高中物理第三章万有引力定律第2节万有引力定律教学案教科版必修2(new)
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第2节 万有引力定律
1．牛顿认为所有物体之间存在万有引力，太阳与行星间的引力使得行星绕太阳运动.
2．任何两个物体间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比.
3．万有引力定律公式F＝G错误!,其中G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2。r指两个质点之间的距离;对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离.
4．在不考虑地球自转的情况下，在地球表面上的物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，mg＝G错误!。即：GM＝gR2。
一、与引力有关现象的思考
1．牛顿的思考
苹果由于受到地球的吸引力落向地面；月球不沿直线运动而是绕地球做圆周运动,表明月球受到方向指向地心的向心力作用。
2．思考的结论
(1）月球必定受到地球对它的引力作用.
（2)苹果落地中苹果与月球在运动中受到的都是地球对它们的引力。
(3)行星围绕太阳运动的向心力由太阳对行星的引力提供。
二、太阳与行星间引力的推导
1．模型简化：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。
2．推导过程:
（1)太阳对行星的引力
错误!⇒F∝错误! (2）行星对太阳的引力
根据牛顿第三定律,行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果,即F′∝错误!.
（3)太阳与行星间的引力
由于F∝错误!、F′∝错误!,且F＝F′,则有F∝错误!，写成等式F＝G错误!，式中G为比例系数.
三、万有引力定律
1．内容
任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比,与这两个物体之间的距离的平方成反比。
2．公式
F＝G错误!。
3．引力常量
(1）数值：英国物理学家卡文迪许较准确地得出了G的数值，G＝6。67×10－11
N·m2/kg2，是一个与物质种类无关的普适常量。
(2)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量为1 kg的质点相距1 m时的吸引力。
1．自主思考-—判一判
（1）月球绕地球做匀速圆周运动是因为月球受力平衡。(×)
（2）行星绕太阳的运动不需要力的作用。(×）
（3)匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动.（√）
(4）太阳与行星间作用力的公式F＝G错误!也适用于行星与它的卫星之间。（√）
（5)万有引力定律适用于两个质点间的相互作用力的计算。(√）
（6)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。(√)
2．合作探究——议一议
（1)苹果由于受地球的吸引力落向地面，月球受地球的引力作用，为何不落向地面？
提示:月球受地球的引力作用,而这种作用恰好提供月球绕地球做圆周运动的向心力，故月球能维持这种运动而不落向地面。
(2)把行星的运动看作是匀速圆周运动，是否违背客观事实？
提示：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，为了降低分析问题的难度，可以把行星的运动理想化为匀速的圆周运动。
（3)万有引力定律告诉我们，任何两个物体都是相互吸引的，但为什么通常的两个物体间感受不到万有引力?两个质量都为100 kg的大胖子相距1 m时，它们间万有引力多大?
提示：万有引力太小；F＝Gm1m2r2＝6.67×10－11×错误! N＝6.67×10－7 N。
对万有引力定律的理解
1．公式的适用条件：严格说F＝G错误!只适用于计算两个质点间的万有引力，但对于下述几种情况，也可用该公式计算.
(1）两质量分布均匀的球体间的万有引力,可用公式计算，此时r是两个球体球心的距离。
(2)一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力，可用公式计算，r为球心到质点间的距离。
(3）两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，公式也适用。
2．万有引力的特性
特点 内容
普遍性 万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体(大到天体小到微观粒子)间的相互吸引力，它是自然界中物体间的基本相互作用之一
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律
宏观性 通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间,它的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力可以忽略不计
特殊性
两个物体间的万有引力,只与它们本身的质量、它们之间的距离有关，和所在空间的性质无关，和周围有无其他物体的存在无关
[典例] 一个质量为M的均质实心球，半径为R.如果通过球心挖去一个直径为R的小实心球,然后置于相距为d的地方,如图3。21所示，试计算空心球与小实心球之间的万有引力。
图3。2.1
［思路点拨］
（1）万有引力定律只适用于计算质点间的引力大小.
(2）球体剩余部分对小实心球的万有引力等于原球对小实心球的万有引力减去挖去的球体对小实心球的万有引力。
[解析］ 假设把挖去的小实心球填补上,则大、小实心球之间的万有引力F＝G错误!
①，小实心球的质量m＝ρ·错误!π错误!3＝错误!ρ·错误!πR3＝错误!M ②，由①②得F＝错误!。填入的小实心球与挖去的小实心球之间的万有引力F1＝G错误!＝错误!·错误!。因此,空心球与小实心球之间的万有引力F2＝F－F1＝错误!－错误!。
［答案］ 错误!－错误!
若在球心处挖去，重心还在球心，可以通过万有引力定律公式直接求解，若不在球心处挖去，不能运用公式直接去计算剩余部分的引力，因为那是一个质量分布不均匀的球体。
1．(多选）对于万有引力定律的表达式F＝G错误!，下列说法中正确的是( ）
A．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关
B．当r趋近于零时,万有引力趋近于无穷大
C．m1与m2受到的引力大小总是相等的,方向相反,是一对平衡力
D．m1与m2受到的引力大小总是相等的,而与m1、m2是否相等无关
解析：选AD 公式中的G为比例系数，称作引力常量，与两个物体的质量无关，A对；当两物体表面距离r越来越小，直至趋近于零时，物体不能再看作质点，表达式F＝G错误! 已不再适用于计算它们之间的万有引力，B错；m1与m2受到彼此的引力为作用力与反作用力，此二力总是大小相等、方向相反，与m1、m2是否相等无关，C错，D对。
2．某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F。若此物体受到的引力减小为F4,则其距离地面的高度应为（R为地球半径）（ ）
A．R B．2R
C．4R D．8R
解析：选A 根据万有引力定律表达式得:F＝错误!，其中r为物体到地球中心的距离。某物体在地球表面，受到地球的万有引力为F，此时r＝R，若此物体受到的引力减小为错误!,根据F＝错误!得出此时物体到地球中心的距离r′＝2R,所以物体距离地面的高度应为R，A正确.
3。如图3。22所示,一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体,且r＝错误!，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为（ ）
图32.2
A。错误! B。错误!
C.错误! D.错误!
解析：选C 利用填补法来分析此题，原来物体间的万有引力为F,挖去半径为错误!的球的质量为原来球的质量的错误!，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－错误!＝错误!F，选项C正确。
万有引力与重力的关系
1．万有引力与重力的关系
如图3.2。3所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F,方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G错误!。
图32.3
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力,F2就是物体的重力mg,故一般情况下mg〈G错误!。
2．重力与纬度的关系
(1)在赤道上满足mg＝G错误!－mRω2（物体受万有引力和地面对物体的支持力N的作用，其合力充当向心力,N的大小等于物体的重力的大小，ω为地球自转角速度)。
(2)在地球两极处,由于F向＝0，即mg＝G错误!。
(3)其他位置物体的重力大小介于以上两式之间，且随纬度的增加而增大。
3．重力、重力加速度与高度的关系
（1)在地球表面：mg＝G错误!,g＝错误!,g为常数。
（2）在距地面高h处:mg′＝G错误!，g′＝错误!，高度h越大，重力加速度g′越小.
[典例］ 一物体在地面受到的重力为160 N，将它放置在航天飞机中,当航天飞机以a＝错误!的加速度随火箭向上加速升空的过程中，某一时刻测得物体与航天飞机中的支持物的相互压力为90 N，求此时航天飞机距地面的高度.(地球半径取6.4×106 m，g表示重力加速度,取10 m/s2）
［审题指导] （1）题中g是地面处的重力加速度，航天飞机向上以错误!的加速度做匀加速直线运动。
（2)运动过程中，航天飞机所处位置的重力加速度是变化的.
[解析］ 设物体离地面的距离为h，这时受到地球的万有引力F＝G错误!
在地球表面有G错误!＝mg ①
在升至离地面h时，N－G错误!＝ma ②
由①②式得错误!＝错误!
则h＝错误!R地 ③
由mg＝160 N,得m＝16 kg，N＝90 N,a＝错误!g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km，g＝10 m/s2代入 ③式得h＝1.92×104 km。
[答案］ 1。92×104 km
万有引力定律可以与牛顿第二定律、匀变速运动规律、运动的合成与分解等结合起来考查地球或其他星球上物体的运动，在这类问题中,重力加速度往往是解题的关键点。
1．宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A．0 B.错误!
C.错误! D。错误!
解析：选B 飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G错误!＝mg，得g＝错误!,选项B正确。
2．火星和地球质量的比值为P，火星和地球的半径的比值为q,则火星表面处和地球表面处的重力加速度之比为（ )
A。错误! B．Pq2
C。错误! D．Pq
解析：选A 星体表面的重力加速度g＝错误!∝错误!，所以火星表面和地球表面的重力加速度之比为错误!＝错误!·错误!＝错误!，A正确。
3．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶错误!。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为（ ）
A.12R B。错误!R
C．2R D。错误!R
