为解的近似。比较三种解法的迭代次数以及差分解,1/64,1/128huxyh 与精确解,sinsinxyuxyexy 的精度。

求解：

1 给定步长，建立方程组系数矩阵和常数项。

2 计算出迭代法的迭代矩阵、常数项及最佳松弛因子

3 进行迭代计算，输出迭代次数

4 求解精确解并作出精确解和迭代解对应图像

5 作出误差图像

程序：

clc;clear;

n=input('请输入等分数 n=');

h=1/n;

%---------------------建立常数项b--------------------------

for i=1:(n-1)

for j=1:(n-1)

b(j+(i-1)*(n-1),1)=2*pi^2*exp(pi*(i*h+j*h))*(sin(pi*i*h)*cos(pi*j*h)+cos(pi*i*h)*sin(pi*j*h));

end

end

%---------------------建立系数矩阵A--------------------------

j=0;

for i=1:(n-1)^2

if i>=n

j=j+1;

A(i,j)=1/h^2;

A(j,i)=1/h^2;

end

A(i,i)=-4/h^2;

end

j=0;